測圓海鏡卷六
元 李冶 撰
大勾一十八問
或問乙從東門直行一十六步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前
法曰甲東行内減二之乙南行復以乘甲東行為實四之東行内減二之乙東行為從四益隅得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為中勾以中勾減於甲東行得□□為勾率也其天元半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此為大股内帶勾率分母再置天元以二之以勾率乗之得□□減於大股餘□□為股圓差於上内有勾率分母又以二之天元減甲東行得□□為小差以乗上位得□□□為半段黄方冪内有勾率分母寄左然後以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前法曰甲乙相乘為實甲東行為從二虚法得半徑草曰識别具見大股第二問中立天元為半徑内減乙南行得□□為虚股以乘通勾甲東行得□□為半段城徑冪寄左然後以天元自之又就分二之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅東行三百二十步望見乙問答同前
法曰以乙南行乘甲東行冪為實二之乙南行乘甲東行為從方亷空二步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以二之加於乙南行得□□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為小勾此即半梯之頭内帶股率分母又以勾率乘之得□□□為半徑冪内𢃄股率分母寄左乃以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙出南門東行七十二步甲從西北隅取直行三百二十步見乙問答同前
法曰二行相乘為實以東行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為半徑冪寄左然後以天元冪與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅直東行三百二十步望見乙問答同前法曰二行步相乘為實二行相併為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙東行得□□為梯頭於上下位減於甲東行得□□為梯底以乘上位得丨□□為半徑冪寄左然後以天元冪與左相消得□□上法下實即半徑也合問
或問乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從乾隅直東行三百二十步望見乙問答同前法曰二行步相乗倍之為實二之甲東行為從一步常法得城徑
草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二行步相併得六百八十步為弦甲東行為勾勾股相乘得□□又倍之得□□為二直積寄左然後以勾股弦相併得□□為三事和以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百七十步至樹問答同前
法曰兩段東行步冪内減兩段東行斜行相乗數為實按或云倍東行步以二行差東之亦同二之東行為從一益隅得城徑草曰别得東行步即大勾斜行步即小弦也乃立天元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也今為小勾置東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此為大弦内帶小勾分母再置東行步以小勾乘之得□□為大勾以減大弦得□□為大差合以小差乗之縁内帶小差分母更不湏乗便以此為半段黄方冪更無分母又二之得□□為一段黄方冪寄左然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
依前問假令乙出東門南行不知步數而止甲從乾東行三百二十步望乙與城相直復就乙斜行一百七十步
法曰以甲東行乘二行差冪為實以甲東行乘二之二行差為從方二之二行差為隅法得半徑草曰識别得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也得此數更不湏用斜立天元一為半徑減於二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為大股内寄勾率分母再置天元以勾率乘之得□□以減於大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半徑冪也内帶勾率分母寄左然後以勾率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步見樹復向樹斜行二百七十二步至樹問答同前法曰二之二行差乘二之甲東行為實併二之二行差及二之甲東行為從二步益隅得城徑草曰别得二行相減餘四十八步即虚積之勾也立天元一為城徑内減二之二行差得□□為梯頭於上置甲東行步以二之内減天元得□□為梯底以乘上位得□□□為城徑冪寄左然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲從乾隅東行三百二十步而止乙出南門直行不知步數望見甲復就甲斜行四百二十五步與甲相㑹問答同前
法曰二行步相減以乘東行冪得數半之為實以半之東行步乗東行步於上二行步相減餘乗東行步減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰識别得二行相減是髙積上勾股較此勾即半徑也又别得是髙弦不及股圓差數乃立天元為半城徑以減東行步得□□為中勾其斜行步即中弦也又置半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此為髙弦内寄中勾為母又以二行步相減餘一百五步為髙弦不及股圓差數置此數以中勾乘之得□□加入髙弦得□□為大差於上内帶中勾分母又倍天元減東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得□□□為半徑冪内有中勾分母寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步數而立甲直東行三百二十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前
法曰以二行差乘甲東行步又二之為實以二之二行差為從一步常法得城徑
草曰别得二行步相減餘三百六十步即股圓差也乃立天元一為圓徑以減於甲東行步得□□為小差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□為一段城徑冪寄左乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問東門外不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百三十六步至樹問答同前
法曰倍二行相減數内減甲東行得數復以乘甲東行為實按或云倍斜步以減甲東行餘以甲東行乗之亦同倍二行差為從二步虚常法得半徑
草曰識别得斜行步乃樹至城心步也立天元一為半徑加斜行步得□□即樹至城西門之步也乃以減於甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小股率其斜步即小弦數也再置甲東行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小勾率得□□按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元減梯底之少一元反為多一元以三百六十八步減梯底之三百二十步反為少四十八步也以乘上位得□□□為半徑冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問
或問南門外不知步數有槐一株甲從乾隅直東行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了七百四十五步乙從坤隅南行望見槐柳與城叅相直復斜行至槐樹下乙自云我南行步多於斜行步一百五步
按此問下有草無法今依細草補之法曰置甲共步内減乙較步餘數折半自之再倍乙較步乗之為立方實置上減餘折半數又減二之乙較步復以減餘折半數乗之為從甲共步内減乙較步為亷五分為負隅開立方得城徑草曰識别得一百五步是大差多於髙弦數又為髙弦上勾股差數又别得是甲斜行多於東行數也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立天元一為圓徑以半之減於甲東行步得□□為中勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以半之為小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便以為髙弦於上内𢃄中勾分母别置乙多步一百五步以中勾乘之得□□為大差多於髙弦數也以加入上位得下式□□為一个大差也置甲東行以天元減之又倍之得□□為二个小差以乗大差得下□□□為一段黄方冪内帶中股分母寄左然後置天元冪丨□以中勾通之得□□□與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問
或問出東門直行不知步數有槐樹一株出南門東行不知步數有柳樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從乾東行三百二十步望槐柳與城㕘相直問答同前
法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實斜行乗甲東行冪又三之為從方甲東行冪内減兩段二行相乘數為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開三乗方得半徑
草曰立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差以自之得□□□加於甲東行冪復半之得□□□為大弦内寄小差分母又置斜相距步以大勾乘之得□合大弦除不除便以此為小勾内𢃄大弦分母乃以天元減甲東行數得□□為半梯底以乘小勾半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母此大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乗上半徑冪得□□□為半徑冪也内𢃄本大弦分母寄左然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得一百二十步即半城徑也合問
或問甲從乾隅東行三百二十步而止丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲廻望乙丙悉與城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹問答同前
法曰甲東行再自之於上以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實兩段南行冪内減東行斜行相乘數為益從以甲東行加五按加五即加半為從亷五分虚隅得全徑
草曰立天元一為城徑以減於甲東行步得□□為小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪内加小差冪而半之得□□□為大弦也内帶小差分母又置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股也内帶小差分母乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大弦除之不除而又倍之得□□為梯頭也即兩个小股内寄大弦為母權寄乃置天元圓徑以半之以小差分母通之得□□以減於大股餘得□又倍之得□為梯底也即兩个邊股内亦有小差分母以乘權寄得□□□為城徑冪也内寄大弦及小差分母寄左然後以天元自之為冪以大弦通之又以小差通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問
依前問假令東門外有樹乙出東門南行不知步數而立只云樹去城步少於乙南行步甲從乾隅向東行三百二十步望乙與樹悉與城叅相直乙復就樹斜行三十四步到樹問答同前
法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實置半段甲東行冪於上以斜步乗甲東行減上位為從亷空半步常法得勾圓差
草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股弦較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上以加於甲東行冪而半之得□□□為大弦也寄小差分母下以減於甲東行冪而半之得□□□為大股也寄小差分母乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除不除便以此為小股寄大弦分母又置斜步以甲東行乗之得□合大弦除不除便以此為小勾而又以通母分通之得□為同分小勾也寄大弦分母注大股乘時有小差分母今大勾無母故又以齊同之又置斜步以大弦通之得□□□為同分小弦也三位相併得□□為勾圓差也寄左然後置天元以大弦通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減於甲東行步餘二百四十步即城徑也合問
或問南門外不知步數有樹甲從乾東行三百二十步而立乙出西門便南行望樹及甲與城叅相直却就樹斜行二百五十五步至樹問答同前法曰二行相乘於上以半之甲東行乗之為實二行相乘於上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從甲東行為從亷一步虚法開立方得半徑草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小弦也乃以甲東行為大勾以小弦乘之復以天元除之得□□即大弦也又倍天元減東行餘□□為小差以減大弦餘□□□為大股也又倍天元以減股餘□□為大差也却以半小差□□乗之得下式□□□為半徑冪寄左乃以天元冪與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳相距二百八十九步甲從乾東行三百二十步斜望槐柳與城叅相直問答同前法曰二行相乗得數又自增乘為實斜行冪乘甲東行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜步為第二亷二步常法開三乘方得栁至城心步草曰别得柳至城心步即甲立處柳樹步也立天元一為柳至城心步加斜步得□□為底弦以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾寄斜步分母乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾内減底勾餘□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑冪内帶斜步冪分母寄左乃以天元減斜步得□□為明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為半梯頭寄斜步為母復以底勾半梯底乘之得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合問
或問甲從乾隅東行三百二十步而立乙出城東行丙出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五十一步問答同前
法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實倍共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共數為從亷甲東行加五為第二益亷二分五釐常法得小差
草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一為小差以自之副置二位上位減於甲東行冪以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪以天元除之又折半得□○□為大弦也其甲東行即大勾也併大勾大股得□□□即大和也再立天元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行步得□□即皇極和也即小和又為髙弦平弦共數又倍之得□□即黄長弦黄廣弦共也内減大弦得下式□□□為皇極内小黄方也亦為虚弦再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以為城徑内寄小和為母寄左然後天元減甲東行得□□為大黄方以小和乘之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得八十步即小差也以小差減甲東行餘二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅東行三百二十步望乙丙悉與城㕘相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前法曰甲東行自之於上倍斜行步乘之為立方實倍斜行步乘甲東行於上加兩段甲東行冪為從四之甲東行為益亷四為隅法得半城徑草曰别得斜步即虛弦減於全徑即小和也乃立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差也以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪内加小差冪而半之得下□□□為大弦内帶小差分母置甲東行冪内減小差冪而半之得□□為大股也内亦帶小差為母又以小差乘大勾得□□併入大股得□□□為大和也帶小差母乃先以小弦乗大和得下□□□寄左次以斜步減於二天元得□□為小和以乗大弦得下式□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問
依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云丙行多於乙行步甲從乾隅東行三百二十步望乙丙與城㕘相直其乙丙共行一百二步問答同前法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實共步乗甲東行於上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為從亷五分隅常法得城徑
草曰别得共步便為小弦得小勾小股即與圓徑同立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副之上以加小差冪而半之得□□□為大弦也内寄小差分母下以減小差冪而半之得□□○為大股也内寄小差分母乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不除便以此為小股也寄大弦分母又置共步以甲東行乘之得□合以大弦除不除便以此為小勾而又以元分母小差乘之得□□為同分小勾只寄大弦分母注其大弦内元帶小差分母其大勾内却無分母故母故今復以小差通之齊同其分母也又置共步以大弦通之得□□□同分小弦也三位相併得□□為城徑也内有大弦分母寄左然後置天元城徑□以大弦分母通之得□□□○為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問