新法算書卷一百
明 徐光啟等 撰
新法表異卷下國朝前明自改厯已來新法著聞于世久矣猥以國家多事頒行有待乃歲次甲申恭遇聖朝建鼎本年八月一驗日食時刻分秒方位無差奉有新法盡善盡美之旨遂用新法造時憲書頒行天下天時人事巧相㑹合豈偶然哉算書共計百卷覃思竭精黙符乾造理明數著度越前朝謹撮舉其凡概如左天地經緯天有經緯地亦有之葢大地隨人所止依天頂以分四方東西為經南北為緯厯家不明各方經緯之度則無以知幅𢄙相距之數卽所推太陽節氣與五星經度凌犯及交食時刻日食分數行之一方不能通之各方矣至于日出日入晝夜長短並凖地緯定之方適于用須知天地經緯相應古云地方言其德耳
地形實圓月食時闇虛之圓是其景也周偏生物戴履不殊各以覩日為晝兩極下極寒以半載為晝夜赤道下極暑以二分為夏二至為冬北行累日北星漸出南星漸沒由是推之形圓明矣大約二百五十里當天之一度經緯皆然
諸曜異天
諸曜各天高卑相距遠甚此創論也然有實驗姑舉二端一驗以測法試立表于此于一線上窺二星其距表正等而其射景則長短不等豈非高者長而卑者短乎一騐以視差設月與星在天實行同度人從地靣視之皆有差分然月差一度有餘星差有少至數分者此何以故差少者高差多者卑也舊厯測驗不精認作同天為誤匪小
圜心不同
太陽本圜與地不同心二心相距古今不等卽加减亦異卽今二百年後其數小變乃能測審差數以為萬年通變之法舊法不知也
欲測七政經緯度分先須定本地之蒙氣差葢地中時有游氣上騰其質輕微雖不能隱蔽天象却能映小為大升卑為高故日月出入人從地平上望之比于中天則大星座出入人從地平上望之比于中天則廣此映小為大也定望日時地在日月之間人在地平無兩見之理而恒得兩見或日未西沒而已見月食于東日已東出而尚見月食于西或高山之上見日月出入以較厯家算定時刻每先升後墜此升卑為高也且蒙氣又有厚薄有高下近水與浮虛之地氣盛則厚而高堅燥之地氣减則薄而下厚且高則映象愈大升像愈高薄且下則映像不甚大升像亦不甚高大約地勢不等氣勢亦不等故受蒙者其勢亦不等欲定日躔月離五星列宿等之緯度若非先定本地之蒙氣差終難密合也
測算異古天氣渾圓其靣與諸道相割所生三弧形不一而足
乃古法測天惟以句股為本用平立定三差總是平形豈能測圓又句與股交為直角一遇斜角其法立窮新法測以天弧三角形算以割圓八線表是為以圓齊圓遇直遇斜無徃不合且其用甚大其法甚簡弧矢諸線乘除一次卽得非若句股必須展轉商求累時方成一率也
測算皆依黃道
日行由黃道中線月與五星亦皆出入黃道内外不行赤道厯家測天若但用赤道儀所得經度宿次尚非本曜在天之宮次新法就其所得又通以黃赤通率表乃與天行宻合且月星之距赤極古今不同而其距黃極則皆終古如一以此新法日月五星皆依黃道起算卽恒星亦從黃極以定歲差
七政本行各分平實二行乃平行起算之根是卽某曜某日時刻躔某宮之數其名為應新法改定諸應悉從天聰二年戊辰前冬至後己卯日第一子正為始
節氣求眞
舊法平節氣非天上眞節氣也葢太陽之行有盈有縮而盈縮又各不等舊法平分氣策一十五萬二一八四三七五以為歲周二十四分之一是以平數定節氣不免違天矣于是節氣之差或以時計或以日計至若春分則後天二日秋分則先天二日為誤匪小新法悉皆改定
盈縮眞限
歲實生于日躔由日輪之轂漸近地心其數浸消徃厯强欲齊之今古不相通矣授時創立消長上考徃古百年加一下驗將來百年减一此說為近然而據算測天則又未合者須知日有最高最卑二㸃盈縮遲疾從此而生乃舊法以高卑二㸃泥在二至遂以二至為盈縮之定限非也新法精詳測候見春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其行度等而中間所厯時日不等又時日多寡世世不等卽秋分至立冬立春至春分亦然因知日行最高卑度上古在二至前今世在二至後六度有竒則二至後六日乃眞盈縮之限而沿守授時者猶從二至起算如此歲實安得齊也今用授時消分為平歲更以最高卑差加减之為定歲因計最高最卑之各一㸃每年自行四十五秒
表測二分
舊以圭表測冬至非法之善也葢表景長短之差上應太陽南北之行顯則俱顯微則俱微二至前後三日内太陽一日南北行為天度六十分之一設表長一丈冬至兩日之景約差一分三十秒凖此細求之應差一秒為六刻七分然而圭上一秒之差人目不能無誤且景符之光線較濶不止數秒一秒得六刻有竒如差三秒卽為二十刻矣又安所得凖也新法獨用春秋二分葢是時太陽一日南北行二十四分景差一寸二分縱令測差一二秒算不滿刻所差無幾較二至為最宻
諸方北極出地度數不同太陽出入時刻因以各别大統厯自永樂後造自燕都乃猶從江南起算且又執一方以槩天下則都城與諸方晝夜長短並與天違甚至日月東西帶食所測不合所算矣新法雖從京都起算而諸方各有加减然後各得眞正時刻卽論晨昏舊以二刻半為限新以十八度為限然而太陽行此十八度各宮又各不同因是有五刻七刻之别若北極出地七十二度以上之處則夏月晨昏相切雖至中夜亦未甚有黯黑也
晝夜不等
晝夜之分厯家皆從子午起算一歲行度日日不等其差較一刻有竒新法獨明其故有二一緣黃道夏遲冬疾差四分餘一緣黃赤二道廣狹不同距則率度必不同分也
改定時刻
晝夜定為九十六刻葢一晝一夜平分十有二時時各八刻積十二時為九十六刻其于推算甚便舊增四刻凑成百數求整齊耳乃其分派百刻則謂每時八刻又三分之一則是每時有一竒零益為繁瑣矣且舊法亦自知百刻之不適于用也其于推交食求時差分仍用九十六刻為法定之則舊增四刻為贅矣
餘氣歸終積而為閏凡閏之月太陽之躔某宮先後㑹月者二是本月之内太陽不及交宮因無中氣遂置為閏月乃舊法置閏用平節氣非也新法用太陽所躔天度之定節氣與舊不同
太隂加减
月與五星本輪之外皆有次輪所以行度益繁就月言之同心輪負本輪之心而右本輪又負次輪之心而左俱一周而復月復循次輪而右半周而復次輪半徑半于本輪半徑并之得五度弱為二弦唯朔望月在本輪内規不須次輪加减止一加减已足餘日則于一加减外另有二三均數多寡不等
舊厯言太隂最高得疾最卑得遲且以圭表測而得之非也太隂遲疾是入轉内事表測高下是入交内事若云交卽是轉緣何交終轉終兩率互異明是二法豈容混推以交道之高下為轉率之遲疾也交轉旣是二行而月行轉周之上又復左旋所以最高向西行則極遲最卑向東行乃極疾正與舊法相反五星高下遲疾亦皆凖此
朔後西見
合朔以後月夕西見或遲或疾甚有差至三日者新法獨明其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見遲叚則遲見一因黃道升降有斜有正正必疾見斜必遲見一因白道在緯南緯北凡在隂厯疾見陽厯遲見也此外又有北極出地不同之故并朦朧分與氣差諸異所以遲疾恒不能齊也
正交中交行度古定一日逆行三分終古皆為平行今細測之有時月在交上以平求之必不相合因設一加减為交行均數
月緯距度
太隂緯度舊法以交食分數及交泛等測定黃白二道相距五度因以為率不知朔望外距交尚有損益其至大之距計五度又三分之一也又遇一月兩食則二弦又須另用儀測方能審知距度幾何彼拘泥五度豈能合天
交食有無惟于入交限定之入交適當交㸃必食卽前後距㸃不遠亦食不則不食葢距交近則其度狹狹則小于兩半徑故食距交遠則其度廣廣則月與景過而不相渉矣何食之有然此論交前後也又當論交左右視太隂與黃道之緯度相距幾何度分月食則以距度較月與景兩半徑并日食則以距度較日月兩半徑并而距度為小則食若大則過而不相渉等則過而僅相切皆不得食也但距度在月為實距度而在日為視距度此則不同耳
食限者日月行兩道各推其經度距交若干為有食之始也然而日與月不同月食則太隂與地景相過兩周相切以其兩視半徑較白道距黃道度又以距度推交周度定食限若日食則雖太陽與太隂相遇兩周相切而其兩視半徑未可遂以之定兩道之距度為有視差故必加入視差而後得距度因知特論半徑則日食之二徑狹月食之二徑廣論日食之限乃反大于月食之限以視差也
日月食分異同
食分多寡惟于距度定之距度在月食為太隂心實距地景之心兩心愈近食分愈多愈遠則食分愈少矣在日食為日月兩心之距距近食多距遠食少與月食同但日食不據實距而據視距葢定朔為實交㑹天下所同而人見食分多寡則東西南北各異所以然者皆視度所為也
實㑹者以地心所出直線上至黃道者為主而日月五星兩居此線之上則實會也卽南北相距非同一㸃而總在此線正對之過黃極圏亦為實㑹葢過黃極圏者過黃道之兩極而交㑹于黃道分黃道為四直角者也則從旁視之雖地心各出一線南北異緯而從黃極視之卽見地心所出二線東西同經是南北正對如一線也是故謂之實㑹若月與五星各居其本輪之周地心所出線上至黃道而兩本輪之心俱當此線之上則為月與五星之中㑹日無本輪本行圏與地為不同心兩心所出則有兩線此兩線者若為平行線而月本輪之心正居地心線上則是日與月之中㑹也葢實㑹旣以地心線射太隂之體為主則此地心線過小輪之心謂之中㑹矣若以不同心圏之平行線論之因日月各有本圏卽本圏心皆與地心卽黃道心有相距之度分卽日月循各本圏之周右行所過黃道經度必時時有差與地不同心故也其從地心出直線過日月之體上至黃道此所指者為日月之實行度分也設從地心更出一平行直線與本圏心所出直線偕平行而上至黃道此所指者為日月之平行度分也葢太陽心線與地心一線平行太隂心線亦與地心一線平行但時多不相遇至相遇時兩地心線合為一線則是日月之中相㑹若太陽實行之直線與太隂實行之直線合為一線則是日月之實相㑹合㑹望㑹皆有中有實其理不異
前言實㑹中㑹食限等皆日月食之公法也皆是凖于地心然有視㑹新法所創也夫月食生于地景景生于日故天上之實食卽人所見之視食無二食也日食不然有天上之實食有人所見之視食其食分之有無多寡兩各不同推歩日食難于太隂者以此其推算視食則依人目與地面為凖葢人目居地面之上與地心相距之差為大地之半徑則所見之食與實食分兩直線各至宗動天各有所指度分是生視差而人目所見之食非實㑹也特為視㑹
黃道九十度為東西差之中限
地半徑三差恒垂向下但高卑差線以天頂為宗下至地平為直角南北差者變太隂距黃道之度以黃道極為宗下至黃道為直角東西差則黃道上弧也故論天頂則高卑差為正下南北差為斜下而東西差獨中限之一線為正下一線以外或左或右皆斜下論黃道則南北差恒為股東西差恒為句高卑差恒為弦至中限則股弦為一線無句矣所謂中限者黄道出地平東西各九十度之限也舊法以子午圏為中限新厯以黃道出地之最高度為中限東西各九十度卽是最高兩法皆于中前减時差使視食先于實食皆于中後加時差使視食後于實食第所主中限不同則有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加時不得合天多緣于此
三視差
視㑹卽實㑹者惟當天頂之一㸃為然過此則以地半徑以日月距地之逺測太陽及太隂實有三種視差其法以地半徑為一邊以太陽太隂各距地之遠為一邊以二曜高度為一邊成三角形用以得高卑差一也又偏南而變緯度得南北差二也以黃道九十度限偏左偏右而變經度得東西差三也因東西視差故太陽與太隂㑹有先後遲疾之變二曜之㑹在黄平象限度東卽未得實㑹而先得視㑹若在黃平象限西則先得實㑹而後得視㑹所謂中前宜减中後宜加也因南北視差故太隂距度有廣狹食分有大小之變如人在夏至之北測太隂得南北視差卽以加于太隂實距南度或以减于實距北度又東西南北兩視差皆以黃平象限為主日距九十度限漸近東西差漸小南北差漸大近之極則無東西差而南北差與高卑差合為一矣距九十度限漸遠南北差漸小東西差漸大遠之極則無南北差而東西差與高卑差又合為一矣葢三差恒為句股形高卑其弦南北其股東西其句至極南則弦與股合至極東極西則弦與句合也
外三差
交食有東西南北高卑三差皆生于地徑然更有外三差不生于地徑而生于氣氣有輕重有厚薄各因時因地而三光之視度為之變易一曰清蒙高差是近于地平為地平所生清蒙之氣變易高下也二曰清蒙徑差亦因地上蒙氣而人目所見日徑之大小變易也三曰本氣徑差本氣者四行之一卽素問所謂大氣地面以上月天以下充塞太空者是也此比清蒙氣更為精微無有形質而亦能變易太陽之光照使目所見之視度隨地隨時小大不一也此外三差之義振古未聞近始得之然論交食至此于理為盡矣
日食初虧復圓時刻多寡不一此非二時拆半之說也其故葢在視差夫視差能變實行為視行則用視差以較食甚前後不免參差又安能令視行前後同一乎新法直以視行推變時刻則初虧復圓時刻不一之故了然矣
交食異算
諸方各依地經推算交食時刻及日食分夫諸方所見日月出没及在天中各有前後不同卽所得交食時刻互異日月二食皆同一理但日食又因視差隨地不一卽太隂視距不一而所見食分亦因以判焉
日食變差
日食古來有推食不食者或算入限不眞或夜食而誤為晨夕此皆不足置論獨有據法應食而實不見食無可柰何遂云日度失行誣天甚矣朝臣有稱賀者㒺上甚矣據新法變差而論必係此日此地之南北差變為東西差故論天行則地心與日月兩心相叅直實不失食而從人目所見則日月相距近變為遠實不得食然惟此地為然若在他方未必不漸見食并全見食也此亦千百年偶遇一二次非常有者也
推前驗後
交食之法上推徃古下驗將來百千萬年當如指掌若悉用古法推歩窮年累月不可得竟矣今用新法諸表遠遡唐虞下沿萬禩開卷瞭然不費功力如春秋以來有比月書食者有不書日不書朔者依法考求斷其是非定其日朔至易也又至當也至欲累求向後若干年應得若干食是皆不用全表但檢交周度表便可得之
五星凖日
推算五星皆以太陽為凖其近太陽而伏則疾行其對太陽而衝則退行且太陽之行又遲疾不一則推五星宜于各本行外并太陽遲疾之行俱入算内始為得之乃舊法于合伏日數時多時寡徒以本星叚目定之故不免有差一二度者計日則或十日或半月矣新法改正
五星伏見各以距太陽之度分為限顧舊法惟用黃道距度如謂太陽在降婁初度歲星在十五度卽定為見限非也須知五星有緯南緯北之分黃道又有正斜升降之勢各宫不同所以加减各異此理未明故有差至一二旬或一月甚且推見而實伏推伏而實見者新法改正
五星緯度
太隂本道斜交黃道因生距度與隂陽二厯卽五星亦然五星相距緯度多寡不一而其斜交黃道莫不與月同理故其兩交亦曰正交中交其在南在北兩半周亦曰隂陽二厯從是各定加减方可合天又土木火三星衝太陽緯大合伏太陽緯小金水順伏緯小逆伏緯大新法一一詳求舊未能也
金水伏見
金星或合太陽而不伏水星離太陽而不見所以然者金緯甚大凡逆行緯在北七度餘而合太陽于壽星大火二宮則雖與日合其光不伏一日晨夕兩見者皆坐此故水緯僅四度餘設令緯向是南合太陽于壽星嗣後雖離四度夕猶不見也合太陽于降婁嗣後雖離四度晨猶不見也此二則用渾儀一測便見非舊法所能知也
五星測法
測五星須用恒星為凖測時用黃道儀或弧矢等儀將所測緯星視距二恒星若干度分依法布算乃得本星眞經緯度分又或繪圏亦可免算
恒星東移
恒星以黃極為極故各宿距星行度時近赤極亦或時遠赤極葢行漸近極卽赤極所出過距星線漸宻而其本宿赤道弧較小行漸遠極卽過距星線漸疎其本宿赤道弧則較大此由二道各極不同非距星有異行或易位也卽如觜宿距星漢測距參二度唐測一度宋測一度迄半度元測五分今測之不啻無分且侵入參宿二十四分此其明驗也然其故至今日始明又宋時所定十二宮次各在某宿度今皆不然正因恒星有本行宿度已東移十餘度矣舊法未諳故所算日月五星過宮俱多舛錯新法改正
舊法繪星僅依河南見界卽中國所見之星亦未全備新法周天皆有不但全備中國見界而已又新法所定二十八宿先後大小俱合天象其分恒星大小有六等之别前此未聞又依各星光測各星性為天文占驗大用亦新法所創有也
天漢破疑天漢斜絡天體與天異色昔稱雲漢疑為白氣者非
也新法測以遠鏡始知是無算小星攢聚成形卽積尸氣等亦然足破從前謬解
四餘删改
羅㬋卽白道之正交乃太隂自南遡北交于黃道之一㸃㸃有本行而羅㬋正對之㸃卽為計都卽為中交矣月孛乃月所行極高之㸃至此其行極遲孛者悖也謂其交轉兩行若相悖云爾乃從前日者之流指羅計月孛為星謂其所躔宿度各有吉凶惑世誣民莫此為甚至于紫氣一餘細考諸曜實無此種行度欲測候無象可眀欲推算無數可定欲論述又無理可據明係前人妄増後人傅㑹今俱改删
測器大備
欲齊七政首重璣衡所藉以驗合改差者器也古厯尚有數種近代靈臺所存惟有圭表景符簡儀渾象等器頗不足用新法増置者曰象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾葢簡平儀黃赤全儀日星等晷諸器或用推諸曜或用審經緯或用測極或用求時盡皆精妙而其最巧最竒則所製遠鏡更為窺天要具用之能詳日食分秒能觀太白有上下弦能見歲星旁四小星塡星為撱形旁附有兩小星昴宿有三十餘鬼宿中之積尸氣以至體微光渺之星用此所見奚啻多數十倍又且界限分明光芒璀璨然此亦西洋近時新増之器百年前未有也欲求倍勝之法必資倍勝之器測器雖不一種然而有渾有平有全有隅其平而隅者較之渾而全者徑廣三倍分細十倍黃赤分器莫不精審舊法未能也
单論求時則晷為最凖葢古法時牌不分方土為用最拙新法之創斯晷必預定各方北極出地之度以故隨處可用且無拘垣壁正側咸可制造或用羅鍼或不用羅鍼且又能于一面視太陽所躔節氣宮次度分及定日之高度定黃道各時之出沒其稱最者則地平晷立晷百游晷通光晷等數種他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等或正或欹之類不啻數十種而此外更有星晷及測月之器以為夜中測時之需云