《益古演段》益古演段卷中

益古演段卷中

元　李冶　撰

第二十三問

今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半只云方面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少

答曰方面三十一步　圓徑二十一步法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□○二丨為方田積以十四之得下式□□□

為十四叚方田積於頭又立天元

圓徑以自乗為冪又以十一之得

太○□便為十四叚圓田積依密率合以徑

自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母

也以併入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也

依條叚求之十四之積步於上内減十四叚不及步冪為實二十八之不及步為從二十五步常法

義曰将此十四箇方冪之式

只作一箇方冪求之自見隅

從也

第二十四問

今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步只云方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少

答曰方面一十二步　圓徑四十二步

法曰立天元一為圓徑減穿步五十

四步得□丨為方田面以自増乗得

下式□□丨為方田積於頭位再立

天元圓徑以自之又三之四而一得

元○□為圓田積也併入頭位得□□□為一叚如積寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面

按法内所言倒積倒從即飜積法也盖初商積常減原積此獨以原積減初商積倍㢘常減従步此獨以従步減倍㢘乃平方中之一變也古法多用之今依數布算于後以存其式法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為

長與一濶又七分半之和即從數求

濶初商四十步以一濶七分半乗之

得七十步以減和數餘三十八步以

初商乗之得一千五百二十步為初

商積大扵原積反減之餘實七十一

步乃二因一濶七分半所乗初商之

數得一百四十步大扵和數反減之

餘三十二步為次商㢘次商二步以

一濶七分半乗之得三步半為次商

隅凡和數㢘隅相減此反相加得三

十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘積相減恰盡開得濶四十二步

依條叚求之穿步冪内減田積為實倍穿步為従一步七分半虚常法

義曰二之従步内元減了七分半

又疊了一步計虚却一步七分半

也

第二十五問

今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半只云方周大如圓周五十八步問方圓各多少圓依密率

答曰方周一百二十四步　圓周六十六步

法曰立天元一為圓周加周差五十

八步得□丨為方田周以自増乗得

下式□□丨為方周冪便是十六箇

方田積又就密率分母一十一之得

□□□為一百七十六叚方田積於頭又立天元圓周以自之為冪又就分一十四之得元○□為一百七十六叚圓田積依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得六十六步為圓田周也加多步見方周

依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步冪為實二十二之多步為從二十五步常法

義曰一百七十六之積步内

有一十一箇方周方一十四

箇圓周方也今畫此式其一

十四箇圓周方與一十一箇圓周方大小俱同者止為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求之其實自見也按十一方周冪十四圓周冪共積内減去十一不及冪餘不及步乗圓周長方二十二圓周冪二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也

第二十六問

今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步只云方周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少

答曰方周一百二十八步　圓周七十二步

法曰立天元一為圓周減於相和二

百步得□丨為方周以自乗得□□

丨為方周冪是十六箇方積也就分三之得

□□□為四十八叚方田積扵頭再

立天元圓周以自之又就分四之得元○□亦為四十八叚圓田積併入頭位得□□□為四十八叚如積數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周

依條叚求之三叚和步冪内減四十八之田積為實六之和步為従七益隅

義曰減時減過一箇方六之従步内又欠六箇方共虚了七步故以為益隅

第二十七問

今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方面不及圓徑一十二步圓依密率問面徑各多少

答曰方面三十步　圓徑四十二步

法曰立天元一為方面加不及一十

二步得□丨為圓徑以自之得□□

丨為圓徑冪以一十一之得下式□

□□便為十四箇圓積於頭再立天

元方面以自之又就分一十四之得元○□為十四箇方積也併又頭位得□□□為十四叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分一十四之得三萬二千四步與左相消得下式□□□平方開之得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也依條叚求之十四之真積内減一十一叚差步冪為實二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常法

義曰十四之積步内有一十

一箇圓徑方與一十四箇方

面方此式與第二十五問畧

同其一十一箇圓徑冪有十一箇方正當十一叚之其數自見也

第二十八問

今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方周不及圓周一十二步問周各若干圓依密率

答曰方周一百二十步　圓周一百三十二步法曰立天元一為方周加不及步一十二得太□丨為圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□

為一百七十六叚密率積扵頭再立

天元方周以自之為方積一十六叚

又就分一十一之得元○□便為一百

七十六叚方田積併入頭位得下式

□□□為一百七十六叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十萬二千三百三十六步與左相消得□□□開平方得一百二十步為方周加不及步即圓周也依條叚求之一百七十六之真積内減十四叚差步冪為方實二十八之差步為従二十五常法

義曰所減數乃十四叚不及

步冪也

第二十九問

今有方圓田各一叚共計積一千四百四十三步只云圓周大如方周方圓周併得一百九十八步問二周各多少

答曰方周九十六步　圓周一百二步

法曰立天元一為方周減共步一百

九十八得□丨為圓周以自増乗得

□□丨為十二叚圓田積四之得下

□□□為四十八叚圓田積扵頭再

立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得元○□便為四十八叚方田積併入頭位得□□□為四十八叚如積寄左然後列真積一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六萬九千二百六十四與左相消得□□□開平方得九十六步為方周也減於併數見圓周也依條叚求之四叚共步冪内減四十八之積為實八之共步為従七益隅

義曰八之從内合虚八箇方今見有一箇方外只虚了七步方也

第三十問

今有圓田二叚一叚依圓三徑一率一叚依密率共積六百六十一步只云二徑共相和得四十步問二徑各數

答曰密徑一十四步　古徑二十六步法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□

□□合以四約之又就分母七之得

□□□為二十八叚古圓積於頭再

立天元密圓徑以自之又二十二之

得元○□為二十八叚密圓積也併入

頭位得□□□為二十八叚如積寄左然後列真積六百六十一步就分二十八乗之得一萬八千五百八步與左相消得□□□平方開之得一十四步為密圓徑以減和步即古徑也

依條叚求之二十一叚和步冪内減二十八之田積為實四十二之和步為從四十三步虚常法

義曰其二十八之田積内有古

積二十一叚密積二十二叚元初

減時減過一叚又併從步内合

除之數計虚却四十三箇方也

第三十一問

今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云從外田角斜通内池徑七十一步外田闊不及長九十四步問三事各多少

答曰圓池徑一十二步　田長一百二十六步闊三十二步

法曰立天元一為内圓徑以減倍通

步一百四十二步得□丨為直田斜

以自乗得□□丨為兩叚直田並一

叚較冪扵頭再置闊不及長九十四

步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨為兩叚直積數寄左再立天元圓徑以自之為圓徑冪三之二而一得元○□為兩箇池積數加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與寄左相消得□□□平方開之得一十二步為圓徑也

依條叚求之倍通步為冪内減二之見積一箇較冪為實四之通步為從半步常法

義曰従步内少一箇圓徑冪其

漏下底二箇圓池共一步半今

将一步補了従步合除之數外

猶剰半步故以為常法

第三十二問

今有圓田一叚中心直池水占之外計地五千三百二十四步只云併内池長闊與外圓徑等内池闊不及長三十六步問三事各多少

答曰外田徑一百步　内池長六十八步　濶三十二步

法曰立天元一為外圓徑以自乗

三因四而一得元○□為圓積内減

了見積五千三百二十四步餘得

□○□為水池直積也以四之得

□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為直積和步以自之得元○丨為四積一較冪内減了池較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積與左相消得□○□平方開之得一百步為外圓徑也闊不及長減圓徑餘折半見闊却以不及步加之即長也

依條叚求之四積内減較冪為實從空二步常法

義曰四之

圓積内有

四箇水池

又扵見積内減了一箇池較冪相併恰是一箇和冪也今来池和與圓等共和冪恰是一箇圓徑冪也除外有兩箇方

第三十三問

今有圓田一叚中心有直池水占之外計地七千三百步只云併内池長濶少田徑五十五步闊不及長三十五步問三事各多少

答曰田徑一百步　内池長四十步　闊五步

法曰立天元一為外圓徑自之

得數又三之四而一得元○□為

外圓田積也減見積七千三百

步得□○□為内池積也以四

之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑内減少徑步五十五得□丨為池和也以自之得□□丨為四池一較冪内減池較冪一千二百二十五步得□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開之得一百步為圓徑也内減少徑即水池和步内加一差即為二長若減一差即為二闊也

依條叚求之四之積步内減池較冪却加入少徑冪為實二之少徑為從二步常法

義曰四池并所減

底箇較冪恰是一

箇和自之

舊術下積步四之於頭位又以少徑步自乗加頭位内却減闊不及長冪餘折半為實用少徑為従一步常法

第三十四問

今有圓田一叚内有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及長三十五步問三事各若干

答曰圓田徑一百步　池長六十步　濶二十五步

法曰立天元一為外徑内減倍

至步三十五步得□丨為池斜

以自之得□□丨為二積一較

冪於頭又列闊不及長三十五

步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積内減四之見積二萬四千步得下式□○□亦為四箇池積也與左相消得□□丨平方開得一百步為外田圓徑也圓徑自之又三之四而一内減見積餘為内池積也又用差步為従開方見池闊也

依條叚求之四之見積内加八叚至步冪却減兩叚闊不及長冪為實八之至步為従一步常法

義曰四箇圓積内

有四箇虚直池於

積内又減了兩叚

闊不及長冪合成兩箇池斜冪也八箇従步内貼入八箇斜至步冪其數與圓徑正相應也外恰有一步方

第三十五問

今有圓田一叚中心有直池水占之外計地五千七百六十步只云從外田東南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池闊不及長三十四步問三事各多少

答曰外圓田徑一百二十步　池長九十步　闊五十六步

法曰立天元一為角斜加通步

得□丨為圓徑以自之得□□

丨為圓徑冪又三之得□□□

為四叚圓田積也内減了四之

見積二萬三千四十步得□□□為四叚内直池寄左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□丨為池斜冪於頭又列長平按平即闊較三十四步以自之得一千一百五十六步以減頭位餘□□丨為二池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得□□丨開平方得七步為角斜也

依條叚求之四之積步内減兩叚闊不及長冪又減一叚通步冪為實十之通步為従一步隅法

義曰兩箇較冪併

四箇池積該兩箇

斜冪也於四箇圓

積内減此兩箇斜冪外更減了一箇通步冪恰是十之從外有一步常法也

第三十六問

今有圓田一叚中心有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池長闊共相和得八十五步問三事各多少

答曰外田徑一百步　池長六十步　闊二十五步

法曰立天元一為内池斜加入

倍至步三十五得□丨為外圓

徑以自之又三之得□□□為

四叚圓積也内減四之見積二

萬四千步得下□□□為四箇池積寄左乃置内池和八十五步以自之得□為四積一較冪於頭再立天元内池斜以自之得元○丨為二池積一較冪以減於頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦為四池積與左相消得□□□平方開得六十五步為内池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一内減去田積餘實以和步為從一虚隅開平方見闊也依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減十二叚至步冪為實十二之至步為從五步常法

義曰所加兩箇和

冪該八積二較冪

數内元有四虚池

外有四積二較冪其實只是添了兩箇池斜冪也於四圓積内除従步占外元有三箇方今又加入兩箇池斜冪共得五步故五為常法

第三十七問

今有圓田一叚中心有直池水占之外計地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池長闊共相和得一百二十七步問三事各多少

答曰圓田徑一百二十步池長一百一十二步闊一十五步

法曰立天元一為角斜加通步

一百一十六步半□步丨為圓

徑以自之得□□丨為圓徑冪

以三之得□□□為四叚圓田

也内減四之見積三萬六千四百八十步得□步□□為四叚内池積寄左再立天元角斜以減通步得□步丨為内池斜以自乗得□步□丨為二積一較冪於頭又列池和步以自乗得□内減頭位餘得□元□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池積與左相消得□步□□平方開之得三步半為角斜也加通步為圓徑

依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減五箇通步冪餘為實二之通步為從五步為常法

義曰兩箇和冪内虚了四池只是兩箇池斜冪今将兩箇池斜冪減於兩箇通步冪止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步冪併以減於四之見積外實在兩箇通步從五箇方也

第三十八問

今有水旱田各一叚共計積二千六百二十五步只云水田長闊共一百步其旱地闊不及長三十五步而不及水地闊十步問水旱地長闊各若干

答曰水地長七十五步　闊二十五步　旱地長五十步　闊一十五步

法曰立天元一為旱地闊加旱

闊不及水闊一十步得□丨為

水地闊以減水田長闊共一百

步得□丨為水田長也以水田長闊相乗得□□丨為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步得□兀丨為旱田長也以天元乗之得太○□丨為旱田積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然後列真積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長三十五步為旱田長也又扵旱闊内加不及水地闊一十步為水地闊也以水地闊減於水田長闊一百步餘為水田長也

依條叚求之以水田共步乗二闊差於頭位以二闊差冪減頭位得數復以減於田積為實列水田共步加入旱地長闊差内却減兩箇二闊差為法

義曰其水田闊二十五步為法内元多一箇水旱二闊差數又積步内減了一叚旱闊為長二闊差為平底直積是又虚了一箇水旱二闊差數故於法内減去兩箇闊差也

按此條圗與義不合盖𫝊寫之誤也今仍存舊式另擬圖義扵後以明之

義曰水田長闊共步乗二闊差

内減差冪即附水田周一磬折

積也以減共積餘同旱闊之兩

長方共積為實其水田長闊比原數各減一闊差扵此長闊和内加旱田長闊較即兩長方之共長故為法即得旱田闊也

第三十九問

今有直田一叚内有圓池水占之外計地三十九畆一分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各九步問三事各多少

答曰田長二百三十四步　闊四十二步　池徑二十四步

法曰立天元一為内池徑加二之邊

至一十八步得□丨為田闊又置天

元池徑加二之頭至二百一十步得

□丨為田長長闊相乗得下式□□

丨為直田積於頭再置天元徑以自之又三之四而一得○□為内池積以減頭位得□□□為一叚如積數寄左然後列真積三十九畝一分半以畝法通之得九千三百九十六步與左相消得□□□開平方得二十四步為内池徑也加二之邉至步為田闊若加二之頭至步即田長

依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為實併一頭一邊步又倍之為從二分半常法

義曰此問與第一問條叚頗同但所減

者為四箇小池積按池當作隅

第四十問

今有直田一叚中心有圓池水占之外計地四畝五十三步只云外田長平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步問外田水池徑各多少

答曰田長五十步　闊二十六步太　池徑二十步太法曰立天元一為内池徑加倍角至步三十六得□丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪便是二積一較冪也

又九之得下式□□□為十八積九

較冪也寄左列和步七十六步太按太

即三分步之二通分内子得□以自之得五

萬二千九百步為九叚和冪於頭為九

叚和冪者元帶三分母以自之得九也此九叚和冪該三十六直積九箇較冪也又置天元圓徑以自之又三之四而一得元○□為一叚圓積也加入見積一千一十三步得□○□共為直積一叚又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平方開之今不可開按不可開者謂㢘隅數多而得數又不能盡也先以隅法二十二步半乗實二萬三千單二步得五十一萬七千五百四十五步正為實元従六百四十八負依舊為従一益隅平方開之得四百六十五步以元隅二十二步半約之得二十步三分之二為内池徑也加倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之於頭位以和步冪減頭位餘以平方開之即田較也加入和步折半為長若減於和步折半為闊也依條叚求之列相和步自乗為冪内減倍積及四叚至步冪為實四之至步為從二步半常法

義曰和步冪内減了二直積只

有一叚斜冪也減二直積時漏

下兩箇圓池該一步半又正有

一步共計二步半常法也　求

較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三箇徑也加入六之至步一百八步得□便為三箇田斜也以自之得□為九叚斜冪便是十八箇直積九箇較冪倍之得□為三十六叚田積一十八叚較冪於頭再置和步七十六步太□亦帶三分母便為三箇和也以自之得□為九叚和冪便是三十六直積九較冪也以減頭位餘□為九叚較冪也平方開之得七十步以三約之得二十三步三分步之一為田較也欲見田長闊及斜者准此法求之　又法求圓池徑者立天元一為三箇内池徑以自之得元○丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積也加十二叚見積得□○丨為十二叚直積又身外加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□為和冪九叚便是直積三十六叚較冪九叚也内減頭位得下式□○□為九叚斜冪數寄左再置天元圓徑加六之角至步一百八步得□丨為三箇田斜以自之得□□丨亦為九叚斜冪也與左相消得□□□開平方得六十二步為三箇圓池徑也以三約之得一箇圓徑二十步三分之二此名之分天元一術前法乃連枝同體術也按分天元一術即天元一内帶分求之得數而後約之連枝同體術即通分開方得數而後約之皆兼通分之法也

第四十一問

今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田長闊相和得一百五十八步問三事各多少答曰圓徑十二步　田長一百二十六步　闊三十二步

法曰立天元一為内圓徑以減倍通

步一百四十二步得□丨為田斜以

自之得□□丨為二積一較冪於頭

又立和步一百五十八步以自之得

□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄左又立天元池徑以自之又三之二而一得元○□為兩箇池積也加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開之得一十二步為内池徑也

依條叚求之二之積步内加四叚通步冪却減一叚和步冪為實四之通步為従二步半虚常法

義曰減一和步冪是減四積一

較冪也四之通步冪内減了一

箇斜冪却又減過二箇直積故

二之積步加之従内欠一箇方

減二積時漏下二箇圓池又該欠一箇半方共欠二步半虛常法也

第四十二問

今有直田一叚中心有圓池水占之外計地一萬八百步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不及長七十步問二事各多少

答曰田長一百五十步　闊八十步　圓池徑四十步

法曰立天元一為内池徑加倍至一

百三十步得□丨為田斜以自之得

□□丨為田斜冪於頭又置田較七

十步以自之得□為較冪以減頭位

得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身外加五得元○□為兩箇池積也加二之見積二萬一千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□開平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一加入見積為實以闊不及長為従開方得田闊依條叚求之二之田積内加較冪却減四叚至步冪為實四之至步為従半步虚常法

義曰二積内加一箇較冪恰補

就一箇斜冪也其二積内有兩

箇圓池是元虚了一步半方也

扵積内却實有一步除外止虚了半步也

益古演段卷中