數學卷六
婺源江永撰
金水𤼵微
勿菴先生五星紀要前數章論金水左旋右旋猶仍厯書之說以伏見輪同嵗輪後因門人劉允恭悟得金水自有歲輪而伏見輪乃其繞日圓象因詳為之說發前人所未發永初見此說頗疑之即楊學山記卷末一條亦疑而不敢質再三思之繪圖試之果見伏見輪之繞日實由歲輪上星行軌跡所成而二星本天皆在日天之下厯家以太陽之天為金水天以伏見輪當次輪皆見其末而未及其本也此說悟於劉而勿菴先生發明之使五星高下遲速之原歸於一貫即此一事已大有功於天學然非多作圖象詳為之說觀者終難瞭然是以特為此卷以發先生之覆并可釋學山之疑
勿菴先生曰問五星之法至西厯而詳明然其舊說五星各一重天大小相函而皆以地為心其新說五星天雖亦大小相函而以日為心若是其不同何也曰無不同也西人九重天之說第一重宗動天次則恒星天又次土星次木星次火星次太陽次金次水次太陰是皆以其行度之遲速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知則皆以地心為心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大於太陽之天而包於外金水二星距地心漸近故其天皆小於太陽之天而在其内為太陽天所包是其本天皆以地為心無可疑者惟是五星之行各有歲輪歲輪亦圓象五星各以其本天載歲輪歲輪心行於本天之周星之體則行於歲輪之周以成遲疾留逆若以歲輪上星行之度聨之亦成圓象而以太陽為心西洋新說謂五星皆以日為心葢以此耳然此圍日圈象原是歲輪周行度所成而歲輪之心又行於本天之周本天原以地為心三者相待而成原非兩法故曰無不同也上三星在歲輪上右旋金水在歲輪上左旋皆挨度平行○夫圍日圏象既為歲輪周星行之跡則遲留逆伏之度兩輪皆有之故以歲輪立算可以得其遲留逆伏之度以圍日圓輪立算所得不殊立法者溯本窮源用法者從簡便算如厯書上三星用歲輪金水二星用伏見輪皆可以求次均立算雖殊其歸一也或者不察遂謂五星之天真以日為星失其指矣○厯指又嘗言火星天獨以日為心不與四星同余甞斷其非是作圖以推明地谷立法之根原以地為本天之心其說甚明其金水二星厯指之說多淆亦久疑其非今得門人劉允恭悟得金水二星之有歳輪其理的確而不可易可謂發前人之未發矣○問金水二星之求次均也用伏見輪厯指謂其即歲輪其說非與曰非也伏見輪之法起於囘厯而歐邏因之若果即歲輪何為别立此名乎由今以觀葢即歲輪上星行繞日之圓象耳王寅旭書亦云伏見輪非歳輪○然則伏見輪既為圍日之跡上三星宜皆有之何以不用而獨用之金水曰以其便用也葢五星行於歲輪起合伏終合伏皆從距日而生故五星之歲輪並與日天同大而歲輪之心原在本天周故其圍日象又並與本天同大上三星之本天包太陽外其大無倫又其行皆左旋所以左旋之故詳具後論頗費解說故只用歲輪也至於金水本天在太陽天内伏見輪既與之同大又其度順行故用伏見輪亦即繞日圓象若用歲輪則金水之歳輪反大於本天以歳輪與日天同大故皆大於本天故不用歲輪非無歲輪也承用者未能深考立法之根輒謂伏見輪即歲輪其說似是而非不可不知也伏見亦起合伏終合伏有似歲輪然歲輪之心行於本天之周而伏見輪以太陽為心故遂以太陽之平行為平行皆相因而誤者也○然則金水既非以太陽之平行為平行又何以求其平行曰歳輪之心行於本天是為平行乃實度也實度者周度也以本天分三百六十度而以各星周率平分之則得其每日平行如土星二十九年竒而行本天一周則二十九日而行一度每日平行十九分度之一是為最遲木星十二年周天每日平行約為十二分度之一火星二年周天約為每日平行半度金星二百二十餘日周天約每日平行一度半强水星八十八日弱而周天約每日平行四度皆平行實度若歲輪及伏見輪雖亦各分三百六十度亦各有其平行然而非實度也此非本天上平行之度又非從地心實測之平行度乃各星之離度耳因此離度下文詳之用三角法從地心測之則得其遲留伏逆之狀亦為實度矣此實度不平行與本天之平行實度不同○本天之度平行實度也歲輪及伏見乃離度也離度為虛數故皆以半徑之大小為大小○伏見輪上行度與歲輪同所不同者半徑也伏見之半徑皆同本天歲輪之半徑皆同日天○問何以謂之離度曰於星平行内減去太陽之平行故曰離度乃離日之度也以太陰譬之其每日平行十三度竒者太陰平行實度每日十二度竒者太陰之離度也於太陽平行内减太陽平行是故金星每日行大半度竒水星每日約行三度皆於星平行内減太陽之平行○因金水行速其離度在太陽之前乃星離於日之度故其度右旋順行與太陰同法也○若上三星則當於太陽平行内減去星行是為離度葢以上三星行遲在太陽之後乃星不及於日之度其度左旋而成逆行與太陰相反然其為離日之行度一而已矣王寅旭五星行度解謂上三星左旋葢謂此也然竟以此為本天終非了義○平行者對實行而言也然實行有二一是本天最高卑之行亦曰實行一是黄道上遲留逆伏實測亦曰視行是二者皆必以本天之平行為宗○若金水獨以太陽之平行為平行是廢本天之平行矣又何以求最高卑乎○圍日之輪即伏見輪起合伏終合伏是即古法之合率也本天之行即古法之周率也最高卑即古法之厯率也又有正交中交以定緯度即如古法之太陰交率也此一法是西法勝中法之一大端是數者皆必以本天取之故不得以圍日之輪為本天○厯指言金星正交定於最髙前十六度水星正交與最高同度其所指皆本天之度非伏見行之度則伏見輪不得為本天明矣○今以七政厯徴之不惟最高卑之盈縮有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十餘日而南北之交一終水星則八十八日竒而交終此皆論本天實度原不論伏見行是尤其較著者矣
永按七政皆有本天本天皆有平行之實度月與五星皆有次輪而五星次輪亦曰歲輪皆因離日逺近而生離度月之離度起合朔終合朔五星離度起合伏終合伏土木火三星在日之上其本天大其右行之度遲則於太陽平行度内減其星之行度是為歲輪上離度合伏至衝日半輪星西而日東衝日至合伏半輪星東而日西金水二星在日之下其本天小其右行之度速則於本天平行度内減太陽平行度為歲輪上離度合伏至衝日星東而日西衝日至合伏星西而日東金水本天雖小而歲輪亦如上三星與日天等大星在歲輪上半周則歲輪負星出日上至下半周乃在日天下其繞日之圓象實由歲輪上星行軌跡所成與上三星成繞日大圓者同理而厯家别名為伏見輪但於伏見輪上離度筭其距日實行則與歲輪所得不殊又即以太陽之平行為二星之平行皆徑捷之權法而承用者遂以伏見當歲輪以日天為二星本天且置本輪均輪於日天上而二星之本天與歲輪皆隐得勿菴先生發其藴本象始明終疑金星二百二十四日竒周天水星八十八日周天何以能終古附日也乃多作圖以顯其象此設金星合伏時在歲輪之頂以為起算之端因及歲輪心行一象限也甲為地心亦為金星本天與黃道之心乙丁己戊為黃道午酉未申為本天庚辛心壬為歲輪庚辰寅夘為伏見輪歲輪心午在本天周乙為太陽庚為星合伏時星在日上從甲望之同在一直線此星在歲輪上本象也若設伏見輪繞日乙為輪心即太陽其合伏之㸃庚即歲輪之頂星在歲輪頂即在伏見輪頂也若向後五十六日有竒歲輪心行一象限此姑以輪心行言之實因本天右旋故帶動歲輪也又本天上更有本輪本輪上有均輪歲輪心在均輪上其差者微此姑勿論後倣此至酉為辰子丑癸輪則太陽自乙行至丙五十五度竒而星在歲輪上自癸行至亥三十四度竒癸即前之合伏㸃庚其繞日之伏見輪戌亥氐亢心至丙其周與歲輪交於亥亥為星所到房至亥房為合伏㸃猶癸至亥也同度此又五十六日竒併前為一百十二日竒歲輪又行一象限心至未也凡行象限二太陽自乙至辰一百十度竒星自心至子六十九度竒若自伏見輪上觀之輪心在辰其周與歲輪交於子子即星所到也丑至子猶心至子也丑與心皆合伏㸃黃道上角至辰即星離日次均度也此圖有二行其一己庚辛壬歲輪心行至戊則太陽在丙星在癸而伏見輪夘巳寅癸輪亦交於癸其一子丑午未歲輪心行至乙則太陽在丁星在申而伏見輪申亢酉氐輪亦交於申○又五十六日竒併前為一百六十八日半强歲輪又行一象限心至戊併前三象限太陽自房心至丙一百六十六度强星自庚厯辛至癸庚即第一圖合伏庚㸃一百○三度太强伏見輪自辰至癸亦如之辰亦合伏㸃○又五十六日竒併前二百二十四日半强歲輪又行一象限心至乙併前一周太陽自房心至丁二百二十一度半弱星自子丑至申一百三十八度半强伏見輪自戌氐至申亦如之子戌皆合伏㸃金星行嵗
輪圖四
此圖亦有二行其一癸寅丑子歲輪心行至丙則太陽在夘星在申而伏見輪酉申戌亥輪亦交於申其一亢心氐房歲輪心行至丁則太陽在午星在未而伏見輪尾箕未斗輪亦交於未○又五十六日竒併前為二百八十一日弱歲輪又行一象限心至丙併前一周外又一象限太陽自辛庚至夘二百七十六度太强星自子歴癸至申子即第一圖合伏庚㸃○又五十六日竒併前為三百三十七日强歲輪又行一象限心至丁併前一周外又二象限太陽自辛庚至午三百三十二度强星自氐厯房亢至未二百○七度太强氐即第一圖合伏庚㸃伏見輪自牛厯尾箕至未亦如之牛亦合伏㸃此又五十六日竒併前為三百九十三日强歲輪癸丑子寅又行一象限併前一周外又三象限心至戊太陽行一周又自已至未二十七度半星自丑 子寅至酉二百四十二度半弱丑即第一圖合伏庚㸃伏見輪自申 辰午至酉亦如之申亦合伏㸃此圖有二行其一戊壬癸庚次輪心行至丙則太陽在房星在酉而伏見輪酉巳亥未輪亦交於酉其一辛斗亢牛歲輪心行至午則太陽在心星在辰而伏見輪夘辰寅氐輪亦交於辰○又五十六日竒併前為四百四十九日少强歲輪又行一象限心至丙併前二周太陽行一周又自丁至房八十二度太强星自戊厯壬癸至酉戊即第一圖合伏庚㸃二百七十七度强伏見輪自申厯巳亥未至酉亦如之申亦合伏㸃又五十六日竒併前為五百○五日半强歲輪又行一象限心至午併前二周又一象限太陽行一周又自丁房至心一百三十八度强星自己厯辛斗亢至辰三百一十一度半强己即第一圖合伏庚㸃伏見輪自午厯寅氐夘至辰亦如之午亦合伏㸃此圖亦有二行其一子牛壬癸歲輪心行至丙則太陽在心星在戌而伏見輪申酉戌亥輪亦交於戌其一寅辰斗角歲輪心行至女則太陽在丑星在午而伏見輪夘未巳午輪亦交於午○又五十六日竒併前為五百六十一日太弱嵗輪又行一象限心至丙併前二周有半太陽行一周又自丁厯戊庚至心一百九十三度半强星自壬厯癸子牛至戌三百四十六度强壬即第一圖合伏庚㸃伏見輪自亢厯亥申酉至戌亦如之亢亦合伏㸃○又五十六日竒併前為六百一十七日太强歲輪又行一象限心至女併前二周又三象限太陽行一周又自丁 戊庚至丑二百四十九度稍强星自辰左旋一周至午二十一度稍弱辰即第一圖合伏庚㸃伏見輪自房右旋一周至午亦如之房亦合伏㸃此設水星合伏時在歲輪之頂因及歲輪心行一象限也甲為地心丙申未午為黃道乙丁己辛為本天戊亥尾亢為歲輪戊己子癸為伏見輪歲輪心乙在本天周丙為太陽戊為星合伏時星在日上從甲視之同一直線此星在歲輪上本象若設伏見輪繞日丙為輪心即太陽其合伏之㸃戊即歲輪之頂星在歲輪頂即在伏見輪頂也本天上更有本輪均輪歲輪心在均輪上其差皆微此勿論後倣此○設合伏後二十二日弱歲輪行一象限己角戌酉輪心至丁則太陽自丙行至庚二十一度太弱星自酉至壬酉即合伏戊㸃六十八度少强自丑牛夘丙伏見輪上觀之則自斗至壬亦六十八度少强也斗亦合伏㸃此圖有二行其一己子丁己歲輪心行至乙則太陽在酉星在房而伏見輪未戌房申輪亦交於房其一午癸丑夘歲輪心行至辛則太陽在亥星在心而伏見輪尾角斗心輪亦交於心○又二十二日弱併前為四十四日弱歲輪又行一象限心至乙併前二象限太陽自庚至酉四十三度少强星自丁厯巳至房丁即第一圖合伏戊㸃一百三十六度半强伏見輪自氐厯戌至房亦如之○又二十二日弱併前六十六日弱歲輪又行一象限心至辛併前三象限太陽自庚至亥六十五度强星自癸厯丑夘至心二百○五度弱癸即第一圖合伏戊㸃伏見輪自亢厯角斗至心亦如之亢亦合伏㸃此圖有三行其一戊寅庚夘歲輪心行至乙則太陽在午星在酉而伏見輪酉栁女尾輪亦交於酉其一辰子己房歲輪心行至氐則太陽在未星在戌而伏見輪斗牛虛戌輪亦交於戌其一丙亢壬角歲輪心行至巳則太陽在申星在亥而伏見輪井室亥危輪亦交於亥○又二十二日弱併前為八十八日弱歲輪又行一象限心至乙併前一周太陽自丁行至午八十六度太弱星自戊厯寅庚夘至酉戊即第一圖合伏戊㸃二百七十三度少强伏見輪自心厯栁女尾至酉亦如之心亦合伏㸃 又二十二日弱併前為一百一十日弱歲輪又行一象限心至氐併前一周又一象限太陽自丁行至未一百○八度少强星自房厯辰子巳至戌房即第一圖合伏戊㸃三百四十一度半强伏見輪自壁厯虛牛斗至戌亦如之壁亦合伏㸃○又二十二日弱併前為一百三十二日弱歲輪又行一象限心至巳併前一周半太陽自丁至甲一百二十日强星自壬左旋一周又五十度弱至亥壬即第一圖合伏戊㸃伏見輪自奎右旋一周復至亥亦如之奎亦合伏㸃
錫山楊學山作枚曰書五星紀要後西法步五星土木火有歲輪金水有伏見輪雖兩輪行度求角之法皆同然歲輪上為星離日之虛度輪心在本天伏見輪則有自行度輪心即太陽細按厯書之說葢謂上三星本天包太陽天外星離日而又與日有定距是生歲輪其半徑恒與太陽天等若金水之本天即太陽天其平行與太陽同距等亦與太陽等俱一千一百四十二地半徑而此伏見一輪以日為心繞日環轉而為伏見使非此輪則星無所為伏見以平行同太陽故也故名伏見輪其輪之半徑皆有定度金星七千二百竒水星三千八百竒是其意原非以伏見輪當歲輪若果即為歲輪則半徑宜有大小何則火星因與太陽天近尚有日躔本天二差以變次均角豈金水在太陽天下而反無之今測不然是伏見輪另為一種行動為金水之所獨故昔人别立伏見輪之名也其所云即歲輪者葢因行法相同而混言之耳今勿菴之說又異是謂五星皆同一法皆有歲輪上三星因本天大故用歲輪金水因歲輪大難用故用繞日圓象即伏見輪如上三星圍日之圏如此可明金水自有本天因得自有高卑亦自有平行度因在日天下速於太陽本天斜倚黃道因有正交中交之名諸根底俱有著落且五星一貫但依此立算凡星平行自行之根數初均次均之度分南緯北緯之大小皆與厯書數迥異騐之於天未識合否余嘗疑厯指論五星緯說多混淆金水尤畧因作五星緯行解一卷明之勿菴之說不敢遽定其是非存之以待參攷焉
永按學山先生謂勿菴之說不敢遽定其是非今繪圖試之歲輪上星所到與伏見輪上星所到一一相符則勿菴先生之說信矣然諸圖皆設歳輪心於本天未設本輪均輪愚初猶疑本輪均輪設於本天未必能符伏見輪上所算之數也既而擬法算之算例見後雖平行自行初均次均與伏見算大異而以後均加減歲輪行則與伏見所算之實行不約而同於是前疑盡釋而算例亦可立矣若南緯北緯之大小勿菴先生已詳言之謂本天上歲輪心所行之周半在黃道北半在黃道南其勢斜立星體行伏見輪周其勢亦斜立與之相應故其交角等夫交角既等則歲輪上之緯與伏見輪之緯亦必等豈兩輪事事相符而緯行一事獨違異者況星之緯南緯北實由歲輪心所到乎輪心到正交中交則無緯度楊先生亦可無疑於此也永别有餘論具於左
凡星體皆載於歲輪上歲輪之心在均輪均輪之心在本輪本輪之心在本天其大遲速在本天之行其小盈縮在本輪均輪之轉五星皆同歳輪由星為太陽所攝而生歲輪隨本天旋轉聨其行跡自成繞日之輪其輪各與本天等大若主太陽言之似星本繞日因星在繞日輪上旋轉而成與太陽本天等大之歲輪西士謂五星皆以日為心若主本天言之則繞日輪生於歲輪勿菴先生始謂上三星之繞日為虛跡非實象後又謂金水伏見輪亦如圍日之圓象實為歳輪周行度所成然則本天與歲輪猶表也繞日圏伏見輪猶景也
置本輪均輪於金水歲輪上與伏見輪上所算之黃道度不殊然則上三星亦可置本輪均輪於繞日圏上立算此天能之巧妙若上三星用歲輪金水用伏見輪則步算之權宜也各星本輪均輪止一耳何以隨人兩置之而皆可由其本同故也其所以然者不出三角之理後有圖明之
厯家於金水何以不用歲輪立算伏見顯而歳輪隱也然則厯家既便於伏見立算矣必不用歳輪之隱而曲勿菴先生之說亦可置勿論乎曰不然疇人之所便用者法也儒家所講求者理也有勿菴之說而後知二星亦有本天有歲輪與上三星一貫因其本天在日天下故其左旋者漸遲右旋者漸速下至太陰上至恒星高下遲速各以其等而西人始言天有重數之說得此益明故愚以為甚有功也否則但以二星之行與日等其本天與日天混而為一烏覩所謂九重者乎
梅先生恐人謂歲輪實有堅硬之物則有人持珠竿行於浮屠梯磴之喻門人劉著亦有風中放紙鳶之喻皆謂員周為虛設二喻皆妙永又思之使其只有一本天一歲輪則謂因相距之半徑隨天旋繞而成員象可也而本天之上有本輪本輪之上有均輪均輪之上乃有歲輪至太陰則小輪尤多諸輪又各有其左旋右轉隨動自動起㸃行度之異又火星之次輪時時不等水星之均輪一周三周一若實有諸輪相聨相貫相推相盪又且多其變態者則在天雖無輪之形質而有輪之神理雖謂之實有焉可也學山謂火星因與太陽天近故有日躔本天二差以變次均角愚始亦疑其然後細攷之此說未確使火星之次輪半徑由近日天而致差則木星天距火星未甚逺豈得無些小之差土星天雖去日天甚逺而本輪比諸星獨大亦豈得無微細之差厯家積候之久雖有小差必能立法以追其變使土木次輪亦如火星之例豈不依火星距日日差之法為活動之算以窮其變今攷之不然則次輪半徑有二差惟火星則然金水雖最近日次輪半徑有定尤可互證伏見輪雖曰以太陽為心其實亦非真以太陽之形體為心也乃是太陽本輪之心為之心耳故算次均角不因太陽之盈縮髙卑而改變惟算合伏與退合兩日以太陽實行定其實合伏實退合之時刻以此例之土木二星繞日圏其真心亦是太陽本輪心非太陽之形體也惟火星不然耳
梅先生云歲輪大小又因於太陽髙卑伏見輪既以日為心則太陽行最髙時伏見輪從之亦高而星去地逺太陽行最卑則伏見輪從之卑而去地近永思之金水近日使伏見半徑果因太陽高卑而有改變則太陽行至三宫九宫平視兩行差不啻兩度伏見輪半徑亦當大兩度厯家有不覺者乎知其所謂心者為太陽本輪心非太陽形體則此疑冰釋矣○梅先生又謂太陽有高卑則黃道半徑有大小星亦能變緯度論視緯當兼用兩種髙卑立算永謂算視緯必用星距地心線定其逺近此線即黃道上星距太陽本輪心之界線也算次均角即此線所界之度求次均不因太陽高卑而變則此線亦不因太陽高卑而改疑其無緯差
五星紀要詳於金畧於水永考水星與金星不同者有二事其一則均輪也他星均輪最高時起最近㸃右旋而倍引數獨水星均輪最高時起最逺㸃右旋三倍引數引數一度均輪三度其一則交角也金星交角三度二十九分惟一耳水星交角則時時不同伏見輪心在大距與黃道交角五度四十分伏見輪心在正交當黄道北則減南則加伏見輪心在中交當黃道北則加南則減其加減各有與大距交角相較之數以距交實行逐度算其交角加減交角而得實交角此二事葢相因其理極精微
又按厯書水星前後緯表南北之向與金星相反初不知其何故及考之厯象考成求金水正交行置最高平行金星則減十六度水星則加減六宫得正交平行乃知水星正交與最卑同度而舊法謂與最高同度是以正交為中中交為正故南北與金星相反當易其正中之名乃與諸曜一例
從伏見輪立算二星皆以太陽之平行為平行輪上繞日之行為伏見平行求初均於本星平行内減最高行為引數金星用直角形水星用三角形厯數考成之法求得均角以加減本星之平行為初實行初宫至五宫為減六宫至十一宫為加又反用加減號以加減伏見平行為伏見實行加星行則減伏見行減星行則加伏見行求次均先求伏見輪心距地心線求得初均角即用割線比例求之以此線與伏見輪半徑為兩邉以伏見實行為所夾之外角過半周者與全周相減用其餘用切線分外角法求半較角以減半外角餘為次均角以加減初實行伏見輪初宫至五宫為加六宫至十一宫為減為黃道上實行
右法厯家所用者也若用歲輪算法如後永所推從歲輪立算二星皆以行度即本星平行與太陽同離度即伏見平行併之為歲輪之平行置本輪均輪於各本天與伏見法置於太陽本天者異於歲輪平行内減最高行為引數亦用直角金星三角水星形法求均角以加減本星之行度為初實行又反用加減以加減本星之離度為定離度於定離度内求次均亦先求得歲輪心距地心線為一邉此邉小以歲輪半徑為一邉此邊大定離度為所夾之外角過半周者伏見輪之半徑小次均為對小邉之角故以半較角減半外角為對邉之小角歲輪半徑大次均為對大邉之角故以半較角加半外角為對邉之大角以次均加減歲輪平行初宫至五宫為減六宫至十一宫為加為黃道上實行與伏見輪所算實行同算理
金水本天與太陽本天高下不同其本輪均輪一置於伏見輪心一置於歲輪心各依本法算之所得之初均次均數亦迥不同而求黃道實行兩者若合符節此必有所以然之理作圖明之甲為地心丙為太陽乙
為金星辰午丁弧為本
天戊丙巳弧為黄道子
辛丑弧為歲輪壬乙癸
弧為伏見輪丁為嵗輪
心丙為伏見輪心此設
太陽自戊行至丙而嵗
輪心自辰行至丁則星
體必在乙乙㸃為歲輪與伏見輪相交之處也歲輪子乙弧與黃道戊丙弧同度亦即與伏見輪壬庚弧同度皆星本行之度與太陽行度等者也歲輪乙辛弧與黃道丙己弧同度亦即與伏見輪庚乙弧同度皆為星離合伏之度厯家所謂伏見行者也歲輪左旋自辛至乙為離度伏見右旋自庚至乙為離度夫辛乙與庚乙同度黃道上為丙夘巳之度而人從甲望乙見黃道上星在夘則夘丙為星距太陽之視度其角為夘甲丙角亦即庚甲乙角若從伏見立算當算庚甲乙角得丙夘加戊丙得戊夘為黃道上實行度若從歲輪立算則輪上辛乙從黃道上視之為巳夘其角為己甲夘亦即辛甲乙當算辛甲乙角得夘己以夘巳減戊巳亦得戊夘為黃道上實行度○然則兩輪立算始異終同由辛乙與庚乙同度黃道上為丙己中間有星距地心線乙甲截丙巳於夘分為兩甲角一夘甲丙一夘甲己算兩甲角一加一減則必無不合也○兩甲角成斜方形邉有四線丙甲為伏見輪心距地心線乙丙為伏見輪半徑丁甲為歲輪心距地心線乙丁為歲輪半徑兩輪心所到各不同則斜方形亦不一皆此四線之伸縮其極也四線合為一線中線如兩線之長合伏與退合時○此圖未加本輪均輪則乙丙等丁甲乙丁等丙甲對邊皆平行本非天上實象姑以此明立算之本設本輪均輪之四線圖如左此圖乙丙乙丁如前丙甲與
對邊亦各不平行由丙丁二
輪心有本輪均輪各有髙卑
則丙甲丁甲二距地心線有
改變乙㸃為心所在亦有移
動而黃道上丙夘丙巳兩視度亦有損益也而算兩甲角以求實行度必無不合○凖前圖論之丙甲丁甲二距線若常如兩輪半徑則丙角與丁角同大邉線平行同對乙甲線故也丙甲乙角與丁乙甲角同大同對半徑小邉丙乙甲角與丁甲乙角同大同對半徑大邉如後圖丙甲丁甲二距線既變則兩形中無相等之角即丙丁二甲亦變矣角變而丙己之弧度不變是以其終必合也○丙丁二角何以變也依前圖言之丙角之外角度為伏見輪上庚乙丁角之外角度為歲輪上辛乙庚乙與辛乙本同度也因兩輪上各有初均加減則度不同而庚丙乙與乙丁辛兩外角變矣外角變故内角必變也○丙己之弧度何以不變也凡初均數加星行者即減伏見加伏見者即減星行二者迭為損益而總數不改是以斜方形中但移其乙甲距線而黃道上丙己之度為戊丙之餘原與庚乙乙辛等者未嘗變是以次均算得夘巳減戊己猶之算得丙夘加戊丙也○由是觀之任丙甲丁甲二邉時時改變乙甲線時時移動而得黃道上戊夘之實度必無不同○乙甲丙角所對者乙丙小邉故以半較角減半外角爲甲角乙甲丁角所對者乙丁大邊故以半較角加半外角爲甲角自然之理也○兩輪算黄道實度旣同矣乙甲爲星距地心線亦同乎曰此不待言也乙甲者丙角丁角同用之對邊也以角算度旣合矣邊焉得不合
右圖就金星輪圖之水星倣此