測圓海鏡卷四
元 李冶 撰
底勾一十七問
或問乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之就乙斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前
法曰二行差數乘甲東行又四之為平方實得全徑草曰識别得二行相減餘即乙出南門東行數也以甲東行減於就乙斜行餘七十二步以乘甲東行歩得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問
或問乙從坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問答同前
法曰二行步相乘倍之為實乙南行為從一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑以減於二之甲東行步得□□為兩个小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪寄左然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得二百四十步即城徑也合問
又法半之乙南行步乘甲東行為實半乙南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半徑冪寄左然後以天元冪丨□與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門東行二百步見乙問答同前
法曰兩行步相乘為實甲東行為從乙為隅得半徑草曰立天元一為半徑減於乙東行得□□以甲行步乘之得□□為半徑冪寄左然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實從空乙行為亷一步常法得城徑
草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此為小勾寄股率為母乃以甲東行步乘之得□ 又四之得□為一段城徑冪寄左然後以天元城徑自之又以股率分母通之得丨□□為同數與左相消得下式丨□□□以立方開之得二百四十步即城徑也合問
又法二行相乘又以自乘為實以二行相乘倍之為益方南行冪為亷八步益隅立方開得小勾七十二草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百步為大勾也置大勾内減天元得□□為中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股即城徑也以自之得□□□為城徑冪也寄左又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數與左相消得□□□□開立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步為實平方開得一百二十步倍之即城徑也合問
又法求半徑以南行步乘東行冪為實從空東行步為亷二步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑冪寄左再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門南行三十步而止甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直問答同前
法曰以甲東行步乗乙南行冪為實以乙南行冪為從甲東行内減二之乙南行為益亷一步隅得半徑草曰立天元一為半城徑減於甲東行步得□□為小勾以天元加於乙南行步得□□為小股乃以天元加東行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股内帶小勾分母又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減於大股餘□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑冪内有小勾分母寄左然後以天元為冪又以小勾通之得□□□為同數與左相消得下式□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問翻法在記
又法乙南行乘甲東行為平實二數相減為法一隅翻開得半徑
草曰别得二數相併為大勾内少一虚股其二數相減為小差弦也 立天元一為半徑副置之上位減於二百步得□□為勾圓差即小差勾也下位加三十步得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差積寄左再以小差勾減小差股餘□□為一較也又以此較減於小差弦得下式□□為一个弦較較以天元一乘之得下式□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即半城徑也合問翻法在記再立此法者蓋從簡也
按此乃以小差勾為平弦上弦較較半徑為平股故以小差弦上弦較較與半徑相乘等於平弦上弦較較與小差股相乘為一段小差積也
或問乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直復就乙斜行一百七十步與乙相㑹問答同前
草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也更不湏用弦立天元一以為半城徑加乙南行得□□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此為大股内𢃄小勾分母又倍天元以小勾乘之得□□以減於大股得□□□又倍之得下□□□為兩个股圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更不須乘便以此為黄方冪更無分母寄左然後倍天元以自之得□□為同數與左相消得□□□上下俱半之俱半之者蓋從簡也得□□□以平方開之得一百二十步倍之即半徑也合問
或問乙出南門直行不知步數而止甲出北門東行二百步見之復就乙斜行四百二十五步與乙相㑹問答同前
法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實從空四之甲東行於上倍兩行差加上位為隅得半徑草曰識别得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□□為兩个股圓差於上乃以天元減甲東行得□□為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪寄左然後倍天元一以自之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問按此係得數各升一位然後開平方
又法併二數以二數差乗之開方得底股復以甲東行二百步乘之為實併二數而半之以為法如法得二百四十步即城徑也合問此用股上容圓求之比前法極為簡易
或問乙從乾隅南行不知步數而止甲出北門東行二百步望見之復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前
法曰併二行以二行差乘之内減二行差冪為實併二行步及二行相減數按即倍乙斜行為從二步常法得半徑
草曰識别得斜行六百八十步即大弦也其二行相減餘四百八十步即乙南行步内減半徑也立天元一為半城徑副置之上位加二行相減數得□□為大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大股自增乘得丨□□為大股冪寄左乃併大勾大弦得□□於上又以大勾減大弦得□□為大差以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
又法求大差
法曰二行差自乘為實置二之二行差於上乃以甲東行步減二行差又半之以減於上為益方按三因斜行步二因東行步相減折半亦同半步常法
草曰立天元一為大差減於二行差得□□為半城徑以自之得丨□□為半徑冪寄左乃以半城徑減於甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□為同數與左相消得下式□□□以平方開之得三百六十步即大差也合問
或問乙出東門不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城叅相直復就乙斜行一百三十六步與乙相㑹問答同前
法曰甲東行步内減二之二行差按倍斜行步内減東行步亦同餘以乘甲東行為實一步常法得半徑草曰别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股内𢃄勾率分母乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨□為一个大差於上内𢃄勾率分母乃以天元減甲東行得□□為小差以乘上位□□□為半段黄方冪内寄勾率為母寄左然後以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□為同數與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門直行一十六步而止甲出北門東行二百步望見乙與城叅相直問答同前法曰二行步相減餘以自乘内減乙東行冪為實二之甲東行為益從一步隅法得半徑草曰立天元一以為半城徑加乙行步併以減於甲行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此為小股内帶勾率分母又置乙東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此為大股内寄勾率為母以此小股大股相乘得□□□為半徑冪内寄勾率冪為母寄左然後以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數相消得□□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問按此係得數各降二位然後開平方
或問甲乙二人同出北門向東行至東北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前後通行了二百步廻望乙恰與城相直問答同前法曰以二行步相乘於上又以南行步乗之為實二行步相乘於上又以乙南行減於甲東行得數復以乙南行乘之加上位共為法得半徑草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□□為大勾也下位減於甲行步餘□□為小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘之得□□減於大股餘丨□□為半个矮梯底於上内寄小勾為母再置乙折行步内減天元得□□為半个矮梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪寄左乃以小勾分母乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實如法而一得一百二十步即城之半徑也合問
行為法
草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大股餘得□□□為股圓差也合以勾圓差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母寄左再置天元以自之又二之得□□為同數與左相消得□□上法下實一百二十步即半城徑也合問
或問見底勾二百步明弦一百五十三步問答同前法曰半底勾乘明弦為平實併二云數而半之為從五分常法得明勾
草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也又以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股相乘得□□□為半徑冪寄左然後以天元乘底勾得下式□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明弦也以明弦乗底勾為平方實如法開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問見底勾二百步□弦三十四步問答同前法曰底勾□弦相減餘倍之内減去底勾按倍□弦減底勾亦同復以底勾乗之於上又以□弦冪乘上位為三乗方實倍底勾以□弦冪乗之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減餘又倍之為第二益亷一步隅法得□股
草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾以平勾減底勾餘□□為平弦以倍之得□□為黄長弦也此弦内却減底勾餘得下式□□為明勾也復以底勾乘之得□□於上又□弦自乘得一千一百五十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪寄左然後置黄長弦以天元乗之得□□合以□弦除之不除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑内帶□弦分母以自之得丨□□□為同數與左相消得丨□□□□開三乗方得三十步即□股也餘各依數求之合問
又法底勾内減二□弦復以底勾乘之復以□弦冪乘之為三乗方實餘亷從並與前同
草曰識别得二數相減餘一百六十六為平勾虚弦共又為平弦□股共於此餘數内又去半徑即□和也□和□弦相併即勾圓差也相減則□黄方也又倍□弦加□黄亦得勾圓差也底勾内減□股餘即小差弦也 立天元一為□股減於云數相減數得□□為平弦以平弦減底勾得□□即平勾以平勾減於云數相減數得□□即虚弦以天元又減虚弦得□□即明勾也乃置平弦以天元乘之得□□合□弦除不除寄為母便以此為平股也即半徑平股自之得丨□□□○為半徑冪内帶□弦冪分母寄左然後置底勾以明勾乗之得□□又以□弦冪一千一百五十六通之得下式□□為同數與左相消得丨□□□□亷從一一如上
或問見底勾二百步平弦一百三十六步問答同前法曰倍平弦内減底勾復以底勾乗之開平方得半徑
草曰立天元為半徑先倍平弦内減底勾餘□為明勾復以底勾乗之得□為半徑冪寄左然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步又倍之即城徑也合問
或問底勾二百步髙弦二百五十五步問答同前法曰底勾冪乗髙弦為立實底勾冪為從髙弦為亷一為隅得半徑
草曰識别得髙弦即皇極股也立天元一為半徑副之上位加髙弦得□□即底股也下位減於髙弦得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得□□為半徑冪内帶底股分母寄左然後以天元冪乗底股得丨□□與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問底勾二百步□勾□弦和五十步問答同前法曰以二云數相減餘加底勾復以減餘乗之半之於上以減餘自之減上位為實併云數半之為法得□股
草曰别得二數相減餘為小差股立天元一為□股減於小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虚股於上又以半徑加底勾得□□為通勾於下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪寄左然後以半徑自之得下式丨□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也合問
法曰二數相減又半之得數又減於底勾餘為泛率以泛率自之又倍之於上位又二數相減而半之以乗和步所得減於上倍為實倍泛率於上位又半底勾減和步加上位為法得明勾
草曰别得和步得明勾為大差也大差得底勾為二中差 立天元一為明勾加和步得□□為股圓差也即大差内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也此即中差置大差減中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□為半段圓徑冪寄左乃置底勾内減小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問
按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差者同誤依問另設於後法曰以底勾乘明股弦和冪為實倍底勾以明股和乗之加入明股弦和冪為從倍明股弦和内減底勾為亷一為隅開帶縱立方得明勾草曰别得明弦得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾為平勾弦和明勾為平勾弦較平股即半徑也立天元一為明勾自之得丨□應以明股弦和除之不除便以為明股弦較内寄明股弦和分母明股弦和自之得□為股弦和以加股弦較得丨□□為倍明弦以分母乗倍天元得□為倍明勾與倍明弦相加得丨□□為倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股相乘得□□□□為城徑冪内寄明股弦和分母寄左又倍天元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同數與左相消得丨□□□開立方得明勾合問
測圓海鏡卷四