同文算指前編巻上
明 李之藻 撰
定位第一
古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍纍紀於一協於十長於百大於千衍於萬算之原也後世乃為珠算而其法較便然率以定位為難差毫釐失千里矣兹以書代珠始於一究於九隨其所得而書識之滿一十則不書十而書一於左進位乃作○於本位○一曰一十由十進百由百進千由千進萬皆倣此
假如四萬三千二百一十作何排列自左方寫起平行大數列左小數列右若從小數起積者每滿十則進位一十者書一二十者書二餘倣此若大數積多則於左方漸進加字如後圖萬億兆京是也若小數積餘則於右方漸退加字如兩下有錢錢下有分分下有釐又有毫有絲有忽之類是也
大衍式
几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而計田則横一丈縱六十丈為畝即濶一步長二百四十步四分其畝為一角角得方丈者十五十分其畝為一分分得方丈者六得方尺者六百分以下釐毫析之而以百畝為頃五項四十畝為丘凡量六粟為圭十圭為撮十撮為抄十抄為勺滿十而進之為合為升為斗為石亦曰斛凡衡以兩為君兩有十錢錢有十分自分以下十而析之曰釐曰毫曰絲曰忽曰微曰纎曰沙曰塵曰埃曰𣺌曰漠至細之倪惟所立名而十六兩為斤二百斤為引今公私通用之則也古法之衡則十黍為纍十纍為銖八銖為錙六銖為分二十四銖為兩兩即四分也兩又四之自乘一十六以象四時是命曰斤計銖三百八十有四當朞之月又以十五斤為稱二稱為鈞四鈞為石度則古尺長短不一丈尺而外别以七尺為施八尺為仞亦為尋倍尋為常量則六十四黍為圭又有四升之豆四豆之區四區之釡十釡之鍾十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡錢千文為緡五緡為綻凡鈔五貫為錠錠當錢千里法三百六十步步法今用五尺厯法每度百分每分百秒西厯則積六十秒為分積六十分為度秒以下俱以六十析之
右式三位而成百五位而成萬九位而成億十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以極於正於載皆以萬萬遞加是謂中數昔者黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也從億至載終於大衍下數淺短計事不盡上數宏廓世不可用故其𫝊業惟以中數舉一中數而天地鬼神人物之紀思議之所不及者皆盡之矣况更有上數在乎由旬刹那吾無取焉爾
加法第二
凡數惟加法最易加之不已至於無算故算首論加加也併也積也一也少曰併多曰積皆加也列散數於上各横置以類相比如十從十百從百及兩從兩斗從斗之類先從小數併之而以所得數紀本位下遇十則進一位遇百則進二位第一圖 係進一位式倂四七九得二十下紀○二進位
併五八八又併前二得二十三下紀三二進位併六九七八又倂前二得三十二下紀二三進位併八六又併前三得一十七下紀七一進位併一五又併前一得七下紀七
只七下紀七
第二圖 係進二位式初併一百零二下紀二以一百進二位
次併五下紀五
再併一十六前一得一十七下紀七一進位終併連前共得二十三下紀三二進位
以上二圖盡加法矣另有試法具後一法先自上數下得若干復自下數上得若干然後紀總一法以減法試加隨意減一行得若干再加所減仍得若干
又有將散數總數錯綜覈之者有九減七減二法先減散數餘若干次減總數餘若干以其所餘兩數對列相較同則無差異則有差
第一圖用九減
此法不論進位只以見數為準纍用九減去○不用先以散數九減之餘置於左次以總數九減之餘置於右俱得八故知不差
此法與九減者稍異乃以實數七七減之從左起連○算者如首行首七竞減淨 次○一減七餘三 次即作六三減七餘一 次作五一減七餘一 次作四一七減無餘乃於首行之左格外紀○ 又以次行之首九八七減餘五 次即作○五七減餘一 次作七一七減餘三乃於次行之左格外紀三 其第三行依法減之餘得五第四行依法減之亦餘得五各以紀於其左 次將總數七減如前法餘得六 乃合四項散數所七減而餘者據見數更七減之三五五餘得六紀於□左以總數所餘之六紀於右六六相合固知不差
第二圖用九減
共四十八餘三加次行五
得八又加次行得二十四
又加末行得四十六九減
餘一紀左次閲總數共一
十九九減亦餘一紀右
又用七減
照前七減法先將散
而減之餘一次
將總數亦以七
減餘一相合無差
右九減七減法繁碎難用然出巧思具至理錄之備翫
減法第三
減與加反用稽所餘其法先較數之多寡多中減寡亦自右方小數減起以漸進位其辨多寡之法於左方首位辨之首位相等乃視次位次復相等逐位退求則多寡分焉
此數首位視之
相等然退至三
位上係一千下
係九百九十九
既審多寡乃以原數列上減數列下依法右起所餘逐紀於下如就多中減少者不須别立借法如後第一圖若少内減多須立借法以通其變如後第二圖云此上下相減俱係以少減多不須更立借法
第二圖亦係以少減多但中有上數小下數反大者須立借法右借法乃借大數兼小數以便總減者又法直於借數一十用減却加入本數尤為便捷假如二不能減九當借作一十二内減九得三今却不作一十二只就所借一十之内先減九餘一次乃加二仍得三也先減後加比前較易
以上二圖減法盡矣其間有差與否何以覈之一法用加法驗之以減數合減餘數得原數如三加六合原九之類又法以減餘數減其原數應與所減數合如原數七減二餘五今却減五合餘二為不差
亦有用九減七減二法者俱以第一行原數為一項第二行減數第三行餘數共為一項而較零之同否同即不差
九減 七減
六又作六十二餘六又作六十三無
零其餘數首作三十九餘四次作四
十三餘一次作一十二餘五次作五
十三餘四次作四十一餘六次作六
十一餘五紀右五五相合無差
乘法第四
既知加減當論因乘單位曰因位多曰乘通謂之乘凡乘之數妙於九九作九九圖九九相乘圖
首横一行自上讀下右直一行自右讀左其相值處即是乘得數指掌可盡也附九九相乘歌
一一如一 一二如二 二二如四 一三如三
二三如六 三三如九 一四如四 二四如八
三四一十二 四四一十六 一五如五 二五得一十
三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十
六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一
四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二
五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六
五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一
又法就小乘得大乘不用九而用十假如二數並列因其數大難乘未知乘得若干且連註二數而取十數與較看所不足若干因連註不足數於本數右平衡相對其所不足數必其小於原數者也小者易乘乃以不足數上下相乘註乘得數於下為單數又以不足數與原數上下互減註減餘數於其下為進位數即得所求大乘數右法專為未熟大乘者設也若小數相乘不必用此蓋以小數減十則不足之數反多而乘出亦多但多出十數外者以十外之數寄於進位就於互除還之其數未嘗不合左七俱得三合三三如九所寄進位一共得四是為六七四十二
既知乘數乃列乘位凡乘亦從右小數乘起次第進位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位十數三位百數及數十位者有以二位乘一位或二位三位以至數十百位者其變無窮其法一定若以幾位乘幾位者無拘上下隨意互乘上圖位數相近隨意互乘如第一圖者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得數置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置於七本位下以乘九所得置於七進一位下以乘三所得置於七進二位下其餘徧乘倣此畢乘諸位仍以加法通併詳具於後
二位乘此以三十八乘三百九十四者是為二位乘先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置於三本位下而其進位及進乘所得皆以次遞進一位不可紊亂 如三乘四者得二一紀二於三下一進位 如三乘九者得七二加前一共八二紀八於三之次位二又進位 如三乘三者得九加前二得一一紀一於又次位一又進位 兩位所乘魚鱗相比畢則總併其數
以上二圖乘法之大略也覈其差否須以除法還原列乘出總數為實如以第一行為法除之必得第二行數如前一萬四千九百七十二為實以三百九十四為法除之必得三十八如以第二行為法除之必得第一行數如前實以三十八為法除之各得三百九十四數合即不差又有九除七除法列原數所餘於左列乘數所餘於右左右相乘列乘出數於上乃以乘積總數依法除之餘數列下上下相比同即不差中間逐位乘出散數俱不用首行餘七列左次行餘二列右
列上其積出總數亦餘五列下
餘四次作四十四餘二紀
左乘數三十八餘三紀右
二三乘得六紀上次除總
數一十四除盡次九十七
餘六次六十二餘六紀下
六位乗
挨身下次以九乘上諸位尾位亦挨本身下餘以漸進位排列 次以三乘上諸位挨身進位如前 次以○徧乘上位無乘各挨身照位作○紀之或空其本位亦可 次以六徧乘上位尾位所得就挨六之本身其餘以漸而進云
此即前數上下易位為乘故散數不同而總數同
試上圖用九除
用七除
餘四列右四四一十六仍除餘二列
上總數餘二列下
亦有原數乘數並除而一有零一無零照無乘例只作○用九除首行原數無餘列左次行乗數餘五列右以五遇○無乗只作○列上次除總數無餘亦只作○列下比同亦有左右上下俱無零數者用九除原數乗數俱無餘左右上俱○其總數又無餘亦作○比同
凡乗法或上行原數首尾俱係實數而次行乘數之尾却係幾○或次行乘數首尾俱實數而首行原數之尾却幾○者不必多作諸○第從簡便將各實數如法相乘訖却照其尾餘幾○逐加於後即見全數蓋凡以○乘數者只是作○緣其無可乘出但存其位而已此原數首尾皆實而乘數尾却多○者○無可乘且置不用只以四乘六挨身下數乘徧而止乃將三○系之於尾但不可遺其○位所差不小
若原數及乘數之尾俱各有○若干即須一一相乘以存其位嗣以實數所乘出者挨次進位不得僅如前圖照位加○而已
六也
右圖上下尾位皆○須留其位故數尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘共得七○為尾上有○○○亦進三位乃下四四一十六若但就身下數乘畢補○如下圖然則尾少三○其失非小
若以一數為首而尾帶多○其數雖多總只是一以此相乘無復可乘但照首行原數挨身進位錄之乃視尾有幾○照加於後即成全數除法第五
凡數以少剖多曰除亦名歸除歸者各分所入除者分分除減其義一也法列原數於上層列除數於次層舊以原數為實除數為法從左大數除起上下挨身列位然必以小數系大數下若上層原數小下層除數大者須退一位系之詳具左
凡除法原數列上除數列下於原數尾右界格如半規然而於格外註所得數其歸除率以下字除上字要見幾除而盡如九除而盡者格外註九字八除而盡者格外註八字餘倣此所除不盡之數就原數變之抹原數而書其上凡欲知除出之數得幾位者視除數之末位去原數之尾位得若干字即是歸除所得位數一位除假如七萬六千○四十八數以八除之格右為除得數第一除得九第二除得五未畢先看八除六七得幾轉以乘法除之八九七十二是九也註九於格右尚餘四變六作四冩四於六上削去首七亦削去次行除數之八挨身另下八以八除○四依乘法五八四十格右再紀五其上層○四俱削亦削八同前
第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是為每得九千五百○六恰盡第一次除得九削去六七及八以六變四 第二次除得五削去○四及八盡 另挨身下八八雖不除四而當存其位乃於格右紀○而存四削八 另挨身下八以八除八四得六八四十八恰盡紀六於格右削去八四及下八畢若除數至二位三位者除訖一位挨身布退一位如魚鱗然其格右所註數每次所除不論幾位總之只得一數但其除數首位必須兼顧次位如以首位除之已得某數即取除餘變數為實以所得某數呼次位乗之看是恰盡或有餘否方可紀於格右若有不足則將首位所除量減數以為次位之地如九乗不足則減而用八如八乗不足則減而用七用六之類務取通融恰當其三位除四位除者亦如之三位除此有一百八十三萬二千四百八十七之數而以四百六十九除之先以首四除一十八儘乘得四四一十六用四而餘二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不減數從三只用三以除一十八除得三四一十二尚餘六四上八變六進位削一而格右紀三為用數併削首位之四嗣以三因次位之六三六一十八六上三變五進位四上六變四乃削三削六下又削次位六嗣以三因九三九二十七九上二變五進位六上五變二乃削二削五亦削九是以三除之餘四十二萬五千四百八十七數故當用三餘再除如後圖右圖下層次位以三因六三六一十八其六上三變五者三小八大照減法借進位一數於一十之内除八餘得二再加三是變五也若除法未熟不妨小註於下假上層三六下層用三因六三六一十八即於三下且註八於六下且註一三除八如前借法六除一乃還借除二為六變四餘倣此另退一位挨下四六九先以四除四十二看得幾箇四凡數極於九用九乘四九三十六尚餘六四上二變六進位四削盡亦削下首位之四格右紀九嗣以次位六因九六九五十四餘一十一六上五變一進位六變一亦削下位六嗣以次位九因九九九八十一尚餘
三十三九上四變三進位一變三係借除進位一削盡亦削九其不盡三千三百八十七數再除如後圖
復列四六九而四不能除三姑存其位作○於格右其下層四六九皆削去又列四六九以四除三十三看除得幾轉四八三十二餘一矣然六乘一十八則不足故減而用七除得四七二十八四上三變五進位削三嗣以六因七六七四十二六上八變六進位五變一亦削下位六嗣以九因七七九六十三九上七變四進位削六緣尚有進位之數仍作○以紀其位而削九存一百○四為不盡之數不復可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九為母數以一百○四為子數法别詳
若上層除餘之數反多於下層除數者或上數與下數相等者定是除法有差只就除過本位上下相較亦不必另創第將差者抹去而另註所除數於上層之上另註除數於下層之下又另註除得之數於格右以從簡便先以二除一十六當用五却誤用四是宜多反少者且如二因四得八六變八削一與六亦削
下首位二嗣以四因八四八三十二八上二變
六九上三變七進位○變六係借除進位五變
四下位削九諦視之則餘數反多於分數其數
可知悉抹之而另註原數於上另註除數於下
而用五以除之二五除首位一十五八得四十
進位六變二五九四十五九上三變八進位二
變七又進位二變一再列二八九用六除二六
一十二二上七變五進位削一六八四十八八
七進位○變四進位削一再列二八九用一
右誤除乃宜多反少者亦 除二上四變二八上七變九進位二變一九上有宜少反多者具後 四變五進位九變八又列二八九用六除二六一十二二上八變六進位削一八上五變七進
二外餘一百二十五數以法命之
六有竒
此不當用六却誤以六除二六一十二二上六變四進削一次位六八四十八却不足抹削另
起另列二八九於下一六於上而以五分之二
五除一十五八得四十進位六變二餘如前式
不差再列不當用七而誤用七二七一十四
二上七變三進削一七八五十六即不足削三
另列一七於上又列用六二六一十二二上七
變一六九五十四九上一變七進位○變四進
削一不差次用一次用六俱不差
右式第二次誤用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已誤矣儻不知還原如何其法只以下位見除二字與所用七字相乘而加上見乘之三即是還原二七一十四加三得一十七也舉此一端以例其餘
凡三位四位誤分改正俱用此法該進位者照前法進位乘後加之式具後先用一除之二上四變二三上○變七進位二變一次該用七却誤用六二六一十二二上七變五進削一三六一十八三上四變六進位五變三諦視之餘數反多於除數誤也欲還原者先以下層三乗所用六三六一十八加上餘數六得二十四知本位還四而以二寄於進位次以進位下面二乗六二六一十二加上餘數三再加原寄二共得一十七知本位還七進位再還一合正數既已還其正數另以七除之二七一十四二上七變三進削一三七二十一二上四變三進位三變一
另列二三用六除之二六一十二三上三變一進削一三六一十八削盡
用九除者只據見積將下層除數除餘列左以格右用數除餘列右以左右互乘九除餘數列上又以原總數除餘列下如有未盡零數者於左右乘後并入總除列上與原數除餘者相比除畢 六
無零 七 用數一七六餘五列
左乘得五五二十五
九除餘七列上原數
四四八以九除亦餘
七列下無差
得八加上零數一三共得一十二以
九除之餘三列上總數九除亦餘三
列下相比無差
用七除者實積細除同前乘法其除數列左用數列右相乘除餘列上有零者亦併入乘數列上總數餘列下
除數二十三以七除餘二列左左右
相乘一二如二列上又將原數四千
○四十八以七除餘二列下正同用數一百九十三以七除餘四列右除數二百三十六以七除餘五列左相乘得二十以七除餘六若無竒零則紀六於上是己今有零數一百三十再七除餘四併六得一十以七除餘三列三於上又將原數四萬五千六百七十八亦以七除餘三列下正合
又法將除數用數相乘以合原數如竒零不盡者乘後併入假如前式原數四萬五千六百七十八者以除數之二百三十六乘用數之一百十三共四萬五千五百四十八併入零數之一百三十合原數若歸除至半欲訂其誤照前以除數之減餘列左以用數減餘列右相乘又取本位以上除賸位只至已抹本位而止其未除到者不用亦減之以併所乘列上以抹過原數減餘列下相比其九法減見數七法減實積數俱同前此是用二除過一徧者截至左第四位止試之
用數二列右除數二八九八無餘左列○以○乘二無乘却有零九一三除九餘四上列四原數除過四位以九除亦餘四相合
用數二列二於右除數二千
八百九十八以七除無餘列○於左以二乘○無乘却有零數九百一十三以七除餘三列上其原數已除四位六千七百○九以七除亦餘三相合
凡除數隨上原數邐迤右退至於除數尾位撞遇原數尾位而止此外雖有未除零數總係餘分但可以法命之為幾分之幾以其除數多零數少故也多者為母少者為子
若除數尾帶 此以三千八
多○而原數 百萬而除一
首尾係數中 百三十九億
叚係○者但 四千六百萬
看尾隔幾位 零七千八百
只須撞尾而 甚多而諦視
止就截去餘 尾位相值只
○且儘實數 該以三位除
除訖嗣以餘 盡乃姑截去
○加之以法 餘○只以三
命之式具下 八而除一三九
四六每各得
其數已窮其
餘皆竒零不
盡之數乃於
三八之尾照
位填○為母
以零數為子
若除數首位數中位○次又有數次又有○者不可便以中○為止務須盡其實數而止惟尾後之○如前法用四除之 三四一十二三上三變一 進削一 次○○皆無可除者故置不論徑除第四位之八 四八三十二 八上六變四進位四變一 更列三○○八用六除之 三六一十八 三上九變一進削一置○○不分 六八四十八 八上○變二 進位四變九 又進一變○尚餘一○九二為不盡零數乃以除數餘○綴除數之尾為母以原數○七六九三附零數一○九二之尾為子是為三億八十萬之一億九百二十萬七千六百九十三云
凡除數首位只一其餘俱○者不必另尋用數即以原數為用至撞除數尾位而止此外皆係竒零不盡之數以除數尾尋至原數尾該得五位除盡亦只自原數首尾起照取五位為用數其餘皆係小數不能除矣故作零數首列一除四得四 又列一除七得七 一除八得八一除○還○ 一除九得九若原數餘○雖多而實數歸除已盡則其數外之○無復可除雖不撞到尾位亦只據未抹○位逐加用數之後如左圖
假如有數一億八千六百三十萬而以三百四十五除之每各得五十四萬
首用五除 三五一十五 三上八變
○ 變一 五五二十五 五上三變八
○ 進位六變三 又列用四除 三四一
○ 十二 三上三變一 進削一 四四
四得二十 五上削○ 進削二畢既已除完其餘不復可除照○位加於格外用數之右