新法算書卷九十四
明 徐光啟等 撰
測量全義卷八 解正球上大圏相交之度分
正球之大圏有三種一為赤道二為斜截赤道之圏如黄道等三為直截赤道之圏直截赤道者截赤道為直角其極如正球之地平圏各處午圏時圏等三者相交相距是生多種三角形
如己甲庚為赤道丁丙寅為黄道相交於
丙為斜角戊為己庚赤道圏之一極極者球面
上大圏之心凡分球宜用球體之心體之心不可得而以大圏之心當之故不名心
名極亦即軸之兩端也從戊極作戊甲乙辛圏辛為赤道之又一極
戊甲辛弧截赤道於甲為直角亦截黄道
於乙成甲乙丙直角曲線形也此形之乙至
丙為黄道之經度丙至甲為赤道之經度乙
甲為乙㸃距赤道之度即赤道之緯度丙為赤黄二道之交角乙為過兩極圏與黄道之交角甲為過極圏與赤道之交角即直角一形有三角三邊凡六種先有三可求其餘
丙乙為黄道經三十度如大梁等一宫求其緯度
乙甲過極圏之一弧此為直角形有丙角及直角之對邊丙乙求其餘三
一求黄道若干度之赤道緯度即乙甲邊法見本篇七卷直角形㨗法第七設為全數與丙角之正弦三九九一六若乙丙弧之正弦五○○○○與乙甲弧之正弦一九九五七查得一十一度三十○分四十秒即黄道經三十度之赤道緯度二求正球同升之度甲丙若甲乙邊為正球之地平弧即丙甲丙乙兩弧必同出入
名正球同升之弧也又若甲乙為子午圏即丙甲丙乙為同過子午圏之兩㸃名雖
不同其理無二詳見左方法為全數與丙角之餘弦九一
六九○○若乙丙之正切線五七七三五與甲丙邊之正切線五二九三○查得二十七度五十三分四十三秒三求乙角即黄道與子午等過極圏之交角法為全數與乙丙之割線
若丙角之餘切線與乙角之切線若知黄白二道
交角之度及太隂之本行經度可知其去離南北之度而定食限之度見月離厯及
本表
用上三法可作兩道各度分相距之緯度表又可作每度之同直升表又可作每度與過極圏之交角表三者其用甚大為推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度
黄赤二道交於春秋二分必相截爲兩平分若别大圏截兩道其交角從本圏之體勢直斜不一其一大圏過兩道之兩極必與兩道相交為直角則從兩道之交至大圏之交其兩道之弧必等此大圏為極至交圏也因過赤黄兩道之極與兩道為直角則從春分迄夏至兩道之弧必等為九十度也
其二大圏獨過一道之兩極如過北極則赤道極也此大圏與所過極之本圏必相交為直角若與所不過之道則否從春分至過極圏之交所截黄赤兩道之弧必不等蓋兩道與過極圏交而作角必有鈍有銳為異類故也而此兩道之兩弧從春分起數名正球同升或同降之度正球内升降之度必等蓋地平為過極之一圏也欹球則否亦名同過子午圏之度蓋子午圏亦過赤道之極
如過極圏截黄道大梁初度去離春分三十經度截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度與赤道二十八度弱同升同降或同過子午圏反之亦謂正球赤道二十八度弱與黄道三十度同升同降同過子午圏其理皆同若春分迄夏至於黄道第一象限順數之秋分遡夏至則否用所得赤道升度以减象限所存數又加一象限九十度得黄道某㸃之正升度
如鶉尾初度距秋分三十度從秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二為鶉尾初從春分起與赤道同升之度
若秋分迄冬至用所得赤道升度與春秋二象限一百八十度并得黄道從春分至某㸃之正升度如大火初距秋分三十度從秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初從春分起與赤道同升之度
若從春分遡冬至則用所得赤道升度以减象限得數與春分迄春分三象限二百七十度并得黄道從春分至某㸃之正升度
如娵訾初距春分三十度從春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度為娵訾初從春分起與赤道同升之度
其三大圏不過兩道之極如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等則從春分計某地兩道同升之兩弧數名欹球同升之度
如順天府赤道約高五十度設大梁初度從地平上升因本法推赤道上之同升度一十八從春分起數則大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之兩㸃若欲定其斜入則倒球取之用彼球之卯當此球之酉用彼球之升爲此球之降則某㸃為彼球之斜同升即此球之斜同入
如順天府北極出地約四十度有夏至同升之度欲求其同降則用南極出地五十度之彼球以彼球之冬至為此球之夏至則彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度
如大梁初度之正同升二十八度順天府大梁初度之斜同升一十八度其較十度即順天府大梁初度之升差
已上所説用渾球解之則易明
二題有黄道經緯度求兩道交角之度
如上有直角之對邊乙丙及其旁邊甲乙
而求丙角求乙角求赤道之弧甲丙俱用
三題設兩道交角之度及黄道某㸃之緯度而求其㸃之黄道經度
如丙為交角丁甲其對邊之緯弧求丙甲
赤道之弧見七卷三設爲全與丙角之餘切線
若甲丁弧之切線與甲丙邊之正弦此即赤道經度凡經緯二數恒相連求丙丁黄道之弧為全與丙角之餘割線若甲丁邊之正弦與丙丁邊之正弦丙丁為黄道經即兩圏上之兩㸃丁甲恒相對同升於地平同過於子午等圏求丁交角為全與甲丁邊之割線若丙角之正弦與丁角之正弦三角形各形有十設各設三求今約取其必用者解之
四題有丙交角丙恒為交角及甲丙赤道之弧求丁角黄道與過極圏
之交角求丁丙黄道同升之弧求甲丁黄道上某㸃之緯度法見
七卷第二設
解欹球上大圏相交之度分
正球上大圏有三種欹球則有四種地平圏一也天頂圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之時圏四也與正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大
一題有赤道與地平交角之度子午圏過天頂亦過赤道極則交角之度與極出地平上之餘度必等又有黄道某㸃之緯若某㸃或升或降在地平求黄道與地平交角之度
如圖癸丙甲為地平壬寅戊為赤道丁
丙庚為黄道己為二道之交丙爲黄道
地平之交從赤道極乙㸃過丙至赤道
上寅㸃作乙丙寅弧即丙寅弧定黄道
丙㸃之緯度丙乙其餘也即甲丙乙直角形之丙角為過極圏與地平之交角又丁丙乙爲黄道與過極圏之交角兩角并得丁丙甲角 用前正球一題第三求得乙丙丁角彼云乙角次甲丙乙形甲乙爲極出地之髙若干度乙丙爲寅丙緯之餘度用第九設第二求得之此問日食算中所必用故詳解之仍須作立成表
之交角丙角二十三度三十一分半而求過極圏甲乙與
黄道之交角乙法爲全數與乙丙之割線一一五四三○若丙角之餘切線二二九七○○與乙角之切線二六五一四二查得六十九度二十分有竒
次求甲丙乙角即前本圖上形爲全數與乙丙邊之餘割線大梁
初度之緯十一度三十一分其數五○○八六九若甲乙邊之正
弦如順天府北極出地三十九度五十分其正弦六四○五六與乙角
之正弦五四三六七查得三十二度五十六分先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本圖甲丙丁角之度
若巳交角即黄赤交與丙即黄道地平之交同㸃即黄道極必在子午圏内或巳爲春交在東則以黄赤距度減赤道高即
即以距度加赤道髙或巳為春交在西亦
加爲秋交在西亦減用渾球明之
二題有黄道某㸃之緯度及北極出地之度求本㸃出入地平之濶度濶度者地平之經度各㸃出入於卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入於正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南
如圖丁庚戊爲子午圏丁丙戊為地平庚
乙己為赤道交地平於乙辛丙壬為赤道
作子甲乙為地平第一經圏乙㸃即正卯酉此圏分則出入南北之中界也次從赤道極癸作癸丙過極經圏而成甲乙丙直角形形之甲丙邊為某㸃距等圏之緯度甲乙丙角庚戊弧也為赤道出地之度北極出地之餘甲為直角從赤道極癸出線而截赤道於甲故也乙丙爲黄道某㸃之濶度求法用三設之第三求為全數與乙角之餘割線若甲丙邊之
正弦與丙乙邊之正弦
假如順天府赤道高五十度五分乙角也
其餘割線一三○二二三甲丙邊冬至之緯度也為二十三度三十一分半其正弦三九九○二算得乙丙邊之正弦五一九六一查得三十一度一十九分 因乙㸃為正卯酉癸爲
北極則丙在正卯酉之南若夏至理亦同
此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平
下而乙角丁己弧也爲赤道入地之度如上圖
三題有北極出地度及黄道之某㸃求晝夜長短即各欹球黄赤道同升之㸃
解曰凡測時以赤道為主何者日十二時九十六刻終古常然不以冬夏為永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各滿一象限不與黄道偕盈縮二相配合則赤道過一宫而爲一時過三度四分度之三而爲一刻故赤道為各種日晷之宗法測時候之公本原也其在欹球獨春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内兩道過子午圏及出入地平常是同
九十度得二十四刻也過此以徃日躔積
漸南北晝夜亦積漸永短赤道在午正左
右之第九十度亦積漸出地上或入地下則定晝夜分者當求赤道與日躔過極圈交㸃之度其法從北極過日體作過極圏之一弧為癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之㸃其赤黄兩道之兩㸃庚辛同過子午等圏轉渾令辛㸃到地平如丙即庚㸃必至甲若太陽在北六宫庚㸃必過地平如癸丙甲在南六宫庚㸃必不到地平如癸甲丙此或過或不及之差名兩升之差一是正球過子午圏一是欹球過子午圏亦謂之晝夜長短之根今欲測辛㸃從午至入地平之刻分必先定庚甲庚甲大圏之弧度與辛丙小圏之弧度同在癸甲癸庚兩過極圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏無法必用庚甲測之而庚乙必九十度須知甲乙然後或加或減可得甲庚即半晝分倍之得晝夜以加減四十八刻得半夜分
如上圖甲乙丙形有乙角為赤道與地平
之交角有甲丙為某㸃之距度求甲乙則
全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正弦
如甲丙爲冬至之距緯二十三度有竒其切線四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其餘切線八三四一五算得三六五一一為甲乙邊之正弦查得二十一度二十五分以減九十度得六十八度三十五分算時刻得一十八刻四分每刻十五分二十抄每分六十秒為順天府之冬至半晝分倍之得三十六刻○ 八分四十○秒為晝長以減九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜長 因上法可作諸方半晝分立成表見别卷
四題有赤道之高及太陽出入之濶度可得黄道本㸃之緯度亦自有其經度
球同升之差甲乙見七卷第四設
若有赤道之高及丙角亦可求其餘見七卷第一設若置半晝分及赤道之高可得黄道本㸃之緯度及太陽出入之濶度若半晝分為時刻則以本法易為度分以加减九十度所得數為甲乙邊
五題有黄道某㸃及北極出地之度求欹球同升之度
如上圖求得黄道某㸃之正升甲及兩升
之差甲乙以此兩數或相加在北六宫内或相
減得某地面黄赤兩道同升從春分起算之兩
弧如順天府析木初度正升為二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差為一十八度兩數相加得二百五十五度四十八分○七秒則黄道弧爲二百四十度從春分起算赤道弧為二百二十五度四十八分○七秒為本地面兩弧同斜升之度
若求其同降之度則用黄道上對㸃求其斜升加一百八十度 如析木之對為實沈求實沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度
升降三類正球同升一斜球同升二正斜升之差三其用甚大如定晝夜長短及太陽與某星相距之度及夜以星定時刻之屬皆所必須故須詳講之熟習之另卷有本表及其用免算
六題有極出地之度及赤道之升度從所近交起算求黄道同升之經度
如圖己癸為地平午丙辛為赤道戊丁庚為黄道交地
平於乙兩道之交成丁丙乙斜角形丁為
兩道之交角丁丙邊為赤道上升度從所近交
起算丁丙乙為赤道高丁丙癸之餘角求黄
求丁丙甲角丙甲邊丁甲邊次於丁丙乙
角内減丁丙甲角餘甲丙乙角即甲丙乙
上法為是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙
斜角形有丁丙邊有丁丙兩角
從乙角作乙甲垂弧分元形為
次甲乙丙形有丙角甲乙邊求甲丙以并甲丁得丁丙邊
七題有極出地之度分多於兩道相距之餘度分求此地周歳中太陽恒見恒隱之日數
解曰正球之赤道及其距等圏皆與地平為直角故晝夜恒等其在欹球極高六十六度半弱兩道距二十三度半强之餘度以下者太陽日日有出入周嵗中日日有晝夜依上第三題求其晝夜分若極高六十六度半弱以上即周嵗中太陽有時恒見不隱每日周遭地平之上有時恒隱不見每日周遭地平之下以法求得其𨼆見之日數然此所得者實隠見也又因清蒙之氣入恒遲出恒早此為視隠見説見厯指一卷
其法以赤道之髙極出地之餘度當太陽之緯度因緯度求其經度從春分或秋分起數取經度之餘度即太陽去離夏至或冬至倍之約一度為一日得本地太陽恒見恒隠之日數
如上圖癸己為地平午辛為赤道乙丙為
夏至壬庚為冬至乙庚為黄道子丑為兩
不割癸己地平即常見若太陽至丁己距圏從丁轉己已復轉丁雖切地平于已而不割亦常見假如極出地七十六度赤道髙十四度即以當太陽之十四緯度求經得三十七度二十分其經餘五十二度四十分倍之得一百○五度二十分約一度為一日得一百○五十有竒太陽日日周行地平之上并為一晝若太陽躔南六宫則日日周行地平之下并為一夜第因清䝉之氣即視見恒在真見之前視隱恒在真隱之後各有日數因本地之蒙氣厚薄以為多寡
從地平以上數至黄道之九十度名為黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道極多不在子午圏中故上半周任交於子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若極在東則從地平西右數至子午圏黄道之度恒過九十從地平東左數至子午圏黄道之度恒不及九十若極在西則反是故春分前後六宫從冬至迄夏至交於子午則黄平限在東秋分前後六宫從夏至迄冬至交於子午則黄平限在西今所求者此九十度限之一㸃去離天頂若干度分也其用法詳日食本論
法有黄道交午圏之㸃求九十度限即先求正球上在午㸃之同升赤道㸃加赤道從午至地平九十度得總數定儀求本地欹球上之黄道同升㸃於黄道在午至地平數内減九十度得黄道去離地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升為赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球順天府極出地四十度弱上之黄道同升得鶉火出地平一十一度弱於黄道從午至地平數内減九十度得大梁十一度弱為黄道九十度限在東
又如黄道𤣥枵初度在午其正同升為赤道三百○二度强加九十得三百九十二凡度數滿全周用其餘此三百九十二减三百六十即總數為三十二次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度於黄道從午至地平數内减九十度得𤣥枵一十二度為黄平象限亦在東
系有在午之㸃及九十度限其較為午㸃至九十度限之黄道一弧如上第二設九十度限為𤣥枵一十二度午上之㸃為𤣥枵初度則其相距為一十二度反之有黄道之出地度求在午之㸃及九十度限法曰有地平上黄道㸃求其本地欹球上之赤道同升㸃减九十度得數求正同升之黄道上度為在午之㸃又於本㸃去離地平數内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升為一十八度减九十凡實數小法數大借全周三百六十并而減之得二百八十八度求其正同升之黄道上度得𤣥枵一十七度强為九十度限距午之度
又黄道大梁初度在地平於地平距午數内減九十度得𤣥枵初度為九十度限
九題有黄道交子午圏之㸃及極之髙求九十度限而不用同升度
如圖丁丙戊爲子午圏乙甲丁為黄道乙
㸃為某宫某度分丙為天頂甲為九十度
限從丙過甲作丙甲己地平經圏成甲乙
丙形甲為直角乙爲黄道交於子午圏之角見正球説有本表丙乙為黄道某㸃距天頂之度若某㸃係南六宫求其緯以減赤道髙若係北六宫求其緯以加赤道髙各得丙乙而求甲乙邊法為全與乙角之餘弦若丙乙之切線與甲乙之切線另卷有表又見交食厯假如乙㸃是大梁初度則乙角為六十九度二十一分
法見正球四題其餘弦爲三五二六六其緯一十
一度三十分以加赤道髙得六十一度四
十分其餘為二十八度一十分丙乙也其
切線為五三五四五算得一十度四十八分為甲乙弧上題用同升表一十一度弱今亦用表數云一十度四十八分因上題棄去零數故也
如前圖求丙甲弧法為全與丙乙之正弦四七四六○若乙角之正弦九三五七五與甲丙邊之正弦四三四一九算得二十五度四十四分為甲丙弧 因甲庚庚己各九十度則甲己爲庚角之弧其角為黄道截地平之角即上第五題圖之丁乙丙角
十一題有在地平㸃之濶度及在午㸃之距天頂度而求黄平象限距天頂度
如前圖從天頂丙作地平經初度丙壬黄道截地平於庚成庚甲己形甲己為兩直角丙己經圏過地平之極故己為直角甲分地平上黄道為兩平分即過地平之極亦過黄道之極故甲為直角則相對之兩腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自為九十若减同
用之壬己即所餘庚壬與己戊等己戊弧
定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及
丙角或己戊或壬庚濶升度可得甲丙法為全與濶
升度之餘弦若丙乙邊之切線與丙甲邊之切線
十二題有午上之㸃求在地平㸃之闊升度即庚壬或己戊或甲丙乙角法為全與丙乙邊之餘割線若甲乙邊之正弦與丙角之正弦或庚壬濶弧之正弦
十三題有午正前後時刻之度分時刻之度分者以時刻易為度分也每四刻為一十五度一刻為三度四十五分刻之一秒分為度之四分之一刻之一秒為度之四及太陽之經度求在午之度因求黄平象限度
法如時在午前即以太陽經度求其正同升之度减時刻之度得赤道數以求黄道正同升之度即在午之度如太陽躔大梁初度於己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升為赤道二十八度减去三十度己正初刻之度餘三百五十八實少于法借全周查其正同升之黄道度得娵訾二十八為在午之㸃次於赤道數加九十得八十八滿全周去之求本地欹球同升之度得鶉首一十七零數省文去之為黄道本球本時出地平之度減去九十度得降婁一十七為黄道九十度限
若時在午後則用加法如未正初刻則於二十八度大梁之正同升加三十時度得赤道五十八查其正同升得實沈初度為在午之㸃次於赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鶉尾五度半為黄道本時本球之出地度減去九十度得實沈五度半為黄道九十度限
十四題有太陽躔度及時刻度求太陽地平上之髙度其法有四或太陽在赤道上春秋分第一圏或時度過九十二圖或在北六宫三圖或在南六宫四圖
第一圖己戊丁壬為子午圏戊丙庚為赤
道太陽在乙從天頂丁作丁乙甲弧過太
陽至地平為直角成甲乙丙直角形此形
有乙内邊戊乙時度之餘有丙角赤道之高度求甲乙為全與乙丙邊之正弦己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正弦八六六○三若丙角之正弦順天府赤道髙五十度則丙角五十度其正弦七六六○四與乙甲邊之正弦六六三四一算得四十一度四十七分為太陽本時之髙第二圖時度過九十即從北極辛作辛乙午弧交地平
為時度過九十之較有癸丙午為赤道與
地平之交角求午癸邊及午癸丙角午癸丙角
為過極圏或時圏與地平之交角求法見第七卷直角形之用法次以午癸與午乙或加或减得癸乙弧用二圖時度過九十即相减若不過九十者如三圖太陽在北六宫即相
甲為直角有先加減所得之癸乙邊有乙
癸甲角可得太陽之髙乙甲
如三圖日躔大梁初度其緯得一十一度
三十分半乙午也巳正時戊午得三十度
即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十
度○五分或午丙癸角次以午丙癸形之午丙
六十度丙角五十度○五分求午癸邊法
線一一九八八二與午癸之切線一○三八五五算得四十六度○五分因大梁在北六宫故次加太陽之緯度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又於此形求癸角法為全與丙角之餘割線一三○二二三若午丙弧
之正割線二○○○○○與癸角之正割線二六○四
一七算得六十七度二十四分癸角也次癸
乙甲形甲為直角有癸角及癸乙邊求甲乙法為全與乙癸弧之正弦八四四五三若癸角之正弦九二三二一與甲乙邊之正弦七七九五二算得五十一度一十三分甲乙也是為本地本時黄道某度地平上之日軌髙若太陽躔南六宫如雙魚初度其緯亦一十一度三十○分三十秒則如第四圖之癸午邊減乙午得三十四度三十四分為乙癸邊其正弦五六七三六乗癸角之正弦九二三四三得三十一度三十六分
十五題有太陽之緯度有日軌髙有極出地度求時刻
如上題第一圖太陽乙在赤道甲乙丙形有日軌
髙甲乙有乙丙甲角為赤道高求乙丙邊
其餘割線一三○一九二若甲乙弧之正弦甲乙日軌髙三十度其正弦五○○○○與乙丙之正弦六五三二○算得四十度三十七分乙丙也戊乙其餘為四十九度二十三分易為時得午前或午後一十三刻○二分三十二秒
有乙辛為太陽距極度若乙在北六宫則乙辛為緯度之餘
若在南六宫則于緯度加九十得乙辛有丁乙為日軌髙之餘
度有丁辛為北極距天頂之度北極髙之餘求辛角辛為赤道極丁辛乙角之弧為戊午戊是午正則以戊午定午前後時刻之數法見第七卷斜角形用法今解之如辛丁為五十度一十分丁乙日軌髙之餘六十度辛乙八十度太陽緯午乙十度其餘得八十度法以辛角旁兩腰之正弦相乗五十度一十分之正弦七六七九一八十度之正弦九八四八一以全除之得七五六二○名初得數又以兩腰之餘弦相乗五十度一十分之餘
弦六四二七九八十度之餘弦一七三六五以全除之得一一○六
九名次得數以次得數與角對邊之餘弦
六十度之餘弦為五○○○○相減丁乙邊小又兩腰同類故也所存
三八九三九以全乗之以初得數七五六二○除之得辛角之餘弦五一六九○算得五十八度五十三分易為時得一十五刻一十三分四十二秒
又如辛丁丁乙如前而辛乙為一百度日在南六宫距度十則以丁辛之正弦七六七九一辛乙之正弦九八四九一百度而用八十度之正弦者
大弦過象限則用其餘弧之弦相乗得七五八三一以全除之
為初得數又以兩弧之餘弦丁辛之餘弦為六四○五
六辛乙之餘弦為一七三六五相乗以全除之得一一一二三
爲次得數以加角對邊丁乙之餘弦丁乙邊小又兩腰為異類故得數六一一二三加五位為實以初得數為法除之得八○六○四為辛角之餘弦查得三十六度一十七分易為時得九刻一十分○八秒
如上法或用月之髙求月時則用月之緯度或用星之高求星時則用星之緯度
十六題有極出地之高有日軌高及其緯度求地平經度地平經度者或從卯酉正或從子午正起算皆得
如前圖辛丁戊為子午圏丁為天頂丁乙
甲為本時日躔天頂經圏今求壬甲弧或壬丁甲角
或甲己弧或甲丁己角宜用辛丁乙角形求角
列數如上題丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度法以辛丁丁乙兩弧之正弦相乗以全除之先得六六六八六又兩弧之餘弦相乗以全除之次得三二○二八加乙辛之餘弦一七三六五於次得數共四九三九三加五位以全乗之故為實以先得數除之
得七四○六即丁角之餘弦查正弦表得四十七度四
十七分為乙丁戊角即甲己弧辛丁乙之餘角
也辛丁乙係鈍角因對角邊乙辛小于九十度兩腰為同類故相
加次得數大于乙辛底之餘弦故所得為鈍角故乙丁戊角之餘為四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分為太陽之本頂圏距北向南之度壬甲也此係太陽在北六宫亦名地平之經度造日晷之法内用
太陽在南六宫躔星紀丁乙為七十度求丁角法兩
腰之正弦相乗丁辛之正弦為七六七九一丁乙之正弦為九三九
六九以全除之先得七二一五八以兩弧之餘弦相乗丁辛為六四○五六丁乙為三四二○二以全除之次得二一九○九以乙辛之餘弦三九九○二加次得數共六一八一一加五位為實以先得為法除之得八五六六六即丁角之餘弦查得五十八度五十六分為乙丁戊角因丁為鈍角角之對邊辛乙大于九十度兩腰為同類故相加又次得數小于乙辛底之餘弦故丁為鈍角故加九十得一百四十八度五十六分為辛丁乙角之度即壬甲弧是太陽本頂圏距北向南之度
若用餘角則從南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也餘者一百四十八度五十六分之餘
十七題有時度有日軌髙及極出地之度求太陽之緯度又求地平之經度
如前圖辛乙丁斜角形辛乙邊為太陽本日距等圏距北極之度此形有辛角即戊午弧時度也有丁辛弧極髙之
距北極之緯度辛乙即如次圖從丁角作
丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛
角求丁甲及甲辛用七卷直角形第四設二三求次甲乙
丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙用七卷第八設
之三求乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平經度乙丁辛角也則丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角若辛為鈍角即乙丁辛為鋭角若辛為鋭角即乙丁辛為鈍角