大測序
大測者測三角形法也凡測算皆以此測彼而此一彼一不可得測九章算多以三測一獨句股章以二測一則皆三角形也其不言句股者句與股交必為直角直角者正方角也遇斜角則句股窮矣分斜角為兩直角亦句股也遇或不可得分又窮矣三角形之理非句股可盡故不名句股也句股之易測者直線也平面也測天則圜面曲線非句股所能得也故有弧矢弦割圜之法弧者曲線弦矢者直線也以弧求弧無法可得必以直線曲弧相當相準乃可得之相當相準者圍徑之法也而圍與徑終古無相準之率古云徑一圍三實圍以内二徑之六弦非圍也祖冲之宻率云徑七圍二十二則其外切線也非圍也劉徽宻率云徑五十圍百五十七則又其内弦也非圍也或推至萬萬億以上然而小損即内弦小益即外切線也終非圍也厯家以句股開方展轉商求累時方成一率然不能離徑一圍三之法即祖率已繁不復能用况徽率乎况萬萬億以上乎是以甚難而實謬今西法以周天一象限分為半弧而各取其正半弦其術從二徑六弦始以次求得六宗率皆度數之正義無可疑者次求三要法相分相準以求各率而得各弧之正半弦又以其餘弧之正弦為餘弦以餘弦減半徑為矢弧之外與正弦平行而交於割線者為切線以他半徑截弧之一端而交於切線者為割線其與餘弦平行者則餘切線也即正割一線交於餘切線而止者餘割線也以正弦減半徑者餘矢也總之為八線其弧度分為五千四百每一度分有八線焉合之為四萬三千二百率也其用之則一形中有三邊三角任有其三可得其餘三也凡測候所得者皆弧度分也以此二三弧求彼一弧先簡此弧之某直線與彼弧之某直線推算得數簡表即得彼弧之度分不勞餘力不費晷刻為之者勞用之者逸方之句股開方以測圓者甚易而實是也然則必無差乎曰有之或在其末位如半徑設十萬則所差者十萬分之一也設千萬則所差者千萬分之一也厯家推演至㣲纎以下率皆棄去即謂之無差亦可故論此法者謂於推步術中為農夫之剡耜工匠之利噐矣測天者所必湏大於他測故名大測其解義六篇分為二卷八線表九十度分為六卷如左
大測卷一
因明篇第一
總論三十二條
三角形者一形而三邊容有三角也
如上圖甲乙丙為平面三角形丁戊己
為球面三角形
三角形各以兩邊容一角此兩邊為角形之兩腰第三邊為角形之底如前甲乙丙形若以甲乙甲丙為兩腰則容乙甲丙角第二字為所指角乙丙其底也餘二同丁戊己亦同
各邊向一角者名為對角
如前甲乙線向丙角者名為對丙角甲丙向乙名為對乙角
角以何為尺度一弧之心在交㸃從心引出線為兩腰而弧在兩腰之間此弧即此角之尺度
如上乙甲丙角其尺度則丁丙或戊己皆
是其法甲為心其界或近如丁丙或逺如
大測法分圏三百六十為度度析百分中厯或六十分逺西分或百析為秒遞析為百至纎而止中厯或析為六十秒遞析為六十至十位而止逺西
圏愈大其度分亦愈大
兩弧之分數等其圏等則弧亦等其圏不等弧亦不等其不等之兩弧名相似弧
如上丁丙雖小于戊己而同對甲角即同為若干度分之弧也
有弧不足九十度則其外至九十者名餘弧亦曰較弧亦曰差弧
如甲丁弧四十度則丁至丙五十度為餘
弧
有弧大于象限在九十以上名為過弧
如甲乙弧大于甲丁過九十度則丁乙為
過弧
半圏界一百八十度
有弧小于半圏則其外至百八十度者名為半圏之較弧如甲乙弧小于甲乙丙半圏則乙丙為其較弧
凡交角俱相等
如甲與乙丙與丁皆交角相等見㡬何第一卷
十五題如戊與己亦交角相等
角有二類一直角一斜角
鈍角者其度大于象限
鋭角者其度小于象限
角之餘與弧同理或曰較角或曰差角
有兩角并在一線上為同方角并之等于兩直角
如上甲與乙丙與丁皆是
同方兩角等于兩直角故彼角為此角之較如前乙角即甲之較甲亦乙之較
三角形兩腰等其底線上兩角亦等底上兩角等則兩腰亦等見㡬何一卷第五
三邊形之三角等則三邊亦等
三角形之角有二類一為直角三邊形一為斜角三邊形直角三邊形形内止有一直角
直角三邊形之對直角邊名弦兩腰名句股逺西句股俱名垂線互用之
斜角形其角皆斜
鈍角形止有一鈍角
鋭角形三皆鋭角
三角形有二類一曰平面上形一曰球上形論平面上三角形 十一條
平面上三角形有三種一直線一曲線一雜線大測所論皆直線也
凡等角兩三邊形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似邊㡬何六卷第四題
凡兩三角形其角兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等㡬何六卷第五方此二題為大測之根本不用開直以比例得之法至簡用至大也
如上圖甲乙丙丁戊己兩形甲與丁
乙與戊丙與己皆等角其旁各兩腰
之比例等者十與六若五與三也更
之則十與五若六與三也反之則六與十若三與五也凡兩形中各對相當等角之邊皆相似之邊如甲丙對乙丁己對戊而乙戊為等角者即甲丙丁己為相似之邊也
三角形之外角與相對之内兩角并等㡬何一卷之三十二如上甲乙丙形之乙甲兩角并與甲丙丁角等
三角形之三角并等于兩直角
丙二角并與丁己戊角等
平面上三角形止有一直角或一鈍角其餘二必皆鋭角三邊形内之第三角為前兩角之餘角何者為前兩角不
直角旁之兩腰其能與弦等能等者謂兩腰上兩方形并與弦上方形等也㡬何一卷之四七
此理之用為先得二邊以求第三邊
如甲乙丙形先得甲乙乙丙兩邊而
求第三邊法以甲乙三自之為九乙
丙四自之為十六并得二十五與甲丙之實等開方得甲丙弦五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙弦五而求乙丙則以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相減之較十六開方得乙丙四
直角形之兩等邊有數則其弦無數可推若弦有數則兩等邊無數可推
如上甲乙甲丙各三自之各九并之得十
八乙丙上實十八開方得四餘實二分之
或為八分之二或為九分之二八分之二
則大于其真率九分之二則小于真率其乙丙真率無數可得更細分之亦復不盡
直角三邊形之兩鋭角彼鋭為此鋭之餘
丙角為乙角與直角相減之較
平邊三角形在圏内其各角之度數皆為其對弧度數之半
如上甲乙丙形三邊等分圏為三各
弧俱一百二十度本形之三角等二
直角并得一百八十則對弧百二十
度倍于對角六十也
平面兩三角形在圏内同底兩形之頂相連成一四邊形此形内有兩對角線則此形相對之各兩邊各相偕為兩直角形并與兩對角線相偕為直角形等
在甲乙丁丙圏内甲丙同底其
頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊
形形内有甲丁乙丙兩對角線
以此兩線相偕為直角形次以
乙丁甲丙兩相對邊以甲乙丁丙兩相對邊各相偕為直角形題言後兩形并與前一形等
論球上三角形 二十條
凡球上三角形皆用大圏相交之角
大測所用三角形之各弧必小于大圏之半球大圏分球為兩平分離于兩極各九十度彼大圏過此大圏之極此兩圏必相交為直角兩大圏相
交為直角必彼大圏過此大圏之極
如甲丙大圏其極乙丁有乙戊丁己大圏
球上角之處必從交引出為兩弧各九十度而遇一象限之弧兩遇處相去之度即此角之大
如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大為
㡬何度分不得用己庚弧為其尺度必從
甲引出至乙至丙各為一象限之弧而戊
丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧與甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大為甲角之大
如甲乙丙三角形從兩腰各引出之至丁則甲丙丁甲乙丁兩弧皆成半圏而甲與丁兩角等
球上三角形有相對彼三角形與同底而對角等即彼形之兩腰為此形兩腰之餘腰初腰不足一百八十度故後腰為半圏之餘其彼此之同方兩角亦等兩直角而彼角為此角之餘角
如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙丙底而甲丁兩角等即乙丁為甲乙之餘弧丙丁為甲丙之餘弧丁乙丙角為甲乙丙之餘角為甲乙丙不足兩直角故乙丙丁角為甲丙乙之餘角
球上直角三邊形或有一直角或二直角或三俱直角球上三邊形有一直角者或有兩鋭角或有兩鈍角或一
鈍一鋭角
如上甲乙丙形甲為直角其乙丙為兩鋭角乙丁丙形丁為直角其乙丙為兩鈍角若丁戊己形則其戊為鋭角其己為鈍角甲戊己形則其戊為鈍角其己為鋭角
如前圖甲乙丙之甲直角與乙丁丙之丁直角相對者是
球上直角三邊形有兩鋭角其三弧皆小于象限如前甲乙丙是
球上直角三邊形有兩鈍角其兩腰皆大于象限而第三弧必小于象限
如前乙丁丙是
球上直角三邊形有一鋭一鈍角其鋭角之相對三角形亦有一直角兩鋭角
如上圖丁乙丙三邊形丙為直角丁為鋭角乙為鈍角即丁鋭角之相對乙丙戊形其丙為直角與乙丙丁并等兩直角其乙與戊為兩鋭角
球上三邊形有多直角其對直角之各弧皆為一象限
如甲為直角乙丙弧對之為一象限餘二
同此圖為三直角題言多者以該二直角也
球上三邊形有二直角若第三為鋭角即對角之弧小于象限若鈍角即對角之弧大于象限
角即對己之丁戊弧小于象限甲乙
丙形甲丙皆直角乙為鈍角則對乙
之甲丙弧大于象限
球上斜三角形有三類或俱鋭角或俱鈍角或雜鋭鈍角球上斜三角形俱鋭角者其相對三角形有兩鈍角一鋭
角
球上三邊形俱鈍角者其相對三角形有兩鋭角一鈍角
形其乙丙為鋭鋭角丁為鈍角
球上三角形之三角并大于兩直角
有二直角即大何況一直一鈍以上
總論二十六條
三角形有六率三角三邊是也測三角形者於六率中先得其三而測其餘三也測三角形者止測其線非測其容測或作推或作解下文通用
測三角形必籍同比例法亦曰三率法同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分數欲明
三角形六率之比例其中用弧者最為難定何者圓線與直線之比例從古至今未有其法故
三角形何以有弧曰球上三角形其三邊皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直線測者三邊耳欲測其角非弧不得而弧為圓線無數可測故測弧者必求其與弧相當之直線
與弧相當之直線者割圓界而求其直線之分與弧分相當者是也
割圓之直線有四一曰弦一名通弦二曰半弦皆在圓界内三曰切線在圓界外四曰割線在圓界之内外
如上圖甲乙為弦分甲丙乙丁圏為兩分
甲丁乙為大分甲丙乙為小分則甲乙弦
上當甲丙乙小弧下當甲丁乙大弧
正弧者從弧作垂線至全徑上
如上圖從丁作甲乙之垂線若從丁直至
戊則為通弦故丁丙為半弦
正半弦是直線在半圏内從弧作垂線至徑上分半圏為不等之兩分一大弧一小弧此半弦當小弧亦當當大弧當者為小弧之半弦亦為大弧之半弦
如上圖從己弧下至甲乙全徑上作己庚
為小分己丙甲弧為大分則己庚為己乙
小弧之半弦又為己丙甲大弧之半弦
正半弦從一㸃作兩半弦第一為前半弦第二為從半弦又為餘弧弦又為較弦又為差弦
如前圖先論己庚即為前半弦其己戊即為後半弦又為餘為較者乙己丙弧九十度乙己不足九十度則己丙為餘弧亦為較弧故己戊為其餘弦較弦也
前後兩半弦其能等于半徑
如上圖庚己為前弦當乙己弧己戊為後
弦當己丙餘弧戊己弦等于丁庚㡬何一卷三十
四則丁己半徑上方與庚己己戊上兩方
并等故云兩半弦之能等于半徑
論曰兩半弦互為垂線則己庚丁為直角而對直角之弦己丁上方與勾股上兩方并等㡬何一卷四十七系直角三邊形内有半徑亦有一半弦即可求後半弦法曰半徑上方形實減半弦上方形實其較即後半弦上方形之實開方得後半弦
如丙乙半徑十甲乙前半弦六而有丙
甲乙直角今求丙甲後半弦其法丙乙
自之為百甲乙自之為三十六相減餘六十四即甲丙方之實平方開之得八
戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊
丁兩弧等其兩半弦一為己辛一為丁
庚兩半弦之較為丁癸題言丁癸較與己壬半弦壬丁半弦各等
論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子戊同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又
度其乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁
既平行甲戊線截二線于子即内外角
等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與己與全子三角既等兩直角一卷三十二則共為一百八十度於中減全子角六十度則丁己兩角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等其前兩正半弦之較即後兩半弦如前圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半弦己辛簡表先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚兩半弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半弦此設數半徑一萬
倒弦者餘弦與全數之較本名為矢
如上圖甲丙徑以乙丁正半弦分徑為二分一為甲丁一為丁丙其丁丙即乙丁正半弦之倒弦也
矢有二有大有小
如上圖甲丁為大矢與甲乙弧相當丁丙為小矢與乙丙弧相當
切線者弧之外有線為徑一端之垂線半徑為底線而交於截弧之弦線弦線者勾股之弦非弧矢之弦也
至丁又從乙出線截戊丙弧于戊而與丁
丙線交于丁即丁丙為切線與戊丙弧相
當也
如上圖乙戊丁線為割線與戊丙弧相當
也故戊丙弧在三角形内其句為半徑其
股為切線其弦為割線皆與戊丙弧相當
之直線
又戊丙一弧其相當之直線有四一丁丙切線一乙丁割線一戊己正半弦一己丙矢
定割圓之數當作割圓線之立成表一名三角形表一名度數表今名大測表大測表不過一象限
如上圖用弦則乙丙弧必得乙丙弦乃至乙庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百八十度之弦也因此術既繁且難後從簡便則以半弦當之為各半弦可當上下兩弧故不過一象限而足也
如上圖辛壬半弦當乙壬小弧亦當壬己
甲大弧庚己半弦當乙己小弧亦當己甲
大弧且一象限之外無切線亦無割線故
大測表不止有各弧之各度數亦有其各分數欲極詳亦可析分為十為六也但少用耳
作大測表先定半徑為若干分愈多愈細
凡割圓四線大抵皆不盡之數無論全數不盡即以畸零法命其分亦不能盡故大測表不得謂其不差但所差甚少不至半徑全數中之一耳
假如半徑為千萬表中諸線中不至差千萬分之一分自一以内或半或大或少不能無差而微乎微矣故作表中半徑必用極大之數最少者一萬以上或至百萬千萬或至萬萬可也七位即千萬八位即萬萬
定半徑之全數即可求一象限内各弧各度分之半弦以此半弦可求得其切線割線
凡半徑用數少即差多如用千則差千之一用萬則差萬之一用極大之數即難推如用萬萬以上數極繁矣今定為㡬何則可曰凡半徑之數其中之小分與半弧度分之小分大約相等而上之即是中數
假如欲測有分之弧問半徑應定㡬何分曰一象限九十度毎度六十分則一象限五千四百分又古率圓與徑之比例大畧為二十二與七則象限弧與半徑之比例若十一與七
如上圖周二十二四分之則一象限為五
又半徑七二分之則三又半此二比例有
畸零之數故各倍之為十一與七也
今用同比例法即三率法以象限十一為第一數以半徑七為第二數以象限五千四百分為第三數而求得第四數為三千四百三十六故半徑分為三千四百三十六則半徑之各分略象等于一象限之各分五千四百也
乃可推有分之弧也
欲推弧分之秒亦用此法其象限為三十
二萬四千秒依三率法十一與七若三十二萬四千與二十○萬六千一百八十二其半徑細分與象限之分秒相等而上之必用百萬
表原者作表之原本也測圓無法必以直線直線與圓相準不差又極易見者獨有六邊一率而已古云徑一圍三是也然此六弧之弦非六弧之本數自此以外雖分至百千萬億皆弦耳故測弧必以弦弦愈細數愈宻其法仍由六邊之一準率始自此又推得五率此六率皆相準不差但後五率其理難見推求乃得是名為六宗率其法先定半徑為若干數今用一千萬則作圏内六種多邊形俱見㡬何第四卷推此六形各等邊之數得此六數即為六通弦各當其本弧因以為作表原本
㡬何原本四卷十五題言六邊等形在圏内者其各邊俱與半徑等半徑既定為千萬即邊亦千萬凡邊皆弦也圏分三百六十度此各弦相當之弧各六十度各與千萬相當矣相當者千萬即六十度弧之弦也
如上乙丙圏内有六邊等形其半徑甲乙
既定為千萬即乙丙弦為六邊形之一邊
㡬何四卷第六言一線在圏内對一象限為方形邊其上方形等于兩半徑上方形并㡬何一卷四七此句股法也故用兩半徑之實并而開方而得本形邊
如上乙丙圏内方形甲乙為半徑句股法
甲乙甲丙上兩方并與乙丙上方等即以
之開方而得乙丙邊今兩半徑上方形并
為二○○○○○○○○○○○○○○此數為二百萬萬萬旁作㸃者萬也末○為單數以開方得其邊一千四百一十四萬二千一百九十六此為乙丙弧之弦也乙丙弧為四分圏之一九十度則乙丙弦數為乙丙九十度弧相當之數
宗率三 圏内三邊等切形求邊數
㡬何十三卷十二題言三邊等形内切圏其各邊上方形三倍于半徑上方形丁乙方與丙丁丙乙兩方等而四倍于于丙丁丙丁形則丙乙為丁乙四之三而三倍
如上乙丙圏甲乙為半徑乙丙上方三倍
大于甲乙上方即三因半徑上方為三○
○○○○○○○○○○○○○此數為二百萬
㡬何十三卷九題言以比例分半徑為自分連比例線其大分則十邊等形之一邊
如上圖甲乙半徑與戊己等
用自分連比例法㡬何六卷三十
稱理分中末線分為大小分其大
為丁己與十邊形之乙丙邊等蓋戊己線與己癸等己癸線既兩平分于庚則戊己己庚線上兩方并與庚戊上方等㡬何一卷四十七今以庚戊上方開得庚戊線為一千一百一十八萬○四百三十○次減去己庚五百萬餘六百一十八萬○四百三十○即丁己線亦即乙丙弦而乙丙弧為全圏十分之一得三十六度是乙丙為三十六度弧之弦也
宗率五 圏内五邊等切形求邊數
㡬何十三卷第十題言圏内五邊等切形其一邊上方形與六邊等形十邊等形之各一邊上方形并等如上圏内甲乙戊為五邊等形甲丙己為六邊等形甲丁乙為十邊等形題言甲丁甲丙上兩方并與甲乙上
線為六百一十八萬○四百三十○
各自之并得數開方得甲乙線為一
千一百七十五萬五千七百○四弱
其弧五分全圏得七十二即甲乙為七十二度弧之度
宗率六 圏内十五邊等切形求邊數
㡬何四卷十六題言圏内從一㸃作一三邊等形又作一五邊等形同以此㸃為其一角從此角求兩形相近之第一差弧即十五邊形之一邊
如上圖從甲㸃作甲乙丙三邊形甲丁戊五
邊形求得兩形相近之第一差為乙戊即
十五邊等形之一邊乃丁乙全差之半其
數先有三邊形之乙丙一百二十度之弦為一千七百三十二萬○五百○八弱又有五邊形之戊子七十二度之弦為一千一百七十五萬五千七百○四弱則乙庚六十度之正弦為乙丙之半得八百六十六萬○二百五十四弱戊辛三十六度之正弦為戊子之半得五百八十七萬七千八百五十二兩相減餘為乙癸得二百七十八萬二千四百○二夫乙己半徑上方減壬乙六十度之正弦乙庚上方餘己庚依開方法為五百萬己子半徑上方與己辛三十六度之正弦辛子上兩方并等依前法亦得己辛八百○九萬○一百七十○己辛己庚兩相減餘為庚辛得三百○九萬○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八萬二千四百○二今得戊癸三百○九萬○一百七十○用句股術求得乙戊弦為四百一十五萬八千二百三十四為十五邊等形之一邊其乙戊弧為全圏十五分之一得二十四則乙戊為二十四度弧之相當弦
邊 弧度 弦數
三 一百二十 一七三二○五○八
四 九十 一四一四二一九六
五 七十二 一一七五五七○四
六 六十
十 三十六 六一八○三四○
弧度 半弦
六十 八六六○二五四
四十五 七○七一○九八
三十六 五八七七八五二
三十 五○○○○○○
十八 三○九○一七○
十二 二○七九一一七