同文算指通編卷二
明 李之藻 撰
合數差分法第四上
總數一也而分之糅襍不齊者亦以準測齊之大抵以總數為第一率以總數所得為第二率如以母得子或以銀得年月之類分布而各為之宗為第三率若三率不盡者亦用重準之法測之
問四商共販得子銀六千兩而各出母銀不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人該分子銀若干先以四人共母為第一率以所獲共子為第二率分置四母各一宗為第三率以第二遞乗第三以一率除
一 四百八十
二 六千
三 六十甲 一百乙 一百二十丙 二百丁
問三商置貨同舟甲貨值三百兩乙貨值五百兩丙貨值一百八十兩遭風共棄貨値四百兩各照原值攤認法併三人值為第一率以所棄值為第二率分三人貨值為第三率疊以三率法乗除一 九百八十
二 四百
三 三百甲 五百乙 一百八十丙四 一百二十二兩又九百 二百四兩又九百 七十三兩又九百八八十分兩之四百四十 八十分兩之八十 十分兩之四百六十問三人共買貨四千斤值銀五百兩甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各該認價若干此以總貨為第一率以總價為第二率以各人所取數分三宗為第三率
一 四千斤
二 五百兩
三 一千三百甲 一千四百六十乙一千二百四十丙四 一百六十二兩又二分兩之一 一百八十二兩又二分兩之一一百五十五兩問三商共得子銀一千兩所出母銀多寡不一先後亦不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月此子銀一千者每人應分若干其法以各母乗各月以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百總彚之為第一率以所獲總子為第二率以各母及月分所乗出三宗為第三率一 九千三百
三 一千六百甲 二千七百乙 五千丙
四 一百七十二兩又 二百九十兩又九 五百三十七兩又九
九十三分兩之四 十三分兩之三十 十三分兩之五十九
問三商共販得子銀一千兩甲母三百兩十箇月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得分五百兩乙得三百兩丙得二百兩要知丙丁二人出過母銀幾月其法先取甲之知母知子知月者為算以所分五百為第一率以一十月乗三百兩為第二率共三千已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗為第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙丙母銀乗月之數次乃各以其母除之仍得月數此于四率外加一率兼重準測法云一 五百甲之子
二 三千甲月與母乗
三 三百乙之子以乗三千得九十萬以五百除二百丙之子以乗三千得六十萬以五百除四 一千八百此兼乙母乗乙月之数一千二百此兼丙母乗丙月之數二月又七分月之四以乙母七百除得乙月一月又二分月之一以丙母八百除得丙月問四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月先取出一千兩至滿十九箇月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六箇月取出八百兩至滿十五箇月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收囘至滿一十七箇月别出母一千六百兩丁初不出母六箇月後方出一千八百兩又過四箇月取出九百兩至滿十六箇月又増入一千五百兩此四人者於所𫉬息一萬兩内計母計月各該分若干其法以四母各乗其月甲作三段乗三千兩乗八箇月得二萬四千數八月之後取去一千只存二千至十九月滿共十一箇月以十一乗二千得二萬二千數其十九月之後又加一千二百共三千二百自第二十箇月起到底計五月以五乗三千二百得一萬六千共得六萬二千乙作三段乗二千四百兩乗六箇月得一萬四千四百兩此後除去八百兩只存一千六百兩至滿十五月實九箇月以九乗一千六百得一萬四千四百兩其十五箇月之後又加入一千四百兩共本銀三千兩到底計九箇月以九乗三千得二萬七千共得五萬五千八百數丙作二段乘二千兩乗七箇月得一萬四百兩自滿十七箇月以後出本至二年止共七箇月以七乘一千六百得一萬一千二百共得二萬五千二百數丁作三段乘自六箇月以後出本一千八百兩滿四箇月以四乘一千八百得七千二百此後取去九百實在九百至第十六箇月滿計六箇月以六乘九百得五千四百此後又出本一千五百共二千四百到底計八箇月以八乘二千四百得一萬九千二百共得三萬一千八百數四人共計一十七萬四千八百為第一率以所𫉬息為第二率分各母乘月數為四宗作第三率
一 一十七萬四千八百問三商同夥甲母四百兩乙三百兩八錢六分丙一千兩零七錢九分三商共折銀一百兩各認若干此皆化兩為分甲四萬乙三萬八十六丙十萬七十九併三人總分數為第一率以所折為第二率分各母數三宗為第三率一 一十七萬一百六十五二 一萬
三 四萬甲 三萬八十六乙 十萬七十九丙四 二千三百五十又一千七百六十八五千八百八十一十七萬一百六十又十七萬一百六又十七萬一百六五之十一萬二千十五之八千二十五之四萬九千二百五十百八十六百三十五問三商甲出母銀二百兩經十二月乙出母銀二百四十兩不知月丙出金若干不出銀經十箇月共得子銀一百三十八兩甲分六十乙得四十八丙得三十今問乙該幾箇月丙之金值幾何此以甲銀乘甲月共二千四百而知子銀六十出自二千四百也以六十為第一率以二千四百為第二率以乙丙各子為第三率二三相乘各以一除之其所得數乙一千九兼乙丙之母與月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值銀一百二十兩一 六十
二 二千四百以上俱甲
四 一千九百二十 一千二百
八月以本銀除之得此數一百二十兩以月分除得此數問三賈共販一年甲先出母銀一千兩乙母後二箇月方出丙母後四箇月方出俱不知其數幾何但所得子銀則均分要知乙丙各母之數此以所已知甲母甲月相乗為第一率乙丙準此為算而各以其月除之乙十月丙八月即各得其母之數
二 一千二百乙母 一千五百丙母右試法合三總數為三萬六千作第一率隨意立一數為子數作第二率又以總數分為三宗各萬二千作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同一 三萬六千
問三商共得子銀一百九十兩其分息則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一其母銀則甲出八十兩十二箇月乙不知幾何但知八箇月丙亦不知幾何但知四箇月要知三人各息若干丙丁各母若干此須再用重準測法求之先以甲母及月相乘九百六十為第一率以其三之一乙三百二十四之一丙二百四十兼各母與月者為第二率既得母月兼數即以乙丙各月除之知各母數然後可以察其分息之數矣另併三人所乗母數月數為第一率以總子為第二率分甲乙丙母所乗得為第三率二三相乗以一除之各得第四率為所分子銀數一 九百六十甲母乗甲月二 三百二十乙得甲三之一二百四十丙得甲四之一三 四十兩 乙以八除得此六十兩 丙以四除得此右已知乙丙之母銀再測如左一 一千五百二十甲九百六十乙三百二十丙二百四十併此數二 一百九十
三 九百六十甲 三百二十乙 二百四十丙
四 一百二十 四十 三十
問三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩照母分之甲得一百二十兩乙得四十兩則丙所得若干又甲乙丙各母若干法就總子銀内減去甲乙所得子剩三十為丙之子仍以總子為第一率以共母為第二率以各分子銀三宗為第三率二三相乗以一除之得第四率為各母
一 一百九十
二 一千五百二十
三 一百二十甲之子四十乙之子 三十丙之子四 九百六十甲之母三百二十乙之母二百四十丙之母問三商總母一千五百二十兩總得子一千七百十兩子母共分甲分一千八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩則每人各母若干其法併三人子數為第一率母為第二率以各人所分得三宗為第三率依準測法得四率為各母數就各以四率之數減其第三率之數餘者為各子數
二 一千五百二十
三 一千八十甲 三百六十乙 二百七十丙
四 九百六十 三百二十 二百四十
問二商共得子銀二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩二人各出母幾何其法置甲五十乙倍之該得一百今分一百五十則知已贏母八兩故於一百數外多獲五十也依法列三率知五十之出于八則知一百五十之出於二十四矣一 五十
二 八
三 五十甲 一百五十乙
四 八 二十四
問二商共貿甲母一百二十兩乙母一百八十兩共一牙儈每子銀一百兩與牙銀十兩後得子銀一千兩各該分幾何其法于一千内除去牙銀一百兩以實在子銀九百兩為算乃併甲乙母為第一率實在子銀為第二率分甲乙母二宗為第三率一 三百
二 九百
三 一百二十甲母 一百八十乙母
問三商共得子銀一千五百二十兩其母銀則甲出一千八十兩乙出三百六十兩丙不知所出幾何只言分得子銀二百四十兩今欲知丙母幾何甲乙所得子幾何其法先就總子數内減去丙子一千二百八十為甲乙共得子數乃倂甲乙母為第一率以甲乙共子為第二率分甲乙二母數為第三率法得第四率為甲乙子數
一 一千四百四十併甲乙母二 一千二百八十併甲乙子三 一千八十 甲母 三百六十乙母四 九百六十 甲子 三百二十乙子已知甲乙子母之數即可因丙子以求丙母乃併甲乙子為一率併甲乙母為二率丙子為三率一 一千二百八十倂甲乙子二 一千四百四十併甲乙母三 二百四十丙子
問三商母銀各等一年内共得子銀一千兩但甲母閲七月乙母閲六月丙母則滿一年各該分子銀若干其法積甲乙丙總月為第一率以總子為第二率列三人各月數為第三率
一 二十五月併甲乙丙
二 一千兩
三 七甲 六乙 十二丙四 二百八十兩 二百四十兩 四百八十兩問織絹每疋用絲一斤工價即與絲四兩今有絲四十三斤一十二兩其織絲工絲各若干法當化斤為兩然後歸兩作斤併工絲絹絲共二十兩置首率總絲為七百兩置次率列工絲絹絲置第三率依法乗除一 二十兩
二 七百兩
三 四兩工價 一十六兩織絹四 一百四十兩歸之乃八斤一十二兩五百六十兩歸之為三十五斤問甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝各役幾時此併三人田共八百畝置首率以一年為三百六十日置次率列三人田數置第三率
一 八百畝
二 三百六十日
三 三百五十畝甲 二百八十畝乙 一百七十畝丙四 一百五十七日半 一百二十六日 七十六日半問派糧八百四十石四縣照田地多寡納之甲田三千六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五百七十七畝丁田四千三百二十二畝各納若干亦併總畝置首率總糧置次率列四縣各田數置第三率一 一萬四千畝
二 八百四十石
三 三千六百三十五畝甲 二千四百六十六畝乙 三千五百七十七畝丙 四千三百二十二畝丁四 二百一十 一百四十七 二百一十四 二百五十九八石一斗 石九斗六升 石六斗二斗 石三斗二升問五縣輸榖二萬石照依人户多少道里逺近價值上下而均輸之毎車載二十五石行一里僦值一錢甲縣二萬零五百二十户榖石價二兩乙縣一萬二千三百十二户榖石價一兩逺輸二百里丙縣七千一百八十二户榖石價一兩二錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百三十八户榖石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣五千一百三十户榖石價一兩三錢逺輸一百五十里各該若干先求各衰惟甲縣自輸本縣無僦里以榖價二兩為法除甲户得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乗所輸里數而以每車二十五石除之得各運價以乘各户而求各衰乙縣行道二百里乘除之得八錢倂榖價一兩八錢以除乙户得六百八十四衰丙縣行一百五十里乗除得六錢併價共一兩八錢除丙户得三百九十九衰丁縣行二百五十里乗除得一兩併價共二兩七錢除户得四百九十四衰戊縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩九錢除户得二百七十衰併五衰共二千八百七十三為首率以總榖為次率列各衰為三率一 二千八百七十三二 二萬石
三 一千二百六甲六百八十四乙三百九十九丙四百九十四丁二百七十戊四 七千一百四千七百二千七百三千四百一千八百四十二石六十一石七十七石三十八石七十九石三斗五升五斗七升五斗八升九斗一升五斗六升九合九勺三合二勺四合四勺四合零勺八合三勺
僦價無 二十兩 一十五兩 二十五兩 一十五兩問有田一萬八千八十八畝三子遞分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各該若干此倍増倍減法也以一二四為衰分季一仲二伯四合總為第一率田數為第二率分各衰為三率
一 七
二 一萬八千八十八畝三 四伯 二仲 一季四 一萬三百三十六 五千一百六十八 二千五百八十四問有銀九十二兩四子挨次遞分各幾何併各衰伯四仲三叔二季一共得一十為首率銀數為二率各衰為三率一 一十
二 九十二
三 一季 二叔 三仲 四伯四 九兩二錢季一十八兩四錢叔二十七兩六錢仲三十六兩八錢伯問官銀一千一百零七兩令五等户減半出辦甲户一十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户數併甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰併得七百三為首率總銀為次率列各衰為三率推得各等共數再以各户除之得各户數
一 七百三十八
二 一千一百零七兩三 二百五十六十二百八一百四十二甲九十六乙 六十二丙四 三百八十四兩 三百兩一百八十六兩 一百四十四兩 九十三兩
二十四兩 一十二兩六兩 三兩 一兩五錢
問用金八十一兩造杯一套五箇毎杯重若干此挨次衰分併各衰五四三二一共一十五為首率總金為次率列各衰為三率
一 一十五
二 八十一兩
三 五 四 三 二 一
四 二十七兩 二十一兩六錢一十六兩二錢一十兩八錢五兩四錢問派糧一千一百三十四石令五等户挨次上納甲户二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六十各等各户各若干法亦以各等户數乗各衰併為首率糧數為次率分各衰列三率推得各等人户所納再以户數乗之得各等共數
二 一千一百三十四石三 一戊 二丁 三丙 四乙 五甲四 二石一斗 四石二斗 六石三斗 八石四斗十一石五斗一百二十六石二百一十四石二斗二百六十四石六斗 二百七十七石二斗二百五十二石問𣲖糧三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六辦納甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四六衰者就身六乗四除首位四以六乗得二十四即以四除得六後多數倣此此先以六乗甲户四乘乙户六乗二十六得一百五十六數四乗四十得一百六十數併為首率總糧為次率列各衰十六下四為三率推得每户應納之數再以甲乙各户數乗之得各共數若先以總衰除總糧得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同
一 三百一十六
二 三百八十五石五斗二升三 六上 四下四 七石三斗二升甲一户 四石八斗八升乙一户
一百九十石三斗二升 一百九十五石二斗問徴銀一千七百一十六兩以四等人作四六派出各該若干法併各衰丁四丙六乙九甲一十三零二之一為首率銀數為次率列各衰為三率求得各衰數此四六衰是一倍有半加之若先以總衰除總銀得五十二兩八錢後以各衰乗之亦同
一 三十二又二之一二 一千七百一十六兩三 四丁 六丙 九乙 一十三又二之一甲四 二百一十一兩二錢三百一十六兩八錢四百七十五兩二錢七百一十二兩八錢問徴糧一千二百六十六石令五等人作四六納之各該若干法併各衰戊四丁六丙九乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六為首率其甲與乙須用竒零併子母法併之増至多等皆然總糧數為次率列各衰為三率測得各衰數若先以總衰除總糧得二十四石後以各衰數乗之亦同一 五十二又八之六二 一千二百六十六石三 四戊 六丁 九丙 一十三又二之一乙二十又四之一甲四 九十六石 一百四十四石二百一十六石三百二十四石四百八十六石問派糧二百六十一石令三等户三七出辦甲户二十一乙户三十二丙户四十三各等幾何每户幾何凡求三七衰分者用三除七乘遞求若零分多者就首衰之數以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九為首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七為首衰如五位者又以二十七三因得八十一為首衰凡此皆以省零分也此問法以各等乗各衰併之甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十為首率以總糧為次率列各衰為三衰推得第四率是各户應出之數再以數乘之得各等共數
三 四十九甲 二十一乙 九丙四 六石一斗二升五合二石六斗二升五合
一石一斗二升五合一石二十八石六斗二升五合 八十四石 四十八石三斗七升五合
問制錢三萬八千二百八十文四人作三七分之各若干法先併各衰丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十為首率以總銀為次率列各衰為三率推得四率一 五百八十
二 三萬八千二百八十文三 二十七丁 六十三丙 一百四十七乙 三百四十三甲四 一千七百八十二文四千一百五十八文九千七百二文 二萬二千六百三十八文問派銀八百二十八兩二錢令五人三七納之每人應若干先倂各衰戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一為首率以總銀為次率列各衰為三率一 四千一百四十一二 八百二十八兩二錢三 二千四百○一甲一千○二十九乙四百四十一丙一百八十九丁八十一戊四 四百八十兩二錢二百○五兩八錢八十八兩二錢三十七兩八錢一十六兩二錢問官銀二千六百三十五兩令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之遞求次衰比問法先併各衰丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十為首率總銀為次率列各衰為三率得各銀數此二八衰分是四倍加之若先以總衰除總銀得一十五兩五錢後以各衰乗之亦同
一 一百七十
二 二千六百三十五兩三 二丁 八丙 三十二乙 一百二十八甲四 三十一兩丁一百二十四兩丙四百九十六兩乙一千九百八十四兩甲問𣲖糧二千六百五十五石九斗令五等户二八辦納甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户該若干法置五等衰以各户數乗之併甲三十户乗衰五百一十二得一萬五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十併共二萬二千七百為首率總糧為次率列各衰為三率推得四率是各等每户納數再以各等户數乗之得各等共糧數若先以併衰除總糧得一斗一升七合為最下衰然後以各衰乘之亦同
一 二萬二千七百
二 二千五百六十五石三 五百一十二甲一百二十八乙三十二丙八丁 二戊四 五十九石九斗一十四石九三石七斗九斗三二斗三○四合斗七升六合四升四合升六合升四合以上四六三七二八俱増衰法問官絹四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户辦納以一十分之六遞減其上等計二十五户中等三十户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等户乘併之上等户數乗一百衰得二千五百中等户數乘六十衰得一千八百下等户數乗三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八為首率以總絹為次率列各衰為三率推得第四率為各等一户所出數再以各户數乗之得各等數
三 一百 六十 三十六
四 七丈八尺上等户四丈六尺八寸中等户二丈八尺八分下等户一百九十五丈 一百四十丈四寸 一百三十四丈七尺八寸四分問官糧一百六十八石四斗八升八合令四等户辦納遞減十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二丁户四十八每等每户各幾何立各衰以各户數乘併甲户數乘一千衰得二萬二千乙户數乘七百衰得二萬五千二百丙户數乗四百九十衰得二萬五百八十丁户數乘三百四十三得一萬六千四百六十四通共八萬四千二百四十四為首率總糧為次率列各衰為三率推得第四率各等一户所出數再以户數乘之得各等數
一 八萬四千二百四十四二 一百六十八石四斗八升四合
三 一千 七百 四百九十 三百四十三
四 二石甲 一石四斗乙九斗八升丙六斗八升六合丁四十四石 五十石零四十一石三十二石九四斗一斗六升斗二升八合右併衰係減衰法凡十之五十之九之類倣此問榖二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等各幾何此遞差偏多偏寡法先併各衰為二宗較之用餘數増入各衰併甲乙二衰甲五乙四得九又併丙丁戊三衰丙三丁二戊一得六以減九餘三却于五等衰各増三數甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十併之為首率總米為次率推得第四率遞差八石其甲乙二人所分得數與丙丁戊三人正相當此是以八遞加
二 二百四十石
三 四戊 五丁 六丙 七乙 八甲四 三十二石 四十石 四十八石 五十六石 六十四石右増衰凡増衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲數與乙丙數同者七人分要甲乙丙數與戊己庚辛數同之類
問四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三是也係衰分遞加但知甲原母二百八十六兩餘遞減各該若干須知十三之於九與二百八十六之於某數相同按衰母遞測之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三為第一率甲母二百八十六為第二率以丁衰九為第三率依準測法得丁母數餘倣此
一 十三甲衰 十一丁衰 九丙衰二 二百八十六甲母一百九十八丁母一百二十六丙母三 九丁衰 七丙衰 五乙衰四 一百九十八丁之母一百二十六丙之母七十乙母右法已知各母再欲知其應分子銀以四遞加之數則併甲乙丙丁母為第一率總子為第二率分四母為第三率
一 六百八十倂母
二 三百四十總子
四 一百四十三 三十五 六十三 九十九
問三商共銀七百六十兩分之則甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法併甲乙丙衰為第一率以銀數為第三率
一 一十九甲一十乙七丙二共此數二 七百六十
三 一十甲 七乙 二丙
問應徴糧七十三石二斗派令三等人户照分攤出上等二十五户每户作五分辦中等四十户每户三分辦下等六十户每户一分辦各户若干各等共若干法以各分各户相乗倂之以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十無乗共三百零五為一率以總粮為二率以各衰五三一為三率推得三等户所應出分數再以各户數乗之得各等共數
二 七十三石二斗
三 五 三 一
四 一石二斗 七斗二升 二斗四升
三十石上 二十八石八斗中一十四石四斗下問硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢今有銀一千二百兩議買硃青二色硃數比青増一倍各斤數與價若干法因硃砂加倍即倍其價三兩六錢為七兩二錢倂青價二兩四錢共九兩六錢為一率以總銀為二率以各價為三率推得斤數為四率再各以價乘之一 九兩六錢
三 三兩六錢 二兩四錢
四 二百五十斤價九百兩 一百二十五斤價三百兩
問綾毎尺價銀九分二釐羅毎尺八分五釐絹每尺三分六釐今有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停各實數與價若干法用二乘羅價一錢七分三乘絹價一錢八釐併綾價共三錢七分為一率總銀為二率各價為三率得四率為各實數各以原價乘之
一 三錢七分
二 一百二十一兩一錢七分五釐
三 九分二釐 八分五釐 三分六釐
四 三十二丈七尺五寸綾六十五丈五尺羅九十八丈二尺五寸絹三十兩一錢三分 五十五兩六錢七分五釐三十五兩三錢七分問芝蔴每三斗換米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石換米豆共九百一十石各用芝蔴若干所換米豆各若干法用重準先併米五豆七共一十二為首率以芝蔴總數為二率分列米五豆七為三率求得芝蔴合換米 各數以為重準之第三率以米 共數為二率芝蔴總數為首率求得米 各數
一 一十二 四百五十石
二 四百五十石 五 七
四 一百八十七石五斗以換米二百六十二石五斗以換豆二百九十七石五斗六百一十二石五斗問銀一千零八兩買絲三停綿二停綫一停共三百六十兩其價綫一兩抵綿一兩六錢抵絲二兩欲知三色併價各若干者併各衰絲三綿二綫一共六置第一數以總銀為第二率分各衰列第三率推得第四率是各色數乃照前價取絲一百八十兩以二十除之得九十衰取綿一百二十兩以一十六除之得七十五衰併綫六十衰共二百二十五為法除總銀得綫價以一十六除綫價得綿價以二十除綫價得絲價
二 三百六十兩
三 三絲 二綿 一綫
四 一百八十兩 一百二十兩 六十兩
二兩二錢四分絲價二兩八錢綿價 四兩四錢八分綫價問氷片毎兩價二兩七錢五分沉香每兩價銀三錢五分竒南每兩價銀八錢有人以沉香一十七斤三兩又有人以竒南一十三斤十二兩各欲換氷片若干法置氷片價為首率化沉香竒南斤數為兩置次率各價為三率
一 二兩七錢五分
二 二百七十五兩 二百二十兩
三 三錢五分 八錢
四 三十五兩沉香所換 六十四兩竒南所換問養軍二萬五千二百名月糧米麥豆兼支米每四名支三石麥每九名支五石豆每七名支八石各幾何即以七九四各列第一率以軍總數為二率以八五三列三率
一 七 九 四
二 二萬五千二百名三 八豆 五麥 三米四 二萬八千八百石 一萬四千石 一萬八千八百石問刻漏一壺貯水令漏開三孔其一孔最大漏水二時而盡一孔次之三時而盡一孔最細六時而盡假如三孔俱洩則幾刻水盡其法先以三孔與時刻相較以各時為第一率以一壺為二率以最小時為第三率要見大孔二時漏盡一壺則六時漏盡三壺其餘倣此而推一 二時大 三時次 六時小二 一壺
三 六時
又法總而計之凡六時漏盡六壺知三孔俱開則其水一時漏盡只以分數算之
二 一壺
三 一時
四 二分水之一 三之一 六之一積之共一壺即是一時盡一壺也
右三數偶滿一時其法易算若併有竒零者另法求之假如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完此先知每人每年所為之工得若干而總算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依併法毎年共得三分之一約計三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之數
問漏壺一座上有渇烏注水下有天池洩水今塞其下竅注水于壺四時而水滿開其下竅洩水壺外六時而洩盡若使上注下洩相併則此壺須幾時可滿法以四時為一率以一壺為二率以一時為三率測之而得一時之所注四分壺之一又以六時為一率一壺為二率一時為三率亦得一時之注六分壺之一乃以四之一減六之一得十二之一於是又以十二之一為第一率以一時為第二率以一壺為第三率得四率以十二時注滿凡用準測法者三
二 一壺 一壺 一時
三 一時 一時 一壺
四 四分壺之一 六分壺之一 十二時問塞下竅四時水滿通下竅六時水盡今上注下泄則四箇時滿幾分曰六時盡者四時泄三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如此則幾時可滿一壺曰依前法當以十二時滿又問假如塞下竅注上竅三時而滿塞上竅開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿假如四時又五分時之三可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時泄得八分之三以除前壺餘八分之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四
同文算指通編卷二