同文算指通編卷七
明 李之藻 撰
積較和相求開平方諸法第十四凡平方長濶不等以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相併為和
凡以積和求較者以和自乗以積四因相減開其餘得較
假如直田積八百六十四步長濶和六十步求長多濶幾步者用和自乗得三千六百又四因直積得三千四百五十六以少減多餘一百四十四平方開之得差一十二步
右開法見前不重列所以和自乗又四因直積者葢和自乗有四段直田積一段差方積故以四積減和乃剰下差方一段以取方面見步有圖在後比類如有金八百六十四兩數人分之只云人數與各得銀數共六十其差幾何銀數爲濶人數爲長得三十六人毎人二十四兩
凡以積較求和者四因實積又以差自乗併入開平方除之得和
假如直田積八百六十四歩濶不及長一十二歩求長濶和共幾歩者以積歩四因得三千四百五十六以較自乗一百四十四相併三千六百開方得長濶和六十歩
右四因積有四長四濶縱長三十六步横列之于外又較自之一段居中故開方得和其用和自乗者得此圖全數外兼四積内兼較自乗故除積得較
比類金八百六十四兩只云錠數不及兩數十二求錠與兩共若干兩數爲長錠數爲濶得錠與兩共六十
若夫積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積内抽減其長之積故其法有二其一以較為縱方併縱入方謂之帶縱開平方其一以較為減積以方乗減謂之減積開平方積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二其一以較為負縱乗上商以添積謂之負縱益積開平方其一以較為減縱而以負縱減方法謂之帶減縱開平方積與和求濶者以和為縱方一為負隅和併一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅或益負隅於積或減負隅於縱皆可以求其濶也其益隅於積者乗負隅為方法又乗方法以益積是為帶縱益隅開平方其減隅於縱者乗負隅以減縱命餘縱以除實是為帶縱負隅減縱開平方
積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減餘者以除積而積常不足則翻以積減縱而餘為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而餘積縱三者俱負乃以負縱約餘負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方右縱方六術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮也此外有積與二濶較及長濶較求濶者則有所謂帶縱減積開平方有以大小二方和積求徑者則有所謂減積帶縱負隅併縱開平方有以方圓二徑虚設相同及積求其實徑者則有所謂隅算開平方至於匿其積實而虚張長濶和較之數互求長濶者則又有所謂帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱開平方減積帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱益實開平方帶縱廉開平方帶縱廉負隅開平方帶縱方廉開平方帶縱廉負隅乗縱減實開平方皆以帶縱諸法錯綜為用以御開方諸積之變神明變化存乎當機初不可一途而取今每則畧著數例以便初學帶縱開平方法積較求濶
有勾股積若干平方開之第云勾不及股若干用加法帶除其股積餘為開方名帶縱開平方法列實點定開位亦列所不及為縱數于下以首位隨首點下須于縱上空一横行以容商除初商若干紀格右亦以商數併縱數列首點下有小數者照常退位排之次第呼乗以除實數但所商數須與帶縱相照若縱數多則減商數就之不盡之數再倍作廉法然倍方不倍縱亦併入帶縱商之假如有直田積八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾步列實定位以帶縱二一隨首位列之初商二紀格右亦列首點下以併帶縱一共三乃變壹貳註三 相呼二三除六 三上捌變二二二除四 貳上陸變二完首段餘實二百二十四步次倍二作四為廉法挨退位下亦列帶縱以廉四併縱一其下列五次商四紀格右亦註末位點下為隅法以併隅二下註六乃相呼除先呼五四除二十進抺二又呼四六二十四恰盡得濶二十四步
比類給銀八百六十四兩只云所得銀之兩比得分人數多一十二兩求總是幾人每人各得銀幾兩銀多為長人少為濶得銀兩數二十四人數三十六假如二十三萬○四百為實帶縱七百二十初商可用四數因有帶縱七乃減商作二紀格右亦紀首點下為隅以併帶縱七共九乃變二七作九是為二九與右二疉呼除之 二九一十八 九上叄變五進削貳本位下削九 次以右二乗二除四用借法 二上○變六 進位五變四本位下削二次倍二作四為廉法列次點之進位○下另列帶縱數于廉下以待商除次商四紀格右亦註次點四下為隅法而以帶縱及廉法併入除之四七併一十一廉下變一 進位亦加一 四二
併得六隅下變六乃以右四呼首一 一四除四 一
上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六變二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 進位除二恰盡因尚餘一點于右加一○
右平方二百四十帶縱共九百六十若實數首位寡而帶縱數多不能併累開方者雖點段在首位亦退一位列商及列帶縱而減一商假如列實一萬六千一百卄八帶縱七十二點段該將左首位商起因帶縱是七即減一商置次點下 初商九紀格右亦註次點之下併帶縱七共一十六乃改七九作六進位置一為方法與商九相呼 一九除九 一上陸變七進抹一六九五十四 六上壹變七進位七變一 二九一十八 二上貳變四進位七變五次倍九得一十八為廉法叧退一位置帶縱再商六紀右亦註末點下為隅法而併廉法帶縱呼除如前得濶九十六帶縱七十二共長一百六十八
假如列實三萬八千四百帶縱二百首位三自為一段初商一紀右亦紀一于首位下併帶縱二得三乃以貳變三與右一相呼一三如三徑除叄次倍一作二為廉法以註初商之次位以併帶縱得四註縱下如前再商二以紀右亦以註第二點下俱與右二相呼先呼二四如八徑除捌又呼二二如四徑除肆外尚剰一點該于格右加○右開方一百二十縱三百二十若點段開位少而帶縱之位反多如開位三點只該百而帶縱乃至千之類以初商置首點下而以帶縱大數進位列之必首段係二位者方有此例
假如列實一十九萬八千帶縱一千五百三十只點作三段其開數止有三位初商只是百數而所帶乃踰至千此其併縱亦須以百隨百以千進一位 初商一紀右亦註首點之下併帶縱五得六另改註其下先以右一與縱一呼之一一除壹次以右一呼併六 一六如六六上玖變三 次以右一呼縱三三上捌變五完首段 乃倍初商之一作二為廉法註初商之次其帶縱亦于次位列之列五百于廉下二五併得七另註七于下一千進位再商二紀右亦註次點下以併三得五另註五乃以遞呼 先呼一二如二 一上三變一 再呼二七一十四 七上五變一 進除一 又呼二五得一十恰盡外尚餘一點右加○
右開方一百二十縱一千六百五十帶縱併商數有共一十者進位照式呼除第一圖亦有此假如列實七萬二千帶縱四百八十點在首位初商一紀右亦註點下併縱四得五註于下以呼一五除五四上㭍變二 再呼一八除八 八上貳變四進位二變一乃倍初商之一作二為廉法註次位其下另列帶縱以二併四得六註于下次商二紀右亦註次點之下以相呼除 二六除一十二 六上四變二進削一商二併縱八得一十進位註一本位註○以相呼除一二除二恰盡外餘一點加○于右
右開方一百二十縱六百若實數縱數商除數俱多雜糅易淆者務須先將帶併之數逐一歸併停當各註其本位之下乃以呼除大抵只據最下一字為準則不淆亂假如列實一十六萬六千四百六十四帶縱一千○八十八先點定該開三位訖其帶縱低二行列之以便填商置初商于第二位點下以帶縱之千進一位列之初商是百故帶縱之千進位與前法同初商一併入為一千一百八十八以初商一紀右相呼首位呼一一如一以削壹 次位呼一一如一 一上陸變五三位呼一八如八 八上陸變八 進位五變四 四位呼一八如八 八上肆變六進位八變七畢一段以上甚簡倍初商之一作二為廉法註次位下另列帶縱數併得一千二百八十八次商三紀右亦註次點下併入以商三併縱八得一十一註一于八下又註一于進位廉二之下以商縱一併廉二得三另註三于廉二之下併畢其併註數多認定最下字為主以與右相呼首位呼一三如三一上四變一次位呼三三如九三上七變八進削一第三位呼一三如三 一上六變三第四位呼三八二十四 八上陸變二進位三變一畢二段以上除過一十五萬八千三百四十餘實八千一百二十四未盡又倍前商之一三作二六為廉法空末位之點以待隅法而以六註二下右第二位以二註一下右第三位另列
帶縱數以相併
乃以廉六併縱
八共一十四系
四于八下一進
位又以一併廉
二共得三系于其下乃商六紀右亦註末位下又以併縱八共一十四註四于末位下一進位四下改作五併訖以最下字與右相呼一六除六 一上八變二 三六一十八 三上一變三進除二 五六三十進除三四六二十四除恰盡
勾股積若干勾不及股亦有減積法減積者於實内減股之積以就其方也列實定位另列不足數為減積以商乗減積以所乗出之數列原積下對減視餘實若干以所商依法除之有未盡者倍方為廉約得再商别置為隅亦乗減積以減餘實乃倂廉隅除之假如直田八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾何列實點位如前另列不及一十二為減積以初商乗之初商可用三因有乗數故約用二紀右亦註首位下以乗減積得二十四隨位列之相對減原積二上捌變六 四上陸變二餘實六百二十四乃以方法呼除 二二除四二上六變二餘實二百二十四次倍二作四為廉法註退位再商得四紀右亦紀末位為隅法以乗減積得四十八亦相對減餘實四上二變八進位二變一 八上肆變六進位八變七乃以方廉呼除 四四除十六 四上七變一進削一又以方隅呼除四四除一十六恰盡得濶二十四步假如直積一千七百五十濶不及長一十五問濶幾何列實定位叧列不及為減積初商三紀右亦註首點之下為方法以乗減積得五四隨方法之位列之以減原積四上㭍變三 五上伍變○ 乃以方法除之 三三除九 四上三變四進削壹餘實四百次倍三作六為廉法註退位再商五紀右亦註末位為隅法以乗減積得七十五對註以減餘實五上○變五 七上○變二 進位四變三尚餘三百二十五皆與次商相呼五六進除三 五五二十五恰盡得廣三十五
假如直積一十六萬七千四十濶不及長一百三十二求濶幾何列實定位另置不及為減積初商三紀格右亦註首點下以乗減積得三百九十六隨首點列位對減 六上○變四因有借故進位仍七 三上陸變二餘實一十二萬七千四百四十乃以方法開之三三除九 三上二變三進削壹餘實三七四四○次倍三作六為廉法註退位商實得四紀右亦註次段點下為隅法亦乗減積得五百二十八退前積一位列之對減八上肆變六二上四變一五上七
變二仍餘三二一六却以廉隅呼除四六二十四六上二變八進削三四四一十六 四上
一變五進位八變六尚餘六五六○乃倍三四作六八為廉法挨尾點一位列之再商得八紀右亦註尾下為隅法又乗減積得一千五十六挨尾位列之對減六上○變四 五上六變○一上六變五仍餘五
五○四乃以廉隅呼除六八四十八 六上五變七進削五 八八六十四 八上○變六進削七又八八六十四恰盡得濶三百四十八負縱益積開平方法積較求長有勾股積若干勾不及股為較以積及較求股而勾少於股則益積以補勾名負縱益積開平方列實定位另置所不及數為負縱以商乗負縱虚增其積而後以方法開除不盡者倍方為廉又以再商乗負縱増積而另置一算為負隅以再商乗負隅為隅法置於廉次以商呼廉隅除盡
假如直積八百六十四濶不及長一十二求長幾何列實定位叧列不及十二為負縱而初商則約所増負縱之乗命之如首位捌開法宜用二因有負縱之乗乃商三紀右亦註首位下為方法而以乗負縱得三十六註三於首位註六於次位以併原積六上陸變二 三上捌變二 進位置一益積得數一千二百二十四乃以方法呼除三三除九 三上二變三餘積三二四又倍三作六為廉法另商六紀右以乗負縱得七十二退位列之添積二上肆變六七上二變九共積三九六而另置一算為負隅以次商六乗之仍得六為隅法乃併廉隅呼除六六三十六 六上九變三進削三又呼六六三十六恰盡得長三十六
假如直積二十三萬四百長濶較七百二十求長幾何列實亦列較為負縱初商九紀右亦註首點下為方法以乗負縱得六四八以益積 八上○變八 四上叄變七六上貳變八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七變六進削八餘實六八肆○○乃倍九作八一為廉法註八於次隅之進位又註一於進位次商六亦乗負縱得四三二以益餘積二上肆變六 三上八變一 四上六變一 進位置一共得一一一六○○又以次商六乗負隅一仍得六註本段點下為隅法乃以廉隅呼除一六除六 一上一變五進削一 六八四十八 八上一變三進削五 六六三十六恰盡得長九百六十帶減縱開平方積較求長
凡以較及積求股者股長於勾亦有損股之長以就其方者名減縱開平方列實定位列較為減縱以減初商而以所減之餘即乗初商以開之其次商又即以初商併入為廉法而商之置隅如常假如直積八百六十四濶不及長一十二求長若干列實叧置不及一十二為負縱初商三十因有二點故知三十置右另以負縱減之餘一十八挨註首位點下為方法以呼所商三八二十四 八上陸變二 進位捌變六 一三除三一上六變三 餘積三百二十肆乃于右三加○以併方法一十八共四十八為廉法註退位再商六紀右亦註隅而併入廉法共五十四而六八併改四進位四改五以呼次商五六三十五上進位削三 四六二十四恰盡得長三十六 其次商若不以隅相併亦同前法
呼四六二十四 四上二變八 進位削三 六八四十八 八上肆變六進位八變三 又置隅法於尾位六六三十六恰盡
只就本段積
比類以金換絹八百六十四匹不知金一兩換絹幾匹但云原金總兩多於絹數十二今求原金幾何如長絹匹如濶得金三十六兩其所換匹數即直積也假如直積三千四百五十六濶不及長二十四求長幾何列實定位另置較二十四為負縱初商七十因有二點故知七十紀右以負縱減之餘四十六挨註首位為方法四多于三照例退位與商相呼 四七二十八 四上肆變六進削叄 六七四十二 六上伍變三進位六變二 餘實二百三十陸乃於右七加○以併四十六共一百一十六為廉法列於下續商得二改右○為二亦註尾位為隅法併入廉法呼除一二為二 一上削二又一二為二 一上三變一 二八一十六恰盡得長七十二又有兩方共積若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干問大小方面各幾何者倍乗積以減共積以所餘積為實開方得較再置二方乗數為實以較為減縱開平方除之得大方面以較減之得小方面假如大小方田二段共積六千五百二十九步以小方大方各一邊相乗得三千一百二十步求大小方面幾何者倍二方乗積得六千二百四十步以減共積餘二百八十九為實以開平方法除之得較一十七步再置二方乗數三千一百二十步為實以較為負縱初商六十紀右以負縱減之餘四十三註下為方法以呼所商四六二十四 四上壹變七進削叄三六一十八 三上貳變四進位七變五餘實五百四十乃於六右加○以併方法共得一百零三為廉法列下續商五紀右亦註尾位為隅法併入廉法共一百零八以相呼 一五除五五八四十恰盡得大方面六十五步以較一十七減之得小方面四十八步帶縱益隅開平方法積和求濶凡積和求濶者用其和為帶縱則已兼長濶而積有長無濶故虚置一積為負隅而以負隅益積即以帶縱開之得濶數名帶縱益隅開平方列實定位另置帶縱數以初商紀右用自乗以益原積是為負隅而以所商呼縱方除之不盡者倍商為廉註退位又再商紀右亦註廉次為隅法廉隅併數以乗所商益積乃用商呼縱方若不盡須再商者則以後廉併前廉餘如前法除盡得濶數
假如直積八百六十四長濶和六十求濶幾何置積為實以和為帶縱初商二紀右亦註首位下自乗得四以益積共一千二百六十四乃以初商乗帶縱二六一十二 二上削二進削一餘實六十四倍方為廉得四註次位次商四紀右亦註尾位為隅法以乗廉法得一十六併入餘實四上陸變二進加二亦以乗隅法尾位肆變○進位二變四共二百四十而以次商呼帶縱恰盡得濶二十四二積共一千
四百四十步
以帶縱六十
除之得濶二
十四步
假如直積二萬一千六百四十八長濶和二百九十六求濶幾何列實定位置和為帶縱初商一列右為方法亦註首位下自乗仍得一以益積首位貳變三乃以方法與帶縱相呼除實首位三變一 次位壹變二進削一退位陸變○餘實二千○四十八倍方為廉得二註退位次商三紀右為方法亦註廉次為隅法共三二以乗方法得六十九益入本段餘積三上○變九 二上二變八共得八九四八乃以方法呼帶縱除之二三除六二上八變二 三
九二十七 三上九
變二進削二 三六
一十八退位四變六
進削二餘實六十八
又倍方法之三為六
作廉法註退位倂入
前廉二共二百六十所以倂入前廉者盖一方外必具兩廉故為方法再商二紀右亦註尾位為隅法併入方法共 以乗所商二得五百二十四以併餘積尾位八變二進位六變九進位加五乃以所商二與帶縱呼除恰盡得濶一百三十二歩
假如直積三千四百五十六步長濶和一百二十步求濶幾何列實以和為帶縱初商四紀右為方法亦註首點下自乗得一十六益積四上肆變○進位叄變五乃以方法呼帶縱一四除四首位五變一二四除八退位○變二進削一尚剰二百五十六次倍方四得八為廉註次位續商得八為方法紀右亦註尾位為隅併入廉法得八八而與方法八相乗共七百四以益餘實尾位陸變○進位伍變六 進位二變九乃以所商八呼帶縱恰盡得濶四十八步帶縱負隅減縱開平方積和求濶積濶求和若難以益隅開之者即用減隅法而減負隅於縱名帶縱負隅減縱開平方列實定位列和為帶縱置一為負隅初商紀右乗負隅以減帶縱列減餘於實下而乗所商以開之不盡者倍方為廉以廉減縱次再商紀右亦減餘縱而以其減餘乗商除盡得濶數假如直積八百六十四長濶和六十求濶列實定位另列和為縱方初商二紀右亦紀首點下以乗負隅一仍得二為方法以減縱數陸剰四隨首位註之以呼初商二四為八二上削捌餘實二十四倍方法之二作四為廉法註初商之次位亦乗負隅得四以減縱剰二十註退位次商四紀右亦註末位為隅以減餘縱之二十餘一十六附註乃與右四相呼先呼一四除四 一上陸變二再呼四六二十四恰盡得濶二十四亦有初商除實訖即以初商再減剰縱以所餘為縱方而即以再商再減為下法者前法倍初商為廉以減原縱此即以初商減剰縱不立廉數然已將原縱再減以應兩廉之數與倍商同初商除實八百訖即將初商之二十再減餘縱四十剰二十退位列之次商四以減餘縱二十尚剰一十六呼除如前
右得廣二十四以除實積得縱三十六若欲還原以廣縱相乗長濶和變作通
長六十
濶二十四共負
四百八十
假如列實三萬三千六百長濶和四百列實亦列和為減縱初商一乗負隅仍得一以減縱四餘三百隨首位列註以呼所商一三除叄訖 次倍初商一作二為廉法以減縱四仍餘二註退位再商二亦以減縱變二○為一八而以次商呼之 一二除二一上叄變一又呼二八一十六恰盡 格右加○以結末位得濶一百二十右法同前但減縱有借法進位故録為式
假如列實六萬九千三百六十長濶和七百八十二列如前初商一以乗負隅仍得一減縱七餘六相呼 一六除陸 一八除八玖變一 一二除二叄變一訖次倍一作二為廉法以減縱仍剰五附列而縱數多于原數無可商除則紀○于右併初次商得一十另倍一十作二十為廉法挨註退位以二減縱七是為 挨尾段列之續商二以相呼 二五除一十 進削一 二八一十六除盡得濶一百二初商除訖即以先減縱數亦然
假如列實九萬六千長濶和六百四十初商二以乗負隅一仍得二紀右亦註首位以減六 餘四以相呼 二四除八 四上玖變一又呼二四除八 四上陸變八 進削一訖乃倍二作四為廉法以減縱六剰二亦隨退位註之 次商四紀右亦註退位為隅以減縱只剰二乃以四變○以商相呼 二四除八恰盡 因有餘位 右加○得濶二百四十右法已見因縱有重位故録備例若以積與虚長濶共若干而欲求其濶者及欲求其長者皆以共若干為帶縱方而求濶則以濶為負隅以長乗積為實求長則以長為負隅以濶乗積為實列例如左
假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求濶幾何以三乗積步得二千五百九十二為實三長原有三積故以三乗五為負隅已用三長尚少五濶故用為負隅暗添五段濶方之積以共步為帶縱列實定位
初商二紀右以乗負隅五得○一以一減縱首 貳變一 餘縱一百二十八挨註首位與商相呼一二除二二二除四退位伍變一 二八一十六退位玖變三進削一餘實三十二再以所商二乗負隅得○一以一減餘縱剰二十八即前倍方為廉之法續商四以乗負隅得○二再減餘縱二十剰八以呼所商四八三十二恰盡得濶二十四步假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求長幾何以五乗積步得四千三百二十為實五濶原有五積故五乗之以三為負隅於原縱減去二長故以共步為帶縱初商三以乗負隅三得九減縱註其退位九上貳變三 進位貳變一餘縱一三八挨註首位以呼初商一三除三 一上肆變一 三三除九退位叄變四進削一 三八二十四 八上貳變八 進位四變一餘積一百八十復以初商三乗負隅三得九以減縱九上三變四進削一剰四十八次商六又乗負隅三得十八亦以減縱剰三十與商相呼恰盡得長三十六步又有以積與虚長濶和較共若干求濶者及求長者約和得長濶幾何併濶與較得長幾何而視其所求為長為濶如前法以别實積及負隅而皆以共數為帶縱假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求濶幾何約三和自具三長三濶以併一長二濶共四長五濶又以四較益濶為四長共得八長而餘一濶應八乗積步得數六千九百一十二為實以餘一為負隅以共步為帶縱初商二以乗負隅一仍得二因點為二段此為二十以置縱次位減之二上壹變九 進位叄變二餘縱二百九十二列原積之下以呼所商二二除四二上陸變二 二九一十八次位玖變一 進位二變一 二二除四 二上壹變七 進位一變○ 餘實一○七貳復以初商二又乗負隅以減縱二上九變七 剰縱二七貳續商四又乗隅減縱四上貳變八 進位七變六是為二六八以乗所商四除盡得濶二十四步又有以虚長虚濶約其子母共若干與積若干求長濶若干者法以長母乗濶子為濶率以濶母乗長子為長率又兩母相乗以乗共數為帶縱而約帶縱為幾長幾濶以一乗原積為實以一為負隅如前法為減縱開平方除之
假如直積二千三百五十二步只云長取八之五濶取三之二併得六十三步求濶者兩母三八互乗得二十四以乗相併六十三共一千五百一十二為帶縱而以長母八乗濶子二得一十六為濶率以濶母三乗長子五得一十五為長率則知此帶縱數内具有長十五濶十六也以長十五乗直積得三萬五千二百八十為實以濶一十六為負隅初商四紀右有二點即作四十以乗負隅得六百四十以減縱四上壹變七六上伍變八 進削壹 餘縱八百七十二以註實下與商呼除四八三十二 八上伍變三進削三四七二十八七上貳變四進削三二四除八 尾位變○餘實四百再以初商所乗隅算六百四十減餘縱四上七變三 六上八變二餘縱二百三十二續商二紀右以乗負隅得三十二亦以減縱尾位除貳進位三變○剰縱二百與續商二相呼恰盡得濶四十二以除直積得長五十六
帶縱負隅減縱翻法開平方法積和求長凡積與勾股和求股者原積但有長乗濶數而負長自乗之數法須損濶益長求之先立一為負隅以和為縱方而以負隅減縱方初商令稍浮常法以乗負隅減縱次呼餘縱開積而原積不及翻以原積減商除之積而以餘負積為實復以初商乗隅以減餘縱如餘縱不及即以餘縱翻減以為負縱而隅積縱三者俱負乃以負縱約餘負積以得次商命負隅以除負積為帶縱負隅減縱翻法開平方
假如直積八百六十四長濶和六十求長幾何列實以和為縱方一為負隅初商三有二段即係三十正得長濶之平損濶益長紀右以乗負隅一仍得三以減縱剰三十與商相呼三三得九即九百而原積不及乃翻列九百於原積之上而以原積減之尾位○變六進位○變三 首位削九得餘負積三十六為實再以初商三命負隅一以減餘縱三十減盡乃約餘實得次商六紀右以乗負隅一仍得六註尾位呼除負實六六三十六恰盡得長三十六
假如直積三千四百五十六長濶和一百二十求長幾何列實定位列和為縱方立一為負隅初商七有二段即七十乗負隅一仍得七紀右以減縱方餘縱五即五十以呼初商合除三千五百而原積不足乃翻以原積除之列三五於原積之上反以原積除之尾位○變四進位○變四 進位削五又進位削三 剰負積四十四為實仍以初商七十乗負隅減餘縱五十而餘縱不足乃以餘縱五十反減初商七十餘二十為廉法挨註次位而縱又為負次商二紀右亦註二於尾位為隅法共二十二皆與所商之二呼除恰盡得長七十二
亦有虚立長濶和較求長者假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求長若干依前法演得八長一濶以一濶為實八長為負隅共步為縱方列實初商三紀右即三十以乗隅八得二百四十以減縱一變七進削三餘縱七十二以呼所商三除積合除二千一百六十而積反不足乃翻以積除之列二一六○於上 肆上○變六 進位六變九 進位一變二 進位二變一 尚餘負積一二九六復以初商三乗負隅八合減縱二百四十而餘縱七十二不足翻以餘縱減之剰負縱一百六十八是餘縱積算俱負
次約負積商六紀右以乗負隅八又併負縱共二百一十六挨註尾位以呼所商二六一十二 二上削二進削一 一六除六 一上九變三 六六三十六恰盡得長三十六
假如直積三千四百五十六步一長二濶三和四較共六百二十四步求長幾何仍前八長一濶以一為實八為負隅共步為縱方初商七紀右以乗負隅八得五百六十以減縱方剰六十四註首位合除四千四百八○列原積上以視原積不足翻以原積減之尾位○變四 四上八變二六上四變○ 進位
四變一 餘負一千二十四為實再以初商七十乗負隅八得五百六十者減餘縱而縱又不足則翻以縱減之餘縱四百九十六而隅法縱法積法俱負續商二紀右以乗隅八得一十六併入負縱共五百一十二挨尾註之與所商二相呼恰盡得長七十二步
同文算指通編卷七