測圓海鏡卷五
元 李冶 撰
大股一十八問
或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前法曰倍二行差内減甲南行步復以乗甲南行步為實倍二行差減甲南行步即是甲南行步内減二之乙南行也四之甲南行步内減二之乙南行為從方四為益隅開平方得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□為中股以中股又減於甲南行步得□□為股率其天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此為大勾内𢃄股率分母再置天元以二之以股率乘之得□□減於大勾餘□□為勾圓差於上内有股率分母又以二之天元減甲南行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黄方冪内寄股率分母然後以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出南門東行七十二步而止甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前
法曰云數相乘為平實甲南行為從二益隅得半徑草曰别得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虚股乗通勾同立天元一為半徑内減乙東行得□□為虚勾以乘甲南行得□□為半段徑冪寄左再以天元為冪又倍之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問
或問乙出東門直行一十六步甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前
法曰以乙東行乘甲南行冪為實二之乙東行乘甲行為從方亷空二步隅法得半徑
草曰立天元一以為半城徑以二之加於乙東行得□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此為小股此小股即半梯之頭也内帶勾率分母又以股率乗之此股率即半梯之底也得□□□為半徑冪内帶勾率分母寄左然後置天元冪以勾率通之得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半徑
草曰立天元一為半徑以減於甲南行得□□為半梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為半徑冪寄左乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得一百二十步即半城徑也合問
或問乙從艮隅南行一百五十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前
法曰二行步相乗為實并二行步為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙南行得□□為半梯頭下以減於甲南行得□□為半梯底上下相乗得丨□□為半徑冪寄左乃以天元冪與左相消得下式□□上法下實如法而一得一百二十步倍之即城徑也合問
法曰二行步相乘又倍之為實二之乙東行為從一步常法得全徑
草曰别得乙東行八十步即小差也立天元一為城徑減於甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之得□□又倍之得□□為城徑冪寄左然後以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行四百八步至樹問答同前
法曰南行步冪内減兩段兩行相乘數為實二之南行步為從一步益隅得城徑
草曰别得南行步内減城徑即小股也其斜行步即小弦也又二行相減即大差為股之勾也立天元一為圓徑以減南行步得□□為股圓差也合為小股置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此為大弦内帶小股分母再置南行步以小股乗之得□□為大股亦帶小股分母以大股減大弦得□□為小差也合以大差乘之縁於内帶大差分母更不湏乘便以為半段黄方冪更無分母又二之得□□為一段黄方冪寄左然後以天元冪為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
依前問假令乙出南門東行不知步數而立甲從乾南行六百步望乙與城相直復就乙斜行四百八步按此即前問以明又法
法曰二行差冪乗甲南行為實二之二行差以乗南行步為益方二之二行差為隅得半徑草曰識别得二行相減即半城徑與乙東行共也得此數更不須用斜立天元為半徑減於二行差一百九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大勾内寄股率分母再置天元以股率乘之得□□以減於大勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半城徑冪内寄股率分母寄左然後以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步見樹復向樹斜行五百一十步至樹問答同前法曰二行差步乘甲南行步為實二行之差步併甲南行步為從二益隅若欲從簡上下俱折半
草曰别得二行相減數即虚積之股也立天元一為半徑内減二行之差步得□□為梯頭於上又以天元減於甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□□□為圓徑冪寄左然後以天元冪與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問
或問乙出東門直行不知步數而立甲從乾隅南行六百步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相㑹問答同前
法曰以二行步相減乘甲南行步得數又半之南行步以乘之為實以二行差乘南行步於上又以半之南行步乘南行步加於上為從方二之南行步為益亷一步常法得半徑
草曰别得二行相減即半徑上勾股較此股即半徑也又别得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑以減南行步得□□為中股其斜行步即中弦也乃立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此為平弦内帶中股分母又以二行步相減餘五十六步為勾圓差不及平弦數置此數以中股乗之得□□復以減平弦餘得□□為小差内帶中股分母乃以二天元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘小差得□□□為半徑冪寄左然後以天元自乗又以中股通之得□□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十歩倍之即城徑也合問翻法在記
或問甲乙二人俱在乾隅乙東行不知步數而立甲南行六百步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前
法曰以二行差乘二行併開平方得數内復減二行差得全徑
草曰别得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元一為大勾以二行相減餘八十步以乘二行相併數一千二百八十步得□為勾冪開平方得三百二十步即大勾也大勾内減去勾圓差餘二百四十步即城徑也合問
或問南門外不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行二百五十五步至樹問答同前
法曰倍二行相減數内減甲南行得數復以乘甲南行為實倍二行相減數為從二步益隅得半徑草曰識别得斜行步乃是樹至城心之數也立天元一為半徑加斜行步得□□為樹至城北門之步也乃以減於甲南行得□□為小股率其天元半徑即小勾率其斜步即小弦數也再置甲南行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小股率得□□即梯頭也復以乘上位得□□□為半徑冪寄左然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得一百二十歩倍之即城徑也合問
或問東門外不知步數有槐樹一株甲從乾隅南行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見槐樹與城相直復斜行至槐樹下乙自云我東行少不及斜行五十六步問答同前
法曰甲斜行減於甲南行以乘甲南行得數復以乘二之甲南行為實半之甲南行以乘二之甲南行於上甲斜行減於甲南行餘復以乘甲南行又倍之加上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法按五分隅法即半箇立方
草曰識别得五十六步是小差不及平弦數此小差即勾圓差也又為平弦上勾股差又為甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四十四步即今弦也立天元一為圓徑以半之減於甲南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此為平弦内寄中股分母又置勾圓差不及平弦數以中股乘之得□□復以減於平弦□□為小差内帶小股分母又以天元減甲南行倍之得□□為兩个大差以乘小差得□□□為圓徑冪寄左然後以中股乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問翻法在記
或問出東門向南行不知步數有柳樹一株甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止乙出東門直行不知步數望柳樹與甲相直却斜行三十四步至柳樹下問答同前
法曰乙斜行乘甲南行數以乗甲南行冪為實斜行乗甲南行冪又三之為從方甲行冪内減兩段斜行南行相乘數按甲南行内減二之乙斜行以甲南行乘之為第一亷二之南行步為第二益亷二步常法得半徑草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為大差以自之得□□□為大差冪加於南行冪得□□□又半之得□□□為大弦也内帶大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大弦除不除便以此為小股也内帶大弦分母乃以天元減甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母縁别寄大弦分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只帶大弦分母也寄左然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百二十步即半城徑也合問
按此條寄分内又帶寄分則以所帶之分乘本條仍以寄分乘次條者蓋寄分為應除本條之數而寄分内所帶之分又為應除寄分之數今不除寄分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之變至斯而極矣
又法置甲南行冪於上又置甲行冪半之以乗上位為實以斜行乗甲行冪倍之於上位又以甲行再自乗加上位為益方置甲行冪於上以斜行乗甲南行倍之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常法得股圓差
草曰立天元一為股圓差即大差以自之為冪以加甲南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大弦除不除便以為小股内寄大弦分母乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪内寄大弦為母寄左置天元大差減甲南行餘□□為圓徑以自之得丨□□又以大弦分母乗之得□□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得三百六十步即股圓差也以股圓差減甲南行餘二百四十步即城徑也合問
或問甲從乾隅南行六百步而止丙出南門直行乙出南門東行各不知步數而立甲望乙丙悉與城㕘相直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹問答同前法曰以甲南行步再自之於上以斜行步乘甲南行冪又倍之減上位為立方實南行步自之又四之於上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲行步為從亷四步虚常法得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南行冪内加大差冪而半之得□□□為大弦也内寄大差分母又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□為大勾也亦帶大差分母乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大弦除不除便以此為小勾内帶大弦為母其大勾内元有大差分母不用即半梯頭也寄上位再寄天元半徑以大差乘之得□□以減於大勾得□為半梯底也以乘上位得□□□為半徑冪也内帶大差及大弦為母寄左然後置天元冪以大差通之又以大弦通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問
依前問假令南門外有樹乙出南門東行不知步數而立只云乙東行步少於樹去城步甲從乾隅向南行六百步望樹與乙悉與城㕘相直乙就樹斜行一百五十三步至問答同前
法曰以斜行步乗甲行冪為立方實以甲行冪半之於上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分隅得大勾大弦差
草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行冪而半之得□□□為大弦也寄大差分母下以減於甲南行冪而半之得下式□□□為大勾也寄大差分母乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大弦除不除便以此為小勾寄大弦分母又置斜步以甲南行乗之得□合以大弦除為小股不除而又以同母分通之得□○為同分小股也内只寄大弦分母注大股乘時無大差分母故今通之以齊大勾上所有大差分母也又置斜步以大弦通之得□□□為通分小弦也三位相併得□□為股圓差寄左然後置天元大差以大弦分母通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行步即城徑也合問
或問東門外不知步數有樹甲從乾南行六百步而止乙出北門東行斜望樹及甲與城㕘相直却就樹斜行一百三十六步問答同前
法曰二行步相乘於上又半甲南行乘之為實二行相乗於上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從甲南行為從亷一步益隅開立方得半徑草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小弦也乃以甲南行為大股以小弦乘之復以天元除之得□□即大弦也又倍天元減甲南行餘□□為大差以減大弦餘□□□為大勾也又倍天元以減勾得□□□為小差也却以半大差□□乘之得□□□為半徑冪寄左乃以天元冪相消得下式丨□□□開立方得一百二十步即半徑合問
或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳二樹相去二百八十九步有人從乾南行六百步而止斜望槐柳與城㕘相直問答同前
法曰云數相乘得又自增乗為三乗方實斜步冪乘南行步又云之為益從二云數相乘又倍之按此下脫内減斜步冪五字為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得槐至城心步
草曰别得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也乃立天元一為槐樹至城心步即人至槐處加於斜步得□□為邊弦也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此為邊股寄斜步分母又以斜步乗南行步得□為大股以邊股減之餘□□□為半城徑寄斜步分母以自之得丨□□□□為半徑冪内帶斜步為母寄左又以天元減斜歩得□□為□弦以天元乘之得□□○合斜步除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗之得□○□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得二百五十五步即槐樹至城心之步也亦為皇極正股又自之得數以減斜冪餘如平方而一得城心至柳樹步又為皇極正勾也勾股相乘倍之為實如斜步而一即城徑也合問
或問甲從乾南行六百步而立乙出南門直行丙出東門直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百五十一步問答同前
法曰甲南行為冪折半又以自之為實倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數為從亷一个半甲南行為第二益亷二分五釐為三乘方隅草曰識别得共步加城徑即皇極和也又是半徑為勾之弦與半徑為股之弦相和步也二之此數内減去大弦即皇極勾股内黄方面也亦為太虚弦乃立天元一為大差以自之副置二位上位減於甲行冪以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□為大弦也其甲南行即大股也併勾大股得下式□□□即大和也再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□□即皇極和又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦共數也又倍之得□□即全徑為勾之弦及全徑為股之弦共數也内減大弦得□□□即小和内黄方面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此為大黄方也内寄小和為母寄左然後以天元減甲南行得□□為大黄方以小和乗之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行餘二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實倍甲行冪於上又以斜步乘二之甲南行加於上為從方四之甲南行為益亷四步常法開立方得半徑草曰别得斜步為小弦也以斜步減圓徑餘為小和也乃立天元為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪□内加大差冪而半之得□□□為大弦也内帶大差為分母又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□○為大勾也帶大差分母又以大差乘股六百步得□□併入大勾得□□□為大和也帶大差分母乃先以小弦乘大和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□為小和以乘大弦得□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半徑也合問
依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云丙行步多於乙行步甲從乾隅南行六百步望乙丙與城叅相直乙復斜行就丙行了一百二步與丙相㑹問答同前
法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實甲行冪内加斜行南行相乗數為從方甲南行為益亷半步為隅得全徑
草曰别得相就步即小弦也小弦得小和為直徑也立天元一為城徑以減於甲南行步得□□為大差以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大弦也内寄大差分母下以減大差冪而半之得□□○為大勾也内寄大差分母乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大弦除不除寄為母便以此為小勾也寄大弦母又置斜步即相就步也以甲南行乘之得□合以大弦除之不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗之得□□為同分小股也只寄大弦為母其大勾内元有大差分母其大股内却無分母故今乘過復以大差通之齊分母也又置斜行步以大弦通之得□□□為小弦也上三位相併得□□為城徑也内寄大弦分母寄左然後置天元以大弦通之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問