御製厯象考成後編卷三
交食數理
交食總論
用日躔月離求實朔望
用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距求月食初虧復圓時刻食既生光附
求日月實徑與地徑之比例視徑附
求黄道高弧交角
求月食初虧復圓併徑黄道交角即緯差角求白經高弧交角
求高下差
求日食食甚真時及兩心視相距
求日食初虧復圓時刻方位附
求日食帶食
交食總論日月相㑹為朔相對為望朔而同度同道則月掩日而日為之食望而同度同道則月亢日而月為之食朔望日月皆東西同度而南北不皆同道同道則食顧推步之法月食猶易而日食最難以月在日下人在地面隨時隨處所見常不同也自大衍以至授時其法寖備我朝用西法推驗尤請上編言之詳矣近日西人噶西尼等益復精求立為新表其理不越乎昔人之範圍而其用意細密又有出於昔人所未及者如求實朔實望用前後二時日月實行為比例昔之用平朔平望實距弧者未之及也日月兩心相距最近為食甚兩周初切為初虧初離為復圓皆用兩經斜距為比例昔之用月距日實行者未之及也日食用圖算月之視行不與白道平行帶食日在地平視差即圓之半徑月之視距即見食之淺深昔之言視差者亦未之及也雖其數所差無多而其法實屬可取其他或因屢測而小有變更或因屢算而益求簡㨗則又考驗之常規而推步所當從也各為之說如左
用日躔月離求實朔望從來求實朔望有二法一用本日次日兩子正日月黄道實行度比例其相㑹之時刻為實朔相對之時刻為實望推逐月朔望用之見下編推合朔弦望法以巳有本年逐日之日躔月離故也一用本年首朔先求本月平朔望之時刻然後求其平行實行之差比例加減而得實朔望之時刻推交食用之見上編朔望有平實之殊篇及下編推日食月食法因上考徃古下推將來不必逐日悉推其躔離而即可逕求其朔望故也斯二法誠不可偏廢但從前交食求平行實行之差太隂惟用初均故甚整齊簡易今求太隂初均又有諸平均之加減旣屬繁難而黄白大距又時時不同非推月離不得其凖故今交食推實朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日兩子正之日躔月離以求其實朔望之時又推本時次時兩日躔月離以比例其時刻較之舊法似為紆逺然太隂之行甚速因遲疾差之故一日之内行度時時不同且平行實行之差大者至八九度則平朔望與實朔望之相距即至十有餘時今以前後兩時相比例較之止用兩子正實行度相比例者固為精宻即較之以距時為比例者亦又加詳矣
用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距新法算書以實朔用時即為日食食甚用時以實望用時即為月食食甚時刻皆黄白同經太隂自道度與太陽黄道度相等為黄白同經上編以此時兩心斜距猶逺惟自白極過太陽作經圏與白道成直角太隂臨此直角之㸃兩心相距最近始為食甚故以白道升度差為食甚距弧以一小時月距日實行比例得時分與實朔望用時相加減方為食甚時刻月食即食甚時刻日食為食甚用時其法較前為加密矣見月食五限時刻日食三限時刻篇近日西法用日躔月離比例求實朔望是為黄道同經較之新法算書去食甚為尤逺而其求食甚之法則亦以兩心相距最近為食甚實緯以實朔望太隂距最近㸃之度為食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月兩經常相斜距若以太陽為不動則太隂如由斜距線行故求兩心相距最近之線不與白道成直角而與斜距線成直角其距弧變時亦不以月距日實行度為比例而以斜距度為比例較之上編為尤近焉雖度分時刻所差無多而其理更為細密圖說詳著於左
為中交新法算書以日心在甲月心
在丙為實朔影心在甲月心在丙為
實望甲乙與丙乙等是為黄白同經
無另求食甚之法上編以月行至丁
為食甚甲丁距緯與白道成直角較
甲丙為近故丙丁為食甚距弧以月
距日實行比例得時分加於丙㸃實
躔月離黄道度算則以日心在甲月
心在戊為實朔影心在甲月心在戊
為實望甲戊距緯與黄道成直角是
為黄道同經戊之去丁較丙丁為尤
逺按上編之法當以甲乙黄道度求
丁乙白道升度與戊乙太隂距交白
道度相減餘戊丁為食甚距弧而仍
以甲丁距緯為食甚兩心實相距夫
謂甲丁為食甚兩心實相距戊丁為
食甚距弧者蓋月由戊行至己則日
由甲行至庚庚己與甲丁平行甲庚
與辛已等庚己與甲辛等丁己與辛
己甲丁與庚己皆相差無多故借甲
丁為與庚己等為兩心實相距借丁
己為與辛己等為日行月食為影心行與日行等
日之行故即以戊丁為距弧以一小
時月距日實行為比例即得食甚距
時也今求食甚之法以戊乙與甲乙
原非平行日月兩經常相斜距己㸃
固為直角相對之時而其相距尤近
必猶在己㸃之後試與甲乙平行作
戊壬線為黄道距等圏取一小時日
實行甲癸之分截之於子取一小時
戊子等亦為一小時日實行戊寅與
子丑等亦為一小時兩經斜距戊寅
丑與戊辛己為同式形月行為戊丑
則日行為寅丑與甲癸等斜距為戊寅月
行為戊己則日行為辛己與甲庚等斜距
為戊辛是日月二道原非平行而兩
動將庚㸃合於甲則月心己㸃必合
於辛將癸㸃合於甲則月心丑㸃必
合於寅是月在戊丑白道上行即如
在戊寅斜距線上行矣乃自甲㸃與
戊寅斜距成直角作甲夘線與丑寅
平行作夘辰線與甲夘平行作辰巳
線則甲己與夘辰等為實朔至食甚
之日實行戊辰為實朔至食甚之月
為股甲辛為弦股必短於弦也是月心臨於辰㸃方
為食甚其實行在己㸃後也若以日
心為不動將己㸃合於甲則月心辰
㸃必合於夘故戊夘為食甚距弧求
之之法先用戊丑寅三角形寅丑邊
為一小時日實行戊丑邊為一小時
月實行丑角與乙角等即本時黄白
斜距交角差斜距交角差者乃斜距黄道交角與黄白交角
之差此本係弧線三角形因其形甚小故作直線算以從簡易並求
得戊寅邊為一小時兩經斜距次用
甲戊夘三角形以丑戊寅角與丑戊
壬黄白交角相加戊壬寅丑二線皆與甲乙線平行故
丑角戊角皆與乙角等得寅戊壬角為斜距黄
道交角即與夘甲戊角等甲戊午與甲夘戊及
戊夘午皆為同式三角形故寅戊壬角與夘甲戊角等乃以半
心實相距又以半徑與甲角正弦之
比同於甲戊與戊夘之比而得戊夘
為食甚距弧然後以戊寅一小時兩
經斜距為一率一小時為二率戊夘
食甚距弧為三率求得四率為食甚
距為戊夘戊夘辰三角形與戊寅丑
四度五十八分三十秒丁甲戊角戊丑寅角丑戊
壬角皆與乙角等甲乙為實朔太隂黄道距
中交前十度戊甲為太隂距黄道北
五十一分五十七秒六五寅丑為一
小時日實行二分二十七秒八五戊
丑為一小時月實行三十二分五十
六秒四六舊法用甲乙戊三角形求
得甲丁兩心實相距為五十一分四
時月距日實行為三十分二十八秒
六一此例食甚距時得八分五十二
秒二四今法先用戊丑寅三角形求
得丑戊寅角二十四分五秒八二與
丑戊壬角相加得五度二十二分三
十五秒八二為斜距黄道交角與夘
甲戊角等又求得戊寅邉三十分二
用甲夘戊三角形求得甲夘兩心實
相距為五十一分四十三秒九三比
甲丁近二秒戊夘距弧為四分五十
二秒一三以戊寅兩經斜距比例食
甚距時得九分三十四秒九四比戊
丁距時遲四十三秒是為兩心相距
最近之時若實朔望在交後則日由
乙向甲月由乙向戊兩心以漸而逺
求月食初虧復圓時刻食既生光附月食求初虧復圓時刻以食甚實緯為一邊併徑為一邊以實緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻初虧減復圓加上編言之詳矣見月食五限時刻篇今以弧線可作直線算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧變時則以一小時兩經斜距為比例葢食甚兩心實相距既與斜距成直角則初虧復圓之併徑亦與斜距成勾股故仍以斜距比例時分也圖說并著於左
為黄白交角實望時地影心在甲月
心在丙食甚時地影心在丁月心在
戊戊丁為食甚兩心實相距與甲己
等丙己為食甚距弧初虧時地影心
在庚月心在辛辛戊為初虧至食甚
之月實行庚丁為初虧至食甚之日
距弧理與食甚同庚壬卽食甚兩心實相
距與甲己等庚辛為併徑與甲癸等
復圓時地影心在子月心在丑戊丑
為食甚至復圓之月實行丁子為食
甚至復圓之日實行與戊寅等寅丑
為食甚至復圓日月兩行之斜距與
巳夘等即復圓距弧子寅即食甚兩
甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳
甲為相等四股勾形若以地影心為
不動以食甚影心丁㸃合於甲則月
心戊㸃合於巳以初虧影心庚㸃合
於甲則壬㸃合於巳而月心辛㸃合
於癸以復圓影心子㸃合於甲則寅
㸃合於巳而月心丑㸃合於夘初虧
復圓距弧即與癸夘斜距合為一線
得癸己股與巳卯等為初虧復圓距
弧夫癸己與己夘二弧既皆為兩經
斜距則以二弧變時亦當與斜距為
比例故以一小時兩經斜距與一小
時之比同於癸己或己夘初虧復圓
距弧與初虧復圓距時之比也若食
既生光則甲癸甲夘二線為月半徑
復圓同
求日月實徑與地徑之比例視徑附從來算家謂日月之在天其實徑原為一定之數而視徑之大小則因距地有逺近而時時不同然所謂實徑者仍以視徑之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心數皆與舊不同則日月距地之逺近亦因之而各異且視徑之大小古今所測相差惟在分秒之間在器只争毫釐而在數已差千百則實徑究亦未有一定之數也新法算書載日實徑為地徑之五倍有餘中距日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百四十二月實徑為地徑百分之二十七强中距朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二上編仍之以推最高日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百六十二最卑日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百二十一見日躔地半徑差篇最高朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六最卑朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十四又百分之八十四見交食日月距地與地半徑之比例篇今監臣戴進賢等據西人近年所測日天半徑與地半徑之比例最高為一與二萬零九百七十五中距為一與二萬零六百二十六最卑為一與二萬零二百七十七月天半徑與地半徑之比例最高為一與六十三又百分之七十七中距為一與五十九又百分之七十八最卑為一與五十五又百分之七十九詳本編曰躔月離地半徑差篇又用逺鏡儀西人黙爵所製以逺鏡加衡為窺管測得日視徑最高為三十一分四十秒中距為三十二分一十二秒最卑為三十二分四十五秒月視徑最高為二十九分二十三秒中距為三十一分二十一秒最卑為三十三分三十六秒用此數推算日實徑為地徑之九十六倍又十分之六月實徑為地徑百分之二十七小餘二六强夫月實徑與舊大致相符而日實徑差至十九倍者蓋今所測日距地數比舊原大十八倍餘則日實徑比舊大十九倍止為大十八分之一故今之日視徑亦比舊大十八分之一是則視徑之大小固各得之實測要亦合諸推算以成一家之言至於日體純陽其光恒溢於常徑之外新法算書謂周圍皆大一分今說謂大一十五秒故推日食之法必於併徑内減去太陽光分一十五秒餘與視緯相較方為受食之分而日之本徑則仍帶光分算其理固應爾也測算之法並見上編
求影半徑及影差地影半徑之大小由於太陽距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太陽在最高所生之大影為率求得太隂從高及卑所當地影之濶為影半徑又以太陽從高及卑所生各影小於大影之較為影差與影半徑相減乃為實影半徑上編言之詳矣見地影半徑篇今以三角形之理考之日月兩地半徑差相併即與日半徑影半徑相併之數等而日月地半徑差及日半徑皆推交食所必用之數且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半徑惟以日月兩地半徑差相加内減去日半徑餘即為實影半徑以影差已在其中也此外又有視影之說蓋以地上有蒙氣差能映小為大則太陽實徑必小於視徑實徑小則影大矣又月食時日在地下蒙氣轉蔽日光則地影視徑必尤大於實徑計其所大之分約為太隂地半徑差六十九分之一故又以此為影差與實影半徑相加為視影半徑則所謂影差者名雖同而義實異也總之算家立說古今不必相同然測驗皆期於合天而推步必歸於有據舊說謂太陽有光分能侵地影使小今說謂地周有蒙氣能障地影使大此亦極不同之致矣然最大影半徑舊為四十六分四十八秒今為四十六分五十一秒相差不過三秒最小影半徑舊為四十二分三十八秒今為三十八分二十八秒相差四分有餘蓋地影之大小固由於太陽距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗為尤重查最卑太隂距地今昔相差不過百分地半徑之九十五最高太隂距地則相差至百分地半徑之五百六十一夫月之距地既因兩心差而不同則月徑與影徑遂亦因之而各異要皆據一時之所測設法推步以求合而非為臆說也圖說詳著於左
徑丙丁為日半徑從丁切乙作光線
與丙甲線交於戊甲戊為地影之長
當地影之濶己甲辛角為影半徑分
詳上編地影半徑篇試觀甲丁辛三角形丁辛
二内角與壬甲辛一外角等而丁角
即太陽地半徑差辛角即太隂地半
徑差甲丁線畧與甲丙日天半徑等甲辛線畧與甲巳月天半徑等
角與丙甲丁角為對角即日半徑故
以丁角太陽地半徑差與辛角太隂
地半徑差相加即得壬甲辛角内減
日半徑壬甲己角餘己甲辛角即實
影半徑蓋日月地半徑差及日半徑
不同故所得影半徑即為本時之實
影半徑不復有影差也又蒙氣映小
為大丙丁為太陽視半徑丙癸為太
陽實半徑從癸切乙作光線與丙甲
線交於子則月行所當地影半徑為
球外蒙氣之厚如乙寅從丁切寅作
光線與丙甲線交於夘則月行所當
地影半徑為己辰而己辰之分必尤
大於己辛矣此辛辰之分當辛甲辰
角約為甲辛乙角六十九分之一故
角相加得己甲辰角為視影半徑也
求黄道高弧交角求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上編月食方位求交角之法與日食三差之求交角者微有不同而畧為簡易葢各圏相交皆成弧線三角形轉換相求法可相通而理實一致彼此互相發也近日西法又以黄道赤經交角與赤經高弧交角相加減而得黄道高弧交角用以求月食方位繁簡大槪相同而用以求日食三差則甚為省便葢黄道隨天西轉其象時時不同而黄道赤經交角無異不須逐時推算也因著其法於左
子午圏乙丙為地平丁為
赤極戊己庚為赤道辛為
黄極壬癸子丑為黄道己
為春分丑為黄道交西地
平之㸃壬為黄平象限距
丑九十度癸為正午壬癸
之度即丑角度子為太隂
實行經度日食即為太陽經度月食為太
陽對衝地影之經度子已為太隂距
春分後之經度子壬為太
隂距黄平象限之度甲子
夘為高弧丁子辰為赤道
經圈辰巳為赤道同升度
度日食即太陽距午正赤道度月食為太陽距子
正赤道度丑子夘角為黄道高
弧交角求之之法先用戊
己弧求癸己癸戊二弧及
癸角次求癸丑弧及丑角
以求子角者日食三差之
法也先用己庚弧求己丑
弧及丑角以求子角者月
子丁角與辰子夘角為對
角即赤經高弧交角兩角
相減即得丑子夘黄道高
弧交角夫黄道交地平之
丑角時時不同而己子辰
黄道赤經交角則初虧與
復圓無異然則先求得黄
弧交角則惟求一赤經高
弧交角與之加減而己其
加減之法以太陰在夏至
前後各六宫與距正午之
東西為定試以甲為天頂
作乙庚丙己地平圏乙甲
丙為子午經圏庚甲己為
東西經圏庚戊己為赤道
西地平未為夏至當東地
平是為夏至前六宫在地
平上癸為黄道當正午之
度己癸為黄平象限距午
東之度設太隂子㸃在正
午之西甲子夘為高弧丁
辰子為過赤極經圏己子
丑子夘角為黄道高弧交
角與甲子癸角等是以甲
子丁赤經高弧交角與己
子辰黄道赤經交角相減
餘甲子癸角即黄道高弧
交角也設太隂申㸃在正
午之東甲申酉為高弧丁
丁申未角等甲申丁角為
赤經高弧交角酉申未角
為黄道高弧交角乃甲申
未角之外角是以甲申丁
赤經高弧交角與丁申未
黄道赤經交角相加得甲
申未角與半周相減餘酉
也若己為秋分當黄平象
限未為夏至當西地平丑
為冬至當東地平是為夏
至後六宫在地平上癸為
黄道當正午之度己癸為
黄平象限距午西之度設
太隂子㸃在正午之西甲
子夘為高弧丁子辰為過
等甲子丁角為赤經高弧
交角夘子未角為黄道高
弧交角乃甲子未角之外
角是以甲子丁赤經高弧
交角與丁子未黄道赤經
交角相加得甲子未角與
半周相減餘夘子未角即
申㸃在正午之東甲申酉
為高弧丁戌申為過赤極
經圏己申戌角為黄道赤
經交角甲申丁角為赤經
高弧交角丑申酉角為黄
道高弧交角與甲申癸角
等是以甲申丁赤經高弧
交角與己申戌黄道赤經
在午東而亦在限東太隂
在午西而亦在限西之常
法也若太隂在夏至前六
宫而在正午之東如乾以
甲乾丁赤經高弧交角相
加得己乾甲角不足九十
半周相減即以酉乾丑角
為黄道高弧交角乃知太
隂乾㸃在黄平象限巳㸃
之西也葢惟正當黄平象
限高弧與黄道成直角在
限西者則高弧與限西之
黄道成銳角在限東者則
高弧與限東之黄道成銳
限己㸃之西而乾酉高弧
乃與限西之乾丑黄道相
交成銳角也太隂在午西
而在限東者倣此左圖以二至當
地平乃黄平象限偏午東午西之極大者如二分當
地平則黄平象限當正午加減之法並同至求
赤經高弧交角之法則以
北極為一邊影距正午赤
道度日食則為日距正午赤道度為所
夾之角用弧三角法算之
如太隂在申甲申丁三角
形申角為赤經高弧交角
甲丁為北極距天頂申丁
為影距北極丁角當戊戌
弧為影距正午赤道度因
角成直角求得甲坎丁坎
二邊以丁坎與丁申相減
即得坎申邊用之與甲坎
邊求申角也如太隂在艮
甲丁艮角當戊己弧適足
九十度成直角則甲丁即
為垂弧即用甲丁艮正弧
隂在震甲丁震角當戊巽
弧過於九十度成鈍角則
自天頂甲作甲離垂弧於
形外使離角成直角求得
甲離離丁二邊以離丁與
丁震相加即得離震邊用
之與甲離邊求震角也又
如黄道在天頂北太隂在
作垂弧至兊而所求之丁
兊距極分邊反大於丁坤
影距北極則以坤兌甲兌
甲坤丁角為鈍角也若所
求距極分邊與影距北極
等即知赤經高弧交角為
高弧交角有與黄道赤經
交角相等者亦有與黄道
赤經交角共為一百八十
度者有反大于黄道赤經
交角而不足減者亦有與
黄道赤經交角相加大于
半周而又減去半周者如
北極出地二十三度二十
至未㸃之前而在正午之
西當以赤經高弧交角與
黄道赤經交角相減為黄
道高弧交角今甲子丁赤
經高弧交角與己子辰黄
道赤經交角相等兩角相
減無餘即知黄道與高弧
㸃在夏至未㸃之前而在
正午之東當以赤經高弧
交角與黄道赤經交角相
加為黄道高弧交角今甲
申丁赤經高弧交角與巳
申戌黄道赤經交角相加
共一百八十度亦如黄道
與高弧合無交角也又如
北太隂子㸃在夏至未㸃
之前而在正午之西當於
黄道赤經交角内減赤經
高弧交角為黄道高弧交
角今甲子丁赤經高弧交
角與辰子夘角等反大於
巳子辰黄道赤經交角則
内反減巳子辰黄道赤經
交角餘巳子夘角為黄道
高弧交角即知黄平象限
在天頂北也又如太隂申
㸃在夏至未㸃之前而在
正午之東當以赤經高弧
交角與黄道赤經交角相
加為黄道高弧交角今甲
赤經交角相加大於一百
八十度則減去巳申戌角
及戌申未角共一百八十
度餘未申酉角為黄道高
弧交角亦如黄平象限在
天頂北也總之黄道出入
於赤道之内外隨天左旋
又以人所居之南北異地
改觀益多變換然定之以
數自無遁形或從地平立
算或從子午圈立算或從
赤道經圈立算法雖不同
理實一致合而觀之益見
弧線三角之用至通變矣
求月食初虧復圓併徑黄道交角即緯差角定月食方位月當黄道無距緯即用黄道高弧交角為定交角若月在交前後有距緯則又求緯差角與黄道高弧交角相加減為定交角上編言之詳矣見月食方位篇然求緯差角之法必先用初虧復圓交周各求距緯今初虧復圓距弧皆斜距之度須復以斜距與白道為比例方得交周頗為費算且前已有斜距黄道交角與九十度相加減即黄道交實緯角則求得併徑交實緯角與之相減餘併徑交黄道之角即緯差角甚為簡便故質名之曰併徑黄道交角至其與黄道高弧交角相加減之法並同上編兹不復載
如圖甲乙為黄道丙乙為白道丙丁
為黄道距等圏戊己為日月兩經斜
距甲為地影心食甚時月心在庚初
虧時月心在戊復圓時月心在己戊
甲辛角為初虧併徑黄道交角即初
虧緯差角己甲乙角為復圓併徑黄
角等與九十度相加得庚甲辛角為初
虧黄道交食甚實緯角甲庚為食甚兩心相距不
係經圏以其為南北之度故借名實緯以丙甲庚斜距
角為復圓黄道交食甚實緯角此論在交
前地影由甲向乙月由丙向乙故戊為初虧己為復圓若在交後地影由
乙向甲月由乙向丙則己為初虧其角與九十度相減戊為復圓其角與
角等為併徑交食甚實緯角初虧則
與庚甲辛角相減餘戊甲辛角即初
虧併徑黄道交角復圓則與庚甲乙
角相減餘己甲乙角即復圓併徑黄
道交角也乃視併徑交實緯角小於
黄道交實緯角則初虧復圓在黄道
之南北與食甚同若併徑交實緯角
轉大於黄道交實緯角則南北與食
如乙為中交食甚地影心在甲月心
在庚甲庚為食甚實緯在黄道北初
虧庚甲壬併徑交實緯角小於庚甲
辛黄道交實緯角則初虧亦為緯北
與食甚同復圓庚甲癸併徑交實緯
角大於庚甲乙黄道交實緯角則復
圓變為緯南與食甚相反也食甚實
此旣知初虧復圓併徑黄道交角及
其在黄道之南北則與黄道高弧交
角相加減為定交角其理并與上編
同
求白經高弧交角日食三差之法以黄白二道交角與黄道高弧交角相加減得白道高弧交角白道與高弧及白道經圏相交成正弧三角形直角對高下差交角對南北差餘角對東西差上編言之詳矣今以黄赤二經交角加減黄白二經交角得赤白二經交角與赤經高弧交角相加減得白經高弧交角對東西差餘角對南北差蓋白道與白道經圏相交其角必九十度白經高弧交角即白道高弧交角之餘凡弧角與九十度相減所餘為餘餘角是用白經高弧交角與用白道高弧交角等且以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加減得黄道高弧交角見前篇又加減黄白二道交角為白道高弧交角須加減二次而黄赤二經交角即黄道赤經交角之餘交食時日必近交黄白二經交角又即與黄白二道交角等故以黄赤二經交角與黄白二經交角相加減得赤白二經交角則為初虧食甚復圓同用之數至求三限白經高弧交角止與赤經高弧交角一加減而得之其法尤為省便也二經交角加減之法以黄道之二至白道之二交為定蓋惟冬夏二至黄經與赤經合無交角冬至後黄道自南而北黄經必在赤經西夏至後黄道自北而南黄經必在赤經東交周初宫十一宫在正交前後白道自南而北白經必在黄經西猶黄道冬至後交周五宫六宫在中交前後白道自北而南白經必在黄經東猶黄道夏至後乃視黄經在赤經西白經又在黄經西或黄經在赤經東白經又在黄經東則相加得赤白二經交角東仍為東西仍為西若黄經在赤經西而白經在黄經東或黄經在赤經東而白經在黄經西則相減得赤白二經交角黄赤二經交角大則從黄經之向黄白二經交角大則從白經之向若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角也其與赤經高弧交角加減之法則以日距正午之東西為定蓋惟日當正午則赤經與高弧合無交角午前赤經必在高弧東午後赤經必在高弧西乃視赤經在高弧西白經又在赤經西或赤經在高弧東白經又在赤經東則相加得白經高弧交角午東亦為限東午西亦為限西若赤經在高弧東而白經在赤經西或赤經在高弧西而白經在赤經東則相減為白經高弧交角赤白交角小則午東仍為限東午西仍為限西赤白交角大則午東變為限西午西變為限東若兩角相等而減盡無餘則白經與高弧合無交角即知太陽正當白平象限上若兩角相加適足九十度則白道在天頂與高弧合若兩角相加過九十度則與半周相減用其餘即知白平象限在天頂北也是法也不用求黄道高弧交角而逕求白經高弧交角入算甚簡而理亦無遺新法用簡平儀繪圖尤為明顯列圖如左
如圖甲為天頂乙丙丁戊
為地平圏丙己戊為赤道
庚己辛為黄道己為春分
庚為冬至辛為夏至癸為
赤極即北極壬為黄極庚壬
癸辛為過二至經圏即過
二極經圏冬至日行在庚
黄經必在赤經西漸逺則
角漸大至春分而止如日
行在子壬子黄經在癸子
赤經西壬子癸角為黄赤
二經交角即癸子己黄道
赤經交角之餘己子壬角九十度
春分日行在己壬己黄經
為黄赤二經交角與戊己
辛二道交角等壬己辛角戊己癸角
皆九十度是為最大過此又漸
小夏至日行在辛則黄赤
二經又合為一線無交角
夏至後日行自北而南黄
經必在赤經東漸逺則角
又漸大至秋分而止如日
二經交角即癸丑辛黄道
赤經交角之餘癸丑辛角與寅丑夘
角等秋分日行在寅壬寅黄
經在癸寅赤經東壬寅癸
角為黄赤二經交角與丙
寅辛二道交角等過此又
漸小至冬至乃復合為一
亦如黄道之交於赤道但
其行度自正交起算交食
時日月又必近交故其南
北東西及兩經交角惟以
兩交為定設白極在辰正
交在午白道自南而北猶黄
道之春分日行在正交㸃如午
或正交前如子正交後如
交角為相等惟日在正交午㸃其壬午
辰黄白二經交角與庚午未黄白二道交角等若在
交前如子交後如巳其壬子辰與壬巳辰黄白二經
交角皆微小於二道交角然所差無多故為相等與
上編捷法同此黄經在赤經西
白經又在黄經西則以黄
白二經交角與黄赤二經
角也設白極在申中交在
酉白道自北而南猶黄道之秋分
日行在中交㸃如酉或中
交前如子中交後如已白
經皆在黄經東黄白二經
交角亦與黄白二道交角
為相等此黄經在赤經西
而白經在黄經東則以黄
角黄赤二經交角大則從
黄經之向白經亦在赤經
西也設黄經在赤經西而
中交近二至經圏如戌亥
戌白經在壬戌黄經東壬
戌亥黄白二經交角反大
於壬戌癸黄赤二經交角
二經交角則從白經之向
白經轉在赤經東也旣得
赤白二經交角是為初虧
食甚復圓同用之數初虧至復
圓太陽行度無幾故二經交角不改隨時求
得赤經高弧交角與之加
減即得各時白經高弧交
角如日行在子是為午後
交角此赤經在高弧西白
經又在赤經西則相加得
辰子甲角為白經高弧交
角白經更在高弧西是知
太陽在白平象限西也又
如日行在己是為午前甲
己癸角為赤經高弧交角
角此赤經在高弧東白經
在赤經西則相減餘甲己
辰角為白經高弧交角赤
白二經交角大白經為在
高弧西是知太陽雖在午
東而却在白平象限西也
蓋惟太陽正當白平象限
則白道經圏過天頂與高
東西與白平象限一理也
又與白道平行作乾坎線
則辰子坎角為九十度甲
子坎角為白道高弧交角
與乾子艮角等甲子辰白
經高弧交角即甲子坎角
與用白道高弧交角一理
也又如癸丁北極出地二
十八度赤道距天頂之甲
震弧亦二十八度春分巳
㸃在午西夏至前巽㸃當
正午震巽距赤道北二十
三度餘正交在離巽甲距
黄道北又四度餘則白道
與癸離坤赤白二經交角
相加得甲離坤白經高弧
交角適足九十度蓋白經
與白道相交其角必九十
度白道既與高弧合故白
經高弧交角亦九十度也
過此以徃北極愈低則白
平上白道即在天頂北白
經高弧交角即大於九十
度而成鈍角則與半周相
減餘為白道南之經圏與
高弧相交之角是不求限
距地高而白平象限在天
頂之南北俱以白經高弧
交角為定也白經在赤經
求高下差高下差者日月高下之視差也日食食甚用時乃從地心立算人在地面視之則有地半徑差而太陽地半徑差恒小太隂地半徑差恒大故於太隂地半徑差内減去太陽地半徑差始為高下差焉見上編日食三差及日月地半徑差篇如日月實高本係同度而太陽以地半徑差之故視高比實高低五秒太隂以地半徑差之故視高比實高低三十分則人之視太隂必比太陽低二十九分五十五秒也然求兩地半徑差而後相減其法甚繁今按半徑一千萬與日月距天頂正弦之比既皆同於地平地半徑差與本時地半徑差之比見本編日躔地半徑差篇而全與全之比又原同於較與較之比則以半徑一千萬與日距天頂之正弦之比交食時日月高弧畧相等故即以日高弧為月高弧必亦同於地平高下差與本時高下差之比矣故今求高下差唯以本時太隂距地數求得太隂地平地半徑差内減太陽地平地半徑差十秒餘為地平高下差初虧食甚復圓各以其時日距天頂之正弦為比例其法甚為省便也
丙丁為日天戊己為月天
假如日在庚實距天頂為
丙甲庚角視距天頂為丙
乙庚角與丙甲丁角等其
差庚甲丁角即地平太陽
地半徑差與甲庚乙角等
甲乙地半徑即其角之正
實高為壬甲丁角視高為
壬乙庚角與癸甲丁角等
其差壬甲癸角即本時太
陽地半徑差與甲壬乙角
等將壬乙線引長作甲子
垂線即其角之正弦與壬
丑等甲乙子勾股形子角
為直角乙角與丙乙壬角
半徑差之正弦甲子即本
時太陽地半徑差之正弦
因其邊度甚小正弦與弧
線可以相為比例則甲乙
即為地平太陽地半徑差
與庚丁弧等甲子即為本
時太陽地半徑差與壬癸
乙角正弦之比即同於地
平太陽地半徑差甲乙與
本時太陽地半徑差甲子
之比也假如太隂在寅實
距天頂為寅甲戊角視距
天頂為寅乙戊角與已甲
戊角等其差寅甲巳角即
地平太隂地半徑差與甲
天半徑大故角小甲寅月天半徑小故角大與
寅夘等又如月在辰實高
為辰甲己角視高為辰乙
寅角與巳甲己角等其差
辰甲巳角即本時太隂地
半徑差與甲辰子角等甲
子亦其角之正弦與辰午
乙即地平太隂地半徑差
與寅己弦等甲子即本時
太隂地半徑差與辰巳弧
等故以子直角正弦與乙
角太隂視距天頂正弦之
比亦同於地平太隂地半
徑差甲乙與本時太隂地
故地半徑雖等而差角不等今以日天半徑與月天
為相等則差角之不等者其正弦亦不等乃可相較
也自地平太陽實高線割
月天之未㸃與乙庚視高
線平行作未申線則甲未
申角與甲庚乙角等甲申
即地平太陽地半徑差甲申
弦與未已弧等而月天之未已弧與日天之庚丁弧
同當庚甲丁角其度相等故甲申即為地平太陽地
半徑差與甲乙地平太隂地
半徑差相減餘申乙即地
平高下差甲乙當寅已弧甲申當未巳弧
乙申當寅未弧自本時太陽實高
線割月天之酉㸃與乙壬
視高線平行作酉申線引
陽地半徑差與甲子本時
太隂地半徑差相減餘戌
子即本時高下差與申亥
等甲子當辰巳弧甲戌當酉巳弧子戌當辰酉弧
申乙亥與甲乙子為同式
形故以亥直角正弦與乙
角日距天頂正弦之比亦
與本時高下差申亥之比
也
右求高下差以半徑與太
陽視距天頂之正弦為比
例今日食所推太陽高弧
乃實距天頂之度而即以
其正弦比例高下差者蓋
實高與視高所差無多故
互用不列二表也如細辨
之地平太陽實高在丁太
隂實高在已丁乙庚角為
地平太陽地半徑差與甲
丁乙角等甲乙地半徑為
其角之切線當庚丁弧巳
乙辛角為地平太隂地半
甲乙地半徑為其角之切
線當辛巳弧前以地半徑
為其角之正弦此以地半
徑為其角之切線其角度
雖有微差然最大者不過
半秒愈高則愈小故亦以
弧度為比例而甲乙即為
地平太陽地半徑差亦即
在癸壬乙子角為本時太
陽地半徑差與甲壬乙角
子壬弧癸乙寅角為本時
太隂地半徑差與甲癸乙
角等亦以乙丑為其角之
垂線當寅癸弧丑壬之長
甲癸則角度必較弧度為
稍大蓋視高低於實高其
大固宜然所差甚微故亦
以弧度為比例而乙丑即
為本時太陽地半徑差亦
即為本時太隂地半徑差
也試自地平太陽視髙線
割月天之卯㸃與甲丁實
辰當辛夘弧即地平太陽
地半徑差以乙辰與地平
太隂地半徑差甲乙相減
餘甲辰當夘已弧即地平
高下差自本時太陽視高
線割月天之巳㸃與甲壬
實高線平行作巳辰線則
乙午當寅巳弧即本時太
陽地半徑差以乙午與本
時太隂地半徑差乙丑相
減餘午丑與辰未等當巳
癸弧即本時高下差甲乙
丑與甲辰未為同式形丑
未二角為直角甲角為日
月實距天頂之度故以直
甲乙與本時地半徑差乙
丑之比亦同於地平高下
差甲辰與本時高下差辰
未之比也今日食用簡平
儀法求地面日影心之所
在皆用實高比例高下差
設日實高在丁則正射地
月天巳㸃之度照至地面
乙㸃之影當月天夘㸃之
度是酉乙地面上應日天
實距天頂之丙丁弧而其
當月天之度則為夘巳高
下差也設日實高在壬則
正射地心照至地面申㸃
之影當月天癸㸃之度照
應日天實距天頂之丙壬
弧而其當月天之度則為
巳癸高下差也若以地平
高下差為半徑作地面平
圓則甲乙即夘巳之度為
地平高下差當乙酉地面
以地球為平面則地面之弧與正弦等甲乙為乙酉
丙丁弧等乙丑即巳癸之
度為本時高下差當乙申
地面乙丑為乙申弧之正弦故乙丑當乙申弧
與日天之丙壬弧等由此
推之時時實距天頂之度
在地面皆與本時高下差
等實距天頂之度原與地面之弧度等簡平儀以
地球為平面則地面之弧又與地面之正弦等今地
下差之度自圓心取之即
日影心之所在隨白經之
所向以實緯之度自圓心
取之即月影心之所在此
所以用實高為比例於視
差之理尤為顯而易明也
求日食食甚真時及兩心視相距日食求食甚真時及食甚視緯新法算書用渾天儀法以食甚用時之東西差與食甚近時之東西差相較得視行以用時之東西差比例得時分與食甚用時相加減限西加限東減而得食甚真時以真時之南北差與食甚實緯相加減白平象限在天頂南緯南則加緯北則減白平象限在天頂北緯南則減緯北則加而得食甚視緯上編言之詳矣見日食三限時刻及求食甚真時食甚視緯篇然其求真時也必求太隂視行正當實緯之度乃以視行之道與白道為平行故與實緯成直角而視緯與實緯必合為一線也夫近時之東西差與用時之東西差既不等因白道髙弧交角及高下差不同之故則南北差亦不等而視行即不與白道平行視行既不與白道平行則實緯即不與視行成直角而日月兩心相距最近之線亦不與實緯合為一線矣近日西法用簡平儀繪圖算渾儀從上視如觀平面是為簡平儀以本日地平高下差本日地平日月兩地半徑差相減餘為本日地平高下差為半徑作平圓即地徑當月天之度即地受日照之半面上應渾天半周圓心即日射地面至地心之㸃以人視日則人所處之地面即日影心以日照月則月所當之地面即月影心假令人所處之地面正在圓心則必見日當天頂又正當子午圏而月之實緯即日月兩心視相距外此則日影心之所在隨時隨地不同若日影心與月影心同㸃則必見日全食若日影心與月影心之相距大於併徑則不見食故先以食甚用時求其兩心視相距復設一時限西向後設限東向前設亦求其兩心視相距以此兩視距線及所夾之角求其對邊為視行自日影心至視行作垂線與視行成直角是為兩心相距最近之處月影心臨此直角之㸃即為食甚真時因垂線不與實緯合故不曰視緯而曰兩心視相距然後以所得真時復考其兩心視相距果與所求垂線合則食甚真時即為定真時不然則又作垂線求之蓋太隂視差時時不同其視行之道既不與白道平行又不能自成直線其兩心視相距最近之線不與白道成直角而與視行成直角兩心實相距不與白道成直角而與斜距成直角兩心視相距又不與斜距成直角而與視行成直角今法與舊法之不同在此故反覆推求務得太隂正當視行直角之㸃斯為兩心最近之處而食甚乃為確凖也是法也可以圖代算可以一圖而知各地見食之不同新奇精巧與舊法迥殊然其理無不可以相通蓋舊法以渾測渾可實指其東西南北之差而視行之法甚簡新法寫渾於平可實稽其實距視距之異而視差之理尤精今以新法合舊名義㕘觀而詳觧之則理之確者以並觀而並明法之奇者因相較而益顯庶觀者由舊徑以適新途不致有捍格之勢而算者取新規以合舊範更坐収密合之方矣
戌朔日食太隂實引初宫
八度四十七分三十一秒
四○地平地半徑差五十
三分五十九秒九○内減
太陽地平地半徑差十秒
餘五十三分四十九秒九
○為本日地平高下差以
秒九○通作八釐三毫繪圖用四分之一後倣此
即地球受日照之半面上
應渾天半周而其當月天
之度則為五十三分五十
秒四十九秒九○進為五十秒入算仍用小餘他
倣此故以地球上應渾天之
度而論則乾為日照地面
以地球為平面則地面之弧與正弦等半徑為九十
度之正弦故半徑即九十度假令人在
圓心乾則見日當天頂又
當正午坎震赤道徑圏即
其地之子午圈艮巽即其
地之夘酉圏坎為北震為
南艮為東巽為西若人在
圓界則見日當地平在坎
午後自是以外則見日之
高下隨地不同要以人所
處之地面為日影心上應
本處天頂人距日照地面
正中之度即日距天頂之
度而以地面所當月天之
度而論則地之半徑與地
面正中之度與本時高下
差等見前高下差篇故隨高弧之
所向以本時高下差之度
自圓心取之即人所處之
地面亦即本時之日影心
隨白經之所向以月實緯
之度自圓心取之即本時
之月影心夫月影心當月
為太陽之實高度而為太
陽之視高度則地面日月
兩影心之相距因高下差
而殊而食甚之早晚食分
之淺深所以因視差而變
者皆可按圖而稽矣乃以
本時日距赤道北二十一
二取艮離巽坤之分即離乾艮
道經圏於兌作艮兌巽弧
為赤道則兌乾即日距赤
道北之緯度又作甲乾乙
弧為赤道距等圈即太陽
隨天西轉之軌又以坎艮
九十度之分自離截圓界
戊㸃為北極戊兌為九十
度戊乾為日距北極六十
八度二十一分四十七秒
九八又以本時黄赤二經
交角九度二十一分二十
秒五七取坎乾己角本時日在
夏至後黄經在赤經東故向東取作己庚
庚線取直角作辛乾線為
黄道辛為秋分乾辛為日
距秋分前六十七度四十
二分五十四秒四三是時
京師食甚用時為午正二
刻九分五十八秒九五日
距午西赤道度為九度五
十九分四十四秒二五則
角二十二度四十三分八
秒三九取戊乾壬角以用
時日距天頂二十度九分
四十八秒二七之高下差
一十八分三十三秒三四
取壬乾之分作壬乾線自
戊向壬作戊壬癸弧則壬
之日影心上應京師天頂
壬乾為用時日距天頂之
高弧在地則與用時高下
差等戊壬癸為京師子午
圏戊壬為京師北極距天
頂五十度五分戊角為用
時日距午西赤道度戊乾壬角
及乾壬弧俱用戊乾壬三角形求之而得又以
乾子角本時月在中交前白經在黄經東故
向東取作丑寅線為白道經
圏即斜距經圏以月實緯距黄
道北二十三分二十八秒
四五自乾向北截之於子
與丑寅線取直角作夘辰
線為白道即兩經斜距則子㸃
時日月兩影心視相距乃
食甚用時日月兩心實相
距乾壬為用時高下差以
己乾丑黄白二經交角與
坎乾己黄赤二經交角相
加得坎乾丑角一十五度
六分一十五秒八六為赤
弧交角相減餘丑乾壬角
七度三十六分五十二秒
五三為用時白經高弧交
角即用時對兩心視相距
角赤經在高弧西白經在赤經東故相減赤白交
角小白經仍在高弧西用切線分外
角法求得壬角一百四十
為用時對兩心實相距角
又求得壬子邊五分三十
八秒七四為用時日月兩
影心視相距此時白經實
距在高弧西月影心必在
日影心之西則食甚用時
尚在食甚前也次向後取
未初初刻為設時白經在高弧西
三十一度三十三分一秒
七三取戊乾己角以設時
日距天頂二十二度一十
七分四十二秒二六之高
下差二十分二十五秒三
五取乾己之分作乾己線
點為設時日影心乾己為
設時日距天頂之高弧在
地則與設時高下差等戊
己即京師北極距天頂五
十度五分與戊壬等太陽本隨
距等圏西轉今以太陽為不動則影向東移亦與赤
道成距等圏其距北極皆相等己戊乾角
即設時日距午西一十五
分一秒○五與一小時兩
經斜距二十七分一十六
秒五六為比例得用時至
設時之月實行為九分六
秒自子向東截之於午則
午㸃為設時月影心午子
為設時距弧月由白道東行設時在用
時對距弧角二十一度一
十一分二十秒九九午乾
為設時兩心實相距二十
五分一十秒五八午乾子角及午
乾弧俱用午乾子三角形求之而得己午為
設時日月兩影心視相距
乃用己乾午三角形以坎
度二十六分四十五秒八
七為設時白經高弧交角
加減之理與用時白經髙弧交角同與午乾
子對距弧角相減餘巳乾
午角四度四十四度三十
五秒一二即設時對兩心
視相距角月在黄道北白經在高弧西對
高弧西白經在高弧東者倣此用切線分
外角法求得巳角一百五
十五度五十七分四十六
秒四○為設時對兩心實
相距角又求得己午邊五
分六秒六五為設時兩心
視相距此時實距在高弧
東月影心必在日影心之
子午二㸃之間矣於是與
巳午線平行作壬未線與
巳午等為設時兩心視相
距又與巳乾平行作壬申
線為設時高弧則未壬申
角與午巳乾角等以丑乾
壬用時白經高弧交角與
角相減餘壬乾巳角八度
四十九分五十三秒三四
為兩白經高弧交角較與
乾壬申角等與乾壬子用
時對兩心實相距角相減
餘申壬子角一百三十七
度四十四分八秒七三為
設時高弧交用時視距角
九十三度四十一分五十
五秒一三與三百六十度
相減餘未壬子角六十六
度一十八分四秒八七為
對設時視行角用時實距在高弧西
設時實距在高弧東兩角與高弧相背故相加若同
在高弧之一邊則相減又用時設時兩月影心俱在
即過一百八十度與全周相減方為兩視距所夾之
角乃用未壬子三角形壬
子為用時兩心視相距壬
未為設時兩心視相距未
壬子角為所夾之角用切
線分外角法求得子角五
十二度二十九分四十五
秒六九為對設時視距角
自壬作壬酉垂線與子未
視行成直角則壬酉相距
形求得子酉分邊三分二
十六秒二三為真時視行
以子未設時視行與設時
距分二十分一秒○五之
與真時距分一十一分三
十九秒八○之比與食甚
用時相加得午正三刻六
分三十九秒為食甚真時
食甚用時白經在高弧西月影視在西真時在用時
後故加若白經在高孤東月影視在東真時在用時
前則減又求得壬酉垂線四
分二十九秒即食甚真時
地面為日影心而用時日
影心在壬設時日影心在
已其故何也此圖用三分之一蓋
人之所處原有定在而太
陽隨天西轉其所照之地
面時時不同設時太陽旣
轉而西人在壬視之則乾
乾㸃立算則人之視日如
在己視乾是非人所處之
地面改也日之所照者改
也若就一壬㸃立算則設
時日照地面正中之㸃隨
距等圏西轉至申白道經
圏西轉至戌戊申為太陽
距北極與戊乾等申戌為
丑角等戊壬為京師北極
距天頂與戊巳等申戊壬
角為設時日距午西赤道
度與乾戊巳角等戊申壬
角為設時赤經高弧交角
與戊乾巳角等申壬為設
時太陽距天頂即設時高
為設時白經高弧交角與
子乾巳角等戌未為設時
距弧與子午等未申戌角
為設時對距弧角與午乾
子角等壬申未角為設時
對兩心視相距角與巳乾
午角等人在壬視之則日
影心總在壬而用時則見
時見月影心循子未線行
未視行線既不與白道平
行則壬酉兩心相距最近
之線即不與白道成直角
而與視行成直角故以月
影心臨於酉㸃為食甚真
心視相距也然則與舊法
之可以相通者何也蓋舊
法從太隂取高下差今從
日影心當月天之度取高
下差形象雖殊理數則一
試與白道平行作壬亥水
線與白經平行作壬火木
線及未土線則壬亥即用
用壬亥子勾股形亦可求
壬子邊壬水即設時東西
差申水即設時南北差以
申水與申戌相減餘壬火
壬火與水戌等以壬水與戌未距
弧相減餘火未用壬火未
勾股形亦可求壬未邊壬
與子木等火未與木土等壬火與亥子
相減餘未土亥子與壬木等火木與未
土等用子未土勾股形亦可
求子未邊既得三邊則用
壬子未三角形亦可求中
垂線矣是則與舊法之可
以相通者然也然則與舊
法之所以異者何也按舊
以用時東西差為距弧故即以兩東西差相減餘
火未與子木用時東西差
相加火未與木土等子木與壬亥等得子
土為設時視行乃以白道
度算故以太隂視行經度
臨於白道木㸃為食甚真
時壬木線與白道成直角
以白道度算故以月影心
臨於酉㸃為食甚真時壬
酉線不與白道成直角而
與子未視行成直角是則
與舊法之所以異者然也
然則設時與近時之不同
何也蓋舊法以木㸃為白
道當太陽之度故先求實
㸃故又以近時視行與近
真時今以實行至未㸃之
時刻為設時故以設時視
行與設時距分為比例而
得食甚真時其所不同者
惟在視行與白道平行不
不與白道平行立算則或
用設時或用近時其所得
真時正自相同也然則簡
平與渾天之同異何也蓋
渾天以仰觀立算故以太
隂當日天之度為視差簡
平以俯視立算故以太陽
當月天之度為視差今乾
之度壬㸃之影自日心照
至地面乃太陽視高當月
天之度見前高下差篇故壬乾壬
申皆為高下差夫太陽視
高旣當月天壬㸃而用時
月心原在月天子㸃設時
月心原在月天未㸃故壬
視相距是以日天當月天
之度算也若以月天當日
天之度而論則用時月天
壬㸃之度當日天之乾而
太隂子㸃即當日天之亢
故子亢為用時高下差與
乾壬等乾亢為用時兩心
視相距與壬子等設時月
氐故午氐為設時高下差
與乾己等乾氐為設時兩
心視相距與己午等亦與
壬未等而亢氐亦與子未
等是簡平與渾天本屬一
理但自圓外觀耳如以圓
内仰觀立算則上為北下
頂南而論如白平象限在天頂北則上為南下為北
東西相反用時日心在乾月心
實高在子視高在亢子亢
為用時高下差一十八分
三十三秒三四此圖用全分乾
子亢角為用時白經高弧
交角七度三十六分五十
二秒五三與子亢房角等
八分二十三秒五二與子
斗等以子斗與子乾二十
三分二十八秒四五相減
餘斗乾五分四秒九三用
乾斗亢勾股形求得乾亢
弦五分三十八秒七四為
心仍在乾月心實高在午
視高在氐午氐為設時高
下差二十分二十五秒三
五午氐牛角為設時白經
高弧交角一十六度二十
六分四十五秒八七牛午
為設時東西差五分四十
六秒九一牛氐為設時南
子午設時實距弧九分六
秒相減餘子牛三分一十
九秒○九為設時視距弧
與女氐等以子女與子乾
相減餘女乾三分五十三
秒二三用乾女氐勾股形
求得乾氐弦五分六秒六
以女氐設時視距弧與亢
斗用時東西差相加女氐與斗
虚等得亢虚五分四十六秒
六二為用設二時視距和
以房亢用時南北差與牛
氐設時南北差相減餘虚
氐一分一十一秒七○為
用設二時緯差較用亢氐
視行次用乾亢氐三角形
求中垂線分為兩勾股法
求得亢危分邊三分二十
六秒二四為真時視行乾
危垂線四分二十九秒為
真時兩心視相距乾亢乾氐兩腰
各自乘相減以亢氐勾和除之得勾較與勾和相加
皆與前同是東西南北差
與實距視距一理也如用
近時之法算之先以子房
用時東西差二分二十七
秒五三取子甲之分為近
時實距弧以一小時兩經
斜距二十七分一十六秒
五六為比例而得近時距
時距用時之時分與食甚用時午
正二刻九分五十八秒九
五相加用時月在白平象限西視經度差而
西近時在用時後故加若月在白平象限東視經度
刻零二十三秒四七為食
甚近時即太隂行至甲㸃
甲視高在乙甲乙為近時
高下差一十九分零百分
秒之三十七按法求得甲
乙丙角一十度一十二分
一秒九二為近時白經高
弧交角甲丙為近時東西
差三分二十一秒九五丙
乙為近時南北差一十八
甲丙近時東西差相減餘
子丙五十四秒四二為近
時視距弧在實緯西即近時視
行距實緯之弧月在白平象限西視經度差而西而
東西差大於實距弧故為緯西若小於實距弧則為
緯東月在限東反是與乙丁等以子
丁近時南北差與子乾實
五相減與丁乾四分四十
六秒一○用乾丁乙勾股
形求得乾乙弦四分五十
一秒二三為近時兩心視
相距次以子丙近時視距
弧與子房用時東西差相
減餘丙房一分三十三秒
一一與亢戊等為用近二
距和以房亢用時南北差與
丙乙近時南北差相減房亢
與丙戊等餘戊乙一十八秒八
三為用近二時緯差較用
亢戊乙勾股形求得亢乙
弦一分三十四秒九九為
近時視行即近時距用時之視行次
垂線補成兩勾股法求得
亢已分邊三分二十五秒
○三為真時視行即真時距用時
之視行以亢乙近時視行與
近時距分五分二十四秒
五二之比同於亢已真時
視行與真時距分一十一
分四十秒四六之比即真時距
刻六分三十九秒為食甚
真時又求得乾己垂線四
分二十九秒為真時兩心
視相距乾亢乾乙兩腰各自乘相減以亢乙
為法除之得數大於亢乙則所得為兩勾和而亢乙
為兩勾較故知垂線在形外若有得之數小於除之
之數則所得之數為兩勾較而除之之數為兩勾和
小腰即係垂線成直角也其數與用設
時所得同是用近時與用
正三刻六分三十九秒按
前法求其實高在庚視高
在辛乾辛兩心視相距果
為四分二十九秒與前所
求垂線合而辛角猶未為
視行乙壬邊五十一秒○
二為定真時視行乾壬垂
線仍為四分二十九秒為
定真時兩心視相距以乙
辛與考真時距分六分一
十五秒五三之比即真時距近時
之時分同於乙壬與定真時
之比與近時相加得午正
三刻六分四十秒七九進為
四十一秒始為食甚定真時焉
蓋食甚時兩心視相距之
線與視行成直角故前後
數秒之間其相距皆相等
若秒下加小餘細考之則
午正三刻六分四十一秒
之時則相距猶為四分二
十九秒二三九九至四十
三秒之時則相距又為四
分二十九秒二三九一故
以四十一秒之時為相距
尤近然測候之際至分巳
密故推算之法總以三十
可不計今考之又考者第
以求其確凖耳若用新數
而以視行與白道為平行
算之則早三分有奇故今
推視行之法尤為精宻至
求近時則猶求設時之法
也求視差則猶求視距之
法也理無殊塗法歸一致
求日食初虧復圓時刻方位附日食求初虧復圓時刻先以食甚視緯為一邊併徑為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓用時次以初虧復圓用時各求其東西差與食甚真時之東西差相較得初虧復圓視行與初虧復圓距弧比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓真時上編言之詳矣見食食三限時刻及求初虧復圓用時真時篇今食甚真時兩心視相距與視行成直角初虧復圓距食甚之弧亦即視行之度則求初虧復圓用時以食甚視行為比例較之以月距日實行為比例者必為近之且初虧復圓用時之東西差旣不與食甚真時等則南北差亦不等雖以初虧復圓視行比例得時分而其時之兩心視相距亦未必與併徑等然則即以視行比例之時分與食甚真時相加減猶未必即為初虧復圓真時也近日西法初虧復圓各設一時為前設時求其兩心視相距太隂在限西食甚真時在用時後如食甚用時兩心視相距與併徑相去不逺則以食甚用時為初虧前設時小則向前設大則向後設太隂在限東食甚真時在用時前如食甚用時兩心視相距與併徑相去不逺則以食甚用時為復圓前設時小則向後設大則向前設又設一時為後設時亦各求其兩心視相距前設時兩心視相距小於併徑初虧向前設復圓向後設大於併徑初虧向後設復圓向前設乃以兩視距之較為一率兩設時之較為二率後設時兩心視相距與併徑之較為三率求得四率為初虧復圓真時距分與初虧復圓後設時相加減得初虧復圓真時前設時兩心視相距小於併徑初虧減復圓加大於併徑初虧加復圓減然後又以真時各考其兩心視相距果與併徑等方為定真時焉蓋初虧兩周初切復圓兩周初離日月兩心視相距必與併徑等故務求其恰合而初虧復圓乃為確準也雖其數比舊法所差無多而其理甚為細宻至於設時之法則亦猶食甚用時近時之義耳今亦如食甚之次第先求初虧復圓用時即前設時次求初虧復圓近時即後設時俾學者知設時之準而其求兩心視相距與以兩視距比例時分則猶是設時之法也旣得初虧復圓兩心視相距與併徑等則求得併徑與高弧相交之角即為方位角圖說並詳於左
日食日月實併徑三十分
一十八秒六五食甚用時
午正二刻九分五十八秒
九五乾甲兩心實相距在
黄道北二十三分二十八
秒四五甲乙兩心視相距
五分三十八秒七四小於
初刻四分為初虧前設時
與食甚用時相減餘一時
三十五分五十八秒九五
與一小時兩經斜距二十
七分一十六秒五六為比
例得四十三分三十八秒
○一自甲向前截之於丙
則丙㸃為初虧前設時月
一度四十三分一十三秒
四七為對距弧角乾丙邊
四十九分三十二秒八三
為初虧前設時兩心實相
距又以初虧前設時赤經
高弧交角二十九度五十
六分五十一秒○一取坎
取高角以本時日距天頂二
十一度四十九分一十一
秒○八之高下差二十分
零百分秒之五十一取乾
丁之分則丁㸃為初虧前
設時日影心求得甲乾丁
白經高弧交角四十五度
三分六秒八七與甲乾丙
六○為對兩心視相距角
用乾丁丙三角形求得丁
角一百五十二度三十八
分零百分秒之八十三為
對兩心實相距角丁丙邊
三十分五十五秒○一為
初虧前設時兩心視相距
則初虧真時必在前設時
之後故又向後取午初初
刻八分為初虧後設時依
法求得甲戊距弧四十一
分四十八秒九一甲乾戊
對距弧角六十度四十一
心實相距四十七分五十
分六秒七一巳乾戊對兩
心視相距角一十七度一
十九分二十秒九二戊己
乾對兩心實相距角一百
五十一度二十二分四十
四秒一一戊己兩心視相
距二十九分四十八秒四
夫丙丁旣大於併徑戊己
旣小於併徑則併徑必在
二線之間如庚辛乃自丁
至己作丁己線又取戊己
之分截丙丁線於癸作戊
癸線則癸丙為兩視距之
較一分六秒五七丙戊為
兩設時之較四分壬庚為
丙戊之比同於壬庚與庚
戊一分四十八秒九一之
比為初虧真時距分與初
虧後設時相減後設時兩心視相距
小於併徑故減得午初初刻六分
一十一秒○九為初虧真
時再以初虧真時考其兩
十八秒六三與併徑合則
初虧真時即為初虧定真
時其對考真時兩心實相
距角一百五十一度五十
七分二十秒即初虧方位
角復圓倣此
又法先求初虧用時乾甲
為食甚實緯即食甚用時兩心實相距
為食甚真時兩心視相距
四分二十九秒二四與乙
丙取直角作線以日月併
徑三十分一十八秒六五
取乙丁乙戊之分合成乙
丙丁乙丙戊兩勾股形求
得丙丁股二十九分五十
虧復圓平距初虧復圓距食甚用時之
定真時視行一分五十一
秒○二為一率即食甚定真時距食
甚近時之視行定真時距分六分
一十七秒三二為二率即食
復圓平距為三率求得四
距分與食甚定真時相減
得午初初刻九分四十八
秒一三為初虧用時以用
時距分與食甚定真時相
加得未正二刻三分三十
三秒四五為復圓用時
初虧用時月影心在己甲
分五十九秒七五以初虧用時與
食甚用時相減餘一時三十分一十秒八二與一小
時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例得初
虧用時距弧日影心在庚辛庚
為京師北極距天頂五十
度五分乾辛為日距北極
六十八度二十一分四十
七秒九八庚辛乾角為日
日距天頂二十一度一十
分一十八秒二二在地則
為初虧用時高下差一十
九分二十六秒五三庚乾
辛角為初虧用時赤經高
弧交角二十七度二十八
分四十五秒一○與辛乾
度六分一十五秒八六相
加得庚乾甲角四十二度
三十五分零百分秒之九
十六為初虧用時白經高
弧交角赤經在高弧東白經又在赤經東故
加庚壬為初虧用時東西
差一十三分九秒三五與
甲癸等乾壬為初虧用時
弧相減餘己癸二十七分
五十秒四○以乾壬與乾
甲相減餘壬甲九分九秒
五五與庚癸等用庚癸巳
勾股形求得庚巳弦二十
九分一十八秒四八為初
虧用時兩心視相距比併
十七則初虧真時必猶在
用時前也乃以初虧用時
兩心視相距為一率初虧
用時距分為二率初虧用
時兩心視相距小於併徑
之較為三率求得四率三
分二十九秒一六為初虧
九七為初虧近時蓋就食
甚真時乙㸃立算與庚巳
平行作乙子線與庚巳等
即初虧用時兩心視相距
自丙至子作丙子線即初
虧用時視行即初虧用時距食甚定真
時之視行以時刻而論即初虧
時分試將乙子線以併徑之
分引長至丑則子丑即初
虧用時兩心視相距小於
併徑之較又將丙子線引
長至寅使子丑寅與子乙
丙成同式形則乙子與行
丙子弧時分之比即同於
子丑與行子寅弧時分之
行愈多故視行為加得丙寅與丙丑
等故以丑㸃為初虧近時
之月影心丙丑為初虧近
時距食甚之視行其乙丑
兩心視相距乃與併徑等
也子丑寅與子乙丙為同式形則丙丑必長於丙
寅然所差無多故以太隂視行臨於丑㸃為初虧近
初虧近時月影心在夘甲
夘為初虧近時距弧四十
二分三十四秒八四以初虧近
時與食甚用時相減餘一時三十三分三十九秒九
八與一小時兩經斜距為比例得初虧近時距弧
日影心在辰辛辰為京師
北極距天頂五十度五分
辰辛乾角為日距午東一
二十一度三十三分一十
七秒九四在地為初虧近
時高下差一十九分四十
六秒六五辰乾辛角為初
虧近時赤經高弧交角二
十八度五十八分五十七
秒四二與辛乾甲赤白二
四十四度五分一十三秒
二八為初虧近時白經高
弧交角辰已為初虧近時
東西差一十三分四十五
秒六一與甲午等乾巳為
初虧近時南北差一十四
分一十二秒三五以甲午
與甲夘距弧相減餘午夘
甲九分一十六秒一○與
辰午等用夘辰午勾股形
六秒四五為初虧近時兩
心視相距比初虧用時兩
心視相距大五十七秒九
七而比併徑仍小二秒二
時前也乃以用近二時兩
心視相距之較五十七秒
九七為一率近時距分三
分二十九秒一六為二率
用時兩心視相距小於併
徑之較一分零百分秒之
二十七為三率求得四率
三分三十七秒一一與初
虧真時蓋仍就乙㸃立算
與辰夘平行作乙未線與
辰夘等即初虧近時兩心
視相距自丙至未作丙未
線即初虧近時視行試依
乙未之分將初虧用時兩
心視相距之乙子線引長
二時兩心視相距之較依
丙未之分將初虧用時視
行之丙子線引長至木則
子木即初虧用近二時兩
視行之較又依併徑之分
將乙子線引長至火與土
木平行作火金線将丙木
線引長合之於金則子火
真二時兩視行之較故子
土與行子木弧時分之比
即同於子火與行子金弧
時分之比以子金與丙子
相加得丙金與丙水等故
以水㸃為初虧真時之月
影心丙水為初虧真時距
視相距乃與併徑相等也
於是以初虧真時依法求
其兩心視相距果得三十
分一十八秒六五與併徑
合則初虧真時即為初虧
定真時如或大或小則又用比例求之又
以辰午與夘午之比同於
半徑與夘辰午角正切線
高弧交角相減辰午與乾甲平行即
日影所當白道經圏故申辰午角與辰乾甲角等申
乾高弧在夘辰午角之内故減在外則加餘夘
辰申角為併徑高弧交角
日在辰月在夘夘辰為併
徑申乾為高弧申為上乾
為下初虧方位為上偏右
逺故借近時之圖以明之因即以併徑
立算故質名之曰併徑高
弧交角不必又求緯差角
與黄道高弧交角相加減
而後為定交角也復圓倣
此
求日食帶食推日食帶食法舊以初虧復圓距時之視行帶食在食甚前用初虧視行帶食在食甚後用復圓視行與日出入距食甚之時分即帯食距時為比例得日出入距食甚之視行即帶食距弧而後與食甚視緯求其兩心視相距下編仍之今推食甚先求兩心視相距而後求視行初虧復圓止求兩心視相距更不求視行則帶食亦可逕求兩心視相距不待先求視行矣且舊法推視行雖不見初虧食甚或不見食甚復圓皆猶多此一算今逕求兩心視相距則以地平為斷凡己初虧而帶出者止求帶出時之相距不用求初虧視行未復圓而帶入者止求帶入時之相距不用求復圓視行若己過食甚而帶出者即以帯食視緯求復圓用時未及食甚而帶入者即以帯食視緯求初虧用時固不用求視行亦不用求食甚其法甚為省便况視行不與白道平行帶食之視緯必不與食甚等則逕求帶食兩心視相距而不用視行者其理尤為確凖也
時辰正二刻一分五十一
秒一六日出辰初一刻九
分二十九秒二三在用時
前四刻七分二十一秒九
三以一小時兩經斜距三
十三分一十秒二三為比
例得甲乙三十七分一十
月影心乾甲為用時兩心
實相距四十三分三十七
秒八○甲乾乙角為帯食
對距弧角四十度二十九
分二秒二八乾乙為帯食
兩心實相距五十七分二
十一秒八一坎乾甲角為
經在赤經西月在正交後白經又在黄經西故白經
更在赤經西坎乾丙角為日出
時赤經高弧交角四十五
度四十分四十八秒三八
赤經在高弧東内減坎乾甲角餘
甲乾丙角三十六度五十
九分五十七秒七○為日
弧東白經在赤經西故以赤白二經交角與赤經高
弧交角相減餘為白經高弧交角與甲乾
乙對距弧角相減餘乙乾
丙角三度二十九分四秒
五八為帯食對兩心視相
距角丙為帶食日影心丙
乾為地平高下差五十九
分二十秒二一用乾乙丙
七為帯食對兩心實相距
角即帯食方位角與半周
相減餘乙丙丁角一百二
十度四十九分為帯食視
距高弧交角方位角止用度分故不計
秒丁為上乾為下帯食方
位為右偏下又求得乙丙
兩心視相距與日月實併
徑三十二分二十一秒四
四相減餘二十八分一十
七秒八七以日全徑三十
二分四十六秒作十分為
比例得八分三十八秒一
七即帯食分秒也
又法以甲乾丙白經高弧
十二秒五六與甲己等乾
戊南北差四十七分二十
三秒三三以乾甲實緯與
乾戊南北差相減餘戊甲
三分四十五秒五三與丙
己等為帶食視緯以甲己
東西差與甲乙帶食距弧
秒九八為帶食視距弧用
弦四分三秒五七為帶食
兩心視相距與前所得數
同又以丙己與乙己之比
同於半徑一千萬與丙角
正切線之比而得丙角二
十二度一十一分一十五
丙乾角五十九度一十一
分與半周相減餘乙丙丁
角一百二十度四十九分
為帶食視距高弧交角亦
與前所得數同此乙丙視
距未與視行成直角甲乙雖非
視行然相去不逺帶食在食甚前
得真時兩心視相距再求
復圓用時如帶食在食甚
後者則不用求食甚即以
丙己帶食視緯為勾丙庚
併徑為弦求得己庚股與
乙己帶食視距弧相加得
乙庚為復圓距弧甲乙帶食距弧
大於東西差乙庚大於己庚故加若甲乙帶食距弧
復圓距時與日出時刻相
加即得復圓用時也帶食出地
復圓在日出後故加若帶食入地初虧在日入前則
減帶食入地者倣此