同文算指通編卷一
明 李之藻 撰
三率準測法第一
數有顯隱必頼顯以徴隱故列前三率求後一率先定三率之位大都取其相準如貨準貨錢準錢之類凡第三率必與第二率相乗而以第一率除之因得第四率為所求舊名異乗同除
假如錢四貫得貨十二斤今問錢二十貫當得貨幾斤則以二十為三率以十二為二率與相乗以四貫為一率
第一率 四貫 二率三率乗得二百四十數以一
第二率 十二斤 率之四除之每分得六十數為所第三率 二十貫 求蓋第一率與第三率相準也而第四率 六十斤 第二率又與未知之第四率相準相準故以相推妙在相準假如米六十石足支五月今問有米一百三十二石足支幾月此以六十石為一率五月為二率今有一百三十二石為三率以與二率相乗以第一率六十除之第一率 六十石
第二率 五月 以五乗一百三十二得六百六十數乃以六十除之得一第三率 一百三十二石十一月第四率 一十一箇月右試法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率則所推不誤
又法移第三率為第一率第四率為第二率却以第一為第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率
第一率 二十貫 一百三十二石
第二率 六十斤四乗六十得二百四十以十一月十一乗六十得六百六十以一第三率 四貫 二十除之得十二六十石百三十二除得五
第四率 十二斤 五月
又有化多為寡之法先尋紐數凡一數可以除盡兩數者為紐數其兩數亦取相準者為用因以相對乃取紐數所得置本位下乗除如前若無紐數者則否三率 二十 二十四以三代十二仍依法乗得六五 十故以一代四以五代二四率 六十 六十十 六十十依法乗之得六十如前又式
三率六十三 六十三八故以四更之依前乗除仍得七 也七九六十三故代之以七也四率 八十四 八十四八十四 八十四仍前乗除亦得八十四又三率準測之法以一率除二率得數乃以乗第三率所得第四率不異前法
一率 六十 先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率二率 三百六十
四率 七百九十二
乂法先以第一率除第三率得數以乗第二率乗出數為第四率亦如前
一率 六十 以一率除第三率得二零六十之十二約之乃五分之一為用數以二率 三百六十 乗第二率仍得七百九十二如前以上二法皆用三率 一百三十二 先除後乗但除之不盡必用零乗四率 七百九十二 之法故不若從前先乗後除為捷右準測法之變凡三而喫𦂳在於定位孰為第一率孰為第二三率應前者前應後者後又或前者反後後者反前畧具凡例如左
問用銀四十四兩買絹五十二疋今買二百六十疋該銀幾何此所問者二百六十疋則以二百六十為第三率以原買絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率
一 五十二疋
三 二百六十疋
四 二百二十兩
問買絹五十二疋用過價四十四兩今有銀二百二十兩該絹幾疋此所指者銀數則以今有銀為三率原價為一率與相當而以買過絹為二率乗之一 四十四兩
二 五十二疋
四 二百六十疋
問用銀四十四兩不知糴米若干曽見有人以銀二百二十兩糴米二百六十石
一 二百二十兩
二 二百六十石
三 四十四兩
四 五十二石
問有人糶米五十二石不知得銀幾何曾見有人糶米二百六十石得銀二百二十兩一 二百六十石
三 五十二石
四 四十四兩
右四問總是一法所問不同以辨三率之位問有人七日行二百一十里今行一千六百里須幾日一 二百一十里
二 七日
三 一千六百里
四 五十三日又二百一十分日之七十刻法每日一百依法以乗子數七十得七千以母數二百一十除之得三十三刻又三分刻之一問椒一斤不知其價見人買六十斤用價二十兩一 六十斤
二 二十兩二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之係以多除少者説在前編竒零除法三 一斤 立一為母倒位互乗以除之四 約之乃三分兩之一也求分釐法依前編以兩化之子乗母除得三錢三分三釐三三問榖每石價銀一兩七錢五分米每石價銀二兩五錢今有榖三百九十六石照價折米該若干一 二兩五錢
二 一兩七錢五分
三 三百九十六石
四 二百七十七石二斗若問米二百七十七石二斗照價該准穀若干者即以一兩七錢五分為第一率二兩五錢為第二率以二百七十七石二斗為第三率問有八成金五十兩價銀二百兩今有九成金四十兩該銀若干此因有成色有兩數有價數法當取成色折足色後用準測推之五八四十為第一率二百兩為第二率四九三十六為第三率一 四十兩
三 三十六兩
四 一百八十兩
問銀一百兩零七錢八分雇工築堤四百丈零四分今欲築堤一千丈零四分三釐該銀幾何此法化兩為分化丈為釐以列三率
一 四萬四十釐 化四百丈四分二 一萬七十八分 化一百兩七錢八分三 一十萬四十三釐四 二百五十一兩八錢六釐又四千零四分釐之二千一百三十約之乃二千二之一千六十五以毫歸整乃五毫三絲一忽九微六纎問住居七箇月零十五日已支銀二百兩七錢八分又七分分之二若住六年該費若干此化年月為日化兩為分以列三率
一 二百二十五日
二 二萬七十八分又七分分之二三 二千一百九十日四 一十九萬五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十即一千九百五十四兩二錢八分六釐四毫七絲六忽八㣲七纎不盡問有蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共價銀二兩六錢今有銀九錢買蠟幾何曰此謂三不同類之率因蠟有斤有兩又有零分銀亦有兩有錢故云取一最細數為君以大數化之取原價二兩六錢為二十六錢取原蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一為一百七十三兩零十分兩之九即一千七百三十九錢也每斤十六兩先以十斤乗得一百六十數次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六兩零斤之二也次加七兩得一百七十三兩其所零二之一倂前所零五之二用併母法互乗積之為十分兩之九總之如上數一 二十六錢 二率乘三率依前編零乗之法歸整得一二 一百七十三兩一十分兩之九千五百六十五又一十之一乃以第一率用零三 九錢 除之法則一十乗二十六得二百六十為四率四 六十兩又二百六十之五十一約之如上照斤法得三斤十二兩一錢九分又六十五之四在前通問十四
問欲買䳘氄八分丈之七價若干曰曾買三分丈之一原價四分兩之三算之
問煉礦求銀初火煉得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足銀一十六兩原礦若干此併子併母求之以三子相乗二五得一十又四乗得四十為首率以三母相乗三七二十一又以五乗得一百零五為次率一十六為三率問築牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸可高若干法以較求之取原上廣較原下廣所差為一率以原高數為二率今築下廣較原下廣差為三率
一 三十寸上廣不及下廣數二 一百二十寸高
三 一尺九寸今下廣減原下廣四 七十六寸
右法若以築高七尺六寸問上廣若干者以築高數乗原上下廣較而以原高數除之問築牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸量高若干亦以上下廣較為一率原高為二率今所築中廣以較下廣差數為三率一 四十寸原上下廣較
二 二百寸原高
四 一百二十寸
右法若問築至高一丈二尺問上廣者以築至數乗原上下廣較而以原高數除之問築牆上廣十尺下廣三十尺高四丈今欲築至上廣九尺該接高幾何以今上廣較原上廣餘一尺為主置第三率置原高四丈為二率以原上廣不及下廣二十尺為首率
一 二十尺原上下廣較
二 四十尺原高數 又法以原上下廣較減三 一尺今上廣較原上廣數原高為實以今上廣與
四 二尺 原上廣較得數為法除
之亦同
右法若問再加二尺上廣幾何者以再加數與原上下廣較相乗而以原高數除之問驛使先發三十七里别以一騎追之馳一百四十五里尚不及二十三里須追幾里可及此以先發及追去未及之里推之知馳一百四十五里只追上一十四里以追上數為第一率疾馳數為二率不及數為三率一 一十四里
二 一百四十五里
三 二十三里
四 二百三十八里又十四分里之三問甲乙二人同步甲疾乙遲甲行百步乙纔行六十步假使乙先行百步甲方舉步追之該幾步可及一 甲行疾四十步
三 乙先去一百步
四 乙㑹甲二百五十步問商人糴米三千五百石每石價銀六錢五分外用脚價銀五分就糴處以米准脚價則原數内該脚夫若干商存若干此以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率依法乗除先得脚價米為四率以減總米餘為存商之數
二 三千五百石
三 五分脚價
四 二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五約之為一十三之九以減總米餘三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十約之為一十三之四為存商之數右係初糴未運送者故以原糴價算若已搬運到倉則倂糴價雇值每石共值七錢矣以七分為首率依衰分法求之只該脚米二百五十石問蠶繭二百五十斤換綿八十八斤若繭百斤十斤一斤一兩各該綿幾何此求斤兩法繭數為首率綿為次率列繭百斤等為三率有零分者以斤法十六化之再除
二 八十八斤
四 三十五斤五之一即三兩二錢三斤八兩三錢二分五兩六錢三分二釐三錢五分二釐以上十五問見三率布置之序餘可觸類而通變測法第二
前準測法皆以二率乗三率而以一率除之蓋以三率視四率猶以一率視二率多寡相等可例推也又有變測之法假如第一率多於第三率而其第二率反少於第四率或一率少於三率而二率反多於四率者此當審其不相準之數而變法測之則以第一率乗第二率以第三率除之舊名同乗異除問布長九丈闊三尺作衣一襲今有布但闊二尺亦欲作衣一襲増布若干此以三尺為一率以九丈為二率乗之以二尺為三率除之
一 三尺
二 九丈
三 二尺 若欲復前準測之法則移三率為一率移一率為二率却以二四 一十三丈五尺三率而仍以二三相乗以一率除問原借九成金五十四兩今以八成金抵還照成色該還若干
一 九成
二 五十四兩
三 八成 若欲復前準測法則以八成為首率九成為二率而以原借五四 六十兩七錢五分十四為三率問母銀四千兩生息三年今母銀七千四百八十兩數多於前只須幾年即可當前三年之息此以四千為一率三年為二率乗之今母為三率除之一 四千兩
二 三年
三 七千四百八十兩四 一年二百二十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六 若復前準測法則以今母為一率原母為二率三年為三率問荒年麥半石價錢六百文作麥餅每餅重十兩值十文今麥價四百文或貴至八百文而價仍每餅十文則其餅該増減若干
一 錢六百
二 餅十兩
三 錢四百 錢八百 移三率為一率移一率為二率而以二率為第
四 餅十五兩 餅七兩五錢三率乗之即前準測法問二百四十方步為一畝合闊八步長三十步今闊只六步或闊至十二步各該長幾何一 八步
三 六步 十二步
四 四十步 二十步
問方倉貯米三百八十四石原高八尺闊一丈二尺深一丈今另建一倉照前米數亦高一丈但減深八尺或増深一丈六尺各該闊幾何一 一丈
三 八尺 一丈六尺
四 一丈五尺 七尺五寸問築一臺每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或減至二十工各該幾時而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或遲至四年零二百九十二日而成每日各應用夫若干此四難俱用一法而化年為日以一率乗二率以三率除每年作三百六十五日一 三十工 三十工 一千四百六十日 一千四百六十日
二 四年 四年 三十工 三十工
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四 八百七十六日六年 五十工 二十五工
問以兵八千五百共守一隘其糧僅支十一月若待餽運至日尚須二十五箇月計當撤兵幾何留兵幾何而後可供二十五月之食
一 十一月
三 二十五月
四 三千七百四十人當留 四千七百六十人當撤以除得數為留數餘為撤數
問象牙一枝因無大枰用小秤稱之不及其錘重一斤十兩外加一錘重一斤四兩八錢稱得六十七斤依小秤算該幾斤法併原加錘數為首率以稱得數為次率原錘數為三率
二 六十七斤
三 二十六兩
四 一百二十斤又五之三用加六求之即九兩六錢問原秤稱物重八斤二兩失去原錘欲另鑄錘配用不知輕重另借别錘以較原稱之物只六斤則原錘若干此須化斤為兩以加六通後稱數九十六兩為首率以所借錘三十七兩為次率原稱數一百三十兩為三率得所求原錘數以斤法除之按别錘下脱重三十七兩五字一 九十六兩
三 一百三十兩
四 二十七兩三錢又一十三分錢之三以斤法除得一斤十一兩三錢二分七毫不盡問空車日行七十里若重載即日行五十里今載糧到倉五日三返路逺若干法以五日為首率以空車重車日行數相乗為次率併空車重車日行數以三返乗之為三率
一 五日
二 五百三十里按數誤應作三千五百里三 三百六十
四 四十八里又三十六之二十二重準測法第三
凡數兩相較者皆兩兩相準故以巳然為一二率見在為三率以測四率若巳然者先有雜數見在者又有雜數此當以類次第歸併而疊用三率之法推之準而又準測而又測為重準測法
問每人每月織絹六疋若八人四年該幾疋此以一人為第一率以六疋為第二率以八人為第三率八六乗得四十八為第四率又以四十八為所問第二率化四年作四十八箇月為第三率依法乗得第四率一 一人 先以人數測絹數 一月 即八人之一月次以月數測絹數
二 六疋 四十八疋
四 四十八疋 二千三百四疋
又倂法以一人乗一月為第一率以六疋為第二率以八人乗四十八箇月為第三率而二三相乗以一除之一 一人一月乗只是一數凡不同數者用此乗法倂之如人與月不同是也若二 六疋 月與年則同數者竟當化一年為十二月不必相乘三 三百八十四 矣四 二千三百四疋
問雇役一千里運貨二百斤給值四兩今貨三百斤運四千里該值幾何此以一千里乗二百斤為一率以四兩為二率以三百乗四千為三率一 二十萬
併 二 四兩
法 三 一百二十萬四 二十四兩
準 三 三百斤 四千里
法 四 六兩 二十四兩
問三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日該銀米幾何此以三人乗五十日為第一率以三兩及五石各為第二率以一人乗一日為第三率二三相乗一率除之
一 一百五十三乗五十
四 二分 三升三合零三之一
一 三人先以人準銀米五十日次以日準銀米
重 二 三兩 五石 一兩 一石三一二
準 三 一人 一日
四 一兩 一石三一二 二分 三升又三一一問母銀三百兩四年得子銀一百兩今有母銀一千五百八十兩七年該出子銀幾何此以三百乗四年為一率以一百為二率以一千五百八十乗七為三率
一 一千二百
併 二 一百
法 三 一萬一千六十四 九百二十一兩又三分兩之二
一 三百 四年次以四年子母相算
重 二 一百 五百二十六兩又三之二
四 五百二十六兩又三之二 九百二十一兩又三之二問母銀十兩三箇月得子銀四兩若母銀一百兩欲得子銀二千兩須幾年此因有月在内湏作重準測法先知百兩三月所得然後再測若只如前併法以四乗十共作一率則所差多矣式具後一 一十兩此未言三箇月但十兩之得四 四十兩既得上數乃以銀準月而推二 四兩 兩以三月則百兩之得四十兩 三月三 一百兩亦是三月𦂳要在此便可再測 二千兩
右法試之以十兩乗三月為第一率以四兩為第二率以一百兩乗一百五十月為三率而以二三相乗以一率除之此係倒法蓋帶月作一率三率者
二 四
問有夏布四十五疋以換綿布兩價不等夏布每三疋價二錢綿布每七疋價七錢五分該換若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共價若干次即以所獲價為第三率以七錢五分配為第一率七疋為第二率推之
一 三疋 一 七錢五分
二 二錢 二 七疋
三 四十五疋 三 三兩
問將銀二十三兩買布七十五疋每疋長四丈闊二尺今另買布闊一尺六寸長與前等該減前價若干此先求每尺之價以四丈乗全布又以闊二尺乗六千尺為首率價銀為二率另立一尺為三率求得四率為尺價次求應減之價乃移三四率為一二率以兩闊相減餘四寸乗原長三千尺一千二百尺為三率
一 六千尺 一尺
三 一尺 一千二百尺
四 三釐八毫三絲又三之一 四兩六錢問重舟日行八十里輕舟日行一百里今重舟先去一十五日輕舟幾日追及先求重舟一十五日行若干里得數用為重測之三率而以輕舟每日多行二十里為首率推之得四率為追及之日
一 一日 一 二十里
四 一千二百里 四 六十日
問車輪半徑一尺九寸五分假令一日轉二萬周該幾里此因有里有尺又有寸有分須用再測先倍半徑得三尺九寸為全徑數三因得一百一十七寸為一周數以一周為一率一百一十七寸為二率二萬周為三率推得尺寸共數乃以其數為第三率以里法一千八百尺除之
一 一周 一 一千八百尺
二 一百一十七寸 二 一里
三 二萬周 三 二十三萬四千尺
四 二十三萬四千尺 四 一百三十里
問用磚砌滿九里每磚闊六寸每層該磚若干此以里求寸當化里為寸每里一萬八千寸九里得一十六萬二千寸乃求磚數
二 一萬八千寸 二 一磚
三 九里 三 一十六萬二千寸
四 一十六萬二千寸 四 二萬七千○磚
問撥夫一百名築城二百丈八箇月工完今仍用夫一百名給銀一百兩欲築城二萬丈幾月完工此以二百為一率以八為二率以二萬為三率不用銀數以與夫數相同不算
二 八月
三 二萬丈
四 八百月
問用夫三百名七箇月修過墩臺四十五座今有夫一千七百八十名亦七箇月可修墩臺若干座此與前法相同除月不用
一 三百名
三 一千七百八十名四 二百六十七座
問選鋒兵一名每月給銀四兩今有選鋒兵一萬三千名九箇月該給幾何此以一名乗一月為一率以四兩為二率以九乗一萬三千為第三率一 一
四 四十六萬八千
問馬十匹每一日用料七斗今有馬百匹養二十日用料幾何此以十匹乗一日為一率以七斗為二率以百乗二十為三率
一 一十匹
二 七斗
三 二千匹
問開河長七百五十五丈上廣五丈四尺下廣四丈深一丈二尺每夫每日開二百尺問幾工可完即以二百尺為首率併上下廣折半得四十七尺以深乗之得五百六十四尺為次率以長為第三率一 二百尺
二 五百六十四尺
三 七千五百五十尺四 二萬一千二百九十一工問開濠下廣七尺上廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名幾日畢工此以二百人乗一百四十四尺得二萬八千八百為法置第一率併上下廣折半以深乗得三十二尺為二率以長為第三率
一 二萬八千八百
二 三十二
四 二日
問十二人九日共刈麥二十畝今有三十人刈麥四十五畝該幾日此因有人數又有日數又有畝數當用重準法又以一率小於三率而四率反少於二率兼用變準法而重準則仍用準測法一 十二人先以人較日一率二率相 二十畝次以日較畝二三相乗變 二 九日 乗三率除之重 三日又五分日之三
四 三日又五分日之三 八日又十分日之一
問負米一石一斗二升行三十步日五十次今負米一石二斗行四十步日可幾次此全用變準法以三十步乗一石二斗二升為首率五十次為二率今負米一石二斗以乗四十步為三率
二 五十次
四 三十五次
問金錢一文值銀一兩一錢五分今有銀一千兩該金錢幾文此用化法二率乗三率以一率除一 一百一十五分
二 一文
三 十萬分
四 八百六十九文又二十三分錢之一十三問金錢每文得銀一兩一錢五分今金錢四千文銀幾何
一 一文 一百分
二 一百一十五分 一兩
三 四千文 四十六萬分
四 四十六萬分 四千六百兩
問烹砂煉金每日所得重三十銖今積得七斤八兩已採幾日法先化斤為銖每斤三百八十四銖先求七斤八兩得銖若干乃以共銖求數此是斤稱法
一 一斤 三十銖
二 三十銖 一日
三 七斤八兩 二千八百八十銖
四 二千八百八十銖 九十六日
問煉銅入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三兩四錢四分原生銅若干此用化法化八斤一萬二千八百分為首率化十斤一萬六千分為次率化三火銅一十二萬一千三百四十四分為三率得四率為二火銅數乃即用四率為三率以求一火銅得數又用為三率以求生銅其一率二次不動依法乗除得數乃以斤法一十六除之
一 一萬二千八百分二 一萬六千分
三 一十二萬一千三百四十四分一十五萬一千六百八十一十八萬九千六百四 一十五萬一千六百八十分一十八萬九千六百 二十三萬七千分即一百四十八斤二兩又捷法以八斤自乗六十四再乗五百一十二為法以除三火銅亦得二三七因有再乗各再進位以七為兩亦同前法
問將銀雇匠採石不知銀數石數只云每石六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍛鐵炭火銀二百兩是六十分之二則原銀幾兩買石幾丈石價船價總若干各若干法據鍛鐵炭火銀二百兩為六十分之二已知原銀是六千兩内減二百兩只以五千八百兩為實在之銀起算作第三率以六十丈為第二率相乗得數乃以七兩七錢併船價三錢共八兩為第一率除之得四率為買石總數再置石總為第三率以七錢七分為二率乗之六十丈為一率除之得石總價以減總銀餘得船價
一 八兩 六十丈
二 六十丈 七錢七分
三 五千八百兩 四萬三千五百丈
四 四萬三千五百丈 五千五百八十二兩五錢此係石價以減總銀餘二百一十七兩五錢為船價加鍛鐵炭火二百兩仍足六千兩
問母銀六十兩置貨賣得六十四兩或只賣得五十七兩今有銀一百兩置貨賣之依前算該得多銀幾何或折銀幾何此以六十為一率以所賣二數較之一増四兩一減三兩各為二率以一百兩為三率
一 六十兩 六十兩
二 四兩多數 三兩折閲數
三 一百兩 一百兩
問有貨一百斤賣得子銀六十四兩不知母銀幾何兹母銀一百兩欲得子銀六兩零三分兩之二其法以子併母為一率以母為二率以所問六十四為三率所問六十四兼有子母故相準第一率亦兼子母配之所求第四率係原買母銀故第二率亦以母銀配之
一 一百六兩又三分兩之二除貨一百斤不用只以銀數相準二 一百兩
三 六十四兩
四 六十兩每六十兩得子四兩則一百兩得子六兩零三分兩之二矣然則以六十四兩賣者必以六十兩買也問寳石一顆賣銀二百兩以其母銀較之每百兩折銀一十兩原買母銀若干此因百兩之内折一十當以九十兩為一率以一百為二率以二百為三率一 九十兩欲以二百之子推求二百二十二兩有零之母先以九十兩之子及一百兩之母為二 一百兩一率二率
四 二百二十二兩零九分兩之二問玉石一駝賣價三千六百兩今欲每母一百兩得利一十兩必須於買價内原減得三兩方獲此利試問原買價幾何此與前法相同以一百一十為第一率因所問在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所減三兩不用以一百為第二率求母數故以母數配之以三千六百兩為第三率一 一百一十兩
二 一百兩
三 三千六百兩
四 三千二百七十二兩又十一分兩之八再加三兩即原買數問紵絲一千疋賣銀三千六百兩若原買價多六兩即每百兩折十兩欲知原價幾何此因百兩内已折一十兩以九十兩為一率以一百兩為二率以三千六百兩為三率
一 九十兩
二 一百兩
三 三千六百兩
四 四千兩再減六兩即原價問貨每一斤賣銀二錢即母銀百兩已得息三十兩設若每斤賣至二錢四分則百兩獲息幾何其法先求每斤二錢之内母銀子銀各若干然後再據子母推之先列所知子母全數一百三十為第一率以母銀一百兩為第二率知母一百三十之内以三十為子以推二錢之内以若干為子乃以二十分為第三率依法乗除得二錢之母銀亦即二錢四分之母銀也次乃以母銀為一率以二錢四分内之子銀為二率以一百為三率
一 一百三十兩 一十五分又十三之五二錢内母數
二 一百兩 八又十三之八二錢四分内除去第一率得此數
三 二十分 一百兩
四 十五分又十三之五此是母數外皆利息五十六兩問貨一百斤賣銀十兩總計每母百兩内已折十兩若使每百斤只賣銀八兩則百兩之内所折幾何此須先知一百斤之貨原值若干乃可重推先從百兩折十兩得九十為第一率以一 百為第二率以所折十兩為第三率依法乗除得百斤原本之數為第四率即以此為重準之第一率内推只賣八兩所折為第二率以總數一百為第三率
二 一百兩 三兩九之一第一率内只賣八兩則所折者此數
三 一十兩 一百兩
四 十一兩又九之一此得百斤正價未折之數二十八兩問買布五萬疋用銀一萬兩納過課銀五百兩費過車脚三百兩又納課銀二百兩又雇船一百兩又過闗一百兩又食費一千兩其費如此必每疋賣銀幾何然後每疋獲息銀二錢法以五萬為第一率以本價及諸費共一萬二千二百兩化錢數為第二率以一疋為第三率
一 五萬疋
二 十二萬二千錢
四 二錢零五十分錢之二十二此係每疋本銀費過之價此外再加二錢其須四錢零五分之十二方得利二錢問布每疋長四十尺内該抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外貼錢六百文其布價每疋幾何此已知抽税者為二十取一也先求三百疋應抽之數數外皆應貼錢此所貼者半疋二十尺之價也倍
之得每疋價 一 二十疋 一 二十尺即半疋
二 一疋 二 六百文
四 一十五疋 四 一千二百文問有客販參不記母銀幾何但云每參六斤價銀七錢七分車脚三分又用過牙銀二百兩是原母三十之一其母銀數及參數價數各若干此以價七錢七分併車脚三分得八錢為首率參六斤為次率其牙銀二百係母銀三十之一以加二倍得母銀六千内減牙銀餘五千八百兩為三率得第四率為參總率另以六斤為首率減車價三分以七錢七分為次率參總為三率求得第四率為共價其參總率及參價乃六斤所推各以六除得參斤數及每斤價數
一 八錢 六斤徑以首率除二率得每斤價一錢二分八釐三毫三之一以首率除三率得共參七千二百五十斤
二 六斤 七錢七分
三 五千八百兩 四萬三千五百四 四萬三千五百 五千五百八十二兩五錢以減五千八百餘二百一十七兩五錢是車價問以銀二十二兩八錢買黄白蠟均平其黄蠟每三斤價四錢白蠟每一斤價五錢二色之價各若干此以兩母子互乗三五一十五一四如四併得一十九為首率兩母相乗為次率總銀為三率求得二色各斤數
一 一兩九錢
二 三斤
三 二十二兩八錢
四 三十六斤以價乗白蠟得一十八兩以價乗黄蠟四除之得四兩八錢問飯僧不知人數初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米與僧各若干法用重測先置子母互乗九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十併之一千七十為首率兩母相乗四千五百為次率共米為三率得僧數乃以僧數為三率各以子乗母餘得二日米數
一 一千七十 五 九
二 四千五百 八 七
三 三十二石一斗 一千三百五十 一千三百五十四 一千三百五十僧 二十一石六斗 一十石五斗