測圓海鏡卷十一
元 李冶 撰
雜糅一十八問
或問城南有槐樹一株城東有柳樹一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下甲就槐行四百二十五步至槐樹下問答同前
法曰甲就步自之於上以二行相減數自之減上位為實二之二行相減數併入二之甲就步為從一步常法得平弦
草曰别得丙就步為邊弦也甲就步為底弦也邊弦即皇弦髙弦共也底弦即皇弦平弦共也二行相併即大弦皇弦共也二行相減即皇極勾股較也倍皇弦以減於大弦餘即虚弦也倍皇弦内減邊弦餘即叀弦也倍皇弦内減底弦餘即明弦也皇極弦加一差按一差即皇極勾股較則大差弦也内減一差則小差弦也立天元一為平弦加一皇極勾股差得□□即髙弦也髙弦自之得丨□□内加天元冪得□□□為皇弦冪寄左然後以天元減底弦得下式□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十六步即平弦也餘各依法求之合問
或問出南門東行有槐樹一株甲出北門東行斜望槐樹與城相直就槐樹行二百七十二步出東門南行有柳樹一株丙出西門南行斜望柳樹與城相直就柳樹行五百一十步問答同前
法曰云數相併而半之以自乘於上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪併二冪減上位為實併云數為益從一步平隅得虚弦
草曰别得丙斜行為黄廣弦也亦為兩个髙弦也此勾則城徑也甲斜行即黄長弦也亦為兩个平弦也此股則城徑也二數相併得□即大弦虚弦共也二數相減餘□即兩个皇極差也二數相併而半之得□即皇極和也立天元一為虚弦以減于皇極和得□□即皇極弦也以自之得丨□□為皇弦冪寄左然後以髙弦自之得□以平弦自之得□二自乘數相併得□與左相消得□□□開平方得一百二即虚弦也合問
或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅南行一百五十步望見甲復斜行五百一十步與甲相㑹問答同前
法曰斜行自之於上倍南行減斜餘自之以減上為實倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰别得南行即小差股斜行即黄廣弦也小差股内減半徑餘即半个黄廣積上股弦差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□即一个黄廣即上股弦差也以減于斜行步餘□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□寄左然後以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開平方得一百二十步即半徑也合問
或問乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見乙復斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前
法曰倍東行減斜行得數自為冪以減于斜行冪為平實倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開平方得半徑
草曰别得甲東行即大差勾也斜行則黄長弦也大差勾内減半徑餘即半个黄長積上勾弦差也全徑即其股也立天元一為半徑減於東行倍之得□□即一个黄長積上勾弦差也以減于斜行步得□□即黄長勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為弦冪寄左然後以斜行冪□為同數與左相消得□□□平開得一百二十步即半城徑也合問
或問甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見之問答同前
法曰二行相乘倍之為平實如法得圓徑草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二數相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪寄左然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
又法以二行相減數減于二行相併數餘者半之于上復以二行相減數加于上即城徑
草曰别得甲東行減于徑為虚勾也丙南行減于徑為虚股也二行共為一徑一虚弦共也二行相減即虚和也以相併數相減數又相減即兩个虚弦也如法求得虚和□虚弦□相併得□即城徑也合問
按又法未合蓋以二行相減為虚較而草中誤以為虚和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當日未定之稿矣
或問出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正當城徑之半問答同前法曰二行相乘為平實一步常法得半徑草曰别得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數相併即太極弦也二數相減即中差内去皇極差也又别得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以弦上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加東行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和寄左然後併勾股得□□與左相消得丨○□開平方得一百二十步即半徑也合問
或問丙從乾隅南行丁從艮隅亦南行甲從乾隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數四人悉與城相直只云丙行内減丁行餘四百五十步甲行内減乙行餘一百二十八步問答同前
法曰二行相乘為實一步常法得城徑草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄廣股其□即黄長之勾也立天元一為城徑先置黄廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪寄左然後以天元冪與左相消得下式丨□□開平方得二百四步合問
或問出南門東行有槐樹一株出東門南行有柳樹一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遥相望見只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步問答同前法曰云數相乘為實二數相減又半之為法得城徑草曰别得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數相併為大差弦内減小差弦也二數相較又半之皇極弦與城徑差也二數相併而半之即皇極差也立天元一為圓徑二云相減數又半之加天元得□□為極弦也併二數而半之得□為極差也副置極弦上位加極差得□□為弦較和也下位内減極差得□□為弦較較也上下相乘得丨□□為二直積寄左然後以天元一乘極弦得下式丨□為同數與左相消得□□上法下實而一得二百四十步即城徑也合問
或問甲從坤東行丙從艮南行適相見斜行一百二步甲丙相㑹丙云我南行不及汝四十二步問答同前法曰二數相併以斜行乘於上二數相併而半之以乘相併數減上位為平實不及步為從一步常法得虚勾
草曰别得一百二步即虚弦四十二步即虚較也又斜行得虚股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虚勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虚勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黄方冪寄左然後再置虚勾加不及步得□□為虚股又加入天元得□□為虚和又加入虚弦得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開得四十八步即虚勾也合問
或問甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遥相望見各不知步數只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問答同前
法曰云數相乘為實相併為法得虚弦草曰别得甲丙共為皇極和也又為極弦極黄共庚壬共為太虚和也又為虚弦虚黄共立天元一為皇極黄方靣亦為虚弦也減于甲丙共得□□即極弦也又以天元減于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘極弦得丨□□寄左然後以天元冪與左相消得□□上法下實如法得一百二步即皇極黄方靣也合問按此亦係相消後得一邊之二數者
或問甲從乾隅東行不知步數而止丙向南行亦不知步數望見甲就甲斜行七百八十步與甲相㑹甲云我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問答同前
草曰此問所求城徑與諸問並同其勾股則與前後諸率不同今特為此草者欲使後學有以考較諸率當否也立天元一為甲東行即大勾以乗二步四分得□為長以自之得□□為股冪又併入天元冪得□□為弦冪寄左乃以斜行自之得□為同數與左相消得□□□開平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬二千為實以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問
或問小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇極黄方靣六十六步問答同前法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相併為大差乃以小差乘大差為平實半步常法得虚黄
草曰别得八十四為兩个虚積中差其六十六為虚積大小差併半八十四得□為虚中差也以中差減六十六餘二十四半之得□即虚小差也以小差反減六十六餘□即虚大差也又别得小差黄方為兩叀股大差黄方為兩明勾也立天元一為虚黄方置三位上加小差得□□為虚勾也中加大差得下□□為虚股也下加大小差併得□□為虚弦也三位併之得□□即城徑也倍虚勾減城徑得□□為大差黄方靣也又倍虚股減城徑得□□為小差黄方靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□□為一个虚直積寄左乃以虚勾虚股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方開得三十六步即虚黄方靣也其餘依法求之合問據此問既别得大小差正數自可以求得黄方靣也諸如此數實不湏草今特為細草者庶使後學知其來歴
或問大差弦較較減皇極弦餘四十九步小差弦較和減太虚弦餘一百三十八步又皇極差一百一十九步問答同前
法曰併前二數為冪内減極差冪為平實從空二益隅得虚弦
草曰别得大差弦較較與小差弦較和皆同為圓徑也又二數相併得□為明弦叀弦共又為極和内少兩个虚弦也其一百三十八即虚和也□則旁差也立天元一為虚弦加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極弦以自之得丨□□又倍之得□□□内却減極差冪□得下式□□□為和冪寄左乃倍天元加併數得□□為極和以自增乘得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二步即虚弦也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問前二數相併加虚弦便是極弦
法曰以前數自之為實二數相減為法得平勾草曰别得云數相併得□為平勾不及髙股也此數得極差則通差也此數内減虚差則極差也云數相減餘□即城徑不及極弦也以前數減于半徑餘即平勾以後數加于半徑即髙股也倍前數加小差則為股圓差之勾也此與前數加平弦同倍後數減于大差則為勾圓差之股也此與後數減于髙弦同立天元一為平勾加相併數得□□即髙股也又加天元得□□即極弦也内減二云數差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪寄左然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問
又法云數相得為實相減為法得半徑草曰立天元為半徑副之上内減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪寄左以天元冪與左相消得下式□□上法下實得一百二十步即半徑也合問
或問通勾通弦共一千步大差小差共得四百四十步問答同前
法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實以二差共減于一千又半之加入二之前數為縱前數謂一千也數按此語有誤應加入二之後後數謂大小差共也二步二分五釐益隅得勾圓差
草曰立天元一為小差數加入後數得□□却以減于前數得□□折半得□□為一个圓徑也以自之得下式□□□寄左然後以天元減後數得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開平方得八十步即勾圓差也
法曰二數相得為實半之後數為益從五分常法平開得城徑
草曰别得皇極三事和即大弦也立天元一為城徑減三个後數□而半之得□□為太虚大小差併也却加入兩个後數□得下□□為虚和也又以虚和減天元得下□□為虚弦也置通弦即皇極三事和也内加天元得下式□□即通和也乃置通和以虚弦乘之得下式□□□寄左再置虚和以通弦乘之得下□□為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問出南門行一百三十五步有樹出北門行一十五步折而東行二百八步望見問答同前法曰以東行步乘南行步得數又自乘為實以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上併南北二行步以減于東行步餘數自之為冪以減上再寄位又併南北二行步以東行步乘而倍之内減再寄為第一益亷四之東行步于上又併南北二行步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虚隅開三乘方得半徑
草曰立天元一為半徑即髙勾也置南行步加天元得□□為髙弦也置大勾□以髙弦乘之得□□復以髙勾除之得下式□□為大弦也令之自乘得□□□寄左又置二之天元加南北行併得□□為大股復用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積寄左再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即城徑之半也合問
或問出北門一十五步折而東行二百八步有樹出西門八步折而南行四百九十五步見之問答同前法曰先置南行步内減一東二西併步餘二百七十一為前泛率次併一南二北内減東行步餘三百一十七為中泛率次併東西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北併得數減上位餘一十萬二千八百四十為後泛率乃以後泛率自乘得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實以前中二泛相減餘四十六以乘後法數為從前中二泛相乘得八萬五千九百七加入二之後泛數共得二十九萬一千五百八十七于上位又併東西行以乘南北併得二十二萬三百二十加上位通得五十一萬一千九百七為第一亷二之前泛數加入四之東西併得一千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十六減上位餘一千四百六為第二亷一步常法得半徑按此法乃取於又法草中其求第二亷云二之前泛數句誤當云二之四數併若二之前泛數加入四之東西併便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也草曰立天元一為半城徑加入東行西行併得□□為大勾也又置天元加入南行北行併得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□内減了股尖餘□□□為小股也内帶大勾分母置小股合以大勾乘了復以大股除之為小勾今為小股内已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也内帶大股為母小勾小股相乘得數為一个小勾股相乘直積内帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑即天元也除之為一个弦較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以弦較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一个積則却得一个弦較和也内依舊帶大積分母也寄左然後再置小股□□□合用大積乘之縁内已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再置小勾合用大積乘之縁内已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一个帶分弦較較也弦較較乘弦較和為二直積既以圓徑除二百積為弦較和則是圓徑為弦較較也今又為半天元圓徑除一積為弦較和故倍天元半徑作一个弦較較也遂将此弦較較加入前二較得□□□□亦為一个弦較和也與寄左相消得下式丨□□□□開三乘方得一百二十步即城半徑也合問
又法此問係是洞淵測圓門第一十三前答亦依洞淵細草用勾外容圓術以入于弦較和然其數煩碎宛轉費力今别草一法其亷從與前不殊而中間段絡逕捷明白方之前術極為省易學者當自知也 立天元一為半徑副之上併加東西行得□□為通勾率下併加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步内減天元得□□用通勾乘之得□□□内減了南小股下式卜□□為股圓差也内帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步内減天元得□□用通股乘之得□□□内減了北小勾餘□□□為勾圓差也内帶通股分母乃以二差相乘得下式丨□□□□□□為半段圓徑冪也内帶通積為母寄左然後以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數與左相消得亷從一與前同合問
按洞淵疑為古之精於算者序中謂老大以來得洞淵九容之說而於此問又明其為洞淵測圓門第十三題前答亦依其細草大抵是書之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見文豹之一班矣至謂其數煩碎宛轉費力特為初學難易而言讀者宜善㑹也