測圓海鏡卷八
元 李冶 撰
明叀後一十六問
或問出南門向東有槐樹一株出東門向南有柳樹一株丙丁俱出南門丙直行丁往至槐樹下甲乙俱出東門甲直行乙往至柳樹下四人遥相望見各不知所行步數只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問答同前
法曰以二共相減數又以減距數為實二為法得平勾
草曰識别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即極弦也二共相併即極弦内少个虚黄也又為極和内少个虚和也二共相減餘為平勾髙股差也又為虚差極差共也又為通差内減極差也立天元為平勾加入二共相減數得□□為髙弦又加天元得□□為極弦寄左以相距步二百八十九與左相消得□□上法下實如法得六十四即平勾也以二共相減數加平匀得二百二十五為髙股復以平勾乘之得一萬四千四百步開平方得一百二十步即城半徑也合問
又法二共數併以減相距數餘者半為泛率以泛率加丙丁共為長以泛率加甲乙共為闊長闊相乘為平方實得半徑
草曰置極弦内減二共併數餘三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘得一萬四千四百步開平方得一百二十步即半徑也合問
或問依前見丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二樹相去一百二步問答同前
法曰以甲乙共乘樹相去步得數又以自之為平實從空併二共數為冪於上内減甲乙共自之數丙丁共自之數按或云二共數相乘倍之亦同為益隅得叀弦草曰識别得兩樹相去步即虚弦也餘數具前立天元一為叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便以□為明弦也内帶□和分母乃置虚弦以分母叀和乘之得□加入明弦得□□為極股也内帶叀和分母以自之得下式□□□為極股冪内寄叀和羃為分母又以天元加虚弦得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相併得□□□為兩積一較冪也内有叀和冪分母寄左然後置明弦□於上以叀和乘天元得□加上位得□為二弦併又置虚弦以叀和乘之得□併入上位得下式□□為極弦以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十四步即叀弦也
又法以樹相去步自之又以甲乙共乘之為平實從空倍丙丁共為虚隅得叀弦
草曰立天元一為叀弦依前術求得明弦□便以為皇極勾弦差也内帶叀和分母以天元□弦便為皇極股弦差以乘之又倍之得□□為虚弦冪内有叀和分母寄左然後以虚弦自之又以分母□乘之得四十七萬八千五百八十四為同數與左相消得□○□開平方得三十四步即叀弦也合問
法曰後數自乘為實前後數相減餘為法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六即太虚大小差共也又二數相併得□即明叀二和共若以相減餘□即明叀四差共也立天元一為太虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加天元得□□即城徑也又以虚弦加皇極大小差得□□即極弦也以極弦乘城徑得□□□為兩段皇極勾股積寄左再以極弦虚弦相併得□□即皇極勾股共也自之得□□□内減皇極弦冪丨□□得□□□為同數與寄左相消得□□上法下實如法得三十六步即太虚黄方靣也合問
或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出東門直行甲丙槐柳悉與城㕘相直既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下問答同前
法曰云數相乘倍之便為平方實開方得虚弦一百二步以此弦加甲行步即極勾以此弦加丙行步即極股餘各依法求之 識别甲斜行即叀弦也丙斜行即明弦也 無草
或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出南門直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳至東門步共得六十四步問答同前法曰二云數相乘於上以六十四步自之又二之減上位為平實十四之六十四於上倍丙行減上位為從按倍丙行乃數偶合當云九个半六十四内減丙行為從二十常法得甲直行步
草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾也内甲斜行即叀弦也柳至東門步即叀股也又云二數相併即明差與極弦共也二云數相減即明差與平勾髙股差共也又平勾内減叀勾即虚勾也立天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復以六十四除之得□□呔為明勾也又以天元減於六十四得□□為虚勾也併虚明二勾□□為半徑也以自之得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪寄左乃以天元加六十四得□□為勾圓差於上又以明勾加丙共步得□□□為股圓差於下上下相乘得□□□□為同數與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門直行步也餘皆依數求 合問
或問東門南有柳樹一株南門東有槐樹一株甲出東門直行丙出南門直行二人遥相望槐柳與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云甲共行五十步丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步問答同前法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪於上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數復折半減上位為平實置二百二十五步自之數以二云數相減數乘之又倍之於上倍五十步在地以二百二十五步自之數乘之復折半加上位為益從云數相減自乘於上以云數相乘復折半減上位為常法得明股
草曰識别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明弦槐至南門步即明勾也又二云數相併即極弦内減一个叀差也云數相減即叀差與髙股平勾差共也又髙股内減明股即虚股也立天元一為明股即丙出南門直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為叀股也内帶髙股□分母再置髙股内減天元得□□為虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半徑也以自增乘得下□□□為半徑冪也内帶髙股冪為母寄左然後置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□為勾圓差於上内帶髙股分母又以天元加髙股得□□為股圓差於下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□復折半得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百三十五步即明股也合問
或問通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步問答同前
法曰置一千減二之五十步為汎率以自乘復半之於上又置泛率復以五十乘之加上位為平實二十二之泛率於上按二十二乃此題叀和除通和所得通倍叀數加二數之數易題則數不同矣當直云通倍叀數加二數乘泛率以四十二按四十二乃此題倍通倍叀數加二數之數當直云倍通倍叀數加二數乘五十得數内減泛率加上位為益從二百按二百乃此題通倍叀數加二數自乘折半於上又倍通倍叀數併二數以減上位之數當同上不必載數為常法得叀股
草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦減一千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□寄左然後置圓徑以自之得□□□折半得□□□與左相消得□□□開平方得三十步即叀股也合問
按此題通勾弦和為叀勾弦和度盡之數則不用寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其餘也
或問通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步問答同前
法曰以後數再自乘又以前數乘之為平實以後數為冪又以前數乘之為從以前數冪為常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一為明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□為通股内帶髙股為母以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減於通股餘□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左内𢃄髙股冪分母然後置一千以髙股分母通之得□内減帶分大差得□□為兩个通勾也内減兩个圓徑得□□為兩个小差也以帶分大差乘之得下式□□□為同數與左相消得□□開平方得一百三十五步即明股也合問
法曰云數相乘為平實前數為益從置前數以後數除之得二十為泛率泛率減一以自乘於上又倍泛率減一加上位為常法倒積開得叀勾草曰别得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置前數以天元乘之以後數除之得□即通勾也又置天元加後數得□□即小差也以小差減通勾餘□□即圓徑也以自之得□□□寄左然後以小差減於前數得□□為二通股内減兩个圓徑得□□為二大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也合問
法曰二數相減以後數乘之内減後數冪又半之為泛率以自乘為平實按或云前數内減二後數餘以後數乘之折半自之亦同置前數加二之後數而半之為次率以乘泛率於上以後數乘泛率減上位按或云二數相加以乘前折半數亦同為益從次率自乘之於上以前數加次率復以後數乘之減上位按或云前數折半内減後數又以半前數乘之亦同為隅法得明勾草曰别得二數相減餘□為通勾通股及明勾共也立天元一為明勾置前數以天元乘之合以後數除之不除便以此□為通勾也内寄後數分母又以二數相減得數内又減天元得□□為通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内減通勾餘□□為通股也又以天元加後數又以分母即後數也通之得□□為大差也以此大差減於通股得下式□□為一个圓徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪寄左然後以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明勾也合問
或問明股明弦併二百八十八步叀勾叀弦併五十步又云明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前法曰前二數相併内減二之多步即圓徑又只以前二數相乘便是半徑冪
草曰識别得前二數相減而半之即極差也其多步名傍差又圓徑不及極弦數
或問平差髙差共一百六十一步明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前
法曰二數相減又半之以自乘為實後數為法得平勾
草曰立天元一為平勾以加前數得□□為髙股也又以天元加髙股得□□為極弦内減後數得□□又半之得□□為半徑以自之得丨□□寄左然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問
或問平勾髙股差一百六十一步明差叀差併七十七步又云極弦多於城徑四十九步問答同前法曰併上二位而半之為平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實倍旁差為法得勾圓差按求實數有誤當云併上二位而半之内減後數於上又置上前數内減後數以乘上位為實方合
草曰識别得平勾髙股差名為角差副置角差上加七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之得□即虚差也角差加極差得□即通差也又極弦多於城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為兩个髙段上勾股較下減傍差得□為兩个平段上勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪寄左乃置大差□□内減股圓差上勾股較□餘有□□為股圓差之勾於上再置天元内加勾圓差上勾股較□得□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數與左相消得□□上法下實得八十歩即勾圓差也
又依前問見角差一百六十一步見明差叀差併七十七步又見太虚弦較較六十步問答同前法曰前二數相減而半之得數加入半之太虚弦較較為泛率以自乘為平實置一百六十一内減二之泛率為從一常法得平勾
草曰别得□即二叀股也立天元一為平勾先以前二數相減而半之得□為虛差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□為平弦以自之得丨□□内減天元冪得□□為半徑冪寄左然後以天元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得六十四步即平勾也
又法曰前數内加半之太虚弦較較以自乘按此語内有誤當云倍角差加半太虚較以半太虚較乘之為實前數内減太虚弦較較為從一常法開平方得平勾此更不用明差叀差併也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□為髙弦也以自之得丨□□於上位内減髙股冪丨□□餘得□□為半徑冪寄左然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得下丨□□開平方得六十四步即平勾也合問
或問髙差平差併一百六十一步明差叀差併七十七步問答同前
法曰以前數自乘於上二數相併而半之以自乘減上位得數復自增乘為平實前數自之於上又以四之前數乘之寄位以前數自之於上併二數而半之以自乘減上位得數又以四之前數乘之按此下落又倍之三字減於寄位為從前數自之又四之於上又以四之前數為冪加上位權寄以前數為冪於上併二數而半之以自乘減上位得數復八之加上位又以四之前數為冪加入上位併以減於權寄為常法按或云二和併而自之又半之以減髙平共差冪又四之為常法亦同得平勾草曰識别得二位相併而半之得□即極差也立天元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股内又加天元得□□為極弦以自之得□□□於上内減極差冪一萬四千一百六十一餘□□□為兩段極積合以極弦除不除寄為母便以此為城徑以自增乘得□□□□□為圓徑冪内有極弦冪分母寄左然後以天元乘髙股又四之得□□又以分母極弦冪□□□通之得□□□□呔為同數與左相消得□□□開平方得六十四步即平勾也合問
或問見明和二百七步叀和四十六步問答同前法曰二和上下相減數同則止名為泛率又以二和直相減餘為泛實此則角差也乃以泛率除汎實所得為差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應者其泛率便為和率其泛實便為較率乘和率也若不相應則直取差率以消息之定為相管和率其勾股數少得見弦黄而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和二十九而其較一十一也此消息之大畧也餘皆倣此乃以和率約二和其明和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而半之則為勾率也既見勾股及差三率各以壘率乘之即各得勾股及差之真數也
按此用約分以勾股率數求之甚為省便然必兩數度盡而得數最小者方可用若兩數不能度盡或雖度盡而得數尚大者轉屬繁難故又設後法
又法二云數相併以自乘於上二之云數相乘又四之以相併以四分半乘之又四之以併入上位為從方以七十步零四分三釐七毫五絲為常法得叀小差四步
按此法未求實數其求從隅皆用本題數不可通用今依細草意另演一法於後亦惟二和數可以度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便法曰二和數相減自之為平方實叀和除明和得數自而倍之内減四之除得數再加二單數以乘二和相併之數為從除得數自而四之於上又以除得數自乘内減四之除得數外加一單數自之以減上位為常法得叀小差草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數大小差率並同又别得明小差叀大差俱為半虚黄也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大差也又為明小差又為半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□為明大差也其四差相併得□減於二和併得□□即兩段太虚大小差併也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圓城徑也以自增乘得□□□為徑冪寄左乃置叀和加半虚黄得□□為平勾又置明和内加半虚黄得□□為髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得四步即叀小差也合問
法曰先識别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘為實以四差共為法如法得半之虚黄方
草曰先置前後云數以約法約之得一十一即壘率也復各置前後數如壘率而一前得八即勾率也後得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二即見諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆為明叀所得之共數也乃立天元一為半虚黄便為明小差又為叀大差也以減於大差共得□□即明大差也又以減於小差共得□□即叀小差也以二數相增乘得丨□□寄左以天元冪與寄左相消得□□上法下實得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加於二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又為極黄方又為虚弦也又以三十六減於一百八十七餘一百五十一即明股叀勾共也此數内減虚弦餘□為明叀二差較也此名傍差以旁差減二弦共一百八十七餘得□即太虚和也却加入虚弦一百二併得□為太虚三事和即圓城徑也合問
又或以虚黄方加於上和共二百五十三得□為極弦也以旁差減極弦餘二百四十步亦同
又或前後副置勾股較和弦黄六率在地前以小差率二因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄得□即叀段各數也後以大差率九因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄得□即明段各數也既得明叀各數餘可知按此因明弦即皇極形勾弦差叀弦即皇極形股弦差故以小差率乘各率即得叀段各數以大差率乘各率即得明段各數也