測圓海鏡卷九
元 李冶 撰
大斜四問
或問甲丙俱在中心丙望南門直行不知步數而止甲出東門直行不知步數望見丙斜行與丙相㑹二人共行了六百八十步仍云甲直行少於丙直行一百一十九步問答同前
法曰二數相減餘以為冪内却減差冪為平實二數相減又四之於上又加入二之差步為益從二步常法得皇極勾
草曰别得共步即皇極三事和少步即勾股差也立天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元加股得□□為和也以和減共步得□□為弦也弦自之得□□□為一段弦冪寄左然後置股以天元乘之又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實勾股和減共步為法得城徑
又法云數併與云數差相乘按此句有誤當云和數與倍差相加相減二得數相乘為平實云數併與二數差相併得數以減於八之共步為益從按此只云六因和步為益從亦同一步常法得皇極黄方
草曰立天元一為黄方即虚弦也副置之上位加共步得□□為二和也下位減共步得□□為二弦也先以二和自乘得丨□□為四段和冪又以二弦自乘得丨□□為四段弦冪二數相減餘得□又倍之得下式□為十六段直積於天元位寄左然後副置二和上位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百二步即皇極黄方也餘各依法求之合問
或問甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數而立甲向東行望見丙就丙斜行六百八十步與丙相㑹丙云我南行步多於甲東行二百八十步問答同前法曰以云數差乘云數併為實倍多步為從二為平隅得大勾
草曰立天元為大平按大平即大勾加差得□□為股倍天元乘之得□□為二積寄左然後以斜步多步併□與斜步多步較□相乘得□為同數與左相消得□□□開平方得三百二十步即大勾也合問
或問甲乙二人共立於艮隅乙南行過城外而立甲東行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立於坤隅丁向東行過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直丙復就甲斜行六百八十步與甲相㑹乙丁又云吾二人直行共得三百四十二問答同前法曰二云數相乘倍之為實倍斜行於上以二云數相減加上位為從一步常法開平方得城徑草曰别得斜步即大弦也其共步則一徑一虚弦共也其二數相併為一大和一虚弦共數也立天元為徑減於共步得□□為虚弦也以虚弦復減於天元得□□為虚和以斜步乘之得□□寄左乃以天元加斜步得□□為大和以虚弦乘之得□□□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向南直行壬從北門穿城南行四人遥相望悉與城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問答同前
法曰共步自之得數以共步減斜餘自乘以減上為實二之斜步加入共步減斜餘數為從一步常法得城徑
草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇弦差也甲丙相望即大弦也以共步減大弦餘□為皇極弦上減一徑也立天元一為圓徑減於共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上弦内減共步餘□又以天元加之得□□為皇極弦以自之得丨□□減上位餘得□□為兩个皇直積寄左乃以天元乘皇弦得下式丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問庚從西門穿城東行二百五十六步而立壬從北門穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在乾隅甲向東行丙向南行各不知步數而立四人遙相望只云甲丙共行了九百二十步問答同前法曰庚東行冪壬南行冪相併於上併庚壬步而倍之内減大和餘復減於庚壬共得數按或云併庚壬步以減大和亦同以自乘減上位為平實併庚壬步為益從半步為隅法得城徑
草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減於庚東行得□□為平弦也下以減於壬南行得□□為髙弦也二弦相併得□□為皇弦虚弦共也倍此數得□□為大弦虚弦共也以大弦虚弦共減於大和餘□□為虚勾虚股共也天元内減虚勾虚股共餘□□即虚弦也復置皇弦虚弦共内減虚弦餘□□即皇極弦也以自之得□□寄左然後以平弦自之得下式□□□為勾冪也又以髙弦自之得□□□為股冪也二冪相併得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問
或問丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲就甲斜行與甲相㑹甲直行丙直行共九百二十步甲步少於丙步又出東門南行有柳樹一株出南門東行有槐樹一株戊己二人同在巽隅戊就柳樹已從槐樹亦與甲乙遥相望只云已行少於戊行數與兩樹相距數相併得一百四十四步其二數相減餘六十步問答同前
法曰二云數相併而半之為虚弦以乘大和九百二十步於上以一百四十四減大和以虚較乘之減上位為平實以一百四十四減大和又二之於上以二之虚較減上位按或云倍甲丙直行共加己戊較與兩樹距之較減三之己戊較與兩樹距之和亦同為從四虚隅得太虚勾
草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳樹步即虚股也已就槐樹步即虚勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一為虚勾加明勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也又為虚弦上三事和二云數相併而半之得□即小弦也相減而半之得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□寄左次以小弦乘大和得□□與左相消得下式□□□開平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二百四十步即城徑也合問
或問甲從乾隅東行乙從艮隅南行丙從乾隅南行丁從坤隅東行四人遥相望見既而甲還至艮隅就乙丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問答同前
法曰併就數以減直行共復以所併就數乘之為實併就數減直行共得數復加入直行共為法得虚弦草曰别得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差勾股共減於大股餘即虚勾也以小差勾股共減於大勾餘即虚股也二數相併得□為大弦虚弦共也二數相減餘□為通差及大虚勾股差共也又併二數而半之得□為太極弦虚弦共又為太極勾股共也立天元一為虚弦先以二共數減於大和餘□為虚勾虚股和於上次以虚弦減於二共數餘□□為大弦以乘上位得下□□寄左然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問
又法併云數減大和復以二數相減乘之為實併云數減大和得數復加入大和為法得虚差草曰立天元一為虚較先以併云數減大和餘□為虚和於上次以天元減於二就步較□得□□為通差以乘之得□□寄左然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得四十二步即虚差也副置虚和為二位上加虚差而半之得九十即虚股也下減虚差而半之得四十八即虚勾也勾冪股冪相併得□開平方得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云股圓差上勾弦差二百一十六勾圓差上股弦差二十步問答同前法曰以云數二十步減通和復以二十步乘之於上以云數二百一十六減九百步按即併二差以減大和而半之乘上位為立實三因二十步以減通和得八百六十以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數相乗訖内減二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以減之為從方按取從方内語有誤當云三因小差減大和併二差減大和半之相乘於上三因大和加大差減三之小差半之以小差乘之得數減上位為從方以二百一十六減通和又以三之二十步減通和相併於上以二之五百五十八内却減二十步餘以減上位為益亷按取益亷内語亦有誤當云三因大和減六之小差為益亷四步常法得小差股
草曰别得小差上股弦差□加二股為大勾也大差上勾弦差□加二勾為大股也立天元一為小差股加□得□□為小差弦也小差弦上又加天元得□□為通勾以減於和步得□□為通股也通股内減大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□為大差弦也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之得□□□為一个大弦也泛寄再置通勾以大差弦乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大弦寄左乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數與左相消得□□□□益積開立方得一百五十步為小差股也合問
或問依見前大和只云髙弦平弦共得三百九十一步髙弦平弦相較得一百一十九步問答同前法曰以較數冪減於共數冪又半之為實以共數減大和為益從一步常法開平方得圓徑草曰别得髙數減於通股為邊股内減明股也平弦減於通勾為邊勾内減明勾也其共數即大弦内減皇極弦又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也二云數相併即黄廣弦也二云數相減餘即黄長弦也以共數減於大和餘□為皇極弦與圓徑共立天元一為圓徑以減皇極弦與圓徑共得□□為皇極弦也以共數自之得□於上以相較數自之得□減上位餘□又半之得□為兩段皇極積寄左乃以天元乘皇極弦得卜□為同數與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云大差弦四百八步小差弦一百七十步問答同前
法曰以併云數減大和復以乘大和又倍之為平實三之通和於上又以併云數減大和加上位為從二步虚法得圓徑
草曰大差弦減和步餘□為大勾大差勾共也以小差弦減大和餘□為大股小差股共也云數相併□即大弦内減虚弦也云數相減得□為虚弦平弦共也按此二語因數偶合而誤見前以相併數減於大和餘□為大差勾小差股共又為圓徑虚弦共也立天元一為圓徑減於□得□□為虚弦也返以減於圓徑得□□為小和也以天元減大和得□□為大弦以乘小和得□□□寄左乃再置虚弦以通和乘之得□□與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問依前見大和只云黄廣弦五百一十步黄長弦二百七十二步問答同前
法曰云數相併減大和復以相併數乘之為實云數相併減大和得數復以加大和為法得虚弦草曰别得黄廣弦又為大差弦虚弦共又為邊股叀股共也黄長弦又為小差弦虚弦共又為底勾明勾共也以黄廣弦減於大股餘即虚股以黄長弦減於大勾餘即虚勾故併數以減於大和餘□為虚和也以虚和減徑□□即虚弦也二云數相併得□為大弦虚弦共也云數相減餘□為虚弦平弦共按此句誤同上立天元一為虚弦以減於七百八十二得□□為大弦也以小和乘之得□□寄左乃以天元虚弦乘大和得□呔為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚弦也合問
法曰云數相減自之為實以大和減併數為法得皇極弦
草曰别得以邊弦減大股餘為半徑内減平勾又為平弦内減勾圓差也以底弦減於大勾餘為髙股内少半徑又為股圓差内少髙股也二云數相併得九百六十九為大弦皇極弦共也二云數相減□為皇極勾股差也併數内減通和餘□為皇極弦内減圓徑也立天元一為皇極弦以自之於上以一百一十九自之減上位得丨□□為二皇積寄左復置天元内減四十九得下式□□為黄方復以天元乘之得丨□與左相消得□□上法下實得二百八十九步即皇極弦也内減四十九餘即城徑也合問
按右大和八問每問於大和外復設二數然多有大和外設一數即可求者細考其法草所載皆三數並用婉轉求之蓋意在發明三數取用之理非不知其可省也