新法算書卷七十
明 徐光啟等 撰
交食歴指卷七測食分
算食而不測食将何以攷其法非强天即自欺故必隨測隨算了了於目了了於手則視差視徑時分俱凖而法乃得矣
測太隂食分
常法全頼目力因分太陽徑為一十分太隂徑亦如之食甚時則以所見不食之徑約略不能見之餘分設并見失光之體庶㡬所食有半者依此以測猶可此外則多有謬焉何也太隂未食以前欲用器測全徑食甚時又測光所存之餘徑此際甚難其光微又無從定中線故且不正合于法今補此闕用太隂地景兩徑之比例及太隂見缺之邊如圖地景心在丙得乙戊辛弧為邊太隂心在甲以
其乙丁辛邊弧入景中為所缺自乙
至辛作直線更一直線聯其兩心及
丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之邊乙丁辛為六十度因半之于丁得乙丁對乙甲己角為三十度必餘角甲乙己為六十度甲己乙直角故甲乙割線二萬乙己止一萬則以甲乙與乙丙之比例一與三是乙丙得六萬為丙乙己角之割線查八十度二十四分本角之切線五九一二三六為丙己而甲己為甲乙己角之切線一七三二○五兩切線為甲丁及丙戊所减甲丁與甲乙丙戊與丙乙自相等餘丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九為甲乙二萬分比例之分因以推太隂之食分盖設太隂半徑得一十六分與之相乘用二萬除得食二分五十一秒度數之分即徑分止有五十三秒以此測雖微有差所推徑分終近矣
測太陽食分
宻室中對太陽開小圓孔以受其光因孔小出光之體大則所正照之光必為角形其底在太陽其角在孔之中夫光一入内又復展開為角形以致底所對之牆轉其原形以上為下以左為右使牆與光直角相遇則底為圓形不則為圓長形使孔不圓且小則光底在牆或彷彿孔形而所像太陽之形大都不眞何也太陽孔牆三者皆有逺近大小之比例盖孔距牆得其本徑數與太陽所距本徑數等則光底在牆必像太陽圓形及孔之多邊形各等為雜形若兩徑數不等而太陽距牆得徑數多則光底失去原形轉隨孔形得徑數少則光底必因之愈少故測食者恒設孔小而圓乃可逺近無差因以牆上所缺之形徵太陽所食之分法以規器于紙上先畫大小不等數圓圏各以徑分之其徑以十或更宻平分之臨測室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光為凖既合便轉紙使其圏徑横過餘光形中平分兩角則光缺之界即所食分數方光與圏合時遂以筆于光景間微識三四小㸃求心因之作圏略得太隂掩太陽大小之比例如圖甲乙丙丁為太陽食外
之餘光正與甲乙丙圏界相合其心在
戊其徑與丁以直角交景而平分甲及
丙兩光角則得太陽食七分有竒更取
三㸃為甲丁丙以己為心㡬何三卷二十四題以甲丁丙辛為太隂乃以己丁較戊乙亦得日月兩徑大小之比例日食射光之容
測日食以最微之孔對照之西土用綠色玻瓈僅見日周俱掩去餘耀反照則用水盤欲細則以平面鏡所接之光反射牆上可略得分明苐對照水中反照皆非實測之法惟射光于牆略近然因尚容次光亂其景猶未足故前以宻室測食之分為本法今再全觧之欲光從外入室内以其形正彷原形盡乎大小之比例倘孔非最小㡬何稱無分㸃之小而圓則太陽食照必畧變其餘光之角形為不彷原之一又太隂掩太陽其徑略小即失天上視徑之比例為不彷原之二因徑小所食之分較天上之眞分亦少為不彷原之三三者皆歸一緣盖接光之孔稍廣則從中心攝太陽之形全顯于牆或紙亦併周孔邊之每㸃全進焉乃每㸃所進射之形雖圓其出外與
復與之平行且内抱中心所射之形
亦與之平行如圖乙丙丁界内為光
即太陽總形也其内圏壬庚癸為孔
太陽大不可比其光一入復寛為戊己辛形與内圏平行以其中心甲與太陽正對故以逺近之比例可推本形甲戊半徑與太陽視半徑大小之比例然庚内圏之㸃射太陽形為丙己辛較于中圏更以戊丙徑線出外戊丙與甲庚孔之半徑等而壬癸及餘㸃皆射圓形則外得乙丙丁總圏其甲丙與太陽半徑無大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以兩形合别為雜形今測太陽設圓孔原形無從可變除上為下左為右而食之時其自變形露角射于宻室内又與孔之圓形不合因而損其角似圓矣如圖太陽食之餘光實為甲乙丙丁乃從甲孔之心射入以丙丁乙弧不異于孔形而丁甲乙角
形則異矣故本界四周以孔半徑展
開甲戊丙己乙辛丁壬皆半徑外得戊辛己壬為
總界與前圖所觧同則以辛己壬弧
元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其
彷之之規必依孔半徑故丁乙各為心得壬癸及辛庚弧皆變為圓角耳
依本食圖丁甲乙弧為太隂掩太陽之邊其心在癸從癸心出直線至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之過庚為圏而從其甲心引直線至壬至辛至己因甲乙丙丁為日食餘光之真形實
合于原則癸甲與甲丙或癸乙與甲乙癸丁與
甲丁甲丙甲乙甲丁皆太陽半徑癸甲癸乙癸丁皆太隂半徑得真大小之
比例亦與原視半徑全合今宻室之中辛己壬
戊光形實以甲戊孔之半徑周展其界則太陽
亦展半徑自甲致之于壬于辛于己而甲辛與甲癸太陽半徑之比例必過甲乙與本甲癸之比例太隂半徑亦然移癸甲為癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙與癸戊之比例又大于甲乙與癸甲之比例而甲辛愈大因甲辛大于甲乙故可徴兩徑在光形宻室之中比于兩徑實在食時必依孔之廣狹變其大小未嘗正合焉室内測食食之分有定差
依前圖總光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏則甲乙
元為食分與丙乙太陽全徑實得比例
今總光形之徑己丁較之丙乙長兩孔
之半徑即己丙及乙丁故本徑與食分變比例
線得大小之理若丁戊光形食之分則既乙丁與甲戊等亦自與甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣
或問測食與算食分數不合而每每所測分數恒不及必因食形假耳今欲改為真形從何法得曰以太隂半徑加孔半徑于太陽餘光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即從甲太陽形心及丁太隂形心推定也
定食分及兩徑比例必係真光形
推算食分以定多寡法以兩曜視徑較于距度求之今欲于所測對騐亦以日月兩徑以其兩心相距㡬何即可得矣但測時因太陽行速依前法于形中㸃號以求徑並距孔時逺時近就景于先所畫圏亦不易故紙距孔須定度用窺管前開小孔後置白牌彼此以平行相照可免多圏多量之煩受景之底大小依逺近如圖外有己壬辛大圏為定周分
度數共作四象限用以取食方向見下文中有乙
戊丙丁小圈以甲為軸能轉動此乃受
光形之圈故以丁戊指太陽全徑以甲
上安量尺即戊丁中空以兩旁與圏徑平行其尖鋭直至大圏以能指度為用量尺上仍有方尺為乙丙中開一小陷道以合于下前後可任進退將用渾器對太陽時便轉中圏令其徑平分餘光之角隨以方尺就之其交徑之㸃必用號以識之有光無光之邊交徑㸃亦然
即以此定乙甲丙弧分食與不食之
形不須别㸃如二圖設乙丙丁戊為
太陽食形得心在甲丙戊為徑以方
邊交于戊今依孔半徑得己庚作壬庚辛直線與方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺為垂線必自為平行線因而庚己亦于方尺為垂線因作法盖庚己為丙己徑之分則庚己壬丁辛乙三線皆等既等而庚己為孔之半徑則餘兩線亦各半徑可知壬辛兩㸃當孔中心為真形之鋭角則日月兩邊實于此㸃相交而壬癸辛為太陽壬子辛即太隂兩弧中必食分外則為所存光之真形也
或問真原形既定何以依之推兩徑之比例及太陽食之分數曰孔與形相距之度與甲癸真形之半徑若全數與原視半徑之切線查表得太陽視半徑試以全形為一百分孔徑一十分相距萬分一百减一十餘癸丑為
九十半之得甲癸四十五以算終得一
十五分二十八秒度數之分論太隂半徑此
以庚辛中比例線求之蓋先以庚癸太
陽徑分求庚辛見㡬何三卷三十五題次以庚子
與庚辛若庚辛復與庚寅得全子寅論食分則癸丑與一十平分若子丑與食之分或若癸子與未食之分于十分相减餘則為所食之
用方尺量食之形或景淡而景符無處可用欲以所測推太隂視徑未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受
光形之表中有軸能令小
輪轉動輪上定量尺隨以
同轉則因以載方尺而外
指度數矣此則兩尺俱不
用本小輪改為方形如圖甲為表中之軸亦為太陽景心先依太陽在本圏某宫度取視徑作圏乙丙丁戊則大方形也轉以甲軸以辛為表鋭用鋭以指外圏之度左右大方形開兩小陷道能受小方形為己庚癸壬此中亦有小圏即掩太陽之太隂也周圏先去孔半徑形得圏大小不等預以引數取定或備數面以待臨期更換亦可其四圍小方形開空止存六小條與方相連以支圏將測用大方置衡上長方尺為衡其圖在下前所言窺管亦可與孔以定度相距小方貫入其前令中圏以邊合于景食甚時見本圏上方餘光先至而左右尚未及必圏小宜換大若左右先與光齊而上方未及則圏大宜换小總以正合為凖萬厯二十九年辛丑冬至後兩日苐谷門人在西土測日食用本器大方中圏設一百一十分小方圏七十五分兩數總而半之得九十二分三十秒即初虧時太隂與太陽以中心相距之分任取無度數之分故至食甚時所見食之分略得八分此中必减去餘分乃兩心相距之分苐先定太隂視徑因小方圏正食于景而設徑有七十五分二十八秒以加孔徑一十六分三十○秒總得九十二分以此求度數之分得太隂在最髙本徑三十分三十秒若求食之分因當時形中得食八分徑平一二分之十分以比例法算得七十四分任取分之分與兩心初虧相距之分相减餘一十八分三十秒化為度數之分得六分○八秒光形一百一十分减孔全徑一十六分三十秒餘分為法數太陽在最痺徑三十一分為實數
算得六分○八秒如圖甲丙太隂半徑减甲
乙兩心之距餘乙丙為九分○七秒
為二十四分三十七秒度數之分即月體
掩日之分故以三十一全徑為法以十二平分為實算得九分三十二秒即太陽實食之分較于形中所見食多一分三十二秒矣
或問測食常法因難分食與未食之徑不待言矣今室中測食雖能明分之而所見食分非真食分所測徑非真徑則古測又奚足用曰因分得日月兩徑大小之比例及明暗之界即推真食分及真徑之根蓋古之定日月兩徑多依此測不能無差今從而改之此外尚有測其徑之多法見月離厯指
以真視徑比例推食之實分
測食者于室中任用器之長短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列視徑表定食分為止法以所測之光形作圏以光景之界弧求心㡬何三卷二十五題即太隂心亦作圏必量兩圏徑用比例尺或預分定數百平分之線得各分數若干總而半之即于兩曜視半徑并分數等何為分數等也日食形内光與景各失其本然止以邊論則猶是若兩心相距則非矣盖兩心相距與原形恒有比例因彼所張此反損各半徑與原半徑不合而兩并與原并數則有合焉故以此總兩半徑量之分與彼總兩半徑度數之分之比例各本分或日或月推相應之半徑形中非真半徑與真半徑比較得差數因以復推食分加于測食分即得所食之實分矣
假如萬厯十八年庚寅七月朔苐谷門人在西土測日食見食六分正依十二徑分大統亦能見推食五分有竒依十徑分光景各半徑并得四十七分太陽近最髙得半徑一十五分○二秒太隂距最髙四十餘度得半徑一十五分二十五秒兩半徑并為三十○分二十七秒即與前四十七分等故一為法一為實求二十三分太隂或景任取之分相應度數之分若干算得一十四分五十四秒比太隂視半徑差三十一秒而差數或加或减于太陽半徑則以真半徑為法當差數加也推得六分一十三秒孔小故受景正而測之分比推算之分略近為真食之分
又一法用逺鏡或于宻室或在室外但在外者必以紙殻圍窺筩以掩餘耀若絶無次光者然而形始顯矣葢玻瓈原體厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小為大可用以細測以小為大非前所云光形周散也因鏡後玻瓈得缺形光以斜透其元形無不易之使大見逺鏡本論然距鏡逺近無論止以平面與鏡面平行開闔長短俱取乎正光中現昏白若雲氣則長邊有藍色則短進管時須開闔得正餘法與前同崇禎四年辛未十月朔在于厯局測日食用鏡二具一在室中一在露臺兩處所測食分俱得一分半徑分十分先依順天府算以太陽引數三宫二十七度取視半徑一十五分四十二秒以太隂引數五宫一十九度取半徑一十七分五十八秒半徑俱悞用大故并而减太隂當時視距度二十七分二十二秒餘六分一十八秒因算得食二分試依新列表改之則太陽得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而復减視距度餘五分一十六秒算得一分四十三秒為真食分必如鏡所測也夫鏡所測形為丁乙丙戊即太陽食邊之下映者與實在天所食之形相反大光過小孔之
故依丁乙丙弧求己心即太隂
心設其半徑己乙為五十分甲
戊四十八分兩半徑并得九十
八分皆比例之分為法數兩半徑又
并作三十二分三十八秒度數之分為實數則以太隂五十分推得一十六分三十九秒為己乙度數之分必較于己壬真視半徑得差三十八秒為乙壬今論徑分以十分分之以三十八秒算得一十二秒宜加所測之辛乙一分三十秒總得辛壬為一分四十二秒正合于所算食分矣
或問逺鏡前後有玻瓈在前者聚光漸小至一㸃乃在後者受其光而復散于外則後玻瓈可當一㸃之孔何所射之光形不真乎曰後玻瓈不正居聚光之㸃必略進焉以接未全聚之光乃復開展可耳見逺鏡本論故謂此當甚微之孔則可謂當無分㸃之孔則不可所以用鏡測者縱或不真然較之不用鏡者不但能使所測之形大而顯亦庶㡬于真形不逺矣
古多祿某以交食占驗欲定何州郡則以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太陽視經緯而以所測定其視行也
測日食方位
太陽本食或正向南北東西則目力所及一見能决惟不盡出於正而偏有所距則因以分别所偏若干定分數多寡此必實見之測乃可得耳前論食分設兩輪盤并在一平面上與太陽正對亦與外耳進光者平行其下
大盤不動分以過圈徑從徑左右邊分全
度數用以測食方向上小盤則能運轉載
量尺與下輪邊以對度數為主将測全器
對太陽下盤之徑線對髙弧以光形之角
較本線或正或偏因推所向方位設兩輪
底方以直角安表衡上為甲乙與外耳戊
正對太陽毫不偏于左右則乙戊衡正居
過天頂及太陽圈之平面前所云髙弧也而甲乙
有木矩架為丙丁己全形見月離三卷以丁己柱正立取地平柱端作運軸使衡能上下轉以入架腰定丙乙太陽出地平髙度而全架則又周轉如轆轤也用法日食時表衡對太陽以甲乙方之面正受其景則上下輪環轉而方尺與餘光兩角或積或平行其量尺所指輪邊度分即太陽本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太陽髙度則得時分因得太陽及髙弧距正東西以加或减于日食之角偏去髙弧度分終得食景偏去正東西度分設衡下無架可分太陽髙度則以别法求時刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直線及渾衡亦合于髙弧圏之面若不用量方兩尺依前第二法用兩方形有圏者以上方進入下方之中圏直至形前掩景周圍與光齊而左右小條當方尺與兩餘光之角或相積或平行其外鋭亦指本景所向之方與前同如太陽初虧測方向得偏髙弧距三十度太陽出東地平髙四十一度三十四分躔降婁宫初度因得己時髙弧距正東四十八度○四分或查表或以三角形算减食方向距髙弧度餘一十八度○四分即初虧向西北度若太陽復圓其方向髙度時分皆如前則一十八度○四分為復圓向東南度又設方向距髙弧過象限三十度角上左旋髙度時刻俱同前則與髙弧距正東相加得七十八度○四分即初虧向東南復圓向西北度初虧向東南復圓必不在西北此盖指前後兩食論也
或問所測方向距髙弧線之度何以知其宜加與减于本髙弧距正東以得其自距正東之度曰日食時設有大圏徑過日月兩曜中心左右至地平此即太陽失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧則向位距正東或正西之度與髙弧距子午圏之度等地平圏上算本圏合于髙弧通為一圏則髙弧至地平所指度亦為本食所向度若夲圏斜交髙弧則以下輪盤外圏因知兩距度宜加與否兩距度者過心圏距髙弧髙弧距子午圏者盖午前過日月兩心之線測得在右上象限或左下象限宜加餘象限冝减午後則反是不拘初虧復圓或見日食餘光之上角在髙弧及子午圏線中則過心線之距加于髙弧子午兩線之距此在午前後共法設甲乙丙丁為下輪盤之外圏分四象限各象限分九十度甲為天頂甲丙線當髙弧甲己甲戊皆子午線中小圏即太隂掩太陽者或食
甚或初虧復圓時在其東西南北及中
央皆一類天上向位在西圖中反在東諸方皆如此設庚為
太陽過兩心之線為庚乙因以直角交
甲丙線其至地平必兩相距正九十度
故丙距己地平上算乙距正東之度皆等又設辛為太陽則過兩心線與甲丙同為一線故甲丙所至地平度亦為太陽辛食所向之度也又設壬為太陽則以壬癸過兩心線者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角因太陽壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午後故得總或餘角以定日食向盖過兩心之圏恒指向位又恒隨髙弧設髙弧與子午圏全合為一必過心圏以直角交者所指向位在正東食復圓時或正西食初虧時若斜交則因角大小不等食形所向度距東西逺近亦不等其髙弧不正與子午圏合而相距在其左右則過兩心圏雖以直角交猶隨髙弧距正東西左右若斜交則本圏更距東西不等盖以此兩故求其距度直至與髙弧合則惟髙弧定距度也以長圓形求日食方位
前論宻室測日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正對太陽其景必圓今以斜對之平面亦在宻室中受景孔仍如前小則所得形必長圓凡地平距黄道内者對太陽宜斜其
長徑線可當髙弧法用白紙置地平
上任置何處宜與地平等令受日景必自為長
圓形次于本形兩端各識數㸃又于
兩光缺角亦各識一㸃以便用規器
取食偏距髙弧度設乙丙為長圓形
之大徑當髙弧線求丁戊景缺偏距乙丙線若干則平分徑于甲以甲為心丙為界作圏次與甲丙作垂線過丁戊兩角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直線則得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角設丙辛乙半圏分一百八十度以規取丙辛弧定度分若干試依先測之横徑若未測以太陽髙度求之以甲為心作中小圏從兩光缺角引直線與長徑平行至本圏之邊得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直線者交于小圏之弧為兩平分則知先所取丙辛食方向距髙弧之度無謬也
因長圓形之心不正居光角形之樞線而横徑較光角形之正底亦微過焉故欲求其正設角形中線至子以太陽髙度之餘推子乙子丙則于本髙餘度加一十五分太陽半徑依引數取又减一十五分得三不等度查各度切線以
相較得乙丙長徑之正度也如甲乙丙為光角形至地平乙戊因斜遇為長圓形其長徑為乙丙太陽在甲當髙三十七度餘五十三度角形樞線甲子則戊子為五十三度之切線减一十五分餘五十二度四十五分其切線戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切線為戊乙今戊乙减戊丙餘二四○九為丙乙即形中長徑也求横小徑則全數與太陽距天頂之割線若太陽半徑之切線與横小徑算得一四八六兩徑自較得一十與一十七之比例欲各較于全數設全數為十萬因此依前圖算設乙丙為大圏之徑則以本比例得小圏作長圓形引丁己及戊壬垂線如法半之終得辛甲丙角為二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏與前法同測月食方位
治銅為一匾圏約寛二三寸許周分三百六十度其圏内俱開空止留四線如十字交羅中心交羅處安量尺方尺其尺徑較圏徑略長皆能旋動與前測食分器同将測時從初度取上下正對太隂以垂線取凖地平轉其方尺令對兩餘光角則量尺抵邊所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不顯必室外測乃可若用地平經緯儀上置前圏以象限載之轉中線對髙弧須凖與地平合可免算髙弧距正午度
又簡法以界尺對兩角令其或取恒星或五星同居一直線上加太隂髙差以髙度于本表取得其向恒星若干免以髙弧復求别距度何也因切兩角之線其過景邊交月邊處必俱以直角交過月景兩心之線故得角與星居一直線則從此相距九十度逺者必為本食所向之方矣太陽初虧能向東復圓能向西否太隂初虧能向西復
圓亦能向東否
從來論日食者俱以初虧向正西或西南或西北復圓即向正東或東南或東北月食初虧向東復圓即向西或偏東偏西此定法也今細考之殊多不然盖初虧復圓兩向相反者此非一食可有之事必兩食而日月體不全食或有之先以月食論如圖以甲為心即地景之中心以其半徑為界作圏從上至下引乙丙直線可當髙弧横作丁戊當黄道斜入西地平下得乙甲丁為其兩
圏之交角又作己辛直線與黄道線
以直角交于甲心設太隂本心在己
或在辛此為定望故甲己甲辛各為
月景各半徑并與距度等又己為隂
厯漸小必己庚白道距黄道漸近辛為
陽厯漸大必辛壬白道距黄道漸逺此太隂未及辛先與甲近彼太隂過己後漸與甲近兩者未免微有食距度比甲己甲辛兩半徑并較少故其所食大則從甲心出直線至白道以直角所交之㸃下為癸上為子是也試以甲癸或甲子當五十八分較甲辛甲己略少兩半徑并共六十分則五度最大距度之割線與全數若五十八分與兩心之距月心地景心得五十七分四十七秒餘二分一十三秒變為食分即四十四秒故依圖一食之初虧在己他食之復圓在辛而復圓向東初虧向西者此耳可遂守為一定不易之成説哉
若東地平黄道斜升其上亦與前同設癸子為黄道乙甲子為黄道交髙弧之角則丁戊線以直角交黄道者上有丁為隂厯漸小而壬丁白道與黄道漸近下有戊為
陽厯漸大而戊庚白道距黄道漸逺必
辛一食之初虧向西丙他食之復圓向
東萬厯四十一年癸卯十月十六夜大
統厯官報月食四分四十八秒初虧子
正三刻復圓丑正三刻西土第谷門人
測三分强總時得八刻弱與大統略合但先後兩處不能不異盖此中土太隂初虧略過子午圈彼西土出東地平髙未及二十度因行陽厯而距正東去北其初虧向正西復圓偏西南
論日食其方向之變不但以黄道斜升故即視差亦有之盖降婁東出必黄道交地平角漸大至鶉首出則愈大故太隂在地平上不論何宫度其隨宗動徃北甚多以本行去南反少氣差亦少而太陽夲食距赤道南午後其初虧可向東距赤道北午前復圓可向西又壽星出則至降婁為半周本角漸小太隂去南較其本行回北己多必氣差更大而太陽距赤道北午前初虧可向東距赤道南復圓反可向西今試以黄道斜升之故設太陽在降婁一十五度出東地平髙一十○度北極髙四
十○分視距度分雖不全食約有三分之一
如圖丁壬為地平丁庚為黄道兩圏斜
交于丁則戊為正東壬為正午庚癸過
九十度限之弧髙有三十度太陽在甲
髙一十○度太隂在乙初虧距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙兩心之距當三十一分日月各半徑并求甲角以定甲乙過兩心之線至地平何度即本食之向位盖甲乙線與乙丙線若全數與甲角之正弦得甲角為四十一度四十八分餘對角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊為直角庚丁癸角三十度必餘丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度則全數與甲戊髙弧之正弦若甲角之切線與戊己弧之切線圖中設為直線天上實為弧得戊己為三十九度四十四分因髙弧于此至正東則戊壬為九十度减戊己弧餘五十度一十六分即所向偏東南過子午圏東之度若設隂厯太陽復圓皆同度則太隂在辛而己辛弧又北過子午圏向西北亦距北之西五十餘度
若氣差變向之故則如萬厯二十七年己亥七月朔苐谷測太陽東北出地平日躔鶉火初度故其本體之頂有缺則必西南為所食向方又太隂雖行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得氣差少則復圓尚居太陽西而本食方位已不可轉而東矣又萬厯十六年戊子正月朔太陽躔娵訾七度有食初虧在午後六刻第谷測其過日月兩心之圏距髙弧偏西七十二度有竒復圓在未正三刻半又測得本交角尚有一十二度兩弧相距可徵尚未向東而初虧食甚復圓皆以西為方向矣如圖甲乙當髙弧丙丁為黄道太陽在己太隂在戊過兩心之
時躔度及北極髙度五十五度五十五分先定
甲己丙髙弧交黄道角為五十四度
二十四分則餘對角一百二十五度
因太陽半徑一十五分二十秒太隂半徑一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒為己戊線太隂距北一度○八分减氣差四十三分○五秒餘二十四分五十五秒為丁戊線因而丁為直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分與甲己丁角相减餘七十二度五十一分為初虧距髙弧向西北度論復圓則
甲己丙交角有四十四度四十四分
太隂距度一度○五分减氣差三十
八分四十四秒餘二十六分一十六
戊角五十七度○三分减甲己丁角餘一十二度一十九分為戊己距甲己髙弧即復圓向西之度當時太陽初虧鶉火宫二度復圓本宫一十五度出東地平故黄道髙太陽近北氣差漸少令太隂距太陽不能復過東矣假使北極更低必得黄道愈髙太隂徃北减氣差愈多因知復圓距東更逺萬厯二十三年乙未八月朔第谷門人在東西兩處測驗或得食二分半或得食三分蓋在西者測太陽初虧微過正午故髙弧與子午圏略同而向位距本圏偏東尚有九度在東者測太陽後一刻有竒得其初虧正向天頂則地平北子午圏之東是其向位也從是知初虧向西即復圓向東非定論也且初虧不盡向西復圓不盡向東又已彰明較著有如是也成法悞人可勝浩歎
以方位算太隂視經緯
萬厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初虧後測食約有一分十五分一刻十二分一徑太陽徑線三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引數所定其本食所向過兩心線交髙弧者測得九十度正為直角如圖甲乙丙為子午圏丁為赤極髙依本地四十七度○
二分丙為天頂太陽在己以丙己為髙弧
丁己定距度弧太隂在壬因日月各半徑
并得三十一分四十○秒减二分三十三
秒即所食一分化為度數分餘二十九分○七秒為己
壬日月兩心相距之分又丙己壬角測九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道視緯度辛己即太隂距太陽視經度先求九十度限距天頂即甲丙庚三角形内丙庚邊也盖太陽躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减測時距午所應升二十三度一十五分餘升度三百二十四度三十二分應黄道居天之中𤣥枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度
一十一分為甲乙弧加乙丙赤道距天
頂與北極依本地出地平髙等得甲丙
為六十一度一十三分此時出地平黄
道度為實沈宫二十二度三十一分則
娵訾宫二十二度三十一分當九十度限為庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒為直角則本三角形内以甲庚及甲丙兩邊求庚丙第三邊于甲丙弧割線加五空位以甲庚弧割線除之得五十六度○四分即九十度限距天頂之弧欲免算則以太陽躔度及測時刻依法查本表即得九十度距天頂也以己庚丙直角三角形因得庚丙邊五十六度○四分庚己邊太陽在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十
一分相减餘五度四十八分為庚己也于庚丙弧切線加
五空位以庚己正弦除之餘庚己丙交
午圏略近所居第測壬己丙角正為九十度餘壬己辛角止三度五十三分因求太隂視經緯度則于壬己辛小三角形内因小可當直線三角形以壬己邊日月兩心之距及先所得諸角辛為直角因算己角得三度五十三分壬即餘角算得壬辛視緯度距北一分五十七秒己辛視經度距太陽前二十九分○二秒即此可見測食方位之用有如此
測交食變形之時
交食形者乃日月食起復之間光為景所損而變遷其態以相示者也但受損之光初少漸多多而復少今欲逐時逐刻以宻求之其形無數且可不必大都初虧食甚復圓為太陽太隂所共而食既生光則太隂所獨此五限測法須先求時對食分及食所向方位與距恒星度分乃可一一得矣
測太隂食之時
常法測恒星髙度若未見星先測太隂自髙度乃以升度求時見髙弧用法苐谷用自鳴鐘或刻漏将渾天紀限等儀屢測太隂餘光邊距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏識之若太隂正在黄道九十度限則從恒星之近者起算為易得其本心及地景心升度可知恒星距太陽度因以取凖時刻有用界尺測太隂兩角或對地平圏平行或對恒星居一直線上或尺線過兩角之中對月景兩心皆以求太隂視處定其經緯以推時刻萬厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷門人測之預備刻漏取其能細指時至分秒者試以數日令遲速脗與天合于太隂未食之前測大角星在正午考時得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分即亥正三刻四分木星居正午髙二十四度三十二分極髙五十度亥正一十八分亥正三刻一十四分初虧向位在東南距髙弧自徑線下起算四十五度三十分亥正二十三分子初○四分向位距四十二度前此太隂未食約四刻時與心宿大星同髙弧此已離去距西蓋因視差故亥正二十九分半子初一十○分向位距三十九度三十分從土星對月景兩心得一直線過亥正四十二分子初一刻九分周星天市垣者至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所過土星今反距其下矣亥正五十一分子初二刻二分向位距二十八度稍遲得食五分子初二分半子初二刻○七分土星在正午髙二十一度四十七分子初九分子初三刻○四分缺太隂圏之半周子初一十九分子正○一分太隂心至正午其餘光邊髙一十九度○七分子初二十四分子正○六分向位距一十五度子初四十三分子正一刻一十分餘光兩角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分子正二刻一十四分兩角與木星皆居一直線其一角略髙向西因知食甚已過子正二十三分丑初○五分向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分丑初二刻向位距三十度丑初三分丑初三刻距西三十二度丑初一十四分丑初三刻一十一分尚距三十二度将復圓其邊有次景因用土星測向位然必定土星之經緯乃無遺漏當測時其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其過子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒
萬厯四十四年丙辰八月去順天西一百○度四十五分西邏瑪京都親測月食以星髙度及自鳴鐘推得時刻初虧河鼓中星過西髙二十一度得一十三時四十四分三十秒時為小時從午正起算即丑初三刻十五分作一刻後倣此左肩在東髙一十一度得一十三時四十四分二十秒畢宿大星髙三十一度得一十三時四十一分一十二秒當時鐘有一時○九分從子正起算後同此盖鐘所指時分每後太陽三十四分先後兩日試驗俱如一即一十三時四十三分食既織女大星距子午圏西髙一十五度得時一十五時○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五時○五分乃鐘指二時三十七分即一十五時一十一分生光織女髙一十一度得一十五時三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五時三十三分四十五秒鐘得三時三十五分復圓測天津第四星西髙一十九度得一十七時○四分一十二秒乃鐘有四時二十二分即一十六時五十六分又同都一人另居一地測有四十六次所得時刻初虧復圓與前測同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算復圓全與此合其餘限雖微有參差然亦不逺三四分矣
太陽出東地平左旋漸髙至午正則最髙過午復漸低至西則没此太陽自行一晝之時刻也故得其髙度即可求時其初虧食甚復圓等限惟以此為常測法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用見月離三卷各細分度數下方為地平從正東正西至子午圏諸弧之切線衡為太陽距天頂之割線矩架之股又為太陽距頂之切線此三度所以全本器之用也測時将方架置几上以中線對南北一手轉矩架隨太陽行並動其衡使之上下以受光一手對輪盤上之尺纔一對景即于衡矩架下方架各識以號號宜同如一二等數是而以號所對各器之度加輪盤所測之景因推太陽食時及向位食分諸用萬厯庚子嵗六月朔刻白爾距順天府西九十九度一十五分用本器在宻室中測本食共測一十五次作號一二等如左
其下方架東西邊所分各當二千分自後至中左右各當一千二百分先安置與子午圏對以太陽距正午左右相等之髙度或先一日或測後攷對得架偏必差度或加或减于推測之度得地平正弧然後測得地平弧以推時刻今依一十五號列所測分及相應之地平弧
號一二三四五六七八九十一一一一一一二三四五如左測七一一一一一一八八七六六五四四一八六三○○首一及二號所分五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一對測分在方架度二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○北自中起數至分三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五東餘轉東北角
徃南其度分則架上平分所推即目正午漸去西太陽所對地平弧也以測分推度分法二千與測分若全數與地平弧之切線假如甲乙丙丁為下方甲丁乙丙每邊分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正對子午圏
亦二千當測得戊己即七五一
平分求戊辛弧則壬戊與戊己
線若壬辛全數與戊辛弧之切
線算得三七五五○查表得二
十○度三十五分若景過丁角在甲丁邊上遇庚則甲庚為戊庚弧之餘切線故壬甲與甲庚線若全數與戊庚弧之餘切線壬甲與戊丁等刻白爾轉矩架時下架悞隨之動使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地號一二三四五六七八九十一一一一一一二三四五平弧因推時五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九刻如左
弦○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四矩架之立柱二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七當句其數宜
股五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七作五○四○句五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○今則少異欲
謬而矩架之
底為股上衡
為弦其長短
隨太陽髙低
時時不等故
數亦不等此
求太陽距天
頂或以股或以弦皆同法而句與弦與股若全數與太陽距天頂之切線次以髙度日距天頂之餘求地平弧則全數與極出地髙之割線若太陽髙度之割線與先得之數為待用之數次北極太陽兩髙差度之餘弦與太陽距赤道度之正弦相减餘次得數則兩數先得與次得為實全數又為法算得地平餘弧之矢依測本食之地極髙四十七度○二分其割線一四六七一九太陽距天頂之餘六七四度○四分其割線二二八六六三算得三三五四九一為先得數兩髙度差一十七度○二分查餘弦九五六一三為减太陽當時距度二十二度一十六分之正弦三七八九二餘五七七二一即次得數算得一九三六四八為矢故减首位以所餘查八線表得六十九度二十八分即從正西起地平弧餘二十度三十二分即對太陽過正午地平之弧以此求時則乙丙丁斜角三角形内得乙丁為極髙之餘得乙丙為太陽距赤道之餘得乙丁丙
角求丁乙丙即對赤道弧之角以定相
應之時欲依直角三角形必丙丁引至
甲得甲直角則先求甲乙丁角可用十設算見測量全義七卷本角得七十四度五十一分一十八秒次求甲乙線甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙兩線以甲直角推甲乙丙角此八十四度一十九分一十八秒則乙總角减甲乙丁角餘丁乙丙角為所求此餘九度二十七分四十六秒化為時得三十七分五十○秒過正午測本食之復圓上衡微有阻碍不及受太陽全景故以髙弧推時較地平所推差四分宜半之借此補彼則得二時五十七分三十○秒為正時