測圓海鏡分類釋術卷五
元 李 冶 撰
明 顧應祥 釋術
通股與别弦測望一
圓城乙出東門東行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步見之復斜行五百四十四步與乙相㑹
釋曰此以通股邊弦立法測望甲從乾隅南行六百步通股也斜行乃天之川邊弦也術曰二行相減餘五十六為差 差乘南行得三萬三千六百又以半南行乘之得一千○○八萬為立方實 半南行以乘南行得一十八萬與差乘南行相併得二十一萬三千六百為從方 倍南行得一千二百為從廉作帶從廉減從方翻法開立方法除之得半徑
帶從廉減從翻法開立方曰置所得實于左以從方從廉約之初商一百 置一於左上為法 置一乘從廉得一十二萬以減從方餘九萬三千六百為從 置一自之得一萬為隅法併從方共一十○萬三千六百為下法 與上法相乘應除實一千○三十六萬實不滿法反除實一千○○八萬餘二十八萬為負積 倍從廉得二十四萬三因隅法得三萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商二十 置一於左上為法 置一乘從廉得二萬四千併入倍廉共二十六萬四千以減從方不及反減從方二十一萬三千六百餘五萬 四百為負從 置一乘廉法得六十 置一自之得四百為隅法 併方廉隅共三萬六千四百以減負從餘一萬四千為下法與上法相乘除實盡 此術改為以從廉添積開立方亦可後凡言帶從廉減從方翻法開立方法者俱倣此
出城東門外往南有樹甲從西北乾隅南行六百步見樹斜行五百一十步至樹下問城徑釋曰此以通股黄廣弦測望南行通股也斜行乃天之山黄廣弦也
術曰二行相減餘九十為差倍差以乘倍南行得二十一萬六千為實 差併南行倍之得一千三百八十為從二為隅算 作減從負隅開平方法除之得全徑
減從負隅開平方法見二卷通勾□勾條又曰倍差乘南行得一十○萬八千為實 差併南行共六百九十為從方作減從開平方法除之得全徑不用隅算
減從開平方法見二卷底勾□勾條
出城南門外往東不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城相叅直乃斜行四百○八步至樹下問城徑
術曰南行自之得三十六萬為南行筭兩行相乘得二十四萬四千八百倍之内減南行筭餘一十二萬九千六百為實 倍南行得一千二百為從作減從開平方法除之得半徑
減從開平方法見二卷底勾□勾條又術兩行相乘得二十四萬四千八百以減南行筭餘一十一萬五千二百為實 二為隅算 作負隅開平方法除之得全徑
負隅開平方法見一卷底勾底弦條下
圓城南門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城叅直斜行二百五十五步至樹下問城徑
釋曰此以通股上高弦立法測望甲南行為通股斜行為天之日上高弦也
術曰二行相減餘三百四十五為差倍之減甲南行餘九十以乘南行得五萬四千為實以倍差六百九十為從方 以二為隅算 作負隅減從開平方法除之得半徑
圓城南門外不知步數有槐一株東門外不知步數有栁一株有人從城外西北隅南行六百步望二樹與城東南角相叅直其槐栁斜相距二百八十九步問城徑
釋曰此以通股皇極弦立法測望南行為通股二樹斜相距步即皇極弦日之川也
術曰南行步與二樹相距步相乘又自之得三百○○億六千七百五十六萬為三乘方實 通股乘皇極弦筭倍之得一億○○二十二萬五千二百為從方 通股皇極弦相乘倍之得三十四萬六千八百為從一廉 倍皇極弦得五百七十八為從二廉 二為隅算 作帶從負隅以廉隅添積開三乘方法除之得二百五十五為皇極股
求城徑以皇極股弦求皇極勾得一百三十六 勾股相乘倍為實以弦除之得容圓全徑
帶從負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方實從方從廉隅算約之 初商二百 置一於左上為法 置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從加從方共一億六千九百五十八萬五千二百為下法 置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅 置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百萬為隅法 併益隅共三千九百一十二萬為益積之法以初商因之得七十八億二千四百萬為益實添入原積得三百七十八億九千一百五十六萬為通實以下法上法相乘除實三百三十九億一千七百○四萬 餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實 二因益從得一億三千八百七十二萬為益從方 三因益隅得六千九百三十六萬為益隅之方 三之初商乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉 四因隅法得六千四百萬為方法 初商自之六因又隅因之得四十八萬為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉 約次商得五十置一於左上為法 置一乘從廉得一千七百三十六萬為益從廉併益從方共一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為下法 置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬 置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅 併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實 置一乘上廉得二千四百萬 置一自之以乘下廉得四百萬 置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法 併方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之實共一億八千○三十九萬五千為益積之法以次商乘之得九十○億一千九百七十五萬為益實 添入餘積共一百二十九億九千四百二十七萬為通實以下法與上法相乘除實一百二十八億一千四百二十六萬餘一億八千○○一萬為二商之實 二因益從廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方 二因益隅之廉得三千四百六十八萬
三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅方得一億○八百三十七萬五千為益隅方併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉 二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法 併初次商自之六因又隅因之得七十五萬為上廉 併初次商四之隅因得二千為下廉 約三商得五 置一於左上為法 置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實 加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為下法 置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百 置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實 置一乘上廉得三百七十五萬 置一自之以乘下廉得五萬 置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法 併方上下廉隅共一億二千八百八十○萬○二百五十 加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為益積之法以三商因之得一十一億九千六百七十八萬六千為益實 添入餘積得一十三億七千六百七十九萬六千為通實 下法與上法相乘除盡又為以二廉隅減一廉從方開三乘方其法曰初商二百 置一於左上為法 置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從方併從方共一億六千九百五十八萬五千二百為從 置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅之實置一自乘再乘隅因得一千六百萬為隅法 加益隅之實得三千九百一十二萬為減實 以減從餘一億三千○四十六萬五千二百為下法與上法相乘除實二百六十○億九千三百○四萬 餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實二因益從之實得一億三千八百七十二萬為益從方 三因益隅之實得九千六百三十六萬為益隅之方三之初商以乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉 初商自之六因又隅因得四十八萬為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉 次商五十 置一於左上為法 置一乘從一廉得一千七百三十四萬為益從之廉併益從方得一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為從置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅 併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實 置一乘上廉得二千四百萬 置一自之以乘下廉得四百萬 置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法 併方廉隅得九千一百二十五萬加益隅之實得一億八千○三十九萬五千為減實 以減從餘七千五百八十九萬○二百為下法與上法相乘除實三十七億九千四百五十一萬餘一億八千○○一萬為三商之實二因益從方廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方 二因益隅之廉得三千四百六十八萬三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅之方得一億○八百三十七萬五千為益隅之方 併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉 二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法 併初次商自之十二因得七十五萬為上廉 併初次商八因得二千為下廉三商得五 置一於左上為法 置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實 加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為從 置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百 置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅 併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實 置一乘上廉得三百七十五萬 置一自之以乘下廉得五萬 置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法併方廉隅共一億二千八百八○萬○二百五十 加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為減實 以減從餘三千六百○○二千為下法與上法相乘除實盡右二法已見四卷通勾皇極弦下因其頭緒太繁故重出以便學者
丙出南門南行乙出南門東行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙悉與城相叅直既而丙欲就乙乃斜行一百五十三步相㑹問城徑釋曰此以通股明弦立法測望丙出南門而南為明股乙出南門而東為明勾丙之斜行就乙則明弦也甲南行六百通股也
術曰通股自之得三十六萬為通股筭又以通股乘之得二億一千六百萬 明弦乘通股筭倍之得一億一千○一十六萬 二數相減餘一億○五百八十四萬為立方實 倍通股筭得七十二萬 明弦通股相乘倍之得一十八萬三千六百 二數相減餘五十三萬六千四百為從方 通股六之得三千六百為從廉 六為隅筭 作帶從廉負隅以隅減從開立方法除之得半徑
帶從廉負隅以隅減從開立方曰置所得立實以從方廉約之初商一百 置一於左上為法置一乘從廉得三十六萬 置一自之又以隅因之得六萬為隅法 以減從方餘四十七萬六千四百 併從廉共八十三萬六千四百為下法與上法相乘除實八千三百六十四萬餘實二千二百二十萬 倍從廉得七十二萬 三因隅法得一十八萬為方法 三因初商得三百以隅因之得一千八百為廉法 次商二十 置一於左上為法 置一乘從廉得七萬二千加入倍廉得七十九萬二千 置一自之又隅因得二千四百為隅法 置一乘廉法得三萬六千 併方法廉隅共二十一萬八千四百以減原從方餘三十一萬八千 併入從廉共一百一十一萬為下法與上法相乘除實盡又為帶從方廉負隅以隅添積開立方法其法曰初商一百 置一於左上為法 置一自之以隅因得六萬與上法相乘得六百萬為益實添入積内共一億一千一百八十四萬為實 置一乘從廉得三十六萬併從方共八十九萬六千四百為下法與上法相乘除實八千九百六十四萬 餘實二千二百二十萬 三因隅法得一十八萬為方法 三因初商以隅因得一千八百為廉法 次商二十 置一於左次為上法 置一乘廉法得三萬六千 置一自之隅因得二千四百為隅法 併方廉隅共二十一萬八千四百與上法相乘得四百三十六萬八千為益實添入餘積共二千六百五十六萬八千為實 倍初商加次商得二百二十以乘從廉得七十九萬二千併從方共一百三十二萬八千四百為下法與上法相乘除實盡
後凡言帶從廉負隅以隅減從開立方法俱倣此或減從或添積隨意又術通股自之得三十六萬為通股筭又以斜行乘之得五千五百○八萬為立方實 通股明弦相乘得九萬一千八百與半通股筭相減餘八萬八千二百為從方 五分為隅法 作帶從負隅開立方法除之得三百六十為股圓差以減通股得城徑帶從方負隅開立方曰置實於左從于右約初商得三百 置一於左上為法 置一自之得九萬以隅算五分因得四萬五千為隅法 併從方共一十三萬三千二百為下法與上法相乘除實三千九百九十六萬餘實一千五百一十二萬 三因隅法得一十三萬五千 併從方共二十二萬三千二百為方法 三因初商得九百隅因得四百五十為廉法 次商六十 置一於左上為法置一乘廉法得二萬七千 置一自之隅因得一千八百為隅法併方廉隅共二十五萬二千為下法與上法相乘除實盡
後凡言帶從方負隅開立方法者俱倣此
丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙與城相叅直既而乙欲就内乃斜行一百○二步相㑹問城徑釋曰此以通股太虚弦立法測望甲南行通股也丙斜行一百○二步就乙太虚弦也術曰南行自之得三十六萬為通股筭以斜步乘之得三千六百七十二萬倍之得七千三百四十四萬為立方實 倍南行乘斜行得一十二萬二千四百
倍南行筭得七十二萬 二數相併得八十四萬二千四百為從方 四之南行得二千四百為益廉四步為隅算 作帶從負隅以從廉減從方開立方法除之得半徑
帶從負隅以廉減從方開立方法見四卷通勾□弦條下又為帶從負隅以廉添積開立方法法見四卷通勾太虚弦條下又術通股筭乘太虚弦倍之得七千三百四十四萬為立實 通股虚弦相乘得六萬一千二百 加通股筭得四十二萬一千二百為從方 以通股六百為益廉 五分為隅算 作帶從負隅以廉減從開立方法除之得全徑
法與前同或減從或添積隨意
東門外往南不知步數有石柱一箇乙出東門直行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望石柱與乙與城相叅直乙乃斜行三十四步至石柱下問城徑
釋曰此以通股□弦立法測望甲南行通股也乙斜行□弦也
術曰通股□弦相乘得二萬○四百 又以通股筭三十六萬乘之得七十三億四千四百萬為三乘方實 □弦乘通股筭三之得三千六百七十二萬為從方 通股筭内減去兩箇通股□弦相乘之數餘三十一萬九千二百為從一廉 倍通股得一千二百為第二廉 二為隅算 作帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方法除之得半徑
帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅算約之 初商一百 置一於左上為法 置一自之以乘二廉得一千二百萬為減廉以減從方餘二千四百七十二萬為從方 置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉 置一自乘再乘又以隅法因之得二百萬為隅法 併從方益廉隅法得五千八百六十四萬為下法與上法相乘除實五十八億六千四百萬 餘實一十四億八千萬 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉 初商四之又以隅因之得八百為下廉 約次商得二十 置一於左次為上法倍初商加次商得二百二十以乘二廉得二十六萬四千又併初次商得一百二十因之得三千一百六十八萬為減廉以減餘從不及減反減餘從二千四百七十二萬 餘六百九十六萬為負從
倍初商加次商為二百二十以乘從一廉得七千○二十二萬四千為益廉 置一乘上廉得二百四十萬 置一自之以乘下廉得三十二萬置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法併方法益廉上下廉隅法共八千○九十六萬減去負從六百九十六萬餘七千四百萬為下法與上法相乘除實盡此術已見四卷通勾明弦條下因後有翻減從不同故重出又為帶從方負隅以二廉添積開三乘方如前約初商一百 置一於左上為法 置一自之以乘從二廉得一千二百萬 與上法相乘得一十二億為益積添入原積共八十五億四千四百萬為實 置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉 置一自乘再乘又以隅算因之得二百萬為隅法 併從方益廉隅法共七千○六十四萬為下法與上法相乘除實七十○億六千四百萬 餘實一十四億八千萬倍益廉得六千三百八十四萬 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又隅因得一十二萬為上廉 初商四之又隅因得八百為下廉 約次商得二十置一於左次為上法 倍初商加次商為二百二十併初次商得一百二十相因得二萬六千四百又加初商自之一萬共三萬六千四百以乘從二廉得四千三百六十八萬與上法相乘得八億七千三百六十萬為益實添入餘積共二十三億五千三百六十萬為實 置一乘從一廉得六百三十八萬四千併倍益廉共七千○二十二萬四千置一乘上廉得二百四十萬 置一自之以乘下廉得三十二萬 置一自乘再乘以乘隅算得一萬六千為隅法併方法從方益廉上下廉隅法共一億一千七百六十八萬為下法與上法相乘除實盡又術曰半通股筭以乘通股筭得六百四十八億為三乘方實 通股自乘再乘得二億一千六百萬□弦乘通股筭得一千二百二十四萬倍得二千四百四十八萬 二數相併得二億四千○四十八萬為從方 □弦乘通股倍之為四萬○八百以減通股筭餘三十一萬九千二百為從一廉 以通股六百為從二廉 半步為隅算 作帶從廉負隅減從以二廉益從開三乘方法除之得三百六十為股圓差以減通股即圓徑帶一廉負隅減從以二廉益從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅約之 初商三百 置一於左上為法 置一乘從一廉得九千五百七十六萬為益隅之廉 置一自乘再乘以隅算半步因得一千三百五十萬為隅法算併益隅之廉共一億○九百二十六萬以減從方餘一億三千一百二十二萬為從 置一自之得九萬以乘從二廉得五千四百萬為益從 併入餘從共一億八千五百二十二萬為下法與上法三百相乘除實五百五十五億六千六百萬 餘實九十二億三千四百萬 倍益隅之廉得一億九千一百五十二萬 四因隅法得五千四百萬為方法 初商自之六因又以隅算因之得二十七萬為上廉初商四之又以隅算因之得六百為下廉 約次商得六十 置一於左次為上法 置一乘從一廉得一千九百一十五萬二千 併入倍益隅之廉得二億一千○六十七萬二千為益廉置一乘上廉得一千六百二十萬 置一自之以乘下廉得二百一十六萬 置一自乘再乘又以隅因之得一十○萬八千 併方法廉隅共七千二百四十六萬八千加益廉得二億八千三百一十四萬以減原從不及翻減從方二億四千○四十八萬餘四千二百六十六萬為負從 倍初商加次商得六百六十併次商得三百六十相因得二十三萬七千六百又加初商自之九萬共三十二萬七千二百以乘二廉得一億九千六百五十六萬減去負從四千二百六十六萬餘一億五千三百九十萬為下法與上次法六十相乘除餘實盡若不翻減乘出二廉併從方以從一廉隅法減之亦是
東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步立定乙出北門東行斜望樹及甲與城相叅直遂斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通股下平弦立法測望甲南行通股也乙之斜行下平弦也
術曰通股平弦相乘得八萬一千六百 又以半通股乘之得二千四百四十八萬為立方實 半通股乘通股得一十八萬併通股平弦相乘之數得二十六萬一千六百為從方 六百為從廉 作以從廉減從開立方法除之得半徑
帶從以廉減從開立方法見四卷通勾上高弦條下
邊股與别弦測望二
乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行六百八十步與乙相㑹問城徑
釋曰此以邊股通弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行通弦也
術曰二行相減餘二百為差 相併得一千一百六十為和 以差乘和減去差筭四萬餘一十九萬二千為實 和差相併得一千三百六十為從方 二為隅法作帶從負隅開平方法除之得半徑
乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直又斜行四百○八步與乙相㑹問城徑
釋曰此以邊股大差弦立法測望甲出西門南行邊股也又斜行就乙乃天之月大差弦也術曰二行相減餘七十二為差以乘甲南行得三萬四千五百六十為實 以斜行四百○八步為益從方作減從開平方法除之得半徑
減從開平方法曰初商一百 置一於左上為法置一減從方餘三百○八為下法與上法相乘
除實三萬○八百 餘實三千七百六十 從方内再減一百 商次位得二十 置一於左次為上法 置一減餘從 餘一百八十八為下法與上法相乘除實盡
乙出南門直行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行二百五十五步與乙㑹問城徑
釋曰此以邊股上高弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行就乙乃天之日上高弦也術曰倍斜行減南行餘三十以乘南行得半徑筭又曰斜行減南行餘自之得五萬○六百二十五為上高股筭斜行自之為弦筭二筭相減開其餘亦半徑
南門外往南不知步數有樹乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與樹正與城相叅直乙乃斜行一百五十三步至樹下問城徑釋曰此以邊股明弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下明弦也
術曰邊股内減二明弦餘一百七十四以乘邊股得八萬三千五百二十 明弦自之得二萬三千四百○九 二數相乘得一十九億五千五百一十一萬九千六百八十為三乘方實 邊股乘明弦筭倍之得二千二百四十七萬二千六百四十為從方 邊股減明弦餘自之得一十○萬六千九百二十九為從一廉 邊股減明弦餘倍之得六百五十四為從二廉 作帶從益廉以二廉減從開三乘方法除之得明勾七十二以勾弦求股得一百三十五以明勾股求容圓術求之得城徑
帶從益廉以二廉減從開三乘方曰以所得三乘方實以從方廉約之初商七十 置一於左上為法 置一自之以乘二廉得三百二十○萬四千六百為減從之廉以減從方餘一千九百二十六萬八千○四十為從 置一乘一廉得七百四十八萬五千○三十為益從之廉 置一自乘再乘得三十四萬三千為隅法 併從方益廉隅法共二千七百○九萬六千○七十為下法與上法相乘除實一十八億九千六百七十二萬四千九百餘實五千八百三十九萬四千七百八十為次商之實 四因隅法得一百三十七萬二千為方法
初商自之六因得二萬九千四百為上廉 初商四之得二百八十為下廉 次商得二 置一於左上為法 倍初商加次商得一百四十二以乘二廉得九萬二千八百六十八 又併初次商得七十二因之得六百六十八萬六千四百九十六為減從以減餘從尚餘一千二百五十八萬一千五百四十四為從方 倍初商加次商得一百四十二以乘從一廉得一千五百一十八萬三千九百一十八為益從廉 置一乘上廉得五萬八千八百 置一自之以乘下廉得一千一百二十置一自乘再乘得八為隅法 併方法從方益廉上下廉隅法共二千九百一十九萬七千三百九十為下法與上法相乘除實盡此法已見四卷底勾□弦條因此有重位故重出又為帶從方廉以二廉添積開三乘方法 法以類推
東門之南不知步數有樹乙出東門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望樹與乙與城相叅直乙復斜行三十四步至樹下問城徑釋曰此以邊股□弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹□弦也
術曰半□弦乘邊股得八千一百六十為實□弦邊股和半之得二百五十七為帶從方半步為隅法以帶從負隅開平方法求得□股三十 以□股乘邊股即半徑筭
帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條
乙出東門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行五百一十步㑹乙問城徑
釋曰此以邊股黄廣弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行乃天之山黄廣弦也
東門外不知步數有樹乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步見乙與樹與城相叅直既而乙斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以邊股下平弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下為川之地下平弦也術曰邊股自之得二十三萬○四百為筭 以平弦乘之得三千一百三十三萬四千四百為立方實以邊股筭為從方 平弦為從廉作帶從方廉開立方法除之得半徑
帶從方廉開立方法見四卷底勾下高弦條下
小差股與别弦測望三
甲從城外西南坤隅復往南行不知步數而立乙從城外東北艮隅南行一百五十步望見之乃斜行五百一十步就乙相㑹問城徑
釋曰此以小差股黄廣弦立法測望乙從艮隅南行小差股也斜行與甲㑹黄廣弦也術曰斜行自之得二十六萬○一百為黄廣弦筭倍南行以減斜行餘二百一十自之得四萬四千一百○二數相減餘二十一萬六千為實 倍南行以減斜行 餘四之得八百四十為從 八為隅筭作帶從負隅開平方法除之得半徑
□股與别弦測望四
甲出南門南行不知逺近而立乙出東門南行三十步見之却斜行二百五十五步與甲同立問城徑釋曰此以□股下高弦立法測望乙南行□股也斜行至甲處乃日之山下高弦也
術曰斜行自之得六萬五千○二十五為高弦筭斜行減南行餘二百二十五自之得五萬○六百二十五即高股筭 二筭相減餘一萬四千四百即高勾筭 即半徑筭
甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步見之遂斜行一百○二步與甲㑹問城徑釋曰此以□股太虚弦立法測望乙出東門南行□股也斜行就甲太虚弦也
術曰二行相減餘七十二為差以乘南行 又四之得八千六百四十 斜行自之得一萬○四百○四為虚弦筭 二數相併得一萬九千○四十四為平實平方開之得一百三十八為太虚勾股和加斜步即城徑
又曰倍虚筭減平實平實即和筭也餘一千七百六十四平方開之得較四十二減和半之為勾加和半之為股以虚勾股求容圓亦通