測圓海鏡卷七
元 李冶 撰
明□前一十八問
或問出南門東行七十二步有樹出東門南行三十步見之問答同前
法曰倍南行以乘倍東行為平實併二行又倍之為從一虚隅得城徑
草曰識别得此問名為弦外容圓又為内率求虚積其二行步相併為虚弦若以相減即虚較也又倍東行為弦較和倍南行即弦較較此二數相乘則兩虚積也若直以二行相乘則半个虚積也又倍東行減於城徑餘即二虚勾也倍南行減於城徑則二虚股也虚積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以為三事和也倍二行步減之得□□為黄方一天元乘之得□□為二虚積寄左然後倍東行以乗倍南行得八千六百四十為同數與左相消得丨□□益積開平方得二百四十步即城徑也合問
又法二行步相乘為實二行步相併為從一步虛法得半徑
草曰立天元一為半徑副置二位上加東行步得□□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數相乘得下式丨□□為半段黄方冪寄左然後立天元以自之又二之與左相消得丨□□益積開平方得一百二十步即半城徑也
又法二云數相乘倍之於上加云數差冪權寄併二云數又自增乗得數内減上位為平實併云數而倍之為從二步益隅得半徑
草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為虚勾下減□股得□□為虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為弦冪寄左然後併云步以自之得□為同數與左相消得□□□益積開平方得一百二十步即半城徑也
草曰立天元一為虚勾以南行減東行餘四十二步為虚較也以虚較加天元得丨□為虛股以天元乘之得下丨□為直積寄左然後倍南行乘東行得□與左相消得丨□□開平方得四十八步即虚勾也以勾除積得九十步即虚股也併勾股得□為虚和也内加入二行併□得□即圓徑也
又法併兩行步以自乘於上又倍南行乘倍東行加上位為平實一隅法得小和
草曰立天元一為小和併二行步加之得□□為三事和也倍二行步而併之得□以減三事和餘□□為黄方却以三事和乘之得下丨□□為二虚積也寄左乃倍南行以乘倍東行得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城徑也合問
或問丙出南門直行一百三十五步而立甲出東門直行一十六步見之問答同前
法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六萬零三百七十五於上又以甲行步一十六乘丙行冪一萬八千二百二十五得二十九萬一千六百以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之數得一百六億二千八百八十二萬為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二十九萬一千六百又倍之得五十八萬三千二百於上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十三萬八千二百四十減上位餘四十四萬四千九百六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虚常法得丙行步上勾弦差八十一
按法中載數自此始亦擇其數繁者詳之使人易曉也草曰識得二數相併以減於皇極弦餘即虚勾虛股併也若以二數相減餘為髙弦内減平弦又為皇極弦内少个小差弦又為大差弦内減个皇極弦也立天元一為丙行大差數置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□為勾弦併也上減天元得□□□為二丙勾也復用丙南行乘之得□□□為二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓徑泛寄别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此為甲股内寄二丙勾為分母復用二甲勾三十二乘之得□為二个甲直積也又置丙南行内減天元得□□為黄方以自乘得丨□□為丙上勾弦差乘股弦差二段以天元除之得□□□為两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復用丙南行除之得□□□又折半得□□□為一个甲步股弦差也内亦帶前二丙勾分母復置二个甲直積内已寄此甲股弦差分母便為甲步股外容圓徑寄左乃再置先求到泛寄按即前所寄□□○□之數用甲股弦差分母乘之得□□○□□為同數與左相消得下式□□○□□開三乗方得八十一步即丙步上勾弦差也鈐經載此法以勾弦差率冪減丙行差冪復以丙行乘之為實以差率冪為法如法得徑此法只是以勾外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為分母也依法求之勾弦差八十一自之得六千五百六十一以減於丙行冪一萬八千二百二十五餘一萬一千六百六十四復以丙行一百三十五乘之得一百五十七萬四千六百四十為實以大差冪六千五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也
又法二行相乘得數又自之為三乘方實併二行步以乗二行相乘數又倍之為從二行相併數以自乘於上又二行相減數自乗減上位為第一亷第二亷空一益隅益積開之得半徑其第一亷只是四段二行相乗數草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□□為股下位加東行步得□□為勾勾股相乘得丨□□為直積一段以天元除之得丨□□為弦以自之得丨□□□□為弦冪寄左乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相併得□□□為同數與左相消得丨○□□□益積開三乘方得一百二十步即半城徑也
又法條段同前
草曰以前求得勾股率置出南門步為小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半梯頭於上又置南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數内帶股率冪為母寄左然後置天元以自之又以股率冪乘之得下丨□□□為同數與左相消得數一如前答
又法以二行差冪數自乗又倍之為實併二行步以乘二行差冪又四之為益從四段南行冪内減二段差冪於上又二段差冪内減四段東行冪餘以減上位按併二行冪減二行差冪四因之亦同為第一亷四之二行共為第二亷二步虚法益積開之得皇極弦二百八十九草曰立天元一為皇極弦以自之為弦冪於上以二行步相減餘□以自之得□為較冪以減上得丨□□為二直積復以天元除之得□○□為一个城徑也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也以自增乘得丨□□□□為四段勾冪於上下位加二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□□□為四段股冪也併入上位得下式□□□□□為四段弦冪寄左然後以天元為冪四之為同數與左相消得下式□□□□□益積開三乘方得二百八十九步即皇極弦也 欲見城徑者别立天元半徑副之加東行為勾加南行為股勾股各為冪併之與弦冪相消開方得城徑也
又法以二行差一百一十九自乘得一萬四千一百六十一為差冪以東行步乘之得二十二萬六千五百七十六為汎率又自增乗得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為五乘方實倍東行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小汎以乘泛率又倍之得一十七億二千五百六十○萬二千八百一十六為從方併兩行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬五千九百五十二於上位以小泛冪一千四百五十萬○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬六千八百一十六為第一亷併兩行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五萬○○一十六為寄數倍二行差以乘差冪得三百三十七萬零三百一十八内減寄數餘二百二十二萬零三百零二為第二亷六段二行差冪八萬四千九百六十六内減二行併數冪二萬二千八百一餘六萬二千一百六十五為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷二步虚法得□弦三十四步
草曰立天元一為皇極弦上股弦差即東行步上斜也亦謂□斜以元加二行差得□□即明弦也此即皇極弦上勾弦差也以天元乗之又倍之得□□□即皇極内黄方冪也泛寄置皇極弦上勾弦差以東行步乘之得□□以天元除之得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明弦除不除寄為母便以此為□股於上寄明弦母乃再置明勾以明弦乘之得□□□亦為帶分明勾加入上位得□□□即是一个虚弦也以自增乘得下式□□□□□為一段虚弦冪也内帶明弦冪分母寄左然後置明弦以自之得丨□□為明弦冪以乘泛寄得□□□□為同數與左相消得下式□□□□□□□開五乗方得三十四步為東行步上斜步也即□弦其東行十六步即□勾也勾弦各自為冪以相減餘九百步開方得三十步即□股也既各得此數乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑也合問
按此草又法求□弦至開帶縱五乘方法愈繁數愈賾而天元一之用愈見其妙苐所得帶縱五乘方亷隅積數雖具而未習其法者不能信其數之必然今姑取已得之□弦數按亷隅數推其積數以明其數之無可疑焉置五乘方數二以□弦三十四乘之得六十八與四乘方數七百一十四相加得七百八十二又以□弦乘之得二萬六千五百八十八與三乘方數六萬二千一百六十五相加得八萬八千七百五十三又以□弦乘之得三百零一萬七千六百零二與立方數二百二十二萬零三百零二相加得五百二十三萬七千九百零四又以□弦乘之得一億七千八百零八萬八千七百三十六内減所少平方數八千二百九十二萬六千八百一十六餘九千五百一十六萬一千九百二十又以□弦乘之得三十二億三千五百五十萬零五千二百八十内減所少元數十七億二千五百六十萬零二千八百一十六餘十五億零九百九十萬零二千四百六十四又以□弦乗之得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為積數與草中積數合此即無次商帶縱五乘方法
法曰二行步相減得數以自之於上又以出東門步自之減上位為平方實二之出南門東行步為益從一步常法翻開得半徑
草曰别得人到樹即平弦也半圓徑即平股也其東行七十二步則平勾平弦差也乃立天元一為半徑加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□□為勾冪又加入天元股冪得□□□為弦冪寄左再立天元一為半徑加出東門步得□□即弦也以自之得丨□□為同數與左相消得□□□翻法開之得一百二十步即半城徑也合問
法曰樹去城步内減南行步餘以為冪於上又以樹去城步為冪内減上位為平實倍樹去城步為從一虚隅翻法得半城徑
草曰别得人距樹即髙弦也半圓徑即髙勾也其南行三十步即髙弦上小差也乃立天元一為半徑加樹去城步為弦内減小差□得□□即股也以自之得丨□□為股冪内加入天元冪得□□□為弦冪寄左再置弦□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□翻開得一百二十步即半城徑也合問
或問乙出東門不知逺近而立甲出南門東行七十二步望見乙就乙斜行一百三十六步與乙相會問答同前
法曰以斜行步自之於上以二行相減餘自為冪減上位為平實從空一步常法得半徑草曰别得七十二步即大差也斜行即弦半徑即股也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六十四以自之得□為勾冪併二冪得丨□□為弦冪寄左然後以斜行步自之得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問
或問甲出南門不知逺近而立乙出東門南行三十步望見甲却就甲斜行二百五十五步與甲相㑹問答同前
法曰二行差自之為冪以減於斜行冪為平實一虚隅得半徑
草曰别得南行步即股弦差也斜步即弦也半徑即勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相減餘二百二十五以自之得□為股冪二冪相併得丨□□為弦冪寄左然後以斜行自之得□為同數與左相消得下丨□□開平方得一百二十步即半徑也合問
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步望見甲斜行一百二步相㑹問答同前法曰二行相乘四之於上又加入斜行冪為平實得虚和一百三十八
草曰别得斜步内減南行為甲東行步也此問以弦外容圓入之以二行相減數乘乙南行三十步得□又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□即和冪也平方而一得一百三十八步即虚和也又加斜步得二百四十步即城徑也合問
或問乙出東門南行不知步數而立甲出南門東行七十二步望見乙斜行一百二步與乙相㑹問答同前法曰倍相減步以乘倍東行得數復以減於斜步冪餘為實平方而一得較也又以二行相減數乘倍東行為平實以較為從方得勾勾較共為長又以斜步併入勾股共即城徑
草曰别得二行相減餘□為乙南行步也以此數又減於甲東行餘四十二步即較也乃以二行相減數□乘倍東行得□為平實以較為從平方開得四十八即勾也勾内加較得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也合問
或問乙出南門東行甲出東門南行兩相望見既而乙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十問答同前
法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步内減云數差以自之為冪二冪相併内却減差冪為平實二之乙不及為益從三步半虚法得甲南行草曰别得乙不及為虚勾半徑共又為徑内減明勾也甲不及為虛股半徑共又為徑内減□股也又二云數相併為虚和圓徑共也云數相減即虚較也乃立天元一為甲南行以減於甲不及步又半之得□□為虚股也虚股内減虚較得□□為虚勾勾自之得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股冪也二冪相併得□□□為弦冪寄左然後以天元加虚較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□為虚弦以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十步即甲南行也内加少步即城徑也合問
或問丙出南門直行甲出東門直行兩相望見既而丙云我行少於城徑一百五步甲云我行少於城徑二百二十四步問答同前
法曰二少歩相乘訖又自乗為實六之共步乘云數相乘數為益從十八之云數相乘數於上又三之共步自乘加上位内復減丙少步冪甲少步冪為從亷四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開三乗方得一百二十步即半徑
草曰别得云數共減於倍城徑為甲丙共數又云數相減即皇極差亦為甲行不及丙行數立天元一為半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□為弦也弦自之得□□□□□為弦冪寄左然後以股自之得下□□□為股冪於上又以勾自之得□□□為勾冪併以加入上位得□□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即半城徑也合問
或問甲出東門直行丙出南門直行各不知步數而立乙望見甲就甲斜行了二百八十九步與甲相㑹其二直行共一百五十一步問答同前法曰斜冪内減共步冪為平實倍共步内減斜步為從一常法得徑
草曰别得共數城徑併即皇極和也立天元一為圓徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□於上以斜行冪□減上位餘丨□□為二直積寄左然後以天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲出東門直行乙出東門南行丙出南門直行丁出南門東行各不知步數而立四人遥相望悉與城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百二步又云丙直行步多於甲直行步問答同前
法曰共步距步相減得數自之於上以共步為冪内減上為平實二之距步内減共步距步差為從一步虚法得城徑
草曰别得共步得城徑即皇極和也相距步即虚弦也皇極和内減虚弦即皇極弦也又共步距步差□即皇極弦内減城徑也此名旁差乃立天元一為城徑加共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上以共步距步差□加天元得□□為皇極弦也以自之得下式丨□□減上位餘得□□為二直積寄左然後以天元徑乘皇極弦得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復就甲斜行與甲相㑹乙通計行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多於乙南行問答同前
法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實以四之不及步為法得乙南行三十步草曰别得乙南行即□股也以減通步即虚弦也以減不及步即虚較也其不及步即甲東行也立天元一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為二直積寄左然後倍不及步以為弦較和於上□以不及步減通步得□為弦較較以乗上位得□為同數與左相消得□□上法下實得三十步為乙南行也餘各以數求之
又法别得通行步為兩个乙南行一个甲東行共也其不及步即東行步也云步相併即兩个虚弦相減即兩个乙南行也
或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復斜行與甲相㑹二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二按甲不及乙六十步非一百三十二步當云甲行不及共步方合問答同前
法曰别得二行共即兩个虛弦也其不及步即乙南行與一虚弦共也置不及步内減一弦餘三十步即乙南行也以乙南行反以減虚弦餘七十二步即甲東行也以乙南行減甲東行餘即虚較也 此問無草
按右二問語若淺近然以發明加減乘除相通之義最為深切集中倣此者可類推之
或問乙出東門南行甲出西門南行甲望見乙斜行五百一十步相㑹乙云我南行少於城徑二百一十步問答同前
法曰少步冪為平實四斜步内減二少步為益從五步常法得乙南行
草曰别得少步為徑内減叀股立天元一為乙南行以二之減於倍斜行步得□□為梯底也以二之天元乘之得□□為徑冪寄左再置天元加少步得下式□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□開平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合問
或問乙出南門東行甲出北門東行甲望見乙斜行二百七十二步與乙相㑹乙云我東行不及城徑一百六十八步問答同前
法曰以不及步冪之為實四斜内減二之不及步為虚從五常法平實開得乙東行七十二草曰别得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙東行以倍之減於二之斜行步得下□□為梯底也倍天元乘之得□□為徑冪寄左再置天元加不及步得□□為城徑以自之得丨□□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即乙東行也加入少步即城徑也合問
或問乙出南門東行丁出東門南行却有甲丙二人共在西北隅甲向東行丙向南行四人遥相望見俱與城叅相直既而相㑹甲云我多乙二百四十八步丙云我多於丁五百七十步問答同前法曰二多步相乗為平實併二多步而半之為從七分半常法得城徑
草曰别得甲多步為大勾内減明勾也丙多步為大股内少叀股也又乙東行得一虚勾為半徑丁南行得一虚股為半徑又二多數相併得□為大和内少虚弦也又二多數相減餘□為兩个角差又甲多步内減半徑即勾方差也丙多步内減半徑即股方差也立天元一為城徑以半之減於甲多步得□□為勾方差又以半徑減於丙多步得□□為股方差二差相乘得□□□為徑冪寄左然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得二百四十步即城徑也合問
或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人遥相望見悉與城叅相直既而相㑹甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步問答同前
法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相乘為三乘方實甲乙共自之為冪以丙丁共乘之於上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪併以七分半乘之於上又以甲乙共乘丙丁共得數減上位為第一益亷併二共數以七分半乘之為第二亷以七分半自之得五分六釐二毫五絲於上位以一步内減上位餘四分三釐七毫五絲為虚隅得城徑草曰别得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股也甲乙共内減半徑即是黄長弦也丙丁共内減半徑即黄廣弦也黄長弦黄廣弦二數相減餘為兩个皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減於甲乙共數得□□即黄長弦也以自之得□□□為黄長弦冪也内減天元一冪餘得下式□□□為勾方差冪也下位以減於丙丁共得下式□□即黄廣弦也以自之得□□□為黄廣弦冪也内減天元一冪餘得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股方差冪相乘得□□□□□為徑冪寄左然後以天元為冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開三乘方得二百四十步即城徑也合問