同文算指通編卷八
明 李之藻 撰
帶縱諸變開平方第十五開方帶縱其變無窮更繹其要有十一種餘可神而明之若積與二濶較及長濶較求濶用帶縱減積開平方假如三廣田積二千四百六十五步第云中廣不及南廣八步亦不及北廣三十六步又不及正長六十七步問廣併長各幾何列積為實併不及二廣共四十四以四而一得一十一為縱方以不及正長六十七為減積初商一紀右即一十以併帶縱共二十一列註首點下為方法以乗減積得一千四百七先以減積所乗呼商一七除七尾位伍變八 進位陸變五 一四除四 進位肆變○一一除一首位貳變一 次以所註方法呼商一二除二二上○變八進削一 一一除一 一上五變四餘實八四八乃倍方一作二為廉法即二十併減積六十七又併帶縱一十一共九十八為方法註退位續商八紀右以併方法得一百六呼除一八除八 一上削八 六八四十八恰盡得中廣一十八步各加不及得南廣二十六步北廣五十四步正長八十五步右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以積求長廣者俱以此法求之
凡大小二方和積求徑者用減積帶縱負隅併縱開平方
假如大小方田二段共積七千五百九十二步大方面較小方面多二十八步求大小方面各幾何用較自乗得七百八十四以減積餘六千八百零八為實倍較二十八得五
十六為帶縱叧置二為負隅初商四即四十乗負隅二得八十併縱方共一百三十六為方法註積下以呼所商一四除四 一上陸變二 三四一十二 三上捌變六進位二變一 四六二十四 六上○變六進位六變三餘實一三六八次倍商得八併初方一百三十六共二百一十六為廉法註退位續商六紀右亦乗負隅得一十二為隅法併入廉法共二百二十八與次商呼除盡得小方面四十六步加較得大方面七十四步又假如大小方田三段共積四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面幾何以大方面較小面數三十自乗得九百以中方面較小面數十二自乗得一百四十四相併共一千四十四以減共積餘三千七百四十四為實併二較倍之得八十四為縱方以三為負隅初商二紀右即二十以乗負隅三得六十併縱方共一百四十四為方法列首位以呼所商二四除八 四上肆變六 二四除八 四上㭍變八進位叄變二 一二除二 一上削二餘實八百六十四倍方法六十作一百二十為廉法以併縱方八四得二百四註退位為方法次商四紀右以乗負隅三得一十二為隅法併方法共二百一十六與次商呼除二四除八 二上削八 一四除四 一上六變二 四六二十四恰盡得小方面二十四步以較加之得中方面三十六步大方面五十四步凡方田圓田徑相似以其共積求相似之徑幾何者用隅算開平方凡圓者之四可當方者之三併方圓之率為七用七為隅算用四乗原積開方假如方圓田共積二千二百六十八步只云方面圓徑相等求方面圓徑者四乗原積得九千七十二步為實叧列七為隅算初商三紀右即三十乗隅七共二百一十為方法與商相呼二三除六 二上玖變三一三除三一上○變七進位三變二餘實二七七二乃倍三十作六十為廉法註退位次商六以乗隅七得四十二為隅法又以乗廉六十得三百六十併共四百○二仍併入廉法共四六二與商相呼恰盡得方面圓徑俱三十六步又法四乗原積得九千○七十二步併方四圜三得七為法除之得一千二百九十六為實乃以開平方法求得方面圜徑三十六步更簡易凡匿其原積只云一長二濶三和四較更以長乗之共數若干其長濶之較若干以求其長幾何者用益積以補濶則有帶縱隅益積開平方假如田不知積但以長乗一長二濶三和四較共得四萬四千九百二十八步其長濶之較二十四步求長者列實叧置較為益縱約三和得三長三濶併一長二濶得四長五濶又併四較入濶為長得八長一濶共九段以九為隅算初商
七十乗隅算九得
六百三十為隅法
又以初商七乗益
縱二十四得一千六
百八十註原積之
下以益原積 八上貳變○進加一六上玖併一變六進加一 一上肆併一變六共四萬六千六百○八却以隅法六百三十註退位與商相呼六七四十二六上六變四進削四 三七二十一 三上六變五進位四變二餘實二五○八乃倍隅法六百三十得一千二百六十為方法註退位以商餘實得二紀右又乗隅算九得一十八為隅法另以所商二乗益縱二十四得四十八併入餘實八上八變六 四上○變五共得二五五六却以方隅二法併共一千二百七十八皆與所商二呼除恰盡得長七十二步
又同前田不知實用長數乗一長二濶三和四較共若干及其較若干以求長者或損長以就之用帶縱負隅減縱開平方
假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬七千二百一十二其較二十八步而不知其積求其長列長乗之積為實較為縱方仍前法推得九為負隅初商七十紀右乗負隅得六百三十為方法内減縱法二十八剰六百二退位註實下以呼所商六七四十二六上㭍變五進削肆 二七一十四二上壹變七進位貳變○餘實五○七二次倍方法得一千二百六十内減縱法二十八得一千二百三十二為廉法列餘實之下約實續商得四紀右乗負隅得三十六為隅法併廉法共一二六八改註尾位與續商相呼恰盡得長七十四步又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四較得若干求長者用減積帶縱隅益積開平方假如設為一長二濶三和四較以濶數乗之得二萬九千九百五十二其較二十四問長幾何置較自乗五百七十六以減原積餘二萬九千三百七十六為實以較自乗減其原積故曰減積較為益縱六為隅算初商七十紀右乗隅六得四百二十為隅法註實下又以商七十乗益縱二十四得一千六百八十以益原積尾次七變五進位叄變○ 又進玖變一又進貳變三得三一
○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八 四上一變三進削三 二七一十四 二上○變六 進位三變一餘實一六五六乃倍隅法得八百四十為廉法續商二以乗隅六得一十二為隅法另以所商二乗益縱得四十八以益餘實尾位陸變四進位五變○進位六變七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二註尾位以呼續商恰盡得長七十二步
亦有匿積只以濶乗一長二濶三和四較共若干及較若干求長而用帶縱負隅減縱益實開平方者假如田不知積一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千三百四十八步濶不及長二十八步者列實亦列較為縱方九為負隅共得九長初商七紀右即七十以乗負隅得六百三十為方法
内減縱方二八得六
百二註實下又以
乗縱方得一萬六
千八百五十六以
益實六上捌變四
五上肆變○ 八上叄變二 六上玖變六 一上貳變四乃以所商七呼除所註之下法六百二二上○變六進位二變○ 六上六變四進削四餘實四○六四次倍方法一千二百六十減縱方得一千二百三十二為廉法次商四紀右以乗負隅九得三十六為隅法以乗縱方得一千零八為益實併入餘積八上四變二進位六變七 一上四變五以廉一千二百三十二隅三十六相併一千二百六十八呼商恰盡得長七十四步右法以濶求長積欠一較故乗較為益實以補其缺亦有同前不知積而以濶乗長濶和較共數及較求濶者用帶縱廉開平方
假如直田不云積步只云一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千九百五十二步濶不及長二十四步求濶者置乗積為實減較之半一十二為縱廉而以初商乗之初商四即四十紀右為方法以乗縱廉得四十八即與商相併共五十二註實下照式退位以呼初商四五四二十進削貳 二四除八 二上玖變一餘實九一五二次倍所乗縱廉得九十六及方法八共一百四進位得一千四十為方法再置縱方一十二為廉以相併共一千五十二商實得八紀右亦註尾位為隅以乗縱方得九十六併方廉隅共一千一百四十四註實下以呼次商恰盡得濶四十八步
又有同前匿積和較又以濶乗長濶和較共數求濶用帶縱廉負隅開平方者
假如田不知積只云一長二濶三和四較以濶乗之共二萬九千三百四十八其較二十八以求濶者置濶乗數為實推得共八較九濶用九為負隅以較八乗得二百二十四為縱廉以初商乗負隅為方法初商四即四十紀右乗隅得三百六十併縱廉共五百八十四註實下呼商五四除二十進削貳 四八三十二八上叄變一進位玖變六 四四一十六 四上肆變八進位一變九 進位六變五餘積五九八八次倍方法得七百二十為廉法併縱廉九百四十四為實續商六紀右以乗負隅九得五十四為隅法併廉法縱廉共九百九十八註實下呼商恰盡得濶四十六步若同前不知積步第置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱方廉開平方
假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬四千九百二十八步較二十四步求其濶若干列實以較為縱方推得八長一濶共九段倍之得一十八為縱廉以乗初商而併計之又兼縱方乃以呼商除之初商四紀右即四十為方法乗縱廉一十八得七百二十併入方法四十共七百六十又併縱方二十四共七百八十四以呼商四七二
十八 七上肆變六進位肆變一 四八三十二八上玖變七進位六變三四四一十六 四上貳變六進位七變五餘實一三五六八乃倍四得八為方法倍縱廉得一千五百二十併入縱方二十四共一千五百四十四為廉法以商餘實得八紀右以乗縱廉一十八得一百四十四為隅法乃併方入廉一千五百四十四隅一百四十四三法共一千六百九十六註實下呼商恰盡得濶四十八步
又同前不知積及置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱廉負隅乗縱減實開平方者假如一長二濶三和四較長乗得四萬七千二百一十二步濶不及長二十八步求濶幾何列實推得八長用八乗較得二百二十四為縱廉推得九段用九為負隅又以較為減縱方初商四即四十紀右以乗負隅得三百六十為方法併入縱廉共五百八十四為下法乗減縱得一萬六千三百五
十二為減實註實下
變為三○八六○乃
以初商四呼下法照
常註退位五四得二
十進位三變一 四
八三十二 八上八變六進位○變七進削一 四四一十六 四上六變○進位六變五餘實七千五百乃倍方法得七百二十併縱廉二百二十四共九百四十四為廉法約商得六紀右以乗負隅得五十四為隅法即以隅法乗減縱得一千五百一十二以減實餘五九八八以廉隅二法相併得九百九十八與次商相乗開之恰盡得濶四十六
開立方法第十六
凡數自乗平列一面為平方更以原數再乗則四面皆方中積充實為立方矣凡立方點段俱隔二超三而首段尋其原數以自乗再乗如適合見數者即為方法開訖如少于見數則挨身減數尋原而以其再乗所得列首段下除之以為方法若再乗之數反浮見數即非其原餘實三倍其方為廉叧置而以方法進一十如係一則作一十係二則作二十之類與相乗得數以較餘實約得幾何分之幾何假如已得二之一者即以二為次商亦以乗廉法得數若干以併前所乗數共若干而以次商數總乗之即得三面之廉復以次商數自乗再乗為隅法併入開盡有不盡者以法命之
依法分為四段先開首位之捌尋原係二乃以二自乗再乗得八恰盡 抹捌右紀二 次開叄陸伍除點上之伍未用且作六三開之乃三倍其二為六另置於方法之上試加一為一二以六乗之得一百二十六以除原積叄陸其數反浮乃只作○紀格右為○二
次求第三位更三倍其○二為○六置於方法○二之上隨意加一位且如只加○為 以與○六相乗得一萬二千以視原積叄陸伍肆貳約得三之一乃商三紀格右為 以乗○六得一百八十併前一萬二千共得一萬二千一百八十又以三乗之得三萬六千五百四十又以三自乗再乗得二十七為隅法併入恰盡 凡隅法皆以尾位挨本位所點之下尚餘尾段三箇○再加一○于格右假如列實一千七百二十八首位一自乗再乗只得一以一為方法紀右抹壹次倍一為三作廉法另置乃以方法加○為○一以乗廉法三得○三約得原積二十七内二之一矣乃改○作二為次商紀格右以乗廉法三得六併○三共得三十六而以次商之二乗之得七十二又以二自乗再乗得八為隅法併入是為七百二十八開盡假如列實三萬二千七百六十八數首位尋原係三以三為方法自乗再乗得七二二變五抹叄次倍三作九為廉法加○于方法之右為○三以乗九得二百七十以視餘實五千七百六十為二之一乃商二紀二于三右以二乗九得一十八併前乗共得二百八十八以二總乗得五百七十六符三廉之數又以二自乗再乗得八為隅法併入盡若次商以方法進位乗廉法而乗得之數適符餘實或於餘實相近不足二之一及三之一以上者只以一為次商之數
假如列實九千二百六十一數先開首位玖尋原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖變一以二為方法紀右次倍二得六為廉法另置次以二為○二與相乗得一百二十適近本積只以一為次商數以乗所置六仍得六併前乗共得一百二十六又以一自乗再乗為隅依法併入是為一千二百六十一恰盡
廣諸乗方法第十七
凡積數若干以平面開之適得自乗之數者為開平方其立方乃開平再乗積也四面皆方中積滿布三乗方長立方也如以二自乗起者得兩立方以三自乗起者得三立方之類但以平面一邊之數為準四乗方平面立方也如長立方得兩方數則進作四立方如長立方得三方數則進作九立方又如長立方係九方數則進作八十一立方之類倣此以至無窮俱係平面五乗方大立方也如係二自乗起者有四立方則進併十六方為大方如係五自乗起者有二十五立方則進併一百二十五方為大方之類自此推之六乗方視三乗形七乗方視四乗形八乗方視五乗形餘乗倣此可至無窮舊法繁碎且僅止于五乗此立捷法由平面至諸乗總一機軸先以諸乗原委布為一圖乗母為原乗出之子為開
凡開方列位以點分段者平方每二位點作一段再乗方每三位一段三乗方每四位一段倣此推之至九乗方則十位一段矣皆自尾小數起而先以最大數之首段檢上圖以尋其原即以原數開之假如平方開者檢知首段數四十九即知七是原數用七自乗可開若首段數係六十四者即知八是原數用八自乗可開若係六十三者不及六十四尚以七數開之餘積另求再乗三乗以上皆同此法假如再乗首段係二十七檢知其原係三即以三開之若是六十三以下亦以三開又假如七乗方首段係二五六原數是二以二開之若原數是六五六不及三數之六五六一仍以二開之也上圖係乗出之數已得乗出之數開方之時第以此數註首段下以除為開
右法已得首位方法餘實倍方為廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之數倣此倍之别立通率凡平方只一率為○二再乗立方有二率為 ○三三乗方有三率為四十為六百為四千自此以上諸乗倣此漸加而皆如後圖所推乃以方法之數乗之以乗出之數較餘實約得幾何母之幾何而即以其母為廉法此圖以首行所列
之二為平方三為
立方四為三乗至
十七則十六乗方
也餘乗倣此首行
悉承首行上格二
數積之如三三為六
四六為○一之類數窮
則挨加一數如第
二行第五格為○一
其第三行第五格
亦為○一是也
右格内數以檢各乗合用通率而各視其乗法多寡於本位疊加虚○凡平方一乗者用一率為二以加○為○二以與方法相乗其立方再乗者用兩率為三三而左小數加一○為○三右大數加兩○為 而以 乗方法若三乗方者則用三率為四六四于末位之四加一○為○四進位之六加二○為 首位之四加三○為四千亦以大數乗方法右圖只具四六兩位而乗法却宜三位則迴用右方之四以足三率若並位之數相重如四乗方之連用○○一一者迴轉減其重數竟以首位之五用之末位為五○○一一五照前依位增○其數則為五十為一千為一萬為五萬而以五萬乗方法也至六乗方八乗方以上皆然一乗開平方
假如列實六百七十六萬五千二百○一以平方開之初商得二為方法以求廉法立○二為通率列中位亦列方法于左位以相乗得○四以較餘實七二約得六之一乃立六為廉法列于右位以自乗得六三為隅法附列乃以廉數六乗四十得二百四十以併自乗之三十六共二百七十六盡第二段餘實五二○一另置通率併廉入方為六二置左位以乗○二得數五百二十以較餘實得一又以一為廉法置右位自乗仍得一為隅法併入恰盡若已得廉法而以乗通率反浮餘實或廉法相合而隅法又浮餘實者皆減其廉法以乗之假如列實二百八十九初商一除實一百餘實一百八十九次商以方法乗通率只係○二以較餘積可用九除實一百八十而乗出隅法八十一則浮原積又試用八除實一百六十而乗出隅法六十四亦浮原積惟再減用七為廉法乗得一十四以除餘積尚餘四十九而以廉法自乗得四十九為餘法併入恰盡凡諸乗所用廉法有浮原積者皆照遞減求之再乗開立方
假如列實二十三萬八千三百二十八以立方開之尋原以六為母以六自乗再乗得二一六除積 六上捌變二一上叄變二 進抹貳以六為方法以求廉法凡立方皆用二數為通率為三十為三百自下而上疊位而以方法六對○三以方法自乗得六三對□各列于左初乗乃以六三乗□得一萬八百以視餘積約得二之一乃立二為廉法以對□復以廉法二自乗得四以對□各列于右又以二乗四得八為隅法附列于下乃以廉二乗一萬八百得二萬一千六百再乗以六對○三乗之得一百八十又以四乗得七百二十以上二次乗出數併之得二萬二千三百二十加入隅法之八恰盡凡方法之乗皆在通率位左以方法數對尾位其乗數自下而上凡廉法之乗皆在通率位右以廉法數對首位其乗數自上而下四乗五乗以上皆倣此右再乗方法若以還原則以二十六自乗再乗若初商方法只係一數者通率無乗須併諸率位除之一而淨即以一為廉法假如列實一千三百三十一以再乗立方開之初商以一為方法除淨首位一千次併中位兩通率一除可淨以一為廉法對通率三百次以自乗仍得一對次通率三十又以再乗亦得一為隅法系其下而以隅法之一併入三千三百恰盡右式可例其餘凡以一為方法者不論幾乗方皆以諸位通率併求
三乗方
假如列實一千四百七十七萬六千三百三十六以三乗方開之尋原以六為母自乗再乗得一二九六除積 六上㭍變一 九上㭍變捌 二上肆變一 一上削壹次以六為初商方法以求廉法凡三乗皆疊用通率三位為四十為六百為四千先列通率於中位乃列方法于左尾位自乗六三再乗二一六自下而上對列初乗以二百一十六乗四千得數八十六萬四千較原積約二之一以二為廉法列右首位自乗四再乗八三乗六一聨列乃以二乗八十六萬四千得數一百七十二萬八千再乗以六三乗□得數二萬一千六百又以右四乗之得數八萬六千四百三乗以六乗○四得數二百四十以右八乗之得數一千九百二十乃合三乗數積之併入隅法六一共得一百八十一萬六千三百三十六恰盡
乗 一法以開平方法所得數更以平方開之
四乗方
假如列實九億一千六百一十三萬二千八百三十二數以四乗方開之尋原六為初商除積七億七千七百六十萬餘實一億三千八百五十三萬二千八百三十二以求廉法凡四乗方通率疊用四位為五十為一千為一萬為五萬中列自下而上而以方法六對尾位○五列之又自乗再乗三乗四乗亦自下而上對列于左初乗首位左乗得六千四百八十萬以較餘實約得二之一以二為廉法對首位五萬列之亦自乗再乗三乗自上而下對列又四乗得二三為隅法系于其下而以首位二數乗左乗所得之數計得一億二千九百六十萬次乗次位左乗得二百一十六萬而以右四乗之得八百六十四萬三乗第三位左乗得三萬六千而以右八乗之得二十八萬八千四乗尾位左乗得三百而以右六一乗之得四千八百以上四乗之積併入右廉四乗所得隅法三十二恰盡右四乗方若以還原則以六十二數自乗再乗以至四乗五乗方
假如列實五百六十八億○○二十三萬五千五百八十四數以五乗方開之尋原六為初商除積四百六十六億五千六百萬餘積一百一億四千四百二十三萬五千五百八十四數以求廉法凡五乗方皆疊用通率五位為六十為一千五百為二萬為一十五萬為六十萬中列自下而上而以方法六對尾位○六列之又自乗再乗三乗四乗自下而上皆列于左位初乗首位左乗得四十六億六千五百六十萬以較餘實約得二之一以二為廉法對首位六十萬列之亦自乗再乗三乗四乗自上而下對列于右又五乗得四六為隅法系下而以首位二數乗左乗所得之數共得九十三億三千一百二十萬次乗次位左乗得數一億九千四百四十萬而以右四乗之得七億七千七百六十萬三乗三位左乗得四百三十二萬而以右八乗之得三千四百五十六萬
四乗四位左乗得五萬四千而以右六一乗之得八十六萬四千五乗五位左乗得三百六十以右二三乗之得一萬一千五百二十併上五乗積又併右廉所乗隅法六十四恰盡
右五乗方若以還原則以六十二之數自乗再乗以至五乗
六乗方
假如列實三萬五千二百一十六億一千四百六十萬六千二百○八以六乗方開之尋原六為初商除實二萬七千九百九十三億六千萬餘實七千二百二十二億五千四百六十萬六千二百○八數以求廉法凡六乗方通率疊用六位為七十為二千一百為三萬五千為三十五萬為二百一十萬為七百萬中列而以方法六對尾位○七列之又自乗再乗三乗四乗五乗自下而上皆列其左
初乗首位左位得數三千二百六十五億九千二百萬以較餘積約得二之一以二為廉法對首位七百萬列之亦自乗再乗三乗四乗五乗對列于右又以六乗得一二八為隅法系下而以首位二數乗左乗所得之數共得六千五百三十一億八千四百萬次乗次位左乗得一百六十三億二千九百六十萬以右四乗之得六百五十三億一千八百四十萬三乗三位左乗得四億五千三百六十萬以右八乗之得三十六億二千八百八十萬
四乗四位左乗得七百五十六萬以右六一乗之得一億二千○九十六萬
五乗五位左乗得七萬五千六百以右二三乗之得二百四十一萬九千二百六乗六位左乗得四百二十以右四六乗之得二十六萬八千八百併上六乗之積又併隅法一百二十八恰盡
七乗方
假如列實四兆五千九百四十九萬七千二百九十八億六千三百五十七萬二千一百六十一數以七乗方開之首位四其原一以一為方法餘實三兆五千九百四十九萬七千二百九十八億共求一廉法因方法一數無乗當併下位以較餘實而惟首次兩數同位為大數其餘小數不足為多寡且從省只併首次兩位開之若不相併者以首率八千萬較餘實試用四為廉法乗之似可除然次率八乗即浮原數矣試減用三亦浮原數見後註此二數併得一億○八百萬以較餘實約可用三數然緣次乗之六以乗中列之第二位其數反浮初以三乗中首位固可除至次乗六以乗次位得一億六千八百萬併初乗共四億有奇反浮餘實當減用二為廉法自乗再乗至七乗依式列右凡乗數多于原數者減法倣此
初乗以廉二乗八千萬得一億六千萬
三乗以廉三乗數八乗五百六十萬得四千四百八十萬
四乗以廉四乗數六一乗七十萬得一千一百二十萬五乗以廉五乗數二三乗五萬六千得一百七十九萬二千
六乗以廉六乗數四六乗二千八百得一十七萬九千二百
七乗以廉七乗數 乗八十得一萬○三百六十八右併前七乗之積共得三億二千九百九十八萬一千四百四十併入隅法二百五十六以除餘積尚剰二千九百五十一萬五千六百二億六千三百五十七萬二千一百六十一數再商自首至尾共以一段開之
乃併廉法入方法共一十二為三商之數以對尾位○八列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上對列
一 初乗首位左乗得二千八
百六十六萬五千四百四十六億四千萬以較餘積只可一乃以一為廉法乗無可乗故自乗至七乗皆只一照式列右其對中末位之下仍系一為隅法再乗次位左乗得八十三萬六千○七十五億五千二百萬
三乗三位左乗得一萬三千九百三十四億五千九百二十萬
四乗四位左乗得一百四十五億一千五百二十萬五乗五位左乗得九千六百七十六萬八千
七乗尾位左乗得九百六十併七乗之積増入隅法之一恰盡
右七乗開方若欲還原則以一百二十一數自乗再乗以至七乗
以上開方則例共七乗衍至十乗百乗亦復如是妙在尋原變在通率熟玩自得難以備述若夫尋原之法固與還原不同還原者依本乗之數以還實積耳尋原者用前列乗圖以尋下手方法凡尋原惟平方最易以每段只二位也次則立方亦易以每段只三位也三乗則四位為一段尋原難矣自是而上位置愈多尋原愈難矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法開之得數又以平方法開之得數即原矣若五乗方者先以平方開之得數乃以立方開之或先以立方開之得數乃以平方開之即原矣若六乗方者作四乗方開二次即得其原若七乗方者作開平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方開一次又以四乗方開之或先以四乗方開一次又以平方開之即得其原若十乗方者作四乗開方三次亦得其原錯綜變化總由自然進退開闔具有定法孰謂開方諸乗迂逺難冀者乎神而明之從積正負帶減加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思過半也奇零諸乗開方法第十八
凡開方諸法不惟全數可開即奇零之數亦各有法大都皆以尋原為第一義有母數子數俱有原數可用者如平方九之四則以三之二為原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方七二之八亦以三之二為原以三自乗得九再乗得七二以二自乗得四再乗得八也又如三乗方一八之六以三之二為原謂三再乗得七二三乗得一八謂二再乗得八三乗得六一也如五乗方者 之四六以三之二為原謂三數以五乗則得 二數以五乗則得四六也有二數並列于母不同而亦有原數可用者如四之二與九之八並列依對乘法兩母乗得三十六兩子乗得一十六是為六三之六一其平方之原為九之四以四九三十六與夫四四一十六用四為鈕數者也有以全數帶奇數而亦有原可尋者如有全數二又七二之○一依化法乃為七二之四六尋其立方之原為三之四以三再乗為七二四再乗為四六歸其整數即一零三之一也凡有原可尋則可開無原可尋則不可開必命分之母與得分之子各有原則可開若一有原一無原則不可開尋原之術數之多者約之以至于寡如五四之○二必約之為九之四其開平方之原即三之二也如一八之四二必約之為七二之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六無原不可開矣又如○二之一二者命分數與得分數俱無原不可開矣然則終不可開乎又非也數窮則變變則通雖無原有數之最相近者可借之以為原吾以本數析之又析而相近之原可得也析之之法多取進位平方或析一為十為百立方或析一為百為千數彌多者求彌密其原亦彌近也彌近之數或稍多干所求或稍約于所求然而皆可以為原者也假如以五數為開平方是為無原而任借○一為 之原以自乗得一百以五乗得 雖○一不為 之原乃其原之最近者有兩數其一為 以二二為原二十二自乗得四百八十四此近而朒者其一為 以三二為原二十三自乗得五百二十九此近而盈者何也試以所借○一為命分之母以二二為得分之子以○一之二二自乗此整二零之二得 之 内除四百為四整數而四八為 之四八夫四零 之四八以視二零○一之二猶五百與二二之比例也試以所借○一為母以三二為子以○一之三二自乗此係整二零二之三得 之 内除五百為五整數而九二為 之九二夫五零 之九二以視二零三二猶五百與三二之比例也故○一可以為五借也假如以九數為開立方亦為無原而任借○一為 之原以自乗再乗故以九乗得 雖九千不以一十為原而其近原者亦有兩數一為 以○二為原自乗再乗此近而朒者一為九二六一以一二為原自乗再乗此近而盈者則何也試以○一為母○一之○二係整二數以自乗再乗即得○一之八試以○一為母○一之一二係整二數零○一之一以自乗再乗即得九零 之 也母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十併入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千歸元得整九餘為一千之二六一故○一可以為九借也
假如列實○四以四乗方開之為無原任借一數為○一以自乗至四乗得一十萬以○一乗之得四百萬用前法推衍其原之近者有兩數其一為○二其一為一二何也以○一為○二之母此○一之○二係整二數以二自乗再乗三乗四乗為○一之二三以視○四其近而朒者以○一為一二之母此○一之一二係整二數零○一之一以二零○一之一自乗再乗化整數併子法如前母四乗得一十萬子自乗再乗得九千二百六十一三乗四乗得整四十數零一十萬之八萬四千二百○一二十一以三乗得一十九萬四千四百八十一以四乗得四百○八萬四千二百○一内以四百萬還元得整四十數其零為八四二○一以視四十其近而盈者故○一可以為○四借也以上三論姑借○一見例若進至百千萬數其數彌多其析愈精則原愈近矣