測圓海鏡卷十
元 李冶 撰
三事和八問
或問甲乙同立於乾隅乙向東行不知步數而立甲向南直行多於乙步望見乙復就東北斜行與乙相㑹二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步問答同前
法曰共步内減四之小差復以自之於上以十八个小差冪減於上為實四之共步内減十六个小差於上却以十八小差加上為益從四步常法開平方得中差
草曰别得共步為三事和也不及步即小差也立天元一為中差加二之小差得□□為大小差併以加入三事和得□□為三弦也倍三事得三千二百内去大小差併得□□為三和也内減三弦餘□□為三个黄方以自之得□□□為九段黄方冪寄左再置天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得□□為半个黄方冪就一十八之得□□為同數與左相消得□□□開平方得二百八十步即中差也其餘各依法求之合問
或問以前三事和又云大差三百六十步問答同前法曰倍云數以云數乘之又九之於上倍云數加三事和為前數倍云數減二之三事和為後數二數又相減餘一百六十為泛率以自乘減上位為平實十八之云數内又加四之泛率為從四常法得中差草曰立天元一為中差置云步倍之内減天元得□□為大小差共數加於三事和得□□為三弦也倍三事内減大小差共數得下式□□為三和也内減三弦得□□為三个黄方靣也以自之得□□□□為九段黄方冪寄左再以天元減大差得下式□□為小差又倍之得□□以云數乘之得下式□□又就分九之得下式□□與左相消得下式□□□開平方得二百八十步即中差也合問
或問依前見三事和又云中差二百八十步問答同前法曰和步加差步以自乘於上又和步内減差步以自乘加上位為平實四之和步為從二步益隅得大弦
草曰立天元一為大弦減共步得□□為和副置之上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨□□為四段股冪也二位相併得□□□為四段弦冪寄左然後以天元自之又四之得□□為同數與左相消得□□□開平方得六百八十步即大弦也倍之以減於三事和餘即城徑也合問
或問依前見三事和又云小差大差併四百四十步問答同前
草曰二數相併得□三而一得□即弦也以弦減三事和得□即和也弦和又相減餘二百四十步即城徑也合問
或問依前見三事和又云小差中差大差共七百二十問答同前
法曰半云數自之又三之於上以三事減上位為平實按以三事減上位有誤此係偶合三事之數耳當云加半段三事冪又倍三事和加大差復以大差乘之減上位為平實倍三事於上半云數而五之加上位為益從二常法得小差
草曰别得三差共為二大差也立天元一為小差併大差加入三事和得□□為三弦也以自之得丨□□為十八積九較冪寄起又以共三事步自之得□方於上又以天元小差乘大差倍之得□加於上得□□為十二積四較冪又加五按即三因二歸得□□為十八个直積六个較冪以減寄起餘得丨□□為三个較冪寄左然後以天元小差減大差得□□為中差以自之得丨□□又三之得下式川□□為同數與寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也餘各依數求之合問
法曰二事内加二之共步復以二之共步乘之於上位三事内減二之共步復以二之共步乘之得數減上位為平實三事内加二之共步又倍之於上又三按三當作六之共步加上位為泛寄三事内減二之共步又四之於上又三按三亦當作六之共步減上位得數以減泛寄為從作十八段虚平方開之得虚黄方草曰别得共步即虚大小差也立天元一為虚黄方以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二通弦又副置圓徑上加天元得□□為二虚和下減天元得□□為二虚弦乃置二大和以二小弦乘之得下□□□寄左然後置二大弦以二小和乘之得下式□□□與左相消得□□□平方開之得三十六步即虚黄方也其餘各依法求之合問
或問依前見三事和又云皇極弦二百八十九步問答同前
法曰二數相乘為實從空一益隅得大弦草曰立天元一為通弦内減皇弦餘□□為皇極勾股和以自之得丨□□於上以皇極弦冪減上位得丨□為二直積合於皇極除之不除寄為母便以此為城徑寄左乃以二之天元弦減共步得□□為黄方面以皇弦通之得□□與左相消得丨□□開平方得六百八十步即大弦也合問
或問依前見三事和又云見太虚弦一百二步問答同前
草曰識别得以虚弦減大弦半之為皇極弦以虚弦加大弦半之為皇極勾股共也立天元一為半大弦以二之内減虚弦得□□折半得□□為皇極弦也又以虚弦加大弦而半之得□□為皇極和也和自之得丨□□於上又以弦自之得丨□□減上位餘得下□為二直積合以皇極弦除之不除寄為分母便以此為城徑寄左然後以四之天元減三事共餘□□又以皇極弦分母通之得□□□為同數與左相消得□□□倒積開得三百四十步倍之即大弦也合問
測圓海鏡卷十