數學九章卷二上
宋 秦九韶 撰
天時
推氣治厯
問太史測驗天道慶元四年戊午嵗冬至三十九日九十二刻四十五分紹定三年庚寅嵗冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中間嘉泰甲子嵗氣骨嵗餘斗分各得幾何
按紹定三年庚寅之冬至實紹定四年辛夘之始辛夘距戊午三十四年積年為三十三
答曰氣骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分餘嵗五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分術曰先距前後年數為法置前測曰刻分减後測曰刻分餘為率不足减則加紀䇿以紀䇿累加之今及天道合用五日以上數為實以法除實得嵗餘去全日餘為斗分以所求中間年上距前測年數乘嵗餘益入前測日刻分滿紀䇿去之餘為所求氣骨草曰置前測戊午嵗距前嵗庚寅嵗得三十三為法置前測戊午嵗冬至三十九日日辰癸夘九十二刻四十五分減後測紹定三年庚寅嵗冬至三十二日日辰丙申九十四刻一十二分今後測者少不及前測者以減乃加紀法六十日於後測日内得九十二日九十四日一十二分然後用前測者減之餘五十三日一刻六十七分為率按術當以法三十三餘率須使啇數必得五日以上乃可今率未得五日乃兩度累加紀法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分為刻實如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分不盡棄之為嵗餘乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分為斗分次推嘉泰甲子上距慶元戊午嵗得六以乘嵗餘五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前測戊午嵗三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分滿紀法六十去之餘一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分為所求甲子 氣骨之數合問
按氣骨者年冬至時距甲子日子正初刻後之日分也嵗餘者嵗實去六甲子之餘日分也斗分者嵗實去三百六十五日之餘分也此未知嵗實之法故先以前後兩氣骨相減餘數為實以積年為法除之嵗餘約五日餘紀日六十故實數内累加六十日至啇得五日上而止則實數為積嵗餘之數以積年除之得嵗餘日分既得嵗餘以甲子積年六乘之得甲子積嵗餘與前測氣骨相加滿紀法去之餘即甲子氣骨也
治厯推閏
問開禧厯以嘉泰四年甲子嵗天正冬至為一十一日日辰乙亥四十四刻六十一分五十四杪十一月經朔一日日辰乙丑七十五刻五十五分六十二杪問閏骨閏率各幾何
答曰閏骨九日六十九刻五分九十一杪不盡一百六十九分杪之一百二十一
閏骨率十六萬三千七百七十一術曰以日法各通氣朔日刻分杪各為氣骨朔骨分其氣骨分如約率而一約盡者為可用或收弃餘分在一刻以下者亦可用然後與朔骨分相減餘為閏骨率以日法約之為閏骨䇿
草曰置本厯曰法一萬六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九萬三千四百四十分二十六小分為實其歴約率係三千一百二十以約之得六十二可用其餘小分二十六乃弃之只用一十九萬三千四百四十為氣骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日法一萬六千九百乘之得二萬九千六百六十八分九十九杪七十八小分將近一分故於氣骨内所弃二十六小分借二十二小分以補朔内收上得二萬九千六百六十九為朔然後以朔骨分減氣骨分餘有一十六萬三千七百七十一為閏骨率復以日法除之得閏骨䇿九日六十九刻五分九十一杪不盡一百二十一筭直命之為一百六十九分杪之一百二十一合問
按此題若置冬至日分内減經朔日分餘九日六十九刻五分九十二杪得閏骨䇿此原草僅多一百六十九分杪之四十八盡草中氣骨内棄小分二十六朔骨分内進二十二併之為一百六十九分杪之四十八其不徑相減而必用通分約分累乘累除者為向後推筭用耳
治厯演紀
問開禧歴積年七百八十四萬八千一百八十三欲知推演之原調日法求朔餘朔率斗分嵗率嵗閏入元嵗入閏朔定骨閏泛骨閏縮紀率氣元率元閏元數及氣等率因率蔀率朔等數因數蔀數朔積年二十三事各幾何
答曰日法一萬六千九百
朔餘八千九百六十七
朔率四十九萬九千六十七
嵗率六百一十七萬二千六百八
嵗閏一十八萬三千八百四
入元嵗九千一百八十
入閏四十七萬四千二百六十
朔定骨二萬九千六百六十九
閏泛骨一十六萬三千七百七十一
閏縮一十八萬八千五百七十八
氣元率一萬九千五百
元閏三十七萬七千八百七十三
元數四百二
氣等率五十二
因率一百四十四
蔀率三百二十五
朔等數一
蔀數四十九萬九千六十七
朔積年七百八十三萬九千
積年七百八十四萬八千一百八術曰以厯法求之大衍入之調日法如何承天術用强弱母子互乘得數併之為朔餘以二十九日通日法增入朔餘為朔率又以日法乘前厯所測冬至氣刻分收棄末位為偶數得斗分與日法用大衍術入之求等數因率蔀率以紀乘等數為約率置所求氣定骨如約率而一得數以乘因率滿蔀率去之不滿以紀法乘之為入元嵗次置嵗日以日法通之併以斗定分為嵗率以十二月乘朔率減嵗率餘為嵗閏以嵗閏乘入元嵗滿朔率去之不滿為入閏與閏骨相減之得差或適足便以入元嵗為積年後術並不用或差在刻分法半數以下者亦以入元嵗為積年必在刻分法半數以上却以閏泛骨併朔率得數内减入閏餘與朔率求閏縮在朔率以下便為閏縮以上用朔率減之亦得以紀法乘日法為紀率以等數約之為氣元率以氣元乘嵗閏滿朔率去之不滿為元閏虗置一億減入元嵗餘為實元率除之得乘限乃以元閏與朔率用大衍入之求得等數因數蔀數以等約閏縮得數以因數乘之滿蔀數去之不滿在乘限以下以乘元率為朔積年併入元嵗為演紀積年又加成厯年
今人相乘演積年其術如調日法求朔餘朔率立斗分嵗餘求氣骨朔骨閏骨及衍等數約率因率蔀率求入元嵗嵗閏入閏元率元閏已上皆同此術但其所以求朔積年之術乃以閏骨減入閏餘為之閏贏却與閏縮朔率列號甲乙丙丁四位除乘消減謂之方程乃求得元數以乘元率所得為之積年加入元嵗共為演紀嵗積年所謂方程正是大衍術今人少知非特置筭繁多初無定法可傳甚是惑悮後學易失古人之術意故今術不言閏贏而曰入閏差者蓋本將來可用入元嵗便為積年之意故今止將元閏朔率二項以大衍先求等數因數蔀者仍倣前前求入元嵗之術理假閏骨如氣骨以等數為約數及求乘數蔀數以等約閏縮得因乘數滿蔀去之不滿在限下以乘元率便為朔積年亦加入元嵗共為演紀積年此術非惟止用乘除省便又且於自然中取見積年不惑不差矣新術敢不用閏贏而求者實知閏贏已存於入閏之中但求朔積年之竒分與閏縮等則自與入閏相合必滿朔率所去故也數理精微不易窺識窮年致志感於夢寐幸而得知謹不敢隐草曰本厯以何承天術調得一萬六千九百為日法係三百三十九强一十七弱先以强數三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四於上次以弱數一十七乘弱子九得一百五十三併上共得八千九百六十七為朔餘次以日法通朔䇿二十九日得四十九萬一百增入朔餘得四十九萬九千六十七為朔率又以日法乘統天厯所測毎嵗冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪為斗泛分驗八分既偶遂棄三十九杪只以四千一百八分為斗定分與日法以大衍術入之□得五十二為等數一百四十四為因率三百二十五為蔀率以甲子六十為紀法乘等數得三千一百二十為約率却置本厯上課所用嘉泰甲子嵗氣骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九萬三千四百四十分二十六杪為氣泛骨欲滿約率三千一百二十而一故就近乃棄微杪只以一十九萬三千四百四十為氣定骨然後以約率三千一百二十除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九百二十八滿蔀率三百二十五去之不滿一百五十三以紀法六十乘之得九千一百八十年為入元嵗次置嵗 三百六十五以日法乘之得六百一十六萬八千五百併斗定分四千一百八得六百一十七萬二千六百八為嵗率却以十二月乘朔率四十九萬九千六百七得五百九十八萬八千八百四率内減去此數餘一十八萬三千八百四為嵗閏以嵗閏乘入元嵗九千一百八十得一十億八千七百三十二萬七百二十滿朔率去之不滿四十七萬四千二百六十為入閏次置本厯所用嘉泰甲子嵗天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法乘之得二萬九千六百六十八分九千九百七十八杪為朔泛骨就近收杪為一分共得二萬九千六百六十九為朔定骨數然後乃以朔定骨減氣骨一十九萬三千四百四十餘一十六萬三千七百七十一為閏泛骨置日法以二百歸除之得八十四半為半刻法次以入閏數内減去閏泛骨與入閏相課減之餘三十一萬四百八十九此是閏贏為差半刻法以上乃以閏泛骨併朔率共得六十六萬二千八百三十八以入閏四十七萬四千二百六十減之餘一十八萬八千五百七十八在朔率下便為閏縮次以紀䇿六十乘日法得一百一萬四千為紀率以等數五十二歸除紀率得一萬九千五百按即六十乘三百二數十五之數為一蔀年為氣元率以氣元率乘嵗閏一十八萬三千八百四得三十五億八千四百一十七萬八千滿朔率去之不滿三十七萬七千八百七十三為元閏次置一億按此數似虗設不過取一億之數為限耳此所求過限又將改率數以遷就之矣以入元嵗元千一百八十減之餘九千九百九十九萬八百二十為實以元率一萬九千五百為法除之得五千一二十七為乘元限數乃以元閏三十七萬七千八百七十三餘與朔率四十九萬九千六十七用大衍術求之得等數一因等四十五萬七千九百九十九蔀數四十九萬九千六十七然後以等數一約閏縮只得一十八萬八千五百七十八以因數四十五萬七千九百九十九乘之得八百六十三億六千八百五十三萬五千四百二十二滿蔀數四十九萬九千六百七十去之不滿四百二在乘元限數以下為可用以乘元率一萬九千五百得七百八十三萬九千年為數積年併入元嵗九千一百八十共得七百八十四萬八千一百八十為嘉泰四年甲子嵗積算本厯係於丁夘嵗進呈又加丁夘三年共為七百八十四萬八千一百八十三年為本厯積年合具繪圖如後
按此術草内竒定相求有等數又有因數蔀數之異蓋等數即度盡定竒兩數之數因數為竒數之倍數任倍定竒二數相較但得一等數則竒之倍數即為因數蔀數者竒數最大之倍數也任倍竒定至兩邊相等無較數則竒數之倍數即謂之蔀數也等數甚小者因數不患其甚大有蔀數以限之也草中尚多訛舛正之於後
按此題術草皆曰何承天調日法而宋書所載何承天法並無甚率且各用數亦與此不同今細按其草日法已有定數所調者朔䇿餘分也然從來朔䇿餘分皆以實測之朔䇿分嵗實分兩母子互乘相通即得並無所謂調法今所載强弱母子四數大約已有朔䇿餘分與日法分相約而得非别有所本乃故設曲折以為竒也試以朔餘分八千九百六十七分為第一條置日法分内減朔䇿餘分餘七千九百三十三為第二條以此二數數取之先置第一條減第二條餘一千零三十四為第三條七因第三條以減第二條餘六百九十五為第四條以第四條減第三條餘三百三十九為第五條二因第五
第六條是第五條即强母數
第六條即弱母數矣次用第
五條第六條轉求第一條以
取兩子數置第六條於上二
因第五條加之得第五條者
二第六條者一共六百九十
五為第四條以第四條加第
者一共一千零三十四為第
三條七因第三條以加第四
條得第五條者二十三第六
條者八共七千九百三十三
條得第五條者二十六第六條者九共八千九百六十七為第一條是第五條倍數即强子數第六條倍數即弱子數矣至算式中以日法取强母數者則又以第五條第六條再約而得者如以第五條為實第六條為法為法商之初商得十以法乘初商得一百七十為初商積減實餘一百六十九恰與百分日法分之一等故百除日法分為一數又三乘之得五百零七為實以四十九為法初商得十初商積為四百九十減實餘十七乃以商十乘十七得一百七十與前初商積等故加與前餘積等之百分日法分之一得三百三十九為五條之數名之曰强數也次以日法乘朔䇿日得數併朔餘為朔率
按此係棄分以下數不用也分為偶數即用其數分為竒數則杪微進一分併為偶數如無杪微即加一分
又按算中用數以日法分一萬六千九百分為主斗分定為四千一百零八為偶數氣骨分亦定為偶數其各時刻分皆由日分比例而得故變時刻分為日分求之無不合
按求入元嵗法用斗分與日法分求等率乘率蓋以六十年之嵗實積分與紀法分相約後以六十除紀法分得日法分為定以六十除嵗實積分得斗分為竒求得蔀數乘數皆與六十年之嵗實積分與紀法分所求者同惟等數則為六十之一故以六十乘之為乘分以約氣骨分然後以乘數乘之滿蔀數去之所得用數為六十年之周數故以六十乘之始為年數此立法之意也然以六十年為周數則六十年之間其氣骨數有合者則不可得故所得年數較以嵗實分紀分相求者為逺也
按氣元一萬九千五百乃前蔀數三百二十五以六十乘之之數蓋求入元嵗用六十倍者故此仍用六十倍也
又按此皆用六十年嵗實分求得之數與用一嵗實分求得之數同蓋因積年數為六十度盡之數若非六十度盡之數則得數必逺也今依其數另設一題以明其法設宋開禧厯日法一萬六千九百分嵗實分六百一
十七萬二千六百零八法紀率分一百零一萬四千分朔率分四十九萬九千零六十七分嘉泰甲子嵗天正冬至距甲子日子正後十九萬三千四百四十分古名氣骨十一月朔距甲子日子正後二萬九千六百六十九分古名朔骨問距歴元甲子子正初刻冬至朔之積年幾何
答曰七百八十四萬八千一百八十年
法以紀率為紀定紀率除嵗率即嵗實分餘八萬八千六百零八分為紀竒依大衍術求至竒一百零三餘分六百二十四餘分可以度盡上數則命六百二十四為等數一百零三為乘數又求得竒一千六百二十五無餘分則命一千六百二十五為蔀數乃以等數約氣骨分得三百一十以乘數乘之得三萬一千九百三十滿蔀數去之餘一千零五十五即專以氣骨分求得距厯年之積年數也舊法以斗分嵗餘分四千一百零八為竒日法為定求得等數一紀法六十乘之以約氣骨得數以乘數乘之蔀數除之餘數又以六千乘之為積年名入元嵗其術未密詳前故所得積年為九千一百八十其數亦較逺也
次以蔀數即嵗實紀法滿一會年數乘嵗率得一百億三千四十八萬八千滿朔率去之餘二十三萬九千四百三十四舊名氣元閏為朔竒朔率為朔定依前法求得等數一乗數六千二百五十一蔀率四十九萬九千零六十七次以前所得積年乗嵗率滿朔率去之餘二十七萬五千二百二十四為前朔距至前分數舊名入元閏以嘉泰甲子氣骨朔骨相減得十六萬三千七百七十一為後朔距至前分數舊名閏骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺後近是已退過一朔䇿則於後閏骨内加一朔䇿再減去入元閏餘三十八萬七千六百一十四為後朔前朔相差之分數舊名閏縮乃以等數約閏縮仍得原數以乘數乘之滿蔀數去之餘四千八百二十九為會數乃以一會年數即前蔀數乗之得七百八十四萬七千一百二十五為朔積年加入前積年得七百八十四萬八千一百八十為嘉泰甲子積年
又法仍按本法求之先以嵗率紀率朔率求總等朔率不盡無總等各率朔即為各元數次連環求等朔元不盡嵗元等數等數為六百二十四留嵗元不約約紀元得一千六百二十五分為紀泛定嵗元朔元即為嵗泛定朔泛定次求續等紀泛定嵗泛定等數為十三約嵗泛定乗紀泛定得四十七萬四千八百一十六為嵗定二萬一千一百二十五為紀定朔泛定即朔定三定數連乗得五○○五八八五五五四六九六○○○為衍母紀定朔定相乗得八一○九八三八七五為嵗衍嵗定
九九六六七二為紀衍嵗定
紀定相乗得一○○三○四
八八○○○為朔衍置各衍
數滿各定數去之餘嵗竒四
七二九六三紀竒二○○四
七朔竒二三九四三四次以
各定各竒求各乗數得嵗乗
六七紀乗數二○○○八
朔乗數六二五一以各乘數
乗各衍數得各泛用數嵗泛
用二○一九八九三二○七
九四六二五紀泛用四七四
一一九五六五四四一三三
七六朔泛用六二七○○五
八 四八八○○○併三泛用與衍母數等則泛用即為定用乃以氣骨乗紀定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置氣骨減去朔骨餘十六萬三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○併數得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○滿衍母去之餘四八四四三七三八六五三四四○為實以嵗實分為法除之得七百八十四萬八千一百八十即嘉泰甲子積年之數也此法較前法數繁然其理可互相發明後復設一法兼二法用之
三法先以嵗率紀率求等數得六百二十四專約紀率得一六二五分為紀元嵗率即為嵗元又求續等數得十三以約嵗元得四七四八一六為嵗定以乘紀元得二一一二五為紀定紀定嵗定相乘得一○○三○四八八○○○為衍母以紀定二一
四八一六為紀衍嵗衍小於
嵗定即為嵗竒紀衍滿紀定
去之餘一○○六六為紀竒
次以各定各竒求各乘數得
嵗乗數二五四八六一紀乗
數九七八六以各乗數乗各
衍數得各用數嵗用數五三
四六四六五四九三七六乃
以氣骨乗紀用數得八九八
八二八五一一二九三四四
○滿衍母去之餘六五一二
一○一四四○為通積分為
實以嵗實分為法除之得一
千零五十五即專以氣骨求
次以前衍母分即嵗率紀率一會一千六百二十五年之積分一○○三○四八八○○○與朔率分求等數得一即以前衍衍母分為嵗紀元亦即為嵗紀定以朔率分四九九○六七為朔元亦即為朔定二定數相乗得五○○
五八八五五五四六九六○○
○為衍母以朔定為嵗紀衍以
嵗紀定為朔衍嵗紀衍小於嵗
紀定即以嵗紀衍為嵗紀竒明
三四為朔竒各以定竒求乗
數得嵗紀乗數九九○四八
五二四○三朔乗數六二五
一以各乗數乗各衍數得嵗
紀泛用數四九四三一八四
九七四二○八○○一朔泛
用數六二七○○五八○四
母等則泛用數即為定用數
○一四四○滿朔率去之餘
二七五二二四為入元第一
千零五十五年之閏分又置
嘉泰甲子氣骨減去朔骨餘
一六三七七一為嘉泰甲子
之閏分閏分每嵗漸加今後數小於前數是知已加過一朔率乃於後閏分内加一朔率分減去前閏分得三八七六一四為前後閏分差以乗朔定用數得二四三○三六二二八○五二七五六三二○○○滿衍母去之餘四八四三七二二六五五二○○○為實以嵗率為法收之得七百八十四萬七千一百二十五為後積年數並前積年數共得七百八十四萬八千一百八十年為嘉泰甲子積年與前數合
按右竒定相求其上層竒一數即大衍術中所謂立天元一也其逐層數即術中所謂遞互乗餘也其下層竒得數即術中所謂乗數也有等數者求蔀數古無筆算舊式所載不詳兼多重複舛偽之處集中惟此問甚繁故既設題以明其法復備録加減乗除之數以詳其算式俾觀者易見焉
綴術推星
問嵗星合伏經一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃見後順行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各幾何
按此以兩積曰之遞差積度求各行率也蓋合伏初日其行最疾以次漸遲遲極則留總其積度略如遞減差分故古法皆以其術歩之
答曰合伏一十六日九十分 常度三度九十度初行率二十三分九十七杪 平行率二十三分二杪 末行率二十二分七杪
晨疾初三十日 常度六度一十三分 初行率二十一分九十六杪 平行率二十分三十三杪 末行率一十八分七十杪術曰以方程法求之置見日減一餘半之為見率以伏日併見日為初行法以法半之如見率共為伏率以伏日乘伏率為伏差以見日乘見率為見差以伏日乘見差於上以見日乘伏差減上餘為法以見日乘伏度為泛以伏日乘見度減泛餘為實實滿法而一為度不滿退除為分杪即得日差
按此求逐日之遞差為日差也術曰方程非也其所謂見數者乃徒設一數宛轉附會使合於方程之行列也如 見日減一折半為見率併伏見日折半為半總日既以半總日加見率先以伏日乘之後以見日乗之復置見率先以見日乘之後以復日乘之相減然後為法豈非半總日不用加見率但以伏日見日連乘之即可為法乎特多立名目故為曲折顛倒使人不易辦耳今去其見率另為歩算於後以明其立法之本意焉
法以合伏日除伏行度得二十三分九七六二三為合伏日折中第八日四十五分一日之行度即第七日九十五分至第八日九十五分之行度以順行日除順行度得十五分七七八七六一為順行日折中第五十六日五十分一日之行度兩一日之行度相減行七分一九八一六二為合伏第八日四十五分與順行第五十六日五十分兩一日之行度較為實併合伏順行兩日數而半之得六十四日九五為合伏第八日四十五分至順行五十六日五十分之積日為法除之得十一杪二三六五八五為一日遞差之數即日差若不先用除則以兩日數與兩行度互乘相減為實兩日數相乘又併兩日數而半之再乘為法得數亦同求初行率置初法減一餘乘日差為寄以半初行法乘寄得數又加伏見度共為初行實以法退除之得合伏日初行率
按此求合伏第一日最疾之行也其法即遞減差分有總數有次數有毎次差數求初次最大之數也初行法減一乘日差為寄者合伏初日與順行末日兩行率之差也半法乗寄與積差等故加共度為實以共日為法除之為合伏初日行率二十三分九十七杪也求未行率以段日乘日差減初行率餘為末行率按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求合伏初末日兩行率之較也既得初末日兩行率之較以減初行率即末行率也求平行率以初行率併未行率而半之為平行率按此即均分合伏度為毎日之平行率也與遞加遞減有首尾數求中數者同應與伏日除伏度數同不同者本非遞差之數也求交段差以各段常日下分數減全日一百分餘乗末日行率為交段差
按此即各段日下分數不及一日所差之行分也求之以備後數加減累減前段積度以益後段積度各為常度
按常度即各段積度也求晨疾初段常度見常中專解於後草曰以伏日隨伏度為右行以見日隨見度為左行以度對度日對日其度於上日於中空其下列之
置見日一百一十三減一餘一百一十二以半之得五十六為見率以伏日一十六日九十分併見日一百一十三得一百二十九日九十分為初行法以初行法半之得六十四日九十五分併見率五十六日得一百二十日九十五分為伏率以初行法寄之以伏率歸右下以對見率仍分左右兩行為首圖
以首圖伏日一十六日九十分乗伏率一百二十日九十五分得二千四十四日五分五十杪為伏差於右下以首圖見日一百一十三乘見率五十六得六十三百二十八日為見差於左下乃成次圖 凡方程之術先欲得者存之以未欲得者互偏乘兩行諸數今驗此圖先欲得日差故存其左右之上下以左右之中伏見日數互偏乘兩行乃以次圖右中伏日一十六日九十分先偏乘左行畢左上得三百一度三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左下得一十萬六千九百四十三日二十分又以次圖左中見日一百一十三偏乗右行畢右上得四百四十日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得二十三萬九百七十八日二十一分五十杪
以兩行 得變名泛積法而成才圖乃驗才圖左上下皆少用減右行畢行上餘一百三十九度三十七分三十杪為日差實右中空右下得一十二萬四千三十五日一分五十杪為日差法今維圖法多實少除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不盡十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十微杪收為一小杪為日定差一十一杪二十三小分六十六小秒
既得日差乃行初行率置法圖内初行法一百二十九日九十分内減去一日餘一百二十八日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十微分為寄次置按此下脱三十一字應作次置寄以半法乗之得九度四十分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微杪
以得數加伏度三度九十分見度一十七度八十三分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微分為初行實如初行法一百二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七杪為伏合初日行率餘三杪一十三分分三十二小杪一十三微分棄之
求末行率置合伏段日數一十六日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九杪八十九小分八十五小杪四十微分為得數乃以得數減初行率二十三分九十七杪餘二十二分七杪一十小分一十四小杪六十微分為合伏末日行
求平行率置初行率二十三分九十七杪併末行率二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三分二杪為平行率
求交段差置合伏日下減全日一百分餘一十分乘末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分為交段差
求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收九十分作一日通為一十七日併舊厯所注晨疾初段常日三十得四十七為共日乗合伏初行率二十三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪為寄上
按此有第一日行度有逐日遞減之差有前後各段日數有前段積度求後段積也先以共日乗初行率者以最疾為率之共積也下求遞差以減之故為寄
乃副置共日四十七減一餘四十六以半之得二十三乗副四十七得一千八十一以乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六杪七十六小分四十六小杪以減上寄一十一度一十六分五十九杪餘一十度五分一十二杪二十三小分五十四小杪為合伏晨疾初兩段共積度
按此乃求積差以減上數得共日之積慶也法應於共日内減一日以乘日差得數為共日數初末日行率之較再以共日數乘之得數折半為積差此先折半次連乘得積差其理亦同置共積内減合伏三度九十分餘六度一十五分一十二杪二十三小分五十四小杪為泛次以交段差二分二十杪七十小分減泛餘六度一十二分九十一杪五十三小分五十四小杪為晨疾初段常度注厯乃收八杪五按應作四十六小分四十六小杪為全分常定度
按此於共積内減去合伏段積尚有合伏九十分不及一日所差之行分即交段差未減故為泛數再減交段差為晨疾初段常泛度再收為六度十三分始為定常度也求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分六十六小杪減合伏末行率二十二分七杪餘二十一分九十六杪為晨疾初段初行率行泛收之為定者也
按此以合伏末日之次日為晨疾初段之初日也故置合伏之末行率減一日之差即為晨疾初段之初行率五杪餘收為六杪凡寄零未收名泛數已收名定數下倣此
求晨疾初末行率置晨疾初常日三十減一餘二十九日乗日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得三分二十五杪八十六小分一十四小杪以減晨疾初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪餘一十八分六十九杪九十小分二十小杪為晨疾初末行率
按此求晨疾初段末日之行率也常日減一日乗日差得數為晨疾初段初末二日行率之較也故減初行率得末行率
求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪併晨疾初末泛一十八分六十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪八十三小分二十七小杪為晨疾初平行泛乃以三泛收棄為之定
按此與求合伏平行率同其言泛棄為定者蓋截去杪下竒零過半則收為一杪也然語意欠明
又按五星行度遲疾差廻非遞加遞減之數術中僅以合伏與順見二段各取中數至推遂日行度仍用遞加遞減之法故古法之疎五星尤甚原文語多隠晦令悉為解之可以見古今疎宻之所在焉
數學九章卷二下 宋 秦九韶 撰
天時
揆日究微
問厯代測景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯陽城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九係與大衍厯同今開禧厯臨安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求臨安府夏至後差㡬日而景與陽城夏至日等較以大衍厯晷景所差尺寸各㡬何
按舊本答數後有二圖舛錯潦草傳冩者失其真也細考圖内所載之數皆與今法頗合知此悉當時實測所定非同臆説也因取其數改正於後置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五杪為景差以為實
置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度為寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪為法以除前差實得空寸九十六百六十四分四十杪不盡棄之自乗得節泛數九千三百四十分不盡棄之
先以小暑節乗率二十五乗節率九千三百四十分得二十三寸三千五百分於上
次以臨安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至冪
乃以夏至冪加上得一百六寸一千六百分為小暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三分為臨安小暑節景不盡七百分即寸下七毫棄之
按各節氣影長皆當時實測所定本不待求今所設求法乃故為溟涬使人不可觧也細查其數首以象限加十一度餘為法以除影差得數自乗為節率四每節下又有乗率以乗率節率相乗與夏至影冪相加即為本節影冪是知節率乃强取之數蓋以此數先除各節影冪與夏至影冪之較名為乗率故以此與節率相乗加夏至影冪即各節影冪也數家設術誤人往往如此又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於頭位
仍以夏至冪八十二寸八千一百分加頭位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑不盡棄之
又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上
仍置夏至冪八十一寸八千一百分加於上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八為立秋冪
置立秋冪為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一杪為立秋景不盡棄之
乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪併立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景 又以九日景併大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日景
乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景
又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪為大暑後四日景
今驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪為入臨安府大暑後四日景一尺四寸五分六十杪太強乃以四日減五日景餘三分二十四杪太弱為景差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法
乃置陽城夏至景一尺四寸七分七十九抄減臨安大暑後四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪餘二分一十八杪一十二小分五十小杪為實後以法二十七杪五小分二十小杪除之實如法而一得商數八有餘命大暑四日午後數八辰得大暑五日寅時景與陽城夏至之日午景等
求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為次暑後九日午中景
置九日景復併大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日景
今驗開禧厯所推臨安府大暑後五日午中景一尺四寸八分八十五杪半與陽城大暑後五日午中景尺一寸一十四杪太課之
乃以臨安府五日景減陽城五日景差六寸一分二十九杪少
按此法不過以臨安前後兩節氣影長比例一影長之日數時刻復以所得節氣日數時刻比例一陽城影長與之相較耳題内引大行崇天開禧諸法名目又稱其較同異差數皆故為張皇之語且影差逐日不同皆以平派求之法亦未宻也草曰置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五抄為景差以為實置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度為寸得一百二寸五千六百七十一分半為法除實得空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸九千三百四十分為節率先以小暑乗率二十五乗之得二十三寸三千五百分於上次以臨安夏至景九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至景冪以加上得一百六寸一千六百分為小暑景冪開平方以一寸為隅開之得一尺三分為小暑景又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實一寸寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑景又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十為立秋冪以為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一抄為立秋景乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃併大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景又併大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日午中景又併大暑景得數半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景又併五日景一尺四寸八分八十五杪半得數半之得一尺四寸五分六十杪强為大暑後四日景驗得陽城夏至景入臨安大暑後四日乃以四日景減五日景餘三分二十四杪太弱為差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法復除陽城景與本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外為在初五日寅時景等求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為大暑後九日午中景復併暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日暑以較今開禧厯當日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合問
接集中皆術在前草次之圖在後此條之例不同天池測雨
問今州郡多有天池盆以測雨水但知以盆中之水為得雨之數不知器形不同則受雨多少亦異未可以所測便為平地得雨之數假今盆口徑二尺八寸底徑一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨䧏㡬何
答曰平地雨䧏三寸術曰盆深乗底徑為底率二徑差乗水深併底率為靣率以盆深為法除靣率得面徑以二率相乗又各自乗三位併之乗水深為實盆深乗口徑以自之又三因為法除之得平地水深草曰以盆深及徑皆通為寸盆深得一十八寸底徑得一十二寸相乗得二百一十六寸為底率置口徑二十八寸減底徑一十二寸餘一十六寸為差以乗水深九寸得一百四十四寸併底率二百一十六寸得三百六十寸為靣率以盆深一十八寸為法除靣率得二十寸展為二尺為水靣徑以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸得七萬七千七百六十寸於上以底率二百一十六寸自乗得四萬六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十二萬九千六百併上共得二十五萬四千一十六以乗水深九寸得二百二十八萬六千一百四十四寸為實以盆深一十八寸乗口徑二十八寸得五百四寸自乗得二十五萬四千一十六寸又三因得七十六萬二千四十八寸為法除實得三寸為平地雨深合問
問以圓竹籮驗雪籮口徑一尺六寸深一尺七寸底徑一尺二寸雪䧏其中髙一尺籮體通風受雪多則平地少欲知平地雪髙㡬何
按籮體通風一語與算術不相涉或籮口所降之雪歸於籮底與前天池測雨題相同然依上步算平地雪深只七寸餘今其數又不合殆故為是語以誤人也
答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百六十四術曰口徑減底徑餘乗雪深半之自乗為隅以籮深冪乗雪深冪併隅又乗雪深冪為實隅實可約約之開連枝三乗方得平地雪厚草曰列問數各通為寸置口徑一十六寸減底徑一十二寸餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乗得四百寸為隅以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪以乗籮深冪數加隅又乗深冪得二百九十三萬寸為實隅實求等得四百俱約之得七千三百二十五為實得一為隅開三乗方歩法不可超乃約實置商九寸與隅一相生得九為下亷又與商相生八十一寸為上亷又與商相生得七百二十九為從方乃命上商除實不盡七百六十四已而復以商生隅入二亷至方陸續又生畢以方亷隅共併之得三千四百三十九分寸之七百六十四為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問
按此法之意不可見然以數考之非通法也設原題雪深為一寸以口徑底徑較四寸乗雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸為隅以籮深一十七寸自之得二百八十九寸為籮深冪雪深一寸自之仍得一寸為雪深冪二深冪相乗仍得二百八十九寸併隅得二百九十三寸再以雪深冪乗之仍得二百九十三寸為實隅實相約得七十四寸二十五百分為實一為隅開三乗方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深於籮内矣列問數各通為十口徑得一十六寸深一十七寸底徑一十二寸籮中雪髙一十寸乃以底徑減口徑餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以中得數二十寸自乗得四百寸為隅
次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪以雪深冪一百寸乗籮深冪二百八十九寸得二萬八千九百寸併隅四百寸得二萬九千三百寸為上
置頭位數二萬九千三百寸又乗雪深冪一百寸得二百九十三萬寸為實開三乗方
歩法不可超乃約實置商九寸與隅相生得九為下亷
上亷又與商相生得七百二十九為從方
乃以從方七百二十九命上商九除實七千三百二十五訖實餘七百六十四既而後以商生隅入下亷
下亷得一十八又與啇九相生入上亷
上亷得二百四十三又與商相生入方得二千九百一十六
又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十六為求圖乃以末圓方亷隅四者併之得三千四百三十九為母以實餘七百六十四為子
命為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問
圓罌測雨
問以圓罌接雨口徑一尺五寸腹徑二尺四寸底徑八寸深一尺六寸並裏明接得雨水深一尺二寸圓法用宻率問平地雨水深㡬何
按此題問平地雨深無闗圓法宻率句贅若求罌中雨積數則當加此語
答曰平地雨深一尺八寸七萬四千八十八分寸之六萬四千四百八十三
按答數誤改正見後術曰底徑與腹徑相乗又各自乗併之乗半罌深以一十一乗之為下率以四十二為下法除得下積以半罌深併雨深減元罌深餘為上深以口徑減腹徑餘乗上深為次以半罌深乗口徑加次為靣率以半深除靣率得水靣徑以半深乗腹徑為腹率置靣率與腹率相乗又各自乗併之以一十一乗之為上率以半深自乗為冪以乗下法為上法上法除上率得上積半深冪乗下率併上率為總實口徑冪乗上法為總法除實得平地雨髙草曰置底徑八寸與腹徑二十四寸相乗得一百九十二寸於上又底徑八寸自乗得六十四寸加上又腹徑二十四寸自乗得五百七十六寸併上共得八百三十二寸以乗半罌深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乗之得七萬三千二百一十六寸為下率按此下法不合皆為題中圖法句所誤置宻率法一十四以所併三因之得四十二為下法以半深八寸併雨深一十二寸得二十寸以減元深一十六寸餘四寸為上深以口徑一十寸五分減腹徑二十四寸餘一十三寸五分以乗上深四寸得五十四寸為次以半罌深八寸乗口徑一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸為靣率以半深八寸乗腹徑二十四寸得一百九十二寸為腹率置靣率一百三十八寸與腹率一百九十二寸相乗得二萬六千四百九十六寸於上又以靣率一百三十八寸自乗得一萬九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三萬六千八百六十四併上共得八萬二千四百四寸按此條内落以上髙四寸乗之一層以一十一乗之得九十萬六千四百四十四寸為上率以半深八寸自乗得六十四寸為半深冪以乗下法四十二得二千六百八十八為上法以半深冪六十四寸乗下率七萬三千二百一十六寸得四百六十八萬五千八百二十四寸併上率九十萬六千四百四十四共得五百五十九萬二千二百六十八寸為總實以口徑一十寸五分自乗得一百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸得二十九萬六千三百五十二寸為總法除實得一尺八寸不盡二十五萬七千九百三十二與法求等得四俱約之為一尺八寸七萬四千八十八分寸之六萬四千四百八十三為平地雨深合問
按此法有二誤法實皆當用圓冪或皆用方冪今以圓冪率乗實方冪率乗法法實不同類一誤也罌内雨自腹徑截之為雨圓䑓體下髙八寸上髙四寸於下體併三冪以髙乗之於上體只併三冪未以髙乗之二誤也有此二誤故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正於後
法以腹徑底徑相乗又各自乗併三積以半罌深八寸乗之得六千六百五十六寸為三倍方罌内腹下雨積又以口徑腹徑相減餘一十三寸五分以雨深減罌深餘四寸相乗以半罌深除之得六寸七分五厘與口徑相加得一十七寸二分五厘為雨靣徑與腹徑相乗又各自乗併三積以雨上深四寸乗之得五千一百五十寸二五為方罌内三倍腹上雨積併二雨積得一萬一千八百零六寸二五為方罌内三倍共雨積為實口徑自乗三因得三百三十寸七五為法除實得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十為平地雨深若不先用除則以口徑腹徑較與罌深雨深較相乗之五十四寸為雨靣徑口徑較加一半罌乗之數應以半罌除之得雨徑較今不除即如雨徑較以半罌乗之即為雨靣徑口徑較此數既加一半罌乗則諸數皆以半罌乗之得口徑八十四寸腹徑一百九十二寸以口徑與雨靣徑口徑較相加得雨靣徑一百三十八寸與腹徑相乗又各自乗併三冪以腹上雨深四寸乗之得三十二萬九千六百一十六寸為三倍上雨積又以半罌深冪乗前三倍下雨積得四十二萬五千九百八十四寸為三倍下雨積併二積得七十五萬五千六百寸為三倍共雨積為實以半罌深冪乗三因口徑冪得二萬一千一百六十八寸為法除之得數亦同
問驗雪占年墻髙一丈二尺倚木去址五尺梢與墻齊木身積雪厚四寸峻積薄平積厚欲知平地雪厚㡬何
答曰平地雪厚一尺四分術曰以少廣求之連枝入之以去址自乗為隅以墻髙自乗併隅於上以雪厚自之乗上為實可約者約而開之開連枝平方得地雪厚草曰以問數皆通為寸置去址五十寸自乗得二千五百為隅以墻髙一百二十寸自乗得一萬四千四百寸併隅得一萬六千九百寸於上以雪厚四寸自之得一十六乗上得二十七萬四百寸為實開連枝平方今隅實可求等得一百俱約之得二千七百四為實得二十五為隅開平方得一十寸四分展為一尺四分為平地雪厚合問
按此術理法皆確然實用勾股不曰勾股而曰少廣曰連枝者猶有所閉匿而不肯盡發也試以圗明之甲乙為牆上雪厚即平地雪厚乙丙為木上雪厚甲乙丙勾股形與木倚牆所成勾股形同式牆髙為大股木為大弦木去址為大
股乙丙為小勾以牆髙大
股自乗木去址大勾自乗
併之為大弦冪為實以木
上雪厚乙丙小勾冪乗之以木去址大勾冪除之得甲乙小弦冪開平方即為平地雪厚也