同文算指前編卷下
明 李之藻 撰
竒零約法第六
凡數除之不盡者以法命之曰幾分之幾除數為母法列上竒數為子實列下
假如列實四十六以七為法除之尚餘四是謂七之四餘倣此
若竒零有二項辨其孰多孰寡以子母二數互參母數相同則但據子數
若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大若子母數俱不等别其多寡者並列以彼此母子互乘得數各註其子數下
有差逺者 有稍差者
四之三與八之六同則八之六即四之三假如欲知何以皆為四分之三但將子母兩數立通數乘之且如八四之六三有六數可以通乘六八四十八六六三十六母係六八子係六六便知八四之六三即是八之六此係有見成乘法可用者其積數已多而既難折半又無通數可乘則須另立紐數歸除其法以小減大減盡而止以最後減盡數為用以除子母二數其所除得數即是約數假如四十八之三十二即三之二於八四内減二三餘六一即以六一再減二三二次盡乃以一十六為紐數以除八四得三是母約數以除二三得二是子約數
假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子減母餘二百八以二百八減子數用二轉餘五十二以五十二減二百八恰盡即以五十二為紐數以除六百七十六得一十三是母約數以除四百六十八得九是子約數凡以小減大者即係除法數相近名減若大小相逺減幾徧者名除其以寡減多終不能盡者不復可約只就見數為則以七四減九五餘二一 以二一減七四餘一一 以一一減二一餘一不盡
以○二減三六餘三 以三減○二餘二 以二減
三餘一不盡 以上不盡無紐
凡兩子母數不等須先併母較之以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子各得子數又有三四母子不同併較多寡者亦以各母次第徧乘歸併作一共母為實乃以各母之數為法除之即以各子乘之得各子數
先併母數二乘三得六又以六乘四得二十四又以二十四乘五得一百二十為共母
乃以首母二除得六十以首子一乘仍六十為其子數以次位母三除得四十以子數二乗得八十為其子數以三位母四除得三十以子數三乘得九十為其子數以四位母五除得二十四子一乘仍二十四為其子數若每數相乗遇有紐數可用一數兩分是為紐數即前法即用紐數除之以其所得相乘以省約法右用一紐數而前之乘得一百二十者約為六 ○
十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六
乃以首母二除得三十子一乘亦三十以次母三除得二十子二乘得四十以第三母四除得一十五子三乘得四十五以第四母五除得一十二子一乘仍一十二凡兩數母子俱殊但有紐數可用皆可以此推之二三為六故註二於六下四三一十二故註四於二一下乃即以二十四為共母數而母除子乘如前法
以第一母六除此二十四得四以其子數五乘得二十為二十四之二十
以第二母一十二除此二十四得二以其子數七乘得一十四為二十四之一十四竒零絫析約法第八
竒數有析之又析者如母七子四是為七之四又析其四作五以為母而五中餘三是為五分四之三子中出子相聯而成則名七之四又五分四之三也又有母二子一是二之一又以子一 此三即進位之三析為六而六中餘一母六子一又以子一析 此四即進位一所化為四而四中餘三母四子三又即以子三為 此六即進位一所化母而三中餘二連析四次總名二之一又六分一之一又四分一之三三之二右法須取捷歸併以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二
子數三四得一十二
如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六
母數三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四為共母數子數二乘三得六又一六只六又一六只六為共子數右一百四十四之六依約法乃即二十四之一以六除一百四十四得二十四恰盡故六為紐數二十四為母約數以六除六得一盡故一為子約數假如連析三次者五之三又三之二又四分二之三併之乃六十之一十八母數四乘三得一十二又一十二乘五得六十為共母數 子數三乘二得六又六乗三得一十八為共子數右六十之一十八約之即一十之三用子數一十八除母數六十餘六即以六除一十八恰盡是六為紐數以六除六十得一十故一十為母約數以六除一十八得三故三為子約數右絫析乃厯家所常用者粟米方田諸家鮮用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一兩析之為五每析二錢五之三乃六錢也又析為三之二則四錢矣又析為四分之三則三錢矣總是一十分之三
化法第九
凡整數後帶竒零難於歸除須將整數盡依母數化之其法以母數乗整數以乗得數併入子數却以母數除之
假如有整六數零五分一之三者列六於左列五之三於右
每數皆剖為五分五乗六得三十併入子數三是為五之三十三列下假如有整七數零五分一之四者列七於左列五之四於右
每數皆剖為五分五七三十五併入子數四是為五之三十九於是乃化零數為整數其法以母除子此為一剖七之五十六以母數除子數用八除盡知是整八數此為一剖九之四十七以母除子用五餘二知是整五數又零九之二竒零加法第十
若母數異則先併母數但有紐數者依紐數求其共母無紐數者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子數乃視其子數多寡總而積之又以共母除積子以歸本數
又法求其子數徑用母子互乘亦得三三是九二四是八但積數多者未便須用母除子乘之法若既有整數又有零數則先加積整數次乃加積零數其零數同母者只併子數其零數異母者依前法且併母數而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗以上係不同母數者
若欲試加法之有差則用竒零減法竒零減法第十一
凡以竒數減竒數者審其多寡而於多中減寡其母數同者第就子數相減若母數異則先以其母相乗併為一母而依母除子乘求各得子乃以相減以上係不同母者
若於整數内減零數者以零母化原整數就以作子相減次合全數總計
假如整數一十内減一十一之六者此一十一之六未滿整一數就將一數拈出依竒母化為一十一以作子數於内減六一十一之六餘一十一 之五總為九零一十一之五以上是只減零數者
假如整數一十内減四零五之三者一十減四餘六又動一數以零母化之作子於内減去三五分之三尚餘五之二是為五零五之二
以上是既減整又減零者又有原數以整帶零減數亦以整帶零者先以整數相減次將各零母依法併合為一次乃子母互乘為子各系本子位下相減
於整九内借一數以化母為三百六十三併入一十一則三百六十三之一十一為三百六十三之三百七十四
以上是零整雜減者若原數減數不止二位相併有三四零數以上者照前逐併母數互乘減之
若欲試減法之當否則用加法補前章以減法試加法假如不同母加積者試之兩母相除得母數將所互乘之數互減之其減餘者除以本母得子數竒零乘法第十二
凡兩零相乘者皆以母乘母子乘子凡零數與整數相乘者置整數與零子數並列其上立一數為母與零母並列照前母乘母子乘子凡整數帶零數與整數相乘或與零數相乘者先以整數與所帶零數之母相乘得若干併入零子列子位化法乃以整數照前法列於子位其上立一為母而母子相對乘之
右係整兼零與零數相乘者若兩數俱以整數兼零數者照前先化整數或問乘法乘少為多今或乘多為少何也曰立法如此乃是借虚馭實與除法相㕘為用非整乘也若欲試乘法之有差則用竒零除法竒零除法第十三
凡竒零數又以竒零數歸除者列原數於右列除數於左却將除數倒列子母原數母上子下除數子上母下兩平對乘其乘出數即歸得數
假如以竒零除竒零者右法假如一年十二箇月今曰二之一則六箇月也六之一則二箇月也以二剖六各得三箇月假如以零數除整數者以整數作子上立一為母假如以整帶零而除整數者原數只借一為母不動若除數則以所帶零母化其整數併子數假如以整數除零數者假如以整帶零而除零數者原零數不動其除數之整假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整數若欲試零除之差否則用零乗法以乗出之數為主以對除數相乗仍合原數則不差重零除盡法第十四
歸除不盡曰竒零然有原數之内本來先帶竒零者如原數係二十零四分之一之類是大竒零數内又有小竒零也若欲除之使盡當先歸之使一列小竒零於右列大竒零於左兩母相乘為總母又以小竒母乗大竒子併入小子為共子數即是除盡之數若數繁者約之
假如四人剖一十五零三之二其不盡者整三數零三之二也三之二為小竒列右四之三為大竒列左如法乘之即得四母除盡之數
若小竒零之内復有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相併得母數及子數次乃遞互併完假如七除不盡而餘四數是為七之四矣而又以此四中之一剖為五停内得二又以此二中之一剖為四停内得三又剖此三中之一為三停内得二此乃大竒數内又帶三小竒數愈析愈繁最易淆亂者法具後以上用七除盡者每分得八十四之五十五假如以一十二人剖二十整數零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不盡以一十二之八列左以四右係捷法若依前章竒零加除二法者從小竒數除起以一十二除之借一為母倒列對乘先得小竒乘數次以大竒數與對乘又依加法互乘求總子數約之得除盡數通問第十五
前算法一十四章總歸加減乘除四術臨時制用存乎其人今設一十四問由淺入深由易入難精之躔度厯術麤之米鹽凌雜皆可類見問減二十三餘四十七原是幾數又問減一十一之四餘八零三之二原是幾數答曰此用加法以二十三加四十八原是七十數也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也問八十七内減幾何該餘二十六又問一十三之八内減幾何該餘七之二答曰即用減法就八十七内且減二十六餘六十一得餘數就一十三之八内且除七之二餘九十一之三十得餘數問加三十八得八十三原是若干又問加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用減法於八十三内減三十八尚餘四十五其原數也於二十零二之一内減四零九之八尚餘一十五零一十八之一十一其原數也
問一百與三百四十九差幾何又問六零二之一與二十零四之三差幾何曰此即減法於三百四十九内減一百是為二百四十九於二十零四之三内減六零二之一是為一十四零四之一問何數除之以九而各得三十四又問何數除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其實數也三之二乘四零三之一得整二零九之八其實數也
問有三十於此其五之三是何數又問有四零七之五於此其二之一是何數曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也依法以子數三乗三十得九十以母數五除之得一十八合問以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也依法化四併五為七之三十三以與二之一對乘得一十四之三十三約之為二零一十四之五合問
問除四十八各得一十其除數若干又問除七之三各得三之二其除數若干曰此於除法求之只以一十除四十八該得四零五之四是其除數以四零五之四為除數者依法化整及倒位對乘之子數五乘四十八得二百四十母數二十四除之得一十合問只以三之二而除七之三該得一十四之九是其除數以一十四之九為除數者以九對七以三對一十四乘得六十三之四十二約之三之二也
問一十七與何數相乘而得一百又問三零二之一與何數相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百當各得五零一十七之一十五以得數乘除數還原一百矣以整三零二之一而除四之一當各得一十四之一以得數乘除數還原四之一矣一十四之一乘三零二之一得二十八之七約之四之一也
問兩數相乘得四十八是何數又問兩零數相乘得二之一又或得六零四之三者各是何數曰熟於除法則隨變用之其除四十八者隨意立一數如以六數除則各得其八乗之則六八四十八也如以一十除則各得其四零五之四乘之乃五之二百四十還原四十八也母五乘整四併子得二十四以一十乘得二百四十數以母五歸整是四十八其除二之一者亦隨立一數如以三之二為除則各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六約之則二之一矣其六零四之三者亦隨立一數如用三零二之一為除則各得一零一十四之一十三乘之則六零二十八之二十一約之六零四之三也如用二零四之三為除則各得四十四之一百零八乘之則一百七十六之一千一百八十八約之亦六零四之三也
問兩數除之得二十八又問兩零數除之得六之五其數幾何曰此用乘法亦隨意立一數乗之如二十八數以六數乘之得一百六十八即以六除之仍歸二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一為除仍歸六之五矣問何數以七為乘而所乘出之數歸之以八而得三又問何數以五之二為乘而所乘出之數除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除數乗除得之數而以所云乘數除之其所除得數即所求數也假如三與八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三與四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
問六在五十四之内約是幾分之幾又問五之三在一十之九内約是幾分之幾曰此用約分零除法以小除大其所除得數即是也以六除五十四各得九則六於五十四乃九之一也假如以五十四除六者依零除法各立一數為母倒位對乘乃五十四分之六即以六數而除五十四於此可明零除倒位之義以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十約之則五之三於一十之九乃三之二也
問六數是何數中九之一又問五之三是何數中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六數依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也問化法假如一化為八今七數共化幾分又問以一化四見有四分之三設以一化一十二此四之三者得一十二中之幾又問以一化七見有七之三設以一化八則此七之三者是八中之幾曰此用乘法以前後數相乘得之問化八者以七乗八得五十六是所求其化數矣問以化四較化一十二者以前子四中之三與後母一十二倒位相乘得數三十六以前母除歸本數四箇九即後母之子數也一十二之九問以化七較化八者亦然以前子七中之三與後母八倒位相乘得數二十四以前母除歸本數三七二十一得整三數餘三不盡是零七之三即後母之子數也後母八此前母七中之三即後母八中之三零七之一也譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中國計日以百刻西洋以九十六刻今問西洋之三十一刻當中國之三十幾刻即以西洋九十六為母三十一為子却以中國之母倒下作子與之對乘得三千一百是為九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再尋紐數四約之乃是二十四分刻之七也