乾坤體義卷下
明 利瑪竇 撰
容較圖義萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邉線之最少者為三邉形多者四邉五邉乃至千萬億邉不可數盡也三邉形等度者其容積固大於三邉形不等度者四邉以上亦然而四邊形容積恒大於三邉形多邉形容積恒大於少邉形恒以周線相等者騐之邉之多者莫如渾圜之體渾圜者多邉等邉試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邉等也乃至秒忽毫釐不可勝算萬形愈多邉則愈大故造物者天也造天者圜也圜故無不容無不容故為天試論其槩
凡兩形外周等則多邉形容積恒大於少邉形容積假如有甲乙丙三角形其邉最少就底線乙丙兩平分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線幾何原本一卷八次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者一卷四又三十六既甲丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等一卷三十四則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆與乙丁相等甲丙邉為弦其線稍長試引丙戊至己引丁甲至庚皆與甲丙甲乙線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邉形與三邉形等周者四邉形容積必大於三邉形
假有直角形等邉者每邉六共二十四其中積三十六另有直角形不等邉者兩邉數十兩邉數二其周亦二十四與前形等周而其邉不等故中積只二十又設直角形其兩邉各九其兩邉各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邉各八兩邉各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邉為七以兩邉為五亦與前同周而中積三十五是知邉度漸相等則容積固漸多也
試作直角長方形令中積三十六同前形之積然周得三十與前周二十四者迥異今以此周作四邉等形則中積必大於前形凡同周四角形其等邉等角者所容大於不等邉等角者
設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形一卷三十五與不等角形同底原相等一卷十九又三十四甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大於不等角形
以上四則見方形大於長形而多邉形更大於少邉形則圜形更大於多邉形此其大畧若詳論之則另立五界説及諸形十八論於左第一界等周形謂兩形之周大小等第二界有法形謂不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即為有法其攲邪不就規矩者為無法形第三界求各形心但從心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即係圜與形同心第四界求形面謂周線内所容人目所見乃形之一面第五界求形體如立方立圜三乗四乗諸形乃形之全體
第一題凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊髙以中分線及髙線作矩内直角方形必與三角形所容等解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大於甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形一卷四一故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等一卷二十六
次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等一卷三十四其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故一卷三十六
第二題凡有法六角等形自中心到其一邉之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作直角線為庚辛另作壬癸線與庚辛等作癸子與甲乙丙丁線等即半周線也題言壬癸子丑直角形與甲乙丙丁戊己形之所容等論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等一卷八其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等以甲辛分甲乙之半故見本篇一題若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等蓋此半邉三箇三角形照甲乙庚形作分中垂線其矩線内直角形俱倍本三角形故
第三題凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邉丁戊與法形丁戊等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等論曰試作丁戊己庚直角形兩平分于壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等本篇二題何者戊辛線得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全形亦等
第四題凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙又有丁乙戊己直角形兩丁乙等半圜線與戊乙等題言甲乙丙所容與丁乙戊己直角形所容等論曰試以乙戊引長到庚令庚戊與乙戊等則乙庚與圜周全等次從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等在圜書一題而丁乙戊己又與丁乙庚三角形等本篇四又一卷四十註則丁乙戊己自與全圜體等
第五題凡直角三邉形任將一銳角于對邉作一直線分之其對邉線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所分内鋭角之比例解曰有甲乙丙直角三邉形丙為直角從甲鋭角望所對丙乙邉任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙一卷十九若以甲為心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例五卷二十七合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例形之比例與底線之比例相等在六卷一固大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例六卷三十三系則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例也
第六題凡直線有法形數端但周相等者多邉形必大於少邉形解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邉多于丁戊己不拘四邉六邉雖十邉與十一二邉皆同此論題言甲乙丙之體大於丁戊己之體
論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邉作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙於壬分戊己于癸三卷三其甲乙丙形多邉者與丁戊己形少邉者外周既等而以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧則乙丙邉固小於戊己邉而乙壬半線亦小于戊癸半線矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即匀分各邉俱等而全形邉所倍於戊己一邉數與全圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邉所倍於乙丙一邉與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角六卷三十三題之系則以平理推之移戊己邉於甲乙丙全邉亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邉猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也六卷三十三之二系則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也五卷六五夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例本篇五則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例五卷十三而癸辛子角大于壬庚乙角五卷十其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小于庚乙壬角一卷三十二令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邉亦等于子癸邉則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸一卷二十六今以庚壬
線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也本篇二然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邉直線形之所容乎
第七題有三角形其邉不等於一邉之上另作兩邉等三角形與先形等周解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邉不等欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邉又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲乙乙丙兩邉併既大於甲丙邉一卷十則丁己己戊兩邉併亦大於甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣一卷三十二以作甲庚丙得所求蓋庚甲庚丙自相等而甲丙同邉則二形之周等而甲庚丙與甲乙丙為兩邉等之三角形此庚㸃必在甲乙線外若在甲乙邉上遇辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周
第八題有三角形二等周等底其一兩邉等其一兩邉不等其等邉所容必多於不等邉所容解曰有甲乙丙形其甲乙邉大於乙丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形與甲乙丙等周本篇七而丁甲丁丙兩腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲乙丙論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邉與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邉等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半一卷三十二令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行一卷二十八又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也六卷一因顯甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙兩邊等三角形必大於等周之甲乙丙矣問戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩内角故也
第九題相似直角三邉形併對直角之兩弦線為一直線以作直角方形又以兩相當之直線四并二直線各作直角方形其容等解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相當題言併甲丙丁己為一直線於上作直角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙戊己作直線各於其上作直形方形兩併等論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行一卷二十九則己壬辛之角形與丁戊己相似而丁戊己與甲乙丙相似矣一卷三十二何者己壬辛角與庚角等庚角與丁戊己角等己角又與乙角等而辛角與丁己戊角及丙角俱等壬己辛角與甲角亦等一卷三十四又己壬邉與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙己辛與甲丙俱相等一卷二十六故丁辛線兼丁己甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也一卷三十四然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直角方形併自相等矣
第十題有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與己丙己丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角一卷二十五而兩三角形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四線等而分之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁六卷十甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬於癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁矣五卷夫庚辛併既大于甲乙丙丁併兩邉必大于一邉在一卷二十則壬辛大於丙丁而庚壬大于甲乙也五卷十四甲乙庚癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外以戊甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度過之故於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二
論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與辛壬而減半之庚壬與壬子五卷十五又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邉之比例自相似六卷五
第十一題有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱同而不相似形併必小於相似形併解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上依前題别作甲己丙及丙庚戊兩形相似而與前兩三角形相併者等周題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙丙丙丁戊併論曰將甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從巳過乙作己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邉與乙己丙三角形之己丙己乙兩邉等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等一卷八又甲己壬三角形之甲己己壬兩邉與丙己壬三角形之丙己己壬兩邉等則甲己壬角與丙己壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等一卷四壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邉與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邉等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等一卷四丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似與己丙壬角即相等一卷五而丁丙辛即癸丙辛總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬一卷十五是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙線一卷二十則己丙丙庚併亦大于乙癸線何也此四形者兩兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線併與甲己己丙丙庚庚戊四線併原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也併己丙丙庚二線為一直線就線上作直角方形必大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併相等九題而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁即辛癸上之直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等九題辛從子上分兩對角其角等而壬與俱為直角相似之形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為弦矣此己壬庚辛線併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併明大於乙壬丁辛併之直角方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減一壬辛上直角方形則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線併大于乙壬丁辛兩線併矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛以甲丙原大于丙戊故則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丁形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大於甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉
第十二題同周形其邉數相等而等角等邉者大於不等角等邉者先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形與他形同周同角者較必邉邉相等乃為最大之形論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邉如第一圖又作甲丙線于上作等邉三角為甲庚丙形與甲乙丙等周本篇七則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形本篇八令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不為最大其他如丙丁邉之類或不等者亦如此推
次解曰又設甲乙丙丁戊己等邉形與他形同周同邉者較必角角相等乃為最大之形
論曰依上論各邉俱等則甲乙丙丙丁戊為等邉三角形邉角俱等而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大於丁角則甲丙線必大於丙戊線一卷四二十試於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲庚丙併丙辛戊者大于甲乙丙併丙丁戊本篇十一而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者為最大乎
第十三題凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等題言甲乙丙大於丁戊己論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形與丁戊己相似四卷十六註而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半三卷十八又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半三卷三此設于兩多邉形外作切形圜而以壬癸子丑為切圜線向心作垂線則垂線必分切線之中故説在四卷十二兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等一卷三十二然乙壬癸丙之周大於圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邉大于子丑邉則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例六卷四而壬甲大于子丁則甲庚亦大於丁辛五卷十四是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也本篇四系曰推此見圜形大於各等周直線形第五題証有法形同周者多邉為大又十二題証等周及邉數之等者有法為大又本題証等周之有法形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大
第十四題銳觚全形所容與鋭頂至邉垂線及三分底之一矩内直角立形等解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三十二卷六注言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三以同底同髙故在十二卷七系則寅庚全方與己甲觚等
第十五題平面不拘幾邉其全體可容渾圜切形者設直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等可容渾圜切形者必圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論
解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊十一卷三題試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜圜形書一卷一題從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂線三卷十八壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等
論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚所容等本篇十四又併為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半徑也
第十六題圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙渾圜等論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有巳者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内試作有法形勿切甲乙丙圜十二卷十七自丁心至形邉各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂線至丁心為觚鋭頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等本篇十四則併為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等本篇十五如云以甲乙為髙而以各觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也又論曰戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑十二卷十七而従丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底庚辛為觚鋭頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面則圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大於甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大於全歟則戊體不小於甲乙丙矣從後論不可為小從前論不可為大故曰等也
第十七題圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙又丙形與甲等周其周内可作諸切邉圜形而從心至邉為丙丁題言甲圜大于丙形論曰甲圜外試作與丙相似形十二卷而從甲心至各邉切處作半徑垂線皆等本篇十五有解其一為甲乙甲圜外形大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大於丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等本篇十六以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大於丙之立方本篇十五則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣
第十八題凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角形解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之類等邉等角近于圜形者又作戊壬過心線為樞以轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋為立圜之體則其形為圜外圜角之形而角與邉周遭皆等圜書一卷二十二及二十七又有渾圜形寅與圜角形等周題言寅圜大於圜角形論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一圜書一卷三十一題令倍寅徑以作夘辰徑其圜面四倍大于寅之圜面此専以圜面相較也夘辰徑既倍寅徑則夘辰圜固四倍于寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一増題則夘辰圜與寅渾圜等此夘辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也次作未申圜與夘辰等作未酉申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為巳午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙於夘巳辰圜角形則亦大於夘巳辰圜角形圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四題夫割寅渾圜之中半以為底即過心大圜也而以其半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四分之一此旋轉所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷三十二十則是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大於寅圜則未酉申圜角形固與寅之渾圜形等矣圜角形同髙之比例若其底之比例故也在十二卷十一題其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面戊己庚之面與寅圜之面等故而巳午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與夘巳辰圜角形等圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與圜外諸圜各等夘巳辰圜角形既小於未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎