厯算全書卷五十一
宣城梅文鼎撰
三角法舉要卷二
算例
三角形有三類
一曰句股形
三角並銳一曰鈍角形
三角内有鈍角一餘並銳角以上三類總謂之三角形其算之各有術句股形第一術 有一角一邉求餘角餘邉内分二支一先有之邉為弦一先有之邉為句或先有股亦同假如壬癸丁句股形有丁角五十七度壬丁弦九十一丈八尺
求餘角餘邉
一求癸丁邉
若壬丁弦與癸丁句半徑即丁乙餘弦即甲丁
以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸
一率原設弦半徑 一○○○○○為法
二率原設句丁角五十七度餘弦 五四四六四相乘
三率今有弦壬丁邉 九十一丈八尺為實
四率今所求句癸丁邉 五十丈 法除實得所求
一求壬癸邉
一率原設股半徑 一○○○○○ 為法
二率原設股丁角五十七度正弦 八三八六七 相乗
三率今有弦壬丁邉 九十一丈八尺 為實
四率今所求股壬癸邉 七十七丈 法除實得所求
一求壬角以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十三度爲壬角
癸正方角九十度 丁角五十七度 壬丁弦九十一丈八尺今求得三件
癸丁旬五十丈 壬癸股七十七丈 壬角三十三度右例先得弦以求句股也是為句股形第一術之第一支假如壬癸丁句股形有丁角六十二度癸丁句二十四丈求餘角餘邉
一求壬角以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角
戊丙丁句股形以戊丙切線為股丙丁半徑為句戊丁割線為
弦是丁角原有之線
今壬癸丁句股形既同丁角則其比例等
一求壬丁邉
一原設句半徑 一○○○○○ 為法
二原設弦丁角六十二度割線 二一三○○五 相乗
三今有句癸丁邉 二十四丈 為實
一求壬癸邉
術為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股
一原設句半徑 一○○○○○為法
三今有句癸丁邉 二十四丈 為實
四所求股壬癸邉 四十五丈一尺 法除實得所求
計開先有之三件
癸正方角 丁角六十二度 癸丁句二十四丈今求得三件
壬角二十八度 壬丁弦五十一丈一尺 壬癸股四十五丈一尺右例先得句以求弦及股也或先得股以求弦及句亦同是為句股形第一術之第二支句股形第二術 有邉求角
亦分二支
一先有二邉
一先不知正方角而有三邉新増假如壬癸丁句股形有壬丁弦一百零二丈二尺癸丁句四十八丈求二角一邉一求丁角
徑乙丁與丁角之餘弦甲丁
一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之弦為法
二 癸丁邉 四十八丈 今有之句相乘
三 半徑 一○○○○○ 原設之弦為實
四 丁角餘弦 四六九六六 法除實得所求原設句
依術求得丁角六十二度以所得餘弦撿表即得一求壬角以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角一求壬癸邉
術為以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一 半徑 一○○○○○
二 丁角六十二度正弦 八八二九五
三 壬丁邉 一百○二丈二尺
四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸
壬丁弦一百○二丈二尺 癸丁句四十八丈 癸正方角今求得三件
丁角六十二度 壬角二十八度 壬癸股九十丈○二尺三寸右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是為句股形第二術之第一支此先有二邉為弦與句故用正餘弦若先有者是句與股則用切線其比例之理一也假如壬癸丁三角形有壬丁邉一百○六丈壬癸邉九十丈癸丁邉五十六丈求角
術以壬丁大邉與丁癸邉相加得一
百六十二丈為總又相減得五十
丈為較以較乗總得八千一百丈
為實以壬癸邉九十丈為法除之
仍得九十丈與壬癸邉數等即知
依術求得癸角為正方角定為句股形一求丁角
術為以丁癸邉比壬癸邉若半徑與丁角之切線
一 丁癸句 五十六丈
二 壬癸股 九十丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四依術求得丁角五十八度○六分以所得切線撿表即得
一求壬角以丁角五十八度○六分與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角
計開先有三邉
壬丁邉一百零六丈 壬癸邉九十丈 癸丁邉五十六丈求得三角
癸正方角 丁角五十八度零六分 壬角三十一度五十四分右例亦以邉求角而先不知其為句股形故兼用三邉是為句股形第二術之第二支銳角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉假如乙丙丁銳角形有丙角六十度丁角五十度丙丁邉一百二十尺
先求乙角
術以丙角六十度丁角五十度相
併得一百一十度以減半周一百
八十度餘七十度為乙角
術為以乙角正弦比丙丁邉若丙角正弦與乙丁邉一 乙角七十度正弦 九三九六九二 丙丁邉即乙角對邉 一百二十尺三 丙角六十度正弦 八六六○三四 乙丁邉即丙角對邉 一百一十尺○六寸次求乙丙邉
術為以乙角正弦比丙丁邉若丁角正弦與乙丙邉一 乙角七十度正弦 九三九六九二 丙丁乙角對邉 一百二十尺三 丁角五十度正弦 七六六○四四 乙丙丁角對邉 九十七尺八寸計開先有之三件丙角六十度 丁角五十度 丙丁邉一百二十尺今求得三件乙角七十度 乙丁邉一百一十尺零六寸 乙丙邉九十七尺八寸
右例先有之邉在兩角之間也若先有之邉與一角相對亦同盖三角形有兩角即有第三角故無兩法銳角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉此分二支一先有之角與一邉相對一先有之角不與邉相對假如甲乙丙銳角形有丙角六十度甲丙邉八千尺甲乙邉七千零三十四尺先求乙角
正弦與乙角正弦
一 甲乙丙角對邉 七千○三十四尺二 甲丙乙角對邉 八千尺三 丙角六十度正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
撿正弦表得乙角八十度○三分次求甲角以丙角乙角相併得一百四十度○三分以減半周餘三十九度五十七分為甲角次求乙丙邉
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邉之與乙丙邉一 乙角八十度○三分正弦 九八四九六二 甲角三十九度五十七分正弦 六四二一二三 甲丙乙角對邉 八千尺四 乙丙甲角對邉 五千二百一十五尺計開先有之三件丙角六十度 甲丙邉八千尺 乙甲邉七千○三十四尺今求得三件乙角八十度○三分 甲角三十九度五十七分 乙丙邉五千二百一十五尺
假如甲乙丙銳角形有甲丙邉四百尺乙丙邉二百六十一尺○八分丙角六十度 角在兩邉之中不與邉對求甲乙邉
先求中長線分為兩句股形
術為以半徑比丙角正弦若甲
丙邉與甲丁中長線
一 半徑 一○○○○○
三 甲丙邉 四百尺
四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
次求丙丁邉即所分甲丁丙形之句而甲丙為之弦術為以半徑比丙角餘弦若甲丙邉與丙丁邉
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十度餘弦 五○○○○
三 甲丙邉 四百尺
次求乙丁邉即所分甲丁乙形之句而甲丁為之股以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁次求丁甲乙分角即分形甲丁乙句股之甲角
術為以甲丁中長線比乙丁分邉若半徑與甲分角切線一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分
四 甲分角切線 一七六三三
撿切線表得一十度為甲分角末求甲乙邉
術為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邉
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角十度割線 一○一五四三
四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分
求甲全角以丙角六十度之餘角三十度即分形甲丁丙之甲分角與求到甲分角一十度相併得四十度為甲全角求乙角以甲分角一十度減象限得八十度為乙角或併丙甲二角减半周亦同
甲丙邉四百尺 乙丙邉二百六十一尺○八分 丙角六十度今求得三件
甲乙邉三百五十一尺七寸五分 甲角四十度 乙角八十度右例有兩邉一角而角在兩邉之中不與邉對故用分形以取句股是為銳角形第二術之第二支又術新増 用切線分外角假如甲乙丙銳角形有甲丙邉四百尺乙丙邉二百六十一尺○八分丙角六十度 此即前例但求甲角
術以甲丙乙丙兩邉相併為總相減為
較又以丙角六十度減半周得外
角一百二十度半之得半外角六
十度撿其切線依三率法求得半
較角以減半外角得甲角
二 兩邉較 一百三十八尺九寸二分
三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 三六三九七
撿切線表得二十度為半較角轉與半外角六十度相減得甲角四十度次求乙角併甲丙二角共一百度以減半周得餘八十度為乙角次求甲乙邉一 甲角四十度正弦 六四二七九二 丙角六十度正弦 八六六○三
三 乙丙邉 二百六十一尺○八分
銳角形第三術 有三邉求角假如甲乙丙銳角形有乙丙邉二十丈甲丙邉一十七丈五尺八寸五分乙甲邉一十三丈○五寸
術曰任以乙丙大邉為底從甲角
作甲丁虚垂線至底分為兩句股
形
一甲丁丙形以甲丙邉為弦丁丙
為句
一甲丁乙形以甲乙邉為弦丁乙為句兩弦相併為總相減為較 兩句相併即乙丙邉原數為句總
求兩句相減之數為句較
術為以句總比弦總若弦較與句較也一 兩句之總即乙丙 二十丈
二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分
三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分
以句較六丈九尺四寸六分減句總二十丈即乙丙餘乙戊一十三丈○五寸四分半之得丁乙即戊丁六丈五尺二寸七分為甲丁乙分形之句
又以戊丁六丈五尺二寸七分加句較六丈九尺四寸六分即戊丙得丁丙一十三丈四尺七寸三分為甲丁丙分形之句
求丙角
術為以甲丙弦比丁丙句若半徑與丙角之餘弦
二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分
三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘弦 七六六一六
撿餘弦表得丙角四十度求甲角
術先求分形大半之甲角以丙角四十度減象限餘五十度為丁甲丙分形之甲角次求分形小半之甲角
術為以甲乙弦比丁乙句若半徑與分形甲角之正弦
一 甲乙邉 一十三丈○五寸
二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正弦 五○○一五
撿正弦表得三十度為丁甲乙分形之甲角併分形兩甲角先得五十度後得三十度得共八十度為甲全角求乙角倂丙甲二角共一百二十度以減半周得餘六十度為乙角計開先有三邉甲丙邉一十七丈五尺八寸五分 乙丙邉二十丈乙甲邉一十三丈○五寸求得三角丙角四十度 甲角八十度 乙角六十度鈍角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉假如乙丙丁鈍角形有丙角三十六度半乙角二十四度丁乙邉五十四丈
術以丙乙二角併之共六十度半
以減半周得餘一百一十九度半
為丁鈍角
術為以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邉與乙丙邉一 丙角三十六度二十分正弦 五九四八二二 丁角一百十九度三十分正弦 八七○三六
三 乙丁邉 五十四丈
四 乙丙邉 七十九丈○一寸
右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減半周用之凡鈍角並同求丁丙邉
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙邉一 丙角三十六度三十分正弦 五九四八二二 乙角二十四度正弦 四○六七四
三 乙丁邉 五十四丈
四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸
丙角三十六度半 乙角二十四度 丁乙邉五十四丈今求得三件
丁鈍角一百一十九度半 乙丙邉七十九丈○一寸 丁丙邉三十六丈九尺二寸鈍角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉亦分二支
一先有對角之邉
一先有二邉皆角旁之邉而不對角假如甲乙丙鈍角形有乙角九十九度五十七分甲丙對邉四千尺甲乙邉三千五百一十七尺求丙角
乙角正弦與丙角正弦
一 甲丙邉 四千尺
二 甲乙邉 三千五百一十七尺
三 乙角九十九度五十七分正弦 九八四九六即八十度三分正弦
四 丙角 正弦 八六六○三
撿表得丙角六十度求甲角併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半周得餘二十度○三分為甲角求乙丙邉
術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙對邉與乙丙邉一 乙角九十九度五十七分正弦 九八四六九二 甲角二十○度三分正弦 三四二八四
四 乙丙邉 一千三百九十二尺
乙鈍角九十九度五十七分 甲丙邉四千尺 甲乙邉三千五百一十七尺今求得三件
丙角六十度 甲角二十度○三分 乙丙邉一千三百九十二尺右例有兩邉一角而先有對角之邉是為鈍角形第二術之第一支
假如乙丁丙鈍角形有乙丁邉一千零八十尺乙丙邉一千五百八十二尺乙角二十四度 角在兩邉之中不與邉對
術先求形外之虚垂線補成正方角
從不知之丙角作虚垂線於形外
如丙戊亦引乙丁線於形外如丁
戊兩虚線遇於戊成正方角
術為以半徑比乙角正弦若乙丙邉
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十四度正弦 四○六七四
三 乙丙邉 一千五百八十二尺
四 丙戊邉即虚垂線 六百四十三尺又以半徑比乙角之餘弦若乙丙邉與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十四度餘弦 九一三五五
四 乙戊邉即乙丁引長線 一千四百四十五尺以原邉乙丁一千○八十尺與引長乙戊邉相減得丁戊三百六十五尺為形外所作虚句股形之句則先得丙戊垂線為股而原邉丁丙為之弦
求丁丙邉依句股求弦術以丙戊股自乗四十一萬三千四百四十九尺丁戊句自乗一十三萬三千二百二十五尺併之得數五十四萬六千六百七十四尺為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邉求丙角
術為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正弦與丙角正弦
一 丁丙邉 七百三十九尺
二 丁乙邉 一千○八十尺
三 乙角二十四度正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
撿表得丙角三十六度二十九分求丁角併乙丙二角共六十度二十九分以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角計開先有之三件乙丁邉一千零八十尺 乙丙邉一千五百八十二尺 乙角二十四度今求得三件丁丙邉七百三十九尺 丙角三十六度二十九分 丁鈍角一百一十九度三十一分
右例有兩邉一角而兩邉並在角之兩旁不與角對是為鈍角形第二術之第二支
假如乙丙丁鈍角形有丁乙邉五百四十尺丙乙邉七百九十一尺乙角二十四度 角在兩邉之中不與邉對
求丙角
以丁乙丙乙兩邉相併為總相減為較又以乙角二十四度減半周得外角一百五十六度半之得半外角七十八度撿其切線得四七○四六三術為以邉總比邉較若半外角切線與半較角切線
一 兩邉之總 一千三百三十一尺
二 兩邉之較 二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 八八七一九
撿表得半較角四十一度三十五分以轉減半外角七十八度得餘三十六度二十五分為丙角求丁角併乙丙二角共六十度二十五分以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角求丁丙邉
術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙邉一 丙角三十六度二十五分正弦 五九三六五二 乙角二十四度正弦 四○六七四
三 乙丁邉 五百四十尺
四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分
計開先有之三件
丁乙邉五百四十尺 丙乙邉七百九十一尺 乙角二十四度今求得三件
丙角三十六度二十五分 丁鈍角一百一十九度三十五分 丁丙邉三百六十九尺九寸八分鈍角形第三術 有三邉求角新式假如乙丙丁鈍角形有乙丙邉三百七十五尺乙丁邉六百○七尺丁丙邉三百尺
術自乙角作虚垂線至甲又引丁
丙線横出遇於甲而成正方角則
成乙甲丁句股形
又引横線至辛使甲辛如丙甲成
乙甲辛句股形則丁辛為兩句之
總而所設丁丙邉為兩句之較又乙丁邉為大形乙甲丁之弦乙丙邉為小形乙甲辛即乙甲丙之弦兩弦相併為總相減為較術為以句較比弦較若弦總與句總
一 句較即丁丙邉 三百尺二 弦較即乙丁内减乙丙之餘 二百三十二尺三 弦總即乙丁乙丙二邉相併 九百八十二尺
以句較三百尺減所得句總七百五十九尺四寸餘數五百二十九尺四寸為大形之句甲丁求丁角用乙甲丁大形
術為以乙丁弦比丁甲句若半徑與丁角之餘弦
一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁句 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 八七二六五
術為以甲丙句比乙丙弦若半徑與丙角之割線
一 甲丙句 二百二十九尺七寸
二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六撿表得丙角五十二度一十四分為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分
求乙角併丁丙二角所得度分共一百五十七度以減半周得餘二十三度為乙角
計開先有三邉
乙丙邉三百七十五尺 乙丁邉六百七尺 丁丙邉三百尺求得三角
丁角二十九度一十四分 丙鈍角一百二十七度四十六分 乙角二十三度
右例鈍角形三邉求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邉為底從鈍角分中長線同銳角第三術
厯算全書卷五十一