新法算書卷二十八
明 徐光啟等 撰
月離厯指卷一
步七政次月離者何也曰其故有六月與日視體相若雖偕恒星五緯同借日光而獨能繼照古今以之配日稱為二曜則尊於諸星一也太陽以定春夏秋冬而成嵗太陰以定晦朔弦望而成月嵗與月錯綜損益厯法興焉以知天時以授民事二也日食于定朔月食于定望恒用日躔月離諸行以求食分加時日食之繁倍于月食其三視差皆從月生三也太陽五緯恒星漸次髙逺差數漸微大小髙下難可遽得惟月去人最近差數為大易見易測故測候諸曜皆用月差較量繇顯入微悉能推見四也日與星不並見欲測太陽躔度距某星幾何無法可得古法於晝時測日月之距至夜測月星之距并之得日星之距五也大圜之中百昌庶物生長之縁有二日以暄之月以潤之諸風雲雨露霜雪等皆係于月其在物也各有盈虚消息亦係月之虧復進退其與太陽經緯諸星或㑹或衝或三合四合六合各有順逆承制之理測候推算之法醫家藉此以工治療農家藉此以爰稼穡商賈藉此以行舟泛海六也上五則有關厯學者書中略已論述後一則各有本學兹不備著有此諸端故推步之法宜求宻合而欲求宻合政復未易如日躔之行止有三種月離則有七種參錯之中欲求齊一非明理無以立法非立法無以致用其曲折繁細十倍日躔矣乃勝國至今此學湮廢星官家徒𫝊舊法若求其立法之原與乖違之故即無片言隻字可資考證好學者偶一測驗偶一致思便欲輕言改作不復究本來之條貫求目前之徴實計後世之變遷譬如勺水于河曷甞遡源于星海窮委于歸墟者哉今據西法譯該厯指四卷闡理著數似覺井然厯表四卷條畫分明以步月離經緯度比于舊法可省工力三分之二以步交食可省四分之三其為宻近似復勝之且令數百年後據兹義指得以改憲求合焉謹論列如左月離各種行度第一
月離行度與日躔異日躔恒依黄道其行度三而已隨宗動天西行一也自行二也最髙行三也若月離則有七種行度如左
一曰隨行隨行者自東而西依宗動天一日一周七政恒星共繇之其起算之界為子正初㸃或午正初㸃與太陽同
二曰平行一名本行平行者月之本天自西而東日平行一十三度有竒二十七日有竒而行天一周其界有二一以太陽為界從合朔起算每日去離太陽若干度分以命太隂之本行度分累積之一以宫次節氣為界宫次如降婁大梁等節氣如春分秋分等從各初㸃起算每日去離若干以命太隂之本行度分累積之此行謂之交周滿一周為交終其初交曰正交其次交曰中交其行各及半曰正半交曰中半交 其兩界命兩種行度分異名同理詳下方
三曰自行一名本輪舊名小輪也因小輪非一故改名之自行者太隂之行不平不順有時疾有時遲既爾紛紜無憑布度古厯因想近月四周有一本輪太隂既隨本天循交道即白道東行右旋又依此輪自東而西左旋一日行十三度有竒二十七日有竒而行輪一周此亦平行也而與交道平行參錯不一所以下土視之時疾時遲矣因其疾遲以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本輪則疾時與交行相合遲時與交行相背亦宜如五緯之法有逆行度分此獨言遲不言逆者月行甚疾但見其遲不見其逆也此周謂之轉周滿一周為轉終分四象限首限曰正轉二限曰正半轉亦曰本輪之最髙三限曰中轉四限曰中半轉亦曰本輪之最庳曰最髙衝或省日髙衝行最髙極遲行最庳極疾也最髙最庳之一周又名不同心圏其與本輪異名同理詳見下方
四曰次輪次輪者太隂之最髙既依白道行則月離最髙時其距地心之逺近宜等迨測之則時時不等古厯又想本輪之周復有一次輪循本輪左旋月在次輪之上循周右旋也此法古厯所未有以意命之其行次輪一周名為次轉終也四分之則為小四象第一名正初象第二名正半象第三名中初象第四名中半象也
五曰交行交行者從測候見太隂行白道古法月有九行殊謬元授時厯廢不用獨言白道交周是也一名月道出入黄道約五度有竒不行黄道中線何名黄道中線七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入如太白最逺出入約六度故黄道左右廣十二度名為黄道帶而太陽獨行其最中故名中線也黄道一名躔道而兩交於中線兩交之㸃一名正交亦曰羅㬋一名中交亦曰計都兩交之行自東而西與他行異亦名羅計行度也
六曰又次輪古來無有也萬厯間西史第谷測候極宻得太隂行兩小輪其一本輪其一次輪其各兩半時兩小輪各有正半中半之兩均數與實測之度分往往未合故知次輪而外當有又次一輪此之為數微眇難分其於厯法未關損益故無暇及也
七曰面輪面輪者太隂既依本輪又依次輪各周行即月面宜恒向次輪心下土所見時時旋轉須當不一若之何終古恒如是故當復有本行使面恒下向也此亦未關疎密不復備著
測月平行度第二
測月之法於七政為最難其故有六
其一月天最小距地甚近即地球與其本天有小大之比例乃測器之心不居地心而居地面則所得月軌髙乃地面之視髙非地心之實髙也此在日躔厯指謂之地半徑差
其二有地球與月天之比例乃可推地半徑差既得地半徑差乃以加所測之髙定其實髙不先得此無縁得彼
其三凡得各曜之髙必減清蒙之髙以定實髙各曜之蒙差髙下不等測月者未知距地若干即無差數可減所測髙則非實髙
其四月體恒虧缺不全若用太陽法令其光過窺表即虚淡難見光體不圓亦無從得其中心之光若目察窺表見月體不全無從測其心
其五若測以地平經緯儀或黄赤道經緯儀縱得其經緯度分又以三視差故測得之數無一合者三視差見交食厯指
其六依測日星法以恒星測驗推算而得其經緯度似可用亦因三視差故無一合者
然則何如按西厯古今法則月離度分必於月食時簡知之晉史姜岌亦以月食衝簡知太陽所在不知考太陽之躔度易考太隂之離度難而姜倒用之兩率皆疎矣今法於月食時推太陽之經度其對衝即太隂之經度考大陽經度法見日躔表一卷若日食則不可用何故日食時因于視差是生中食實食視食中食者兩平行所得平朔也實食者加減平朔而得地月日三心㕘直定朔也視食者加減定朔而得其加時先後此地此時人目所見也隨地隨時都無定率故
右法任用一月食皆足簡知行度若求月平行率則用前後兩㑹食取中積平分之其法與日平行相似而難易迥别何者月或全食或不全食或食于南或食于北或于遲限食或于疾限食各各不等顧須求其相等一不等即所得非真率也然兩食猶為未足宜精擇所宜用之四㑹食㕘互稽求以定月厯今詳論其法如左
夫月不平行古今治厯者之公言也欲求平行之率必用擇食之法欲明擇食之理先解不平行之理其徵有二
其一初日測太隂過子午圏註定時刻定時法測星第一水漏自鳴鐘等器次之次日測過子午定時刻如之第三第四日復測皆如之次取各日所註時刻較之必一一不等知其非平行若平行者宜一一等也如一周三百六十平度初日行一百刻次日亦行一周而得一百刻有竒或九十九刻有竒多寡不等其厯時多者必行遲也厯時寡者必行疾也
其二取月食三事各以其中積時相減必有多寡知其非平行 如西測食略所記天啓三年癸亥九月望月食食甚在戌初初刻○五分日九十六刻刻十五分下倣此日躔夀星宫一十四度四十一分月離降婁宫度分同 又記天啓四年甲子二月望月食食甚在丑初三刻○三分日躔降婁宫一十四度二十九分月離夀星同 又記本年八月望月食食甚在寅初二刻○四分三十九秒日躔夀星宫三度五十五分五十三秒月離降婁同 推得先兩食中積時為一百七十八日二十六刻十三分太陽行一百八十度一十二分一十一秒太隂行滿六交㑹置中積一百七十八日二十七刻○一分六為法而一得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微為一㑹望策後兩食中積時為一百七十六日○七刻一十二分三十九秒太陽行一百六十九度二十七分○四秒太隂行滿六交㑹置中積六而一得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微為一㑹望䇿 右前後兩㑹望策不等差三十七刻餘前六㑹積分多必行遲後六㑹積分少必行疾又前兩食間太陽行經度與後兩食間不等其較一十度四十六分○七秒而積分之較僅二百二十○刻八十七分八十○秒經度積時多寡不等足徵非平行也
右二則皆不平行之徵也所以然者其縁又有三三縁者其二在月其一不在月不在月者日躔經度是也前論以月食簡知月離經度謂食甚時二曜經度正相對也然日躔自有贏縮自非恒平何能定月離之平何者日躔有最髙最庳其去地也時近時逺是生地景一名闇虚時大時小時長時短若日躔最髙其景則長則大月之過景加時則多日躔最庳其景則短則小月之過景加時則少此第一差之縁也二在月者一為月轉遲疾也月行遲限則過景時多月行疾限則過景時少此第二差之縁也一為月轉最髙最庳也在最髙月體小又入于小景則過時少在最庳月體大又入于大景則過時多此第三差之縁也
是故厯家設擇食之法擇者導擇也去其不齊之緑以求其齊也不齊之縁第一在日躔經度或在贏或在縮則擇食之第一法宜擇兩食之日躔經度所在等既免此縁則餘二縁在月之本行本輪日無與也
如圖甲為地球乙日體在最庳從乙發光地景則短丙日體在最髙從丙發光地景則長月循戊丁本輪行如在丁近地過丁小景又在戊逺地過戊小景而此二小景等則何從知月在其最髙戊乎或者其最庳丁乎惟先知日躔所在在其最庳景宜短或不至戊或至戊宜更小所見小景者丁也而月離在其最庳也日在其最髙景宜長過月之最庳宜作己庚大景而所見小景者戊也則月離在其最髙也故兩食之太陽髙庳等則景大小等可免第一差之縁也夫景之末地之心太陽之心三者恒相對也地景之行度分即太陽之行度分太陽之髙庳兩食不等即行度之遲疾不等而景之行度遲疾亦不等若髙庳等則兩行之遲疾皆等是故前後兩㑹望皆全食又兩食之黄道同度差自分秒以上至一二度無害即兩景之大小等兩過景之加時等又得其月離之距地心等即其本輪之轉分所至亦等轉分之所至等者距地之逺近等也然月在本輪之最髙庳則其逺其近一而已若在正轉中轉則距地之逺近雖等而在左在右未定也法見下文理本論或用不同心圏其則一
其擇食之第二法即兩食之月距地心等也若同在本輪之最髙或最庳不論左右若欲定其左右則以恒星經度測之若兩食之經度等加時等即其或在左或在右亦等 既得月轉分之所在等即可測食前月體之徑若徑等即其距地必等測月體有本法本論見後篇可免第二三差之縁也
如上言欲求月平行率必用各率均齊之前後兩食欲得此前後食必考於古之𫝊記今考二十一史各天文志大都有年月日而無時刻分秒經緯度數將于何取之不得已借西厯㑹通用之又考古至百千年以上若用朝代年號紛綸不齊若用甲子細碎無紀故近古有虚立積年略如章蔀紀元法以十九年為一章二十八章為一袠十五袠為一總一總者四百二十○章七千九百八十○年也每年為三百六十五日四分日之一每四年加一日為三百六十六日說見厯指一卷今用此推算通以厯代紀年則為法超簡仍不妨符合矣崇禎元年為總期六千三百四十一年
總期之四千二百八十六年為周考王十四年癸丑西史黙冬推定十九年而太隂滿自行本輪之周復與太陽同度每年三百六十五日四分日之一為月二百三十五是為章嵗漢史所謂月行之終復㑹于端也西厯謂之金數用以求月之日求月之日者於太陽月之某日求太隂之日數法以十九數及通閏數測之别有本論崇禎元年為章嵗之第十四通閏得二十四日也西數雖然尚未能確見分齊如漢人以章月平分推太隂各日平行為十三度十九分度之七後世譏其疎漏因而代代改率然不於千數百年間詳考天行得其決定均齊之數未免揣摩影響西史依巴谷用實法考驗定為三百四十五平年又八十二日四刻平年者古法三百六十五日無餘分或一十二萬六千○○七日四刻實兩交食各率齊同之距也于時交㑹轉終皆復其始交㑹者太隂距太陽之行或太隂距節氣之行滿一周為定望也轉終者太隂之本輪自行度亦滿周而復其故處也計其中積凡為交㑹者四千二百六十七為轉終者四千五百七十三
以中積分一十二萬六千○○七日四刻為實交㑹數四千二百六十七為法而一得㑹望䇿二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎古西法以六十分為一日或二十九日五十○刻一十四分○三秒今西法通率為二十九日六時日十二時三刻毎時八刻○五分九十○秒二十七微
求日平行分以天周三百六十度為實㑹望䇿為法而一得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒為太隂一日平行距太陽之度也日有平日有用日見日躔厯指倍之得二日三倍之得三日可列表如别卷以距太陽平行分合太陽日平行分當加以合羅計日行分當減
求通閏以平年日為實日行平分為法而一得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎除滿十二交㑹一年十二月外餘一百二十九度三十七分有竒為一平年三百六十五日之通閏約得為十日有竒也中通閏是嵗實與十二朔之較西通閏是平年與十二朔之較年無小餘以平年通閏加小餘得中通閏
求交分即太隂黄道上之日行度滿一周置太隂日平行分加太陽日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末古測之數得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末用乘法得十日百日乃至一年得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微用除法得一刻一分秒之平行率以滿天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒是為交中分
求轉分即太隂本圏之最髙行滿一周置前中積一十二萬六千○○七日四刻為實以轉數四千五百七十三為法而一得二十七日五十二刻一十一分五十○秒為轉終分又以天周三百六十度為實轉終分為法而一得一日之轉分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末用乘法得十日百日乃至一年得四千七百六十八度或約十三轉外餘八十八度四十三分○七秒四十五微用除法得一刻一分秒之轉率可立表
測月平行次論第三
法用太隂四㑹食其擇法欲前兩㑹之中積平行度中積日其比例與後兩㑹之比例等又第一與第二月行本輪同勢勢者遲疾最髙庳等同者俱在小輪一象限内第三與第四亦然又第一與第二之中積實行度等第三與第四亦然若是則前兩㑹後兩㑹兩中積間月在本輪必各滿自行之周如是均齊乃得實平行度分
解曰如圖已為地心丙丁乙戊為小輪乙為最髙丙為最髙衝即最庳己丁己戊為兩切線凡月在戊在丁其變行之勢亦借名為留
段葢月行甚速留時絶少僅一瞬耳
然遲疾之間度分難測故借名為留
段也
從乙丙分小輪為四象限各象有變形之勢如在最髙乙為極遲最庳丙為極疾丁戊為留詳見下方假令簡得第一㑹時月在辛第二㑹在同象限同在乙丁象限内如同類之行如庚第三㑹在他象限如壬第四在同象限同在乙戊象限内為同類之行如癸即不可用何者上法言所求同行同類同時者必庚所至亦在辛癸所至亦在壬若如圖庚與辛癸與壬各去離若干雖以同時故同行辛庚弧前兩㑹之差與壬癸弧後兩㑹之差必等然一弧之均數用加一弧之均數用減其時平行與行視行不得相等兩弧等者其自行雖等而視行不等故法言庚㑹必仍在辛癸㑹必仍在壬而後為月滿自行之全周
系凡簡㑹食不當在戊與丁兩切線之上葢目在己巳丁巳戊兩視線切圏其所切之處難辨其髙下之準分也視法曰凡斜望圓圏圏作一直線又曰視線切圓圏之兩旁人目謬見曲線為直線其謬直線中間有上行下行者雖動而目視之若不動
此古法依巴谷等所共用其書不全所用四㑹食之行度時日等各率皆無𫝊故略舉其正法如右方
測正中交行度第四
正中交者黄白二道之兩交也正交亦曰羅㬋亦曰天首亦曰隂厯初陽厯末西厯謂之龍頭中交亦曰計都亦曰天尾亦曰陽厯初隂厯末西厯謂之龍尾月行及于黄道曰交月本圏之自行度曰轉而轉終分多於交終分故轉滿一周交終未及恒居其後交不及轉之度即兩交退行之度故謂兩交為逆行也自東而西測法亦用交食而考古無𫝊不能得其真率西史依巴谷如前法用兩月食擇其前後各率均齊如太隂或同在隂厯同在陽厯太陽之自行同度去兩交之兩㸃或前或後同限食分等加時等即太隂之轉分所至等因以定兩交行天若干周而復于故處其原測之中積為交會五千四百五十八兩交行天周為五千九百二十三
置中積㑹數五千四百五十八以㑹望䇿二十九日五十○刻一十四分○三秒乘之得一十六萬一千一百七十七日五十八分西古六十分為一日五十八秒○三微二十五纎為中積日次以中積㑹數乘天周三百六十度得二百一十三萬二千二百八十○度為實以中積日為法而一得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末是太隂距交一日行度
次于兩交日行度去減太隂黄道上行度即平行分日十三度一十分三十四秒五十九微得兩交逆行日三分一十一秒毎年行一十九度○一十九秒四十三微用乘法得積年度用除法得時刻度列表如别卷
以上諸率皆依巴谷古測所定後多禄某歌白尼及第谷各加宻測仍用試法數端推得合㑹之數每年不足為一十四分一十八秒一十○微一十九纎應加轉終分毎年盈為五十四微一十二纎應減交行每年盈為一秒二微四十二纎應減
朔實二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微通得二十九日五十三刻○六分九十二秒轉終二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微
交終二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微
依上三數本法可得大統所用别率及其異同之數通論七政本輪異名同理第五
日躔厯指論太陽贏縮疾遲之理設太陽所行之道與地為不同心圏今論月行亦用不同心圏亦用小輪此二者異名同理葢藉以分布度數指記運行隨人所立期于不爽而止若大象森羅其孰然孰不然或皆不然則非智計所能測也今略解如左
不同心者一圏之内别函一
圏兩各異心也若圏周之上
為小輪如圖甲乙圏内别有丙丁圏戊巳不同心又庚辛壬圏周以辛為心作癸子圏是謂小輪解曰日躔厯既言不同心贏縮今古共知言不同心近而易明月離厯又
言小輪回回厯已著小輪之目因仍用之且諸厯中或
復錯出故宜詮釋同異以絶疑端此法
七政所同今借太陽為解他可類推也
按日行夏遲冬疾春分過夏至迄秋分厯時日多秋分過冬至迄春分厯時日少何故若以不同心圏解之作甲乙丙丁外圏戊為心分黄道十二宫為天元宫次又以已為心作庚壬辛癸圏次從降婁夀星各初度相對作直線必過地心戊而任分庚辛壬癸圏為二必上為大半下為小半己心在戊心之上故也日平行一嵗盡庚壬辛癸圏即夏半周夏至左右春分迄秋分庚壬辛為大分冬半周冬至左右秋分迄春分辛癸庚為小分大分厯時多小分厯時少日自恒平行人從地心戊視之則為贏縮遲疾矣若用小輪則如左圖戊為地心甲乙丙丁大圏名負小輪圏或日帶小輪其周上乙㸃為心作小輪如丁為心己庚為周也小輪從丁向甲乙丙行一年而復日體亦行小
在最庳巳小輪心丁循大圏行
四十五度至壬日從己行小輪
四十五度至庚次丁心行大圏
九十度至甲日行小周亦九十
度至寅丁心至癸日至子心至乙日至丑心至午日至夘心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小輪周上行成己庚寅子丑夘辰未圏即是不同心之圏其心為酉而酉戊兩心相距之度即小圏之半徑
又如上一圖用不同心圏午為日從地
心戊本圏心酉各作線至午成戊酉午
三角形如二圖用小輪子為日子癸為
小輪半徑從地心戊作戊子線成戊子
癸三角形其戊酉午形與戊癸子等戊
酉與子癸等子丑弧與午乙等圈大小不等而
度分等即子癸丑角與乙酉午角等其餘
角午酉戊與子癸戊亦等戊午戊子兩邊等日距地心之度等故則戊酉午與子癸戊兩形等形等則所求之日距地心若干太陽平行自行之差日體大小之類或用不同心圏或用小輪其得數同也
測定本輪之大小逺近及其加減差第六借西古史多禄某及近世歌白泥之論
法用三㑹食測算此多禄某所用
第一食總期之四千八百四十六年為漢順帝陽嘉二年癸酉五月西厯之月今三月初六日子正後順天府時刻一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分
第二食四千八百四十七年為陽嘉三年甲戌十月建戌之月二十四日子正後順天府一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分
第三食四千八百四十九年為永和元年丙子三月建寅之月或建夘初六日子正後三十七刻○五分順天府為在晝不見月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行為一十一度一十四分
太陽太隂兩視行皆為一百六十一度五十五分各減全周是為黄道上兩㑹相距之度
積日為五百三十一日九十三刻若平日為九十三刻○七分
于時月平行距日為一百六十九度三十七分月自行為一百一十○度二十一分本輪行度視平兩行之較得七度四十二分以為加減率平行大視行小用減法為月自行過小輪或不同心圏之最髙在最髙逆行故
太陽太隂兩視行皆為一百三十八度五十五分是為黄道上兩㑹相距之度
積日為五百○二日二十○刻若平日為二十二刻于時月平行距日為一百三十七度三十三分月自行為八十一度三十六分
視平兩行之較得一度二十一分以為加減率平行小視行大用加法為月未至最髙
大圖說 外大圏白道也小圈為太隂之本輪第一㑹月之視行在子平行小輪心在丁庚丑線在丑視行大必在前第二㑹月之視行在午平行在丑平行大必在前第三㑹月視行在未小輪上㑹一㑹月在甲第二㑹在乙第三在丙甲乙丙三㸃以後所用
小圖說即前大圖中之小輪分圖此借古史成法用二小輪一為本輪一為次輪以齊月行似為足矣别有諸家異同之說更僕難罄未能悉舉
如圖以地心
丁為心作午
未丑子黄道
弧大圖言白道者度分相若互言之庚為小輪心依黄道自西而東右旋二十七日有竒而一周天此為交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月體在小輪即本輪之上從甲向乙左旋二十七日有竒而一周本輪此轉周也日行十三度三分有竒太隂日轉自行度也小輪亦分三百六十度與周天等說見本篇第五時所謂月體在小輪之上者乃朔望之也其外非在此見下文
依上法列平行立成表取小輪心行度推某日太隂在某宫某度分即丁庚丑線所指黄道度分也又用測法或㑹食時推算求太隂所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等線定丑丁午丑丁子等角即兩行之差也以為加減之率如大圖三㑹食第一食月在甲去甲一百一十度兩㑹自行相距之度而至乙乙者第二㑹食之月離度也甲乙之間平行多視行少則乙在小輪之右又乙行遲段故月在小輪之上弧推得兩㑹中積視行平行
四十二分即
黄道上子午
也又去乙八十一度二十一分而至丙乙丙之間視行與平行差少故丙亦在小輪之右又丙行疾段則在小輪之下推得兩㑹兩行之差為一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分丙甲之間自行大平行小丙行疾段在小輪下月行丙甲弧兩行之差為六度二十一分以前午子午未二差相減得未子較為此兩行之較又如上圖乙丙丙甲兩弧并即平行少視行多必在最庳之兩旁行疾段故甲乙反之即平行多視行少必在最髙之兩旁行遲段故次定己為最髙從甲從乙從丙作甲丁乙丁丙丁各線甲丁割小輪圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三線成乙戊丙形乙戊丁等形
乙戊丁形有乙戊丁角甲戊乙角之餘甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧得五十五度一十分半為甲戊乙角後凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角其對弧為黄道弧之子午七度四十二分即戊乙丁角以滿一百八十度必四十七度二十八分半依
以角求邊之
比例三角形外作切
圏即乙角對戊丁弧其弦為戊丁線丁角對乙戊弧其弦為乙戊線戊角對乙丁弧
得乙戊為二六七九八戊丁為一四七三
九六半弧度查表求正弦倍正弦得通弦
戊丙丁形有戊角甲戊丙角之餘也甲乙乙丙二弧并為一百九十一度五十七分因乘圏半之為甲戊丙角度其餘為丙戊丁角度八十四度一分半有戊丁丙角戊丁
丙角之弧為兩行之差未子六度二十一分自得戊丙
丁角依三角求邊之比例得戊丁一九九
九九六戊丙二二一二○
先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用變率法通之變率者變兩戊丁為同數他率從之也用三率法次戊丁為第一率次戊丙為二率先戊丁為三率求四率得先戊丙即兩比例之數俱同類得兩戊丁俱一四七三九六戊丙
一六三○二戊乙二六七九八
又乙戊丙形有乙戊戊丙兩邊有乙戊丙
弦也乙丙弧
為八十一度
三十六分若設小輪全徑為二十萬分即乙丙弦為一二○六八四用變率法見前乙丙之先數得丙戊丙丁為某數云某數者先乙丙為一率先戊丙為二率相偕為比例也乙丙之次數得某數算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙弦求其弧得七十二度四十六分一十秒為戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以減全周餘九十五度一十六分五十○秒為甲戊弧其弦一四七七八六為甲戊線甲戊弧於全周為小分則圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁線定己為最髙壬為最庳
次依幾何原本三卷三十六題甲丁戊丁兩線内矩形與己丁壬丁兩線内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并與庚丁上方形等則甲丁丁戊相乘加全數庚壬上方積以開方得庚丁為一一四八五五六次設庚丁全數為十萬用變率法得庚己八七○六是為月天半徑與小輪半徑之比例
次從庚心作甲戊之垂線平分甲戊線于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁先得丁戊戊甲今庚辛線平分甲戊以辛
戊加戊丁得一一四六五七七又有庚丁一
四八五五六求辛庚丁角得八十六度
三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以減半周餘九十三度二十一分半為癸己弧先得甲戊弧為九十五度一十六分五十○秒甲癸半之為四十七度三十八分三十○秒以減癸己餘四十五度四十三分為甲己是第一㑹食太隂未至最髙之度也以減甲乙餘六十四度三十八分為己乙是第二㑹食太隂過最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三㑹食太隂距最髙之度
依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也為第一食兩行之差小輪心指黄道上之丑㸃本行從丑向子則月在子居前平行在丑居後應于平行加丑子度分為視行又甲丁乙角七度四十二
分減去甲丁
丑角餘己丁
十一分于黄道弧為午丑是第二食兩行之差乙在最髙之後月視行未至丑應于平行減午丑度分為視行又丙丁乙角先為一度二十一分以減午丁丑角餘丙丁丑角二度四十九分于黄道弧為未丑是第三食兩行之差丙未至最髙衝應于平行減未丑度分為視行
末第一食月視行離大火宫一十三度一十五分于黄道弧為子太陽躔其衝大梁宫度分同今得兩行之差丑子三度二十二分減視行率得平行小輪心度丑為在大火宫九度五十三分第二食視行離降婁宫二十五度○六分于黄道為午兩行差四度二十一分以加視行率得丑為在降婁宫二十九度三十分第三食視行離鶉尾宫一十四度一十二分于黄道為未兩行差三度二十二分以加視行率得丑為在鶉尾宫一十七度○四分一系因上論可得小輪半徑庚壬與月天半徑庚丁之比例二系可得兩行之極大差法從地心丁作丁夘線切小
何三卷三十六題丁
形與己丁壬丁兩線矩内形等今先有己丁壬丁兩數以相乘開方得夘丁既夘丁庚形有三邊以求夘丁庚角是為兩行之極大差此差古今測法同得數小異别有圖表見後卷五度一分上法用不同心圏得數無異
測本輪大小逺近及加減差後法第七
法同上用三㑹食此近世歌白尼法今時通用
第一食總期之六千二百二十四年為正徳六年辛未十月西厯之月今九月初七日子正後二十八刻順天府時刻下同月全食太陽躔夀星宫二十二度二十五分平行為二十四度一十三分
第二食六千二百三十五年為嘉靖元年壬午九月初六日子正後三十一刻月全食太陽躔鶉尾宫二十二度一十二分平行為二十三度四十九分今作八月
第三食六千二百三十六年為嘉靖二年癸未八月二十六日子正後四十二刻一十分月食太陽躔鶉尾一十一度二十一分平行一十三度○二分今作八月
前兩㑹食黄道上相距之中積視行度減全周為三百二十九度四十七分中積日為三千九百八十七日平時三刻一十分于時交周上中積平行度減全周為三百三十四度四十七分本輪自行減全周為二百五十○度三十六分因自行度是生平行視行之差五度以為加減率中積之視行大平行小故月在小輪之右
後兩㑹食黄道上相距之中積視行度為三百四十九度○九分中積日為三百五十四日平時十二刻○九分于時交周上中積平行度為三百四十六度一十分本輪自行為三百一十六度四十三分因自行度是生兩行之差二度五十九分以為加減率中積之平行大視行小因差少月仍在小輪之右
第一食月在甲從甲數前二㑹之自行中積二百五十度三十六分至乙即乙為小輪周上第二食月離所在而乙甲餘弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧為午子五度是人目所見黄道上兩行之差
又從乙第二㑹月離所在過戊申數三百一十六度四十三分至丙即第三㑹月離所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧為午未二度五十九分是黄道上兩行之差
又乙丁甲角去減丙丁乙角餘甲丁丙角為子未二度○一分為黄道上兩行之差
次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以減全周餘一百九十七度一十九分為丙己甲弧是周之大半即周之心在其弦内次作丁庚丑線定己為最髙從甲從乙從丙作甲丁乙丁丙丁各線丙丁線割小輪圏於戊次作乙甲甲戊戊乙三線成甲乙戊形
乙戊丁形有戊丁乙角二度五十九分又有乙戊丁角丙戊乙角乘丙乙弧二十六度三十八分半其餘以滿一百八十度為乙戊丁角一百五十三度二十一分半即戊乙丁
角第三為二十三
度三十九分
三十○秒以
求各腰倍角之數求其弦即對邊之數得乙戊邊為一○四二戊丁為八○二四
次甲戊丁形有甲丁戊角未子二度一分有甲戊丁角甲戊丙角乗甲己丙弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其餘為甲戊丁角九十一度二十○分半即有戊甲丁角有三角求其邊若戊丁為八○二四則甲戊為七○二
次甲戊乙形有戊乙一○四二戊甲七○二兩邊有乙戊甲角乗甲己乙弧二百五十○度三十六分半之為一百二十五度一十八分求甲乙得一二二七
若小輪之半徑庚壬為全數即因甲己乙弧之度推得甲乙弦又用變率法推乙戊戊甲戊丁各線與庚壬全數為同比例之數算得甲乙為一六三二三戊丁為一○六七五一戊乙為一三八五三有戊乙弦即得戊乙弧為八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其弦得一八八五○為丙戊以并戊丁得一二五六○二
次依幾何原
丁丁戊兩線
内矩形與己丁丁壬兩線内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并與庚丁方等則以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方庚壬全數為一萬一萬萬并為積開方得庚丁方之邊為一一六二二六次設庚丁全數為十萬變庚壬為八六○四是為月天半徑與小輪半徑之比例與前古法所得小異
次從庚心作丙戊之垂線平分丙戊線于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁一一六二二六有辛丁先得戊丁一○六七五一又有丙戊一八八五二半之為辛戊九四二六以并戊丁為一一六一七七求庚丁辛角得一度三十九分為未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分為癸壬弧并丙癸先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其半為丙癸七十度二十九分得一百五十八度五十○分其餘以滿半周為丙己二十一度一十分是第三食月距小輪最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分為其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三
度五十一分
為其距最髙
之自行
又己丁丙角為未丑一度三十九分月在平行之後則第三食平行内應減未丑丙丁乙角為午未二度五十九分月在平行之後則第二食平行内應減午未兩角并得午丑四度三十八分為第一食應減之數而甲丁乙角先得五度因月在小輪下弧則為應減之數一加一減相準餘壬丁甲角為丑子弧○度二十二分則第一食平行内應加丑子
末第一食月視行經度離降婁宫二十二度二十五分減丑子弧二十五分視行内應減平行内應加得平行為在降婁宮二十二度○三分第二食月視行離娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行為在娵訾二十六度五十○分第三食日視行離娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行為在娵訾宫一十三度皆食時之經度也
依前法用太隂加減差表定前後兩㑹食之中積時可得太隂之平行率又用上論求兩食之本輪自行度若此兩率之距本輪最髙或最庳等則所定平行率為確合
如前本篇第六所用第二㑹食為總積之四千八百四十七年係漢順帝陽嘉二年多禄某所用其各率見本章 又第七所用第二㑹食為總積之六千二百三十五年係正徳六年歌白尼所用其各率見本章其中積率為平年三百六十五日一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其間交㑹滿一萬七千一百六十六周其自行本輪亦滿全周則為確合今依上古法推依巴谷在周顯王時減全周外餘三百五十九度四十八分○七秒轉周不及交㑹一十一分五十三秒依中古法推多禄某在陽嘉年減周外餘三百五十九度三十七分四十九秒轉不及㑹二十二分一十一秒依近世法推歌白尼在正徳年減周外餘四分則知近世之法視古為宻葢測驗推步一二千年積功力積智巧所定諸法漸次加精故也
定太隂平行自行之厯元第九
厯元者於某地之某年月日時刻定某曜躔本天之某度分為推步之根本上遡既往下迄將來靡不準此或加或減以得隨時所躔各度分也
今擬定崇禎元年戊辰天正冬至後子正初刻為厯元其地則
京師順天府定為厯元之本所厯元則上下推步略同古法論地則自唐至元有測驗北極出地之法是為地之緯度若其東西經度從古未有也今立法以本府為根其南北北極出地三十九度五十五分有竒九服皆隨地測驗東西則以本府為初度初分九服依此為準或加或減推算各地本時本曜之各所求度分别有本法本論如後卷
右北極出地度通為四十○度四十九分有竒中西二率悉與古法不合葢前人未悟地半徑差蒙氣差於兩至所測之髙應加應減故也說見日躔厯指
用厯元前一月食之嵗月日時及厯元之嵗月日時取其中積日求太隂之平行若干度分減朔䇿一交㑹之全周餘度分為厯元之平行度分則朔應也又考月食時得自行若干度分亦算中積時之自行若干度分兩數并得為厯元之自行度分則轉應也