測量異同 天文算法類一推步之屬
勾股義 天文算法類一推歩之屬
提要
臣等謹案測量法義一卷測量異同一卷勾股義一卷明徐光啟撰首卷演利瑪竇所譯以明勾股測量之義首造器器即周髀所謂矩也次論景景有倒正即周髀所謂仰矩覆矩卧矩也次設問十五題以明測望髙深廣逺之法即周髀所謂知髙知逺知深也次卷取古法九章勾股測量與新法相較證其異同所以明古之測量法雖具而義則隠也然測量僅勾股之一端故於三卷則專言勾股之義焉序引周髀者所以明立法之所自來而西術之本於此者亦隠然可見其言李冶廣勾股法為測圓海鏡已不知作書之意又謂欲説其義而未遑則是未解立天元一法而謬為是飾説也古立天元一法即西洋借根方法是時西人之來亦有年矣而于冶之書猶不得其解可以斷借方法必出於其後也三卷之次第大畧如此而其意則皆以明幾何原本之用葢古法鮮有言其義者即有之皆隨題講解歐邏巴之學其先有歐几里得者按三角方圓推明各類之理作書十三卷名曰幾何原本按後利瑪竇之師丁氏續為二卷共十五卷自是之後凡學算者必先熟習其書如釋某法之義遇有與幾何原本相同者第註曰見幾何原本某卷某節不復更舉其言惟幾何原本所不能及者始解之此西學之條約也光啟既與利瑪竇譯得幾何原本前六卷並欲用是書者依其條約故作此以設例焉其測量法義序云法而系之義也自嵗丁未始也曷待乎于時幾何原本之六卷始卒業矣至是而傳其義也可以知著書之意矣乾隆四十六年十二月恭校上
西泰子之譯測量諸法也十年矣法而系之義也自嵗丁未始也曷待乎于時幾何原本之六卷始卒業矣至是而後能傳其義也是法也與周髀九章之句股測望異乎不異也不異何貴焉亦貴其義也劉徽沈存中之流皆嘗言測望矣能説一表不能説重表也言大小句股能相求者以小股大句小句大股兩容積等不言何以必等能相求也猶之乎丁未以前之西泰子也曷故乎無以為之藉也無以為之藉豈惟諸君子不能言之即𨽻首商髙亦不得而言之也周髀不言藉乎非藉也藉之中又有藉焉不盡説幾何原本不止也原本之能為用如是乎未盡也是鼷之于河而蠡之于海也曷取是焉先之數易見也小數易解也廣其術而以之治水治田之為利鉅為務急也故先之嗣而有述者焉作者焉用之乎百千萬端夫猶是飲于河而勺于海也未盡也是原本之為義也
測量法義
明 徐光啟 撰
最目
先造器
次論景
本題十五首
附三數算法
測量者以測望知山岳樓臺之髙并谷之深土田道里之逺近也其法先造一測望之器名曰矩度造矩度法用堅木版或銅版作甲乙丙丁直角方形以甲角為矩極作甲丙對角線次
依乙丙丙丁兩邊各作相近
兩平行線次以乙丙丙丁兩
邊各任若干平分之從甲向
各分各作虚直線而兩邊之各外兩平行線間則作實線如上圖即外兩線間為宗矩極之十二平分度也其各内兩平行線間則于三六九度亦作實線以便别識若以十二度更細分之或每度分三分五分六分十二視矩大小作分分愈細即法愈詳密矣次于甲乙邊上作兩耳相等耳各有通光竅通光者或取日光相射或取目光透照也或植兩小表代耳亦可其耳竅表末須與甲乙平行末從甲㸃置一線線末垂一權其線稍長于甲丙對角線用時任其垂下審定度分既設表度十二下方悉依此論若有成器欲驗已如式否亦同上法其用法如下方諸題
法中俱用直景倒景布算故先正解二景之義次解其轉合于矩度以資後論
直景者直立之表及山岳樓臺樹木諸景之在平地者也若于向日牆上横立一表表景在牆則為倒景如上圖作甲乙丙丁直角方形于乙丙丁丙各從丙任引長之令丁丙為地平面或為地平平行面其乙丙亦向日作面與地平面為直角即甲丁為丁丙平面上直立之表而甲乙為乙丙平面上横立之表也次以甲為心丙為界作戊巳丙圜次引甲乙甲丁線各至圜界夫地球比日天既止一㸃說見天地儀解即甲㸃為地心丁丙面在地心之下而戊巳丙圜為隨地平上日輪之天頂圜矣即戊乙亦可當地平線而巳丁線為正過頂圜矣則丁丙面離地平線者甲丁表之度而乙丙面離過頂圜線者甲乙表之度也故日輪在庚其光必過地心甲截丁丙面于辛而遇乙丙之引長面于壬則甲丁表在丁丙面上之丁辛景為直景而甲乙表在乙丙面上之乙壬景為倒景若日輪在癸則丁丑為直景而乙子為倒景若日輪在寅則丁丙為直景而乙丙為倒景是甲乙丙丁直角方形之内隨日所至其直景恒在丁丙邊倒景恒在乙丙邊也
凡測量十二景得一即可推算但須備曉二景之理何者有直景過丁丙邊之外有倒景過乙丙邉之外如上圖者則直景過丁丙邉如丁丑當用倒景代之倒景過乙丙邊如乙壬當用直景代之也若日光至丙即直倒景等可任意用之因兩景各與本表等故欲知目前日景所至在丙耶在丁丙乙丙之内耶又有一法如日輪離地平四十五度即景當在丙日在四十五度以上即景在丁丙之内日在四十五度以下即景在乙丙之内
論曰戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊既四皆直角即等而對直角之各圜界亦等三卷廿六是每分為四分圜之一也而戊巳亦四分圜之一也又甲丙對角線分乙甲丁角為兩平分一卷三十四注即丁甲丙丙甲乙兩角等戊甲寅寅甲巳兩交角亦等一卷十五而戊寅寅巳兩圜界亦等夫戊巳圜界既九十度即戊寅必四十五度則日在寅景必在丙日在寅之下倒景必在乙丙之内日在寅之上直景必在丁丙之内凡云某卷某題者皆引幾何原本為證下同
今從上論解二景之轉合于矩度者如日輪髙四十五度而其光過甲乙即矩度上權線在丙日在四十五度以上即權線在乙丙邉
之内日在四十五度以下即
權線在丁丙邉之内故矩度
上之乙丙邉為直景而丁丙
為倒景
論曰前圜之甲戊巳分圜形既四分之一試兩平分之于庚即日在庚為四十五度在辛為四十五度以上在壬為四十五度以下設于辛庚壬各出日光下射為辛甲乙庚甲乙壬甲乙三景線同過甲心而以矩度承之其甲為地心而甲乙邉與日景相直次以巳甲線引長之至地心下為丙而甲丙為矩度之權線夫戊庚庚巳圜界既等即戊甲庚庚甲巳兩角亦等三卷廿七戊甲巳既直角即戊甲庚庚甲巳皆半直角一卷十五而矩度上之乙甲丙角在庚甲乙景線及甲丙權線内者亦半直角凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分即甲丙為依庚甲乙景線之甲乙丙丁直角方形之對角線一卷三十四注則日在庚為四十五度權線必在丙又巳甲辛角小于巳甲庚半直角即辛甲乙景線及甲丙權線内之乙甲癸交角亦小于半直角一卷十五凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分一卷三十四注則于依辛甲乙景線之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙對角線其權線必不至丙必在乙丙之内而分乙丙邊于癸是日在四十五度之
也又巳甲壬角大于巳甲庚半直角即壬甲乙景線及甲丙權線内之乙甲癸交角亦大于半直角一卷十五凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分一卷三十四注則于依壬甲乙景線之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙對角線其權線必過丙必在丁丙之内而分丁丙邉于癸是日在四十五度之下其權線必在丁丙邉之内也故矩度之内其傍通光耳之分度邊為直景而對通光耳之分度邊為倒景
本題十五首
第一題
日輪髙四十五度直景倒景皆與表等在四十五度以上則直景小于表而倒景大于表在四十五度以下則直景大于表而倒景小于表
依矩度即可明此題之義葢上已論日輪在四十五度權線必在丙即顯乙丙直景丁丙倒景皆與甲乙甲丁兩表等何者直角方形之各邊俱等故也若日在四十五度以上權線必在乙丙分度邊上而倒景當在丁丙之引出邊上是直景小于倒景而倒景大于甲丁表若日在四十五度以下權線必在丁丙分度邊上而直景當在乙丙之引出邉上是倒景小于直景而直景大于甲乙表
第二題
表隨日所至皆為直景與倒景連比例之中率先設日輪在四十五度而權線在丙題言甲乙或甲丁表皆為乙丙直景與丁丙倒景連比例之中率
論曰甲乙丙丁直角方形之四邊既等即乙丙直景與甲乙或甲丁表之比例若表與丁丙倒景何者三線等即為兩相同之比例故
次設日輪在四十五度以上權線在乙丙直景邊内分乙丙于戊而倒景在丁丙之引出邊上遇權線于已題言甲乙或甲丁表為乙戊直景與丁巳倒景連比例之中率論曰乙與丁兩直角等而乙甲戊與已相對之兩内角亦等一卷廿八即甲乙戊巳丁甲為等角形六卷四則乙戊直景與甲乙或甲丁表之比例若表與丁巳倒景是甲乙或甲丁表為兩景之中率六卷八之系後設日輪在四十五度以下權線在丁丙倒景邊内分丁丙于戊而直景在乙丙之引出邊上與權線遇于已題言甲乙或甲丁表為丁戊倒景與乙巳直景連比例之中率論曰丁與乙兩直角等而丁甲戊與巳甲戊丁與乙甲巳各相對之兩内角各等一卷廿八即甲丁戊甲乙巳為等角形六卷四則丁戊倒景與甲乙或甲丁表之比例若表與乙巳直景是甲乙或甲丁表為兩景之中率六卷八之系
注曰直景表倒景三線既為連比例即直景倒景兩線矩内直角形與表上直角方形等六卷十七故表度十二則其羃為一百四十四若以為實以所設景數為法除之即得所求景數假如權線所至在倒景之三度即以三為法除其實一百四十四得四十八度為直景又如權線所至在所設景之五度三分度之二即所求景為二十五度十七分度之七何者以五度三分度之二為法除其實一百四十四即得二十五度十七分度之七是二景互變相代法畸分除法見後附
第三題
物之髙立于地平以直角其景與物之比例若直景與表亦若表與倒景
解曰物之髙以直角立于地平如巳庚其景在地平上為庚辛題言直景與表之比例若庚辛與巳庚又言表與倒景之比例若庚辛與巳庚凡言地平者皆依直線取平若不平者煩先準平然後測量後倣此
先論權線在丙者曰權線恒與物之髙為平行線何者兩線下至庚辛皆為直角故一卷廿八即辛甲丙角與巳角等一卷廿九而乙與
庚兩直角又等則甲乙丙巳庚辛為等角形一卷廿二是乙丙直景與甲乙表之比例若庚辛景與巳庚髙六卷四
二論曰若權線在乙丙直景邊内而分乙丙于戊依前論顯乙甲戊角與巳角等一卷廿九乙角與庚角等則甲乙戊巳庚辛為等角形一卷三十二是乙戊直景與甲乙表之比例若庚辛景與巳庚髙六卷四三論第一圖之倒景曰權線在丙其巳角丁丙甲角各與乙甲丙角等一卷廿九即自相等丁角與庚角又等則甲丁丙與巳庚辛亦等角形一卷三十二是甲丁表與丁丙倒景之比例若庚辛景與巳庚髙六卷四後論曰若權線在丁丙倒景邊内而分丁丙于戊依前論顯乙甲戊角與巳角等一卷廿九即丁戊甲角與巳角亦等一卷廿八丁角與庚角又等則丁戊甲巳庚辛為等角形一卷三十二是甲丁表與丁戊倒景之比例若庚辛景與巳庚髙六卷四注曰前既論本篇第一題日輪在四十五度直景倒景皆與表等在四十五度以上直景小于表在四十五度以下表大于倒景即顯日輪在四十五度各物在地平之景與其物之髙等在四十五度以上即景小于物在四十五度以下即景大于物如上三圖可見第四題
法曰如前圖以矩度向日甲耳在前取日光透耳兩竅以權線與矩度平直相切任其垂下細審所值何度何分若在十二度之中對角線上則景與物必正相等本篇三題注故量其景長即得其物髙若權線在直景邊即景小于物本篇三題注則直景與表之比例若物之景與其髙用三數法以直景上所值度分為第一數以全表度十二為第二數以物景之度為第三數算之即所得數為其物髙三數算法見後附注曰欲測巳庚之髙以矩度承日審權線如在直景乙戊得八度正庚辛景三十步即以表度十二庚辛三十步相乗得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即巳庚之髙四十五步
若權線在倒景邉即景大于物本篇三題注則表與倒景之比例若物之景與其髙用三數法以表為第一數以倒景上所值度分為第二數以物景之度為第三數算之即所得數為其物髙
注曰欲測巳庚之髙以矩承日審權線如在倒景于戊得七度五分度之一庚辛景六十步即以丁戊七度五分度之一庚辛六十步相乗得二千一百六十為實以表度六十分為法除之得三十六即巳庚之髙三十六度因權值有畸分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表度十二亦通作六十分說見算家六分法
有物之髙測物之景
法曰如前圖以矩度承日審值度分若權線在丙則景與物等本篇三題注
若權線在直景邊即物大于景夲篇三題注即直景與表之比例若景與物反之則表與直景若物之髙與其景五卷四之系用三數法以表為第一數直景度分為第二數物髙度為第三數算之即所得數為景度
若權線在倒景邊即物小于景本篇三題注則表與倒景之比例若景與物反之則倒景與表若物之髙與其景五卷四用三數法以倒景度分為第一數表為第一數物髙度為第三數算之即所得數為景度第六題
法曰欲于辛目測巳庚之髙先用一有度分之表與地平為直角以審目至足之髙次以矩度向物頂甲耳在前目𭃄乙後而乙辛為目至足之髙以權線與矩度平直相切任其垂下目切于乙不動而以甲角稍移就物頂令目光穿兩耳竅至物頂作一直線如不能以目透通光耳中只取兩耳角或兩小表相對亦可細審權線值何度分依前題論直景與表之比例表與倒景之比例皆若庚辛或等庚辛之乙壬若自乙至壬作直線即與庚辛平行相等見一卷三十四與巳壬壬庚與乙辛等見一卷三十八觀上論本篇三題及本圖自明葢三圖之甲乙丙甲乙戊甲丁戊各與其巳壬乙為等角形則量辛庚之度而作直景與表之比例或作表與倒景之比例皆若辛庚與三數法所求得之他數即
得巳壬之高次加目至足乙辛之高即得巳庚之高注曰如欲測巳庚高權線在直景即以直景乙戊為第一數表為第二數庚辛為第三數若在倒景即以表為第一數以丁戊倒景為第二數庚辛為第三數各算定各加自目至足乙辛數即得若權線不在丙而有平地可前可却即任意前却至權線值丙而止即不必推算可知其高若辛不欲至庚或不能或為山水林木屋舍所隔或地非平面則用兩直景較算其法依前用矩度向物頂審權線在直景否如在倒景即以所值度分變作直景本篇二題注次從辛依地平直線或前或却任意逺近至癸仍用矩度向物頂審權線在直景否如在倒景亦以所值度分變作直景本篇二題注次以兩直景度分相減之較為第一數以表為第二數以辛癸大小兩相距之較為第三數依法算之即得巳壬之高加自目至足乙癸即得巳庚之高何者兩景較與其表之比例若兩相距之較與物之高故下論詳之
論曰以兩直景之小乙戊線減其大乙戊線存子戊線為景較以兩相距之小庚辛線減其大庚癸線存癸辛線為距較則子戊較線與甲乙表之比例若癸辛較線與巳壬線何者依上論本篇三題大乙戊直景與甲乙表之比例若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之逺與巳壬之髙更之即大乙戊直景與大相距癸庚之比例若甲乙表與巳壬之高五卷十六依顯小乙戊直景或等小乙戊之乙子與小相距之庚辛之比例若甲乙表與巳壬之高則大乙戊直景與大相距庚癸之比例亦若乙子小直景與小相距之庚辛也夫大乙戊與大相距庚癸兩全線之比例既若兩所減之乙子與庚辛五卷十九轉之即大乙戊與庚癸兩全線之比例亦若兩減餘之子戊與辛癸五卷十九而前巳論乙戊全與庚癸全之比例若甲乙表與巳壬之高則兩減餘之子戊與辛癸之比例亦若甲乙表與巳壬之高五卷卜一更之則景較子戊與甲乙表之比例若距較癸辛與巳壬之高五卷十六
注曰如前圖欲測巳庚之高先于辛得直景小乙戊為五度次却立于癸得直景大乙戊為十度景較五度以為第一數以表度為第二數次量距較癸辛十步以為第三數依法算得二十四步加自目至足乙辛或一步即如巳庚髙二十五步如後圖先于辛得直景小乙戊為十一度次却立于癸得倒景九度即如前法變作大乙戊直景十六度景較五度以為第一數以表度為第二數次量距較癸辛二十步以為第三數依法算得四十八步加自目至足乙辛或一步即知巳庚高四十九步
若山上有一樓臺欲測其樓臺之高先于平地總測樓臺頂至地平之高次測山髙減之即得有樓臺高數層欲測各層之高倣此
第七題
地平測逺
法曰欲于巳測巳庚地平之逺先用一有度分之表與地平為直角以審目至足之高為甲巳若量極逺者則立樓臺或山岳之上以目下至地平為甲巳欲知山岳樓臺之高巳具前測高法次以矩極甲角切于目以乙向逺際庚如前法稍移就之令甲乙庚為一直線細審權線值何度分如權線在丙則高與逺等若在乙丙直景邉即高大于逺而矩度上截取甲乙戊與甲己庚為等
角形何者兩形之乙與己各為直角庚甲己與乙甲戊為同角即其餘角必等故一卷三十二則甲乙表與乙戊直景之比例若甲巳高與巳庚逺也六卷四若權線在丁丙倒景邉即髙小于逺而矩度上截取甲丁戊與甲己庚為等角形何者兩形之丁與己各為直角巳甲庚與甲戊丁相對之兩内角等一卷廿九即其餘角亦等故一卷三十二則丁戊倒景與甲丁表之比例若甲巳髙與巳庚逺也六卷四次以表為第一數直景為第二數以倒景為第一數表為第二數各以甲巳為第三數依法算之各得巳庚之逺
第八題
測井之深
法曰己壬辛庚井其口之邊或徑為己庚欲測己壬之深用矩極甲角切目以乙從己向對邊或徑之水際辛如前法稍移就之令甲乙己辛為一直線即權線垂下截取矩度之甲乙戊與己壬辛為等角形何者兩形之乙與壬各為直角壬巳辛與乙甲戊兩角為巳壬甲癸兩平行線井甃必用垂線故與權線平行之同方内外角等一卷二十九即其餘角亦等故則乙戊直景與甲乙表之比例若等巳庚口之壬辛底與巳壬深也六卷四次以直景為第一數表為第二數巳庚為第三數依法算之即得巳壬之深
若權線在倒景即表與倒景之比例若井之巳庚口與巳壬深觀甲癸丁角形可推何者癸與乙甲戊相對兩内角等一卷廿九即與壬巳辛角等故以表為第一數倒景為等二數巳庚口為第三數依法算之亦得巳壬之深
注曰乙戊直景三度巳庚井口十二尺依法算得四十八尺即巳壬之深丁癸倒景四十八度依法算同
第九題
法曰欲測甲乙之高以平鏡依地平線置丙人依地平線立于丁目在戊向物頂甲稍移就之令目見甲在鏡中心是甲之景從鏡心反射于目成甲丙戊角即目光至鏡心偕足至鏡心兩線作戊丙丁角與甲丙乙角等此論見歐几里得鏡書第一題即甲乙丙戊丁丙為等角形乙丁兩皆直角故則足至鏡心丁丙與目至足之高丁戊之比例若物之底至鏡心乙丙與其高甲乙也六卷四今量丁丙為第一數丁戊為第二數乙丙為第三數依法算之即得甲乙之高
注曰可以㿻水當鏡若測極逺可以水澤當鏡第十題
以表測高
法曰欲測甲乙之高依地平線任立一表于丙為丁丙與地平為直角凡立表以線垂下三面附表即與地平為直角次依地平線退立于戊使目在巳視表末丁與物頂甲為一直線若表僅與身等或小于身則俛首移就之可也或别立一小表為巳戊亦可次量目至足之數次想從巳目至甲乙上之庚㸃作直線與乙戊平行而分丁丙表于辛即巳辛丁巳庚甲為等角形六卷四則等丙戊之辛巳與辛丁之比例若等乙戊之庚巳與庚甲也次量丙戊為第一數辛丁為第二數乙戊為第三數依法算之即得甲庚之髙加目至足之數巳戊即得甲乙之高若戊不欲至乙或不能則用兩表較算如前圖立于戊目在己巳得辛巳等丙戊之度次依地平線或前或却又立一表或即用前表或兩表等為癸壬依前法令丑子與巳戊目至足之度等而使丑癸甲為一直線即又得寅丑等壬子之度其壬子若移前所得必小于丙戊何者巳辛與辛丁之比例若巳庚與庚甲丑寅與寅癸若丑庚與庚甲六卷四而巳庚與庚甲大于丑庚與庚甲五卷八即巳辛與辛丁亦大于丑寅與寅癸也又辛丁與寅癸既等癸壬丁丙元等所减寅壬辛丙等即所存亦等即巳辛必大于丑寅也五卷十次以兩測所得之巳辛與丑寅相減得卯辛較以為第一數以表目相減之較丁辛或癸寅為第二數以兩相距之較戊子或巳丑為第三數依法算之即得甲庚之髙加目至足之數即得甲乙之髙
論曰兩測較外辛與表目較辛丁或癸寅其比例若距較戊子或巳丑與庚甲何者巳辛與辛丁既若巳庚與庚甲五卷四更之即巳辛與巳庚若辛丁與庚甲也五卷十一依顯丑寅與丑庚若寅癸與庚甲也則丑寅與丑庚亦若辛丁與庚甲也辛丁與寅癸等故而巳辛全線與巳庚全線若巳辛所截取之巳卯巳印與丑寅等故與巳庚所截取之丑庚也則巳辛全與巳庚全亦若巳辛分餘之卯辛與巳庚分餘之巳丑也五卷十九前巳論巳辛與巳庚若辛丁與庚甲即卯辛與巳丑亦若辛丁與庚甲也更
之即兩測較卯辛與表目較辛丁若距較等子戊之巳丑與甲庚也若却後而得壬子則反上論之第十一題
以表測地平逺
法曰欲于甲測甲乙地平逺先依地平線立一表為丙甲與地平為直角其表稍小于身之長次却立于戊目在丁視表末丙與逺際乙為一直線次想巳丙作直線與甲乙平行而分丁戊于巳即丙巳丁丙甲乙為等角形六卷四何者甲與巳兩為直角丙丁巳乙丙甲為平行線同方内外角等一卷廿九即其餘角必等故一卷三十二則表目較丁巳與表目相距之度巳丙之比例若丙甲表與甲乙也次以丁巳為第一數丙巳為第二數丙甲為第三數依法算之即得甲乙之逺第十二題
以矩尺測地平逺今木工為方所用
法曰欲于甲測甲乙地平逺先立一表為丁甲與地平為直角次以矩尺之内直角置表末丁以丁戊尺向遠際乙稍移就之令丁戊乙為一直線次從丁丙尺上依一直線視地平得巳次量巳甲為第一數丁甲為第二數又為第三數依法算之即得甲乙之逺
論曰巳丁乙既直角若從丁作丁甲為巳乙之垂線即丁甲為甲巳甲乙之中率六卷八之系次以丁甲表自乗為實以甲巳之度為法除之即得甲乙之逺六卷十七第十三題
移測地平遠及水廣
法曰欲于乙測乙戊地平逺及江河溪壑之廣凡近而不能至者於此際立一表為甲乙與地平為直角次以一小尺或竹木等為丙丁邪加表上稍移就彼際戊作一直線次以表帶尺旋轉向地平視丙丁尺端所直得巳次自乙量至巳即得乙戊之數論曰甲乙戊與甲乙巳兩直角形等即相當之乙戊與乙巳兩邊亦等則量乙巳得乙戊一卷廿六又論曰若以乙為心巳戊為界作圜即乙巳戊為同圜之各半徑等
注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁如上測之尤便
第十四題
以四表測遠前題測逺諸法不依極髙不得極逺此法于平地可測極逺法曰欲于乙測甲遠或城或山凡可
望見者皆是不論平否擇于平曠處前云
依地平線者必依直線取平此不必拘立一表
于乙次任却後若干大尺更立一表為丁令兩表與甲甲者是所測處指定一物或人或木或山及樓臺之頂皆是為一直線次從乙依乙丁之垂線任横行若干丈尺更立一表為丙次從丁與乙丙平行任若干丈尺稍逺于乙丙又立一表為戊四表俱任意長短從戊過丙望甲亦作一直線次以丁戊乙丙相減之較為第一數乙丁為第二數乙丙為第三數依法算之即得甲乙之逺論曰試作丙巳直線即得丙巳戊與甲乙丙為等角形六卷四何者甲乙丙丙巳戊兩為直角丙戊巳甲丙乙為平行線同方内外角等一卷廿九即餘角必等故則戊巳與等丙巳之乙丁之比例若丙乙與乙甲注曰如丁戊為三十六乙丙為三十乙丁為四十即以三十與三十六之較六為第一數以四十為第二數以三十為第三數依法算之得二百四十為甲乙之遠
測髙深廣逺不用推算而得其度分不諸布算難用前法其有畸分者更難今求不用布算而全數畸分俱可推得與布算同功其法曰凡測髙深廣遠必先得三率而推第四率三率者其一直景或倒景其二所立處至所測之底若不能至者則景較或兩測較其三表或距較也設如測一髙景較八距較十步其景較八與表十二之比例若距較十步與所求之髙此不論目至足之髙則于平面作甲乙甲丙兩直線任相聨為甲角從甲向乙規取八平分任意長短以當景較為甲丁次用元度從丁向乙規取十二平分以當表度次從甲向丙規取十平分其用度依前度任等不等以當距較為甲戊次從戊至丁作一直線次從乙作一直線與戊丁平行而截甲丙線于丙次規取自甲至戊諸分内之一分為度從戊向丙規得若干分即所求之髙
論曰甲乙丙角形内之戊丁
與乙丙兩線平行即甲丁與
丁乙之比例若甲戊與戊丙
六卷二則戊丙當為十五分與
三數法合加目至足之髙即
得全髙
又法曰若景較七度有半距較八步三分步之一即物髙度十三步三分步之一如後圖加目至足之髙即得全髙
若恒以甲丁為第一數丁乙為第二數甲戊為第三數即恒得戊丙為第四數
三數算法附
三數算法即九章中異乗同除法也先定某為第一數某為第二第三數次以第二第三兩數相乘為實以第一數為法除之即得所求第四數如月行三日得三十七度問九日行幾何度即以三十七度為第二數九為第三數相乗得三百三十三數為實次以三為第一數為法除之得一百一十一數即所求第四月行九日度數
如有畸分即用通分約分法依上算如一星行八日三時得十二度二分度之一問十四日六時行幾何度即以八日三時通作九十九為第一數以十二度二分度之一通作二十五為第二數以十四日六時通作一百七十四為第三數次以二十五與一百七十四相乗得四千三百五十為實以九十九為法除之得四十三分九十三次以二分為一度約得二十一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十四日六時度分之數
測量異同
明 徐光啟 撰
九章算法勾股篇中故有用表用矩尺測量數條與今譯測量法義相較其法畧同其義全闕學者不能識其所繇既具新論以攷舊文如視掌矣今悉存諸法對題臚列推求同異以竢討論其舊篇所有今譯所無者仍補論一則共為測量異同六首如左第一題與前篇第四題同
以景測髙
欲測甲乙之髙其全景乙丙長五丈立表于戊為丁戊髙一丈表景戊丙長一丈二尺五寸以表與全景相乗得五萬寸為實以表景百二十五寸為法除之得甲乙髙四丈
此舊法與今譯同
以表測髙
欲測甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙為丁丙高一丈却後五尺立于戊使目在巳戊至巳高四尺視表末丁與甲為一直線次以丁丙表髙十尺減目至足丁辛四尺得表目之較辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺為實以丙戊五尺為法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺
此舊法以甲壬丁為大三角形以丁辛巳為小三角形今譯以甲庚巳為大三角形丁辛巳為小三角形其實同法同論何者甲壬與壬丁若甲庚與庚巳也六卷四
以表測深
甲乙丙丁井欲測深其徑甲乙五尺立一表于井口為戊甲高五尺從戊視丙截甲乙徑于巳甲至巳得四寸次以井徑五尺減甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸為實以甲巳四寸為法除之得井深五丈七尺五寸
此舊法以戊甲巳為小三角形巳乙丙為大三角形今譯當以戊甲巳為小三角形戊丁丙為大三角形其實同法同論何者戊丁與丁丙若丙乙與乙巳也一卷三十四可推
第四題與前篇第十題後法同
以重表兼測無遠之高無髙之逺欲于戊測甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至則用重表法先于丙立丁丙表髙十尺却後五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺視表末丁與甲為一直線次從前表却後十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺却後八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四尺從丑視癸甲亦一直線次以表髙十尺減足至目四尺得表目較癸辛或丁寅六尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺為實以兩測所得巳寅丑辛相減之較卯辛三尺此較舊名景差今名兩測較為法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以兩測所得之小率丙戊五尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺為實以卯辛三尺為法除之即得乙丙逺二十五尺
此舊法測髙以癸辛或丁寅與辛卯偕甲辰與壬等丙之丁癸為同理之比例今譯以癸辛或丁寅與辛卯偕甲庚與等戊子之巳丑為同理之比例舊用壬丙表間也今用戊子距較也其實同法同論何者甲辰與辰丁若甲庚與庚巳也辰丁與丁癸若庚巳與己丑也六卷四平之則甲辰與丁癸若甲庚與己丑也補論曰舊法以重表測逺則卯辛與等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁與等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛丑為等角形六卷三十二即丑辛癸辰為相似邊六卷四甲辰丁丁寅巳為等角形即巳寅丁辰為相似邊是丑辛與癸辰若巳寅與丁辰也六卷四更之則丑辛與巳寅若癸辰與丁辰也今于丑辛減巳寅之度存卯辛于癸辰減丁辰存癸丁則卯辛與巳寅若癸丁與丁辰也所减之比例等所存之比例亦等
以四表測逺
欲測甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙二表與甲為一直線次于已
表之右戊上視丙表與甲為
一直線戊巳相去三寸次以
乙丙乙丁相乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一此舊法與今譯同
第六題與前篇第十題後法同理
以重矩兼測無廣之深無深之廣稍改舊法以從今論有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂線立戊甲巳句股矩尺甲巳句長六尺從股尺上視句末巳與谷底丙為一直線而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂線取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂線更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦長六尺從股尺上視句末癸與谷底丙為一直線而遇辛壬股于辛辛壬髙八尺次以前股所得庚甲五尺與兩句間壬甲十五尺相乗得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺與兩句間十五尺相乗得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺測深論作癸巳丑直線與本篇第四題重表測逺補論同測逺論與前篇第十題重表測髙論同測量異同
句股義
明 徐光啟 撰
句股即三邊直角形也底線為句底上之垂線為股對直角邊為弦句股上兩直角方形并與弦上直角方形等故句三股四則弦必五一卷四七注從此可以句股求弦句弦求股股弦求句一卷四七注可以求句股中容方容圓可以各較求句求股求弦可以各和求句求股求弦可以大小兩句股互相求可以立表求髙深廣逺以通句股之窮可以二表四表求極髙深極廣逺以通立表之窮其大小相求及立表諸法測量法義所論著畧備矣句股自相求以至容方容圓各和各較相求者舊九章中亦有之第能言其法不能言其義也所立諸法蕪陋不堪讀門人孫初陽氏刪為正法十五條稍簡明矣余因各為論譔其義使夫精於數學者覽圖誦說庶或為之解頥
句股求弦
法曰甲乙股四乙丙句三求弦以股自之得十六句自之得九并得二十五為實開方得甲丙弦五
第二題
句弦求股
法曰如前圖乙丙句三自之得九甲丙弦五自之得二十五相減得較十六開方得甲乙股四第三題
股弦求句
法曰如前圖甲乙股四自之得十六甲丙弦五自之得二十五相減得較九開方得乙丙句三巳上三論俱見一卷四十七題凡言某卷某題者皆引幾何原本為證下同
第四題
法曰甲乙股三十六乙丙句二十七求容方以句股相乗為實并句股得甲戊六十三為法除之得容方辛乙乙癸各邊俱一十五四二八論曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三為法即成甲戊線除實得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形與甲乙丙丁形等六卷十六而巳庚邊截乙丙句于癸甲丙弦于壬即成乙辛壬癸滿句股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙六卷十五分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也乙丙乙戊元等又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙六卷四更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿句股之直角方形六卷十五增題又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊巳各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊巳亦各與方形邊等則辛乙癸壬為直角方形
餘句餘股求容方求句求股
法曰甲丁餘股七百五十戊丙餘句三十求丁乙戊巳容方邊以丙戊甲丁相乘得二萬二千五百為實開方得容方乙丁丁巳各邊俱一百五十加餘股得股九百加餘句得句一百八十論曰甲丁戊丙相乘為實即成巳壬辛庚直角形與丁乙戊巳為甲丙角線形内之兩餘方形等一卷四三而壬巳與巳戊偕丁巳與巳庚為互相視之邊六卷十四故巳壬辛庚之實即丁乙戊巳之實開方得丁乙戊巳直角方形邊
又論曰甲丁與丁巳既若巳戊與戊丙六卷四之系即方形邊當為甲丁戊丙之中率六卷三十三之十五增題今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之數其法以前率比後率為二十五倍大之比例二十五開方得五則中率當為五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十則方形邊一百五十為甲丁丙戊之中率六卷界說五第六題
容方與餘句求餘股與餘股求餘句法曰容方乙丁丁巳各邊俱一百五十戊丙餘句三十求甲丁餘股以容方邊自之為實以餘句為法除之得甲丁餘股七百五十以容方與餘股求餘句法同論曰如上論兩餘方形等實故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁
又論曰方形邊既為甲丁戊丙之中率六卷三十三之十五增題即方形邊自乘為實以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙六卷十七
第七題
句股求容圓
法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圓以句股相乘得一萬九千二百倍之得三萬八千四百為實别以句股求
弦得甲丙弦
六百八十本篇
一并句股弦
容圓徑乙子
論曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之為實即丙丁戊己直角形求得甲丙弦幷句股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與句等庚辛與弦等得甲辛為弦和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊巳形等六卷十六而壬癸邊截乙丙句於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑曷名為容圓徑也謂於甲乙丙三邊直角形内作一圜其甲丙弦截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子丑丑寅寅乙諸邊皆為切圜線也則何以顯此五邊之皆為切圜線乎試于甲乙丙形上復作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等一卷二十二可推次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次于戌酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌為容圓徑次于亥戌寅丑兩線引之遇于乾又成乾寅亥直角三邊形以
亥為同角交
加于甲乙丙
形之上亦以
乙子丑寅為
容圓徑次作
丙兊線遇諸形之交加線于離于兊次作甲震線遇諸形之交加線于巽于震次作亥辰線遇諸形之交加線于坎于辰次作未乾線遇諸形之交加線于艮于卯而四線俱相遇于坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戌離丙子離又等為直角戌離丙子離丙又俱小于直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等六卷七則丙兊線必分甲丙未角為兩平分矣一卷九又子離與戌離兩邊既等本論子離震戌離卯兩交角又等一卷十五卯戌離震子離又等為直角即卯離戌離震子之各邊各角俱等而兩形亦等一卷廿六又子離與離戌兩邊既等離卯與離震兩邊又等本論即子卯與戊震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離卯戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等
丑辰震酉坎
之各邊各角
俱等而兩形
亦等一卷廿六依
顯午巽辰與
坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等巽寅兊與兊艮申之各邉各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二算見測圓海鏡之句股步率則減丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙弦則一百七十也本篇一次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戌卯既等為直角丑卯辰戌卯離兩交角又等丑卯與戌卯復等即兩形必等而其各邊各角俱等一卷廿六依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌皆四十八也
則酉坎坎乙
亦皆四十八也
亥酉亥乙皆八
十也子乙與
戌酉等子丙
與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等一卷廿六甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲巽午甲巽寅兩形之甲寅甲午既等甲巽同線甲午巽甲寅巽又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等六卷七是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也一卷九甲乙丙一形内既以丙兌線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇于坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邉而為甲乙丙直角三邊形之内切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑四卷四展轉論之則各大直角三邊形内之分角線皆分本角為兩平分皆遇于坤而坤心圜為各形之内切圜即兩直角方形邊為各句股形内之容圓徑又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二十與甲丙弦六百八十相減亦得乙子二百四十論曰如前論諸大句股形之分餘句俱八十諸句股和與諸弦相減之較亦俱八十則初分句二百四十為諸形之容圓徑
句股較求股求句
法曰甲丙弦四十五甲乙股甲丙句之較為甲丁九求股求句以弦自之得二千○二十五倍之得四千○五十較自之得八十一以減兩弦羃存三千九百六十九為實開方得句股和六十三加較九得七十二半之得三十六為甲乙股減較得二十七為乙丙句
論曰弦冪為甲戊直角方形倍之為己丙直角形較冪為甲庚直角方形與甲辛等相減即得減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得句股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形并等一卷四七即甲戊一弦冪内有一甲乙股冪一乙丙句冪也己丙兩弦冪内有兩甲乙冪兩乙丙冪也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形其丑寅與卯辰兩形兩股冪也丙壬與癸子兩形兩句冪也而丑寅卯辰之間則重一等甲辛之卯寅形減之即丑辰直角方形與己辛丙磬折形等矣乙丙為句丙丑與甲乙等故乙丑邊即句股和也若于乙丙句加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙句
第九題
句弦較求句求弦
法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙弦之較為甲丁十八求句求弦以股自之得一千二百九十六較自之得三百二十四相減存九百七十二為實倍較為法除之得二十七為乙丙句加較得四十五為甲丙弦論曰股冪為甲戊直角方形較冪為丁庚直角方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折形為實次倍甲丁較線為乙寅線以為法除實即得乙子直角形與甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等較冪之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即與股冪之甲戊直角方形等也又何者甲丙弦冪之甲辰直角方形内當函一句冪一股冪一卷四七試于甲辰形内截取丁庚較冪之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三線各與甲丁較線等庚申未戌未辰午酉四線各與等乙丙句之丁丙線等夫未酉酉戌并與句等即申未未酉并亦與句等而庚申未辰各與句等即庚未未午兩形并為句冪而丁庚午丁兩形并為股冪矣丁戌戌酉兩較也乙卯卯寅亦兩較也而丁丙與乙丙元等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁并與子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形與股冪之甲戌形等此兩率者各減一等較冪之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等
又法曰股自之得一千二百九十六為實以句弦較十八為法除之得句弦和七十二加較得九十半之得弦四十五減較得句二十七
論曰股冪為甲己直角方形以較而一為甲辛直角形即得甲壬邊與乙丙丙甲句弦和等何者甲丙弦冪之甲丑直角方形内當函一股冪一句冪一卷四七試于甲丑形内截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等即卯丑辰丙俱與等乙丙句之丁丙線等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與句等句冪也即甲卯卯辰兩形當與股冪等亦當與甲辛形等而甲庚卯寅皆較也甲子弦也卯丑句也則甲辛形之甲壬邊與句弦和等
第十題
股弦較求股求弦
法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙弦之較為丙丁九求股求弦以句自之得七百二十九較自之得八十一相減得六百四十八為實倍較為法除之得甲乙股三十六加較得甲丙弦四十五
論曰句冪為乙己直角方形較冪為丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚己磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚己磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙弦冪之甲癸直角方形内當函一句冪一股冪一卷四七試于甲癸形内截取丙丑較冪之外分作甲丑丑癸丑子三直角形即丑子與股冪等而丙丑甲丑丑癸三形并當與句冪等次各減一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并與乙庚己磬折形等亦與辛壬直角形等辛乙與寅丑丑丁并等即乙壬與甲丁或寅癸等亦與甲乙等
又法曰句自之得七百二十九為實以較為法除之得股弦和八十一加較得九十半之得弦四十五減較得股三十六
論曰句冪為丙戊直角方形以較而一為丙己直角形即得丙庚邊與甲乙甲丙股弦和等何者甲丙弦冪之甲辛直角方形内當函一股冪一句冪一卷四七試于甲辛形内依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與股冪等而丁辛丁癸兩形并當與句冪等亦與丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆較也而甲丁與股等丙辛與弦等即丙庚與股弦和等第十一題
句股和求股求句
法曰甲丙弦四十五甲乙乙丙句股和六十三求句求股以弦自之得二千○二十五句股和自之得三千九百六十九相減得一千九百四十四復與弦冪相減得八十一開方得句股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙句二十七
論曰以句股和作甲丁一直線自之為甲己直角方形此形内函甲辛癸己兩股冪乙寅庚壬兩句冪而甲辛癸己之間重一癸辛直角方形夫甲丙弦之冪既與句股兩冪并等一卷四七以減甲己形内之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少于弦冪者為癸辛形矣乙辛股也乙丑句也則丑辛較也第十二題
句弦和求句求弦
法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句弦和七十二求句求弦以股自之得一千二百九十六句弦和自之得五千一百八十四相減得三千八百八十八半之得一千九百四十四為實以和為法除之得乙丙句二十七以減和得甲丙弦四十五論曰以句弦和作乙丁一直線自之為乙戊直角方形次用句弦度相減取丙庚兩㸃從丙從庚作庚辛丙壬二平行線依此法作癸子丑寅二平行線即乙戊一形中截成丙子丑辛丁卯午己句冪四庚未辰壬癸辰未寅較句矩内直角形四卯午較冪一也今欲于乙戊全形中減一甲乙股之冪則于卯己弦冪内一句一冪并為弦存午己句冪而減子午辛磬折形即股冪矣何者卯己弦冪内當函一句冪一股冪也一卷四七又庚未與未寅等即庚壬形亦股冪也以庚壬形代磬折形即丁辛丙己兩形為和冪與股冪之減存形也半之即丙己形以等句弦和之乙己除之得乙丙句又法曰股自之得一千二百九十六以句弦和七十二為法除之得十八為句弦較加句弦和得九十半之得四十五為弦減較得二十七為句
股弦和求股求弦
法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以句自之得七百二十九股弦和自之得六千五百六十一相減得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙弦四十五
論曰乙丁和冪内之戊己句冪也餘論同本篇十三題
又法曰句自之得七百二十九以股弦和八十一為法除之得九為股弦較加股弦和得九十半之得四十五為弦減較得三十六為股
此法與本篇第十題又法同論第十四題
股弦較句弦較求句求股求弦法曰甲乙股甲丙弦較二乙丙句甲丙弦較九求句求股求弦以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為弦和較加句弦較九得甲乙股十五加股弦較二得乙丙句八以句弦較加句或股弦較加股得十七為甲丙弦
論曰股弦較甲丁二自之得四為己庚直角方形句弦較乙戊九自之得八十一為辛壬直角方形兩冪并得八十五以二減九得七即句股較自之得四十九為乾兊直角方形元設兩較互乘為癸戊子丑兩直角形并得三十六以三十六減八十五亦得四十九何以知癸戊子丑三十六為實開方得六之寅卯直角方形邊則弦和較也凡直角三邊形之弦冪必與句股兩冪并等一卷四七甲乙丙既直角形則甲乙乙丙兩冪并必與甲丙冪等今于甲乙股加甲辰弦丙乙句加乙午弦甲丙弦加丙未句未申股各作一直線以此三和線作一三邊形一卷廿二即甲申上之甲酉直角方形必不等于丙午上之丙戌直角方形乙辰上之乙亥直角方形并而此不相等之較必句股較冪之四十九也何者若于甲酉丙戌乙亥三直角方形各以元設句股弦分之即甲酉形内有弦冪一股冪一句冪一股弦矩内形二句弦矩内形二句股矩内形二而乙亥形内有弦冪一股冪一股弦矩内形二丙戌形内有弦冪一句冪一句弦矩内形二次以甲酉内諸形與乙亥丙戌内諸形相當相抵則甲酉内存句股矩内形二丙戌或乙亥内存弦冪一次以此兩存形相當相抵則一弦冪之大于兩句股矩内形必句股較冪之四十九也何者一弦冪内函一句冪一股冪今試如上圖任作一甲乙弦冪其乙丙為句冪則丁丙戊磬折形必與股冪等乙己為股冪則丁己戊磬折形必與句冪等次以乙庚辛壬兩句股矩内形輳乙角依角傍兩邊縱横交加于弦冪之上即得句股之較冪丙己而乙丙上重一句冪次以所重之句冪補其等句冪之丁己戊磬折形則甲乙弦冪之大於乙庚辛壬兩句股矩内形必丙己句股較冪矣故知向者乙亥或丙戌内與甲酉内兩存形之較必句股較冪之四十九也則乙亥丙戌兩形并其大於甲酉形亦句股較冪之四十九也今於辛壬較冪内減句股較冪四十九之乾兌直角方形其所存乾離震兊兩餘方形及離震己庚兩直角方形并必與癸戊子丑兩形并等次以癸戊子丑兩形開方為寅卯形則減寅卯之甲酉形與減辛壬之丙戌形減己庚之乙亥形并必等而減寅卯之甲酉形内元有弦冪如甲寅者四有弦偕寅卯形邊矩内形如寅巽者四減辛壬之丙戌形内元有句冪如丙辛者四有句偕句弦較矩内形如辛坎者四減己庚之乙亥形内元有句冪如己辰者四有股偕股弦較矩内形如甲己者四今以四弦冪當四句冪四股冪一卷四七則甲己辛坎兩形并必與寅巽形等甲丙與巽申等弦也丙申句股和也則兩弦間等寅卯形邊之丙巽不得不為弦和較矣既得丙巽六為弦和較即以元設兩較相加可得句股弦各數也何者巽申弦也巽艮句弦較也艮申句也丙申句股和也于丙申句股和減艮申句則丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲弦也丙坤股弦較也坤甲股也巽甲句股和也于巽甲句股和減坤甲股則巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲則弦也
第十五題
十二甲乙甲丙股弦和八
十一求句求股求弦以兩
和相乘得五千八百三十
二倍之得一萬一千六百
六十四為實平方開之得弦和和一百○八以股弦和減之得乙丙句二十七以句弦和減之得甲乙句三十六以句股和減之得甲丙弦四十五論曰兩和相乘為乙己直角形倍之為丁戊直角形以為實平方開之得己庚直角方形與丁戊等即其邊為弦和和者何也丁戊全形内有弦冪二股弦矩内形句弦矩内形句股矩内形各二與己庚全形内諸形比各等獨丁戊形内餘一弦冪己庚形内餘一句冪一股冪并二較一亦等一卷四七即己庚方形之各邊皆弦和和