同文算指通編卷四
明 李之藻 撰
借虚徵實其術精矣又有子母雜互隠奥難知者則兩借虚數以徵之徵之于實尚逺也或兩浮而盈或兩縮而不足或一盈一不足俱以借數列上以較原數以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差數相減餘為法以乗數相減餘為實若一盈一不足者以差數相併為實而以法除實則二法相同舊有盈朒一章大都類此而此則於未有盈朒之先借數推出盈朒以求隠數故曰借徵其顯有盈不足實數者但依舊法求之諸盈不足者兩盈者兩不足者盈適足者不足適足者及疊互母子者各具數條見例
問設一虚數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原總數幾何其法先另借一通數以分其半而通各分先借二十四為數列左上其半為十二其三之一為四其四之一為三尚餘五以比三百則不足二百九十五列左下另借九十六為數列右上其半為四十八其三之一為十六其四之一為十二尚餘二十以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得數附註其下以少減多其餘為實而以左下右下相減其餘為法除之
除得一千四百四十合原總以減半為七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之數
假如借四千八百為通數列左上其半為二千四百其三之一為八百其四之一為六百餘一千以比三百則盈七百列左下又借二千四百為通數列右上其半為一千二百其三之一為四百其四之一為三百餘五百以比三百盈二百列右下亦以二數相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實而以法除之
以法除實亦得一千四百四十合原總數又假如借二千四百為通數列左上即前第二式右上者尚餘五百盈二百列左下再借九十六列右上即前第一右上者餘二十不足二百八十列右下此係一盈一不足者相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實以法除實仍得一千四百四十問三人共銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩每人實數㡬何此大約當以四分分之而算先借一十為通數列左上甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二數又加六得四十共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上甲六乙倍之加四得十六丙兼二數加六得二十八共五十以比四十四盈六列右下以相減餘為法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相減餘為實以法除之得五為所求之甲數倍之又加四得一十四為乙數兼之又加六得二十五右圖以甲之左數一十乘六及以右數六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙數以丙之四十乘六及二十八乘三十者亦得丙數以
五十乘三十者亦得
共數
問甲乙各不知數取乙九與甲則甲倍于乙取甲九與乙則甲乙正等原數各若干借一百為等數乙既得甲九則甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九則甲一百十八而乙八十二以視甲之半盈二十三因甲取乙九當倍乙數故列左下另借五十為等數乙既得甲九則甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九則甲得六十八而乙三十三以視甲之半不足二列右下盈不足相併二十五為法左上乘右下右上乘左下相併為實以法除實係甲乘者除得六十三為甲數係乙乘者除得四十五為乙數問攜酒遊山到處沽増一倍俱飲六升至第四處飲訖無餘原攜若干借五升四合列左上倍之一斗八合減六四升八合又倍之九升六合減六三升六合三次倍之七升二合減六一升二合四次倍之二升四合以減六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之一斗二升四合減六六升四合又倍減至四次倍得一斗二升八合減存六升八合復倍得一斗三升六合減存七升六合又倍得一斗五升二合減存九升二合盈九升二合列右次盈不足相併為法以左上乘右下右上乘左下併為實以法除實得五升六合二勺五抄問貸榖不知數每年加息一倍一年還榖五斗至五年本利俱完其原貸若干先借四十三石列左上倍之八十六減所還餘三十六又倍之七十二又減餘二十二仍倍之四十四不足六石列左下又借四十四石列右上倍之八十八减所還餘三十八又倍之七十六又減餘二十六仍倍之五十二盈二石列右下併盈不足為法左上乘石下右上乘左下得數併為實以法除實得原榖四十三石七斗五升或依三率置五十為實置三年之倍一二四併得七乘之加母一為法除之亦同問逐兔百隻每三人得四隻該㡬人先借七十二人列左上以四乘三除九十六盈四隻列下另借九十人列右上以四乘三除一百二十不足二十列下盈不足併為法左上乘右下右上乘左下得數併為實以法除實得七十五人此問依三率三
借此見例云
問甲乙丙共數六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙數外加六各該㡬何先借六為甲通乙丙數列左上甲六乙十六丙二十八共得五十比正數不足一十列左下又借八為甲通乙丙數列右上甲八乙二十丙三十四共六十二比正數盈二列右下相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實依法除得七零三之二為甲數倍之加四得十九零三之一為乙數兼甲乙加六得三十三為丙數總合六十數
問試以三十數隨手剖為二以其一加六十以其一加二十而加六十者為加二十者之三之二其剖分之數各㡬何此取三十而隨意剖之且借二十為甲數列左上列乙一十于次而各如問加焉察其數甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十甲視乙固不足三之二乙三十則甲之三分二者該九十今却八十以不足一十列左下又借二十四為甲數列右上亦列乙六于其次各加如問而察其數甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六甲又盈乙三之二乙二十六則甲之三分二者該七十八今却八十四以盈六列右下盈不足積併為法次以左上乘右下以右上乘左下併為實以法除實得二十二又二之一為甲數然後求三之一則七零二之一為乙數也
問甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四其實數各㡬何此因有三之二及四之三當借竒數為通數以求甲數而又因乙丙之加牽連難析則疊用前法以徵之且如借一乃奇數也以當甲列左上左圖加七十三共七十四當兼乙丙而倍之既以七十四為兼乙丙且倍之則乙丙當僅得其半共得三十七因以折半三十七為乙丙數而乙與丙又衰分焉乙加七十三又得甲丙三之二因尋乙所衰于丙者依前法隨意衰之為兩如借二為乙衰另列于左上右圖則丙係三十五矣列左次乃以二加七十三得七十五以較甲丙合數未足三之二甲一丙三十五共三十六則其三之二乃該一百零八今乙衰二加七十三只有七十五尚縮三十三列左下又借五當乙三十七中之五列右上則丙係三十二矣列右次乃以五加七十三得七十八以較甲丙有三之二否不足二十一甲一丙三十二共三十三則其三之二該九十九今乙衰五加七十三只七十八列右下兩不足相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實法除實得一十零四之一為乙實乃列乙實于左圖初借立一之次既已得乙實即得丙實乙丙共三十七也乙得一十零四之一則丙得二十六零四之三列于又次
又另借三為甲衰列右上加七十三共七十六以其半為乙丙衰得三十八而隨意分之為兩另作一法如前焉如以二為乙衰列左上其餘三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三得七十五與甲丙相較是三之二否不足四
十二甲三丙三十六共三
十九其三分之二乃一百十七
也今乙衰加之只七十五即
以不足列左下
另借二十三為乙衰列右上其半十五為丙衰列右次以乙衰二十三加七十三得九十六與甲丙相較是三之二否又盈四十二甲三丙十五共十八其三分之二當是五十四今乙衰之數與加數却有九十六以盈列右下盈與不足相併為法仍以左上乘右下以右上乘左下而相併為實以法除實得一十二零二分之一為乙實乃列乙實于前所借甲三之次因得丙實乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一則丙得二十五零二分之一亦列于又次俱照前式
乃依所問察之甲加七十三要兼乙丙數又多一倍乙加七十三要得甲丙數者三丙加七十三要得甲乙數者四如右圖左上甲衰及所加共七十四已兼乙丙之數與其倍數乙丙共三十七兼而倍之則七十四也左次乙衰所加共八十三又四之一亦兼甲丙數之三甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰俱合原問惟左又次丙衰及所加共九十九零四之三以合甲乙共十一零四之一如原問但欲得甲乙數者四只須四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加共七十六亦合乙丙兼數與倍數乙丙共三十八兼倍之則七十六也右次乙衰及所加共八十五半合甲丙亦具三因甲丙共二十八半三因之得八十五半惟右又次之丙衰及所加共九十八零半以合甲乙共十五又二之一以四因之當得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原問仍依互乘之法求之 于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相減餘為實以左下右下相減餘為法除之得七為甲衰如欲得乙衰則以乙之左右上下互乘相減以法除之得一十七為乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘減除得二十三為丙衰問設有一數以與三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原設數㡬何其法先借二為主列左上以乘三得六外加十共十六又與四相乘六十四加二十共八十四又與五相乘四百二十加三十共四百五十又與六相乘二千七百加四十共二千七百四十以此所問數六千七百不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三九外加十共十九又乘四七十六外加二十共九十六又乘五四百八十外加三十五百一十又乘六三千六十外加四十共三千一百以比所問數六千七百不足三千六百列右下兩不足相減餘為法除之得一十三係原設右法已除得十三者與三相乘三十九加一十四十九又與四相乘一百九十六加二十共二百一十六以乘五一千八十加三十共一千一百一十以乘六六千六百六十加四十實得六千七百合問問二人共分銀一百兩不得其均若均分則每人當五十兩然須甲還所得銀三之一乙又還所得銀五之一方得每人五十兩其不均之分各得若干先借三十兩為甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃減甲三之一減一十存二十亦減乙五之一一十四而以乙減歸甲甲二十加乙十四共三十四以比五十不足一十六列左下另借六十為甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃減甲三之一減二十存四十亦減乙五之一八而以乙減歸甲甲四十加乙八共四十八不足二列右下兩不足相減餘為法以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實以法除實得六十四兩零七分兩之二為甲衰就一百兩内減甲衰餘三十五兩又七分兩之五為乙衰合原分不均
問二人共分銀一百兩未得其均須甲損所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十兩其未均之數各若干先借六十為甲衰列左上亦列乙四十于左次乃減甲三之一減二十存四十減乙四之一減一十存三十和所減甲二十乙一十共三十而均分之各得十五以甲所得十五合減存四十之數甲原存四十加十五得五十五以比五十盈五數列左下另借二十四為甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃減甲三之一減八存一十六減乙四之一減一十九和所減甲八乙一十九共二十七而均分之各得十三零二之一以甲所得一十三半之數合減存一十六數共二十九半以比五十不足二十半列右下盈不足相併為法右上乘左下左上乘右下相併為實以法除實得五十二兩零十七分兩之一十六為甲衰
其餘四十七
兩又十七分
兩之一為乙衰
問以一千剖為二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百為甲衰列左上亦列乙四百于次相較差二百以比四十九則盈一百五十一列左下另借五百五十為甲衰列右上亦列乙四百五十于次相較差一百以比四十九則盈五十一列右下兩盈相減餘為法以左上乘右下右上乘左下相減餘為實以法除實得五百二十四零二分兩之一為
甲衰餘
為乙衰
問香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏則多于乙二倍以葢加乙罏則與甲罏正等此二罏各重若干其法借三十為甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一為乙衰得六十以乙加葢得二百一十比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十為甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一為乙衰得八十以乙加葢二百三十比甲衰九十盈一百四十列右下兩盈相減餘為法左右上下互乘仍相減餘為實以法除實得三百斤為甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙罏
問香罏二座有一葢其葢重百兩加甲罏則其重比乙多二倍加乙罏則其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十為甲衰列左上葢數一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十為一衰因甲加葢多乙二倍故加葢得一百五十比甲衰五十盈五十列左下既倍甲五十只該一百今却一百五十故盈五十另借一百一十為甲衰列右上葢數一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一為乙衰七十加葢一百七十比甲衰一百一十不足五十列右下倍甲一百一十即該二百二十今却一百七十故不足五十盈不足相積為法左右互乘積為實以法除實得八十兩為甲罏其加葢三分之一得六
問有人買鵪鶉不知其數但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是㡬何其法借一通數可以二三四分之者為主先借十二列左上而以二之一六三之一四四之一三併之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一三十三一二十四一十五併之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下兩不足相減為法左右互乘相減為實以法除實得七十二為所問之數以其二之一三十六三之一二十四
四之一一十八再加
二十二共一百隻
問二商各擕毋銀未知其數但云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其實數若干法從乙起算先借二十兩為乙衰列左上内減十二餘八以當甲六之一用六因求甲六八四十八内還乙所加十二存數三十六又捐十五與乙甲剩二十一其乙原餘八又取甲十二共二十今又加得三十五以甲剩數較乙加數甲是乙十之一否甲二十一則乙當二百一十今乙只三十五不足一百七十五列左下另借一百為乙衰列右上内減十二得八十八以六因求甲衰五百二十八亦還所加十二存數五百一十六内除十五與乙甲剩五百一乙原餘八十八又取甲十二共一百今加十五該一百一十五以乙較甲甲是乙十之一否甲五百一則乙當五千一十今乙只一百一十五不足四千八百九十五列右下兩不足相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得十七兩零五十九之二為乙毋内捐十二兩與甲則實得五兩又五十九之二以六因求甲得三十兩零五十九之十二内亦減十二實得十八兩零五十九之十二再捐十五兩與乙加乙原數十七兩又五十九之二共得三十二兩零五十九之二以十之一約
問二人所各攜銀不知其數但云減乙六兩與甲則甲多乙一倍減甲三兩與乙則與乙正等各實數幾何從乙多數起算先借一十五兩為乙衰列左上内減六存九以當甲之半則甲該一十八内又除所加六得十二為甲衰正數内減三與乙則甲剩者九以甲所剩九較乙衰十五及所加之三乃盈九甲九乙十八也列所盈于左下另借二十為乙衰列右上内減六存十四倍之為甲衰當是二十八亦減所加六實得二十二為甲衰正數若取三與乙則甲剩十九以甲之十九較乙之二十及所加之三又盈四甲十九乙二十三列盈數于右下兩盈相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得二十四為乙衰内減六與甲餘倍之得三十六甲先借六與乙則甲之本數只三十矣就三十之内減其三兩併入乙二十四兩為二十七甲三十減三亦二十七故其數正等問漏壺一座注水其中下有三孔其甲孔流水二時而盡乙孔流水三時而盡丙孔流水六時方盡若三孔俱開則㡬時水盡且借四時為用列左上而各據其孔之大小流水之遲速測之甲二時一壺則四時當盡二壺乙三時盡乙壺則四時當盡一壺零三之一丙六時盡一壺則四時當盡三分壺之二得數併計之共以四時盡四壺而所問者一壺也為盈三列左下另借十時為用列右上亦以時推其多寡甲二時一壺則十時該五壺乙三時一壺則十時該三壺零三之一丙六時一壺則十時該一壺零三之二得數併計共以十時盡十壺比原問一壺又盈九列右下兩盈相減剩六為法上下左右互乘相減亦得六為實以法除實得一是二孔俱開則壺
水一時
洩盡也
問漏壺一具上有渇烏注水凡十二時而滿下有竅通天池洩水凡十八時而水盡若上注水下洩水當幾時水可滿且借二十為滿候列上以推注洩之時已知下洩十八時盡一壺則二十時當盡一壺零九分壺之一而其上注二十時必能滿至二壺九之一方與此合乃且注且洩只有一壺三之二不足九分壺之四列左下另借三十時為滿候列右上而各推其時已知下洩十八時盡一壺則三十時當盡一壺零三之二而其上注三十時必須滿至二壺三之二方與此合而又不然只滿二壺半亦不足六分壺之一列右下兩不足相減餘為法乃以右上乗左下以左上乗右下減餘為實以法除之問甲匠做工三十日完加乙匠則十八日完若獨用乙匠須幾日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三則知乙匠十八日之工乃其五分之二也試借四十日為乙衰列左上以十八日完五之二推之則四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日為乙衰列右上亦以十八日五之二推之則六十日完全工外又溢九之三列右下兩盈不足相併得九之四為法次以左上乗右下右上乘左下相併得九之一百八十為實以法除實得四十五日完工右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算該二十七日完以二十七加一十八是四十五也問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩三人原攜母金若干法已知三人原共金二千一百兩三箇七百三分之當于甲衰七百内與丙四之一又得乙二之一于乙衰當加入丙三之一又與甲二之一于丙衰當得甲四之一又與乙三之一乃先借一百兩為甲衰列左上内除四之一二十五該存七十五而總有七百兩是所贏于乙者為六百二十五兩而乙衰當為一千二百五十兩矣列左次内輸去二之一則所剰當亦為六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩則亦得丙七十五兩而丙所攜母為二百二十五兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一二十五共得一百七十五兩以較原問不足五百二十五列左下别借二百為甲衰列右上内除四之一五十剰一百五十而總有七百以乙二之一足之則知乙衰二之一該五百五十兩而乙總數為一千一百兩矣列右次内輸與甲二之一當剰五百五十兩又以丙三之一足之而為七百兩則亦得丙一百五十兩而丙所攜母為四百五十兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存三百兩加所得甲四之一五十僅得三百五十兩比原問不足三百五十列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘相減剩為實以法除實得四百為甲母推知乙母八百以甲四百減四之一存三百加入乙二之一該増四百是知乙母八百丙母九百以乙八百減二之一存四百加入丙三之一該増三百是知丙母九百也甲母四百贏四百輸一百乙母八百輸四百贏三百丙母九百輸三百贏一百俱剰七百而三人所攜與所贏所輸皆得矣
問甲乙丙三商共販得子銀四百兩依母銀分之乙比甲多分十二兩丙比乙多分十六兩要知各分若干先借一兩為甲衰列左上推得乙該十三兩丙該二十九兩共四十三兩以視四百不足三百五十七兩以次列左下别借二兩為甲衰列右上推得乙該十四兩丙該三十兩共四十六兩以視四百不足三百五十四兩以次列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得
一百二十為甲衰以
推乙衰一百三十二丙衰一百四十八合問
問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵四萬北兵為南兵及西兵二分之一西兵為南兵北兵三分之一要知北兵與西兵各若干併南兵共若干先借三萬為北衰列左上推得南西二兵共該六萬而西兵僅該二萬列左次若為南北三之一則南北共只六萬而實七萬是盈一萬也列左下又借二萬四千為北衰列右上推得南西二兵共該四萬八千而西兵僅該八千列右次若為南北三之一則南北共只二萬四千而實六萬四千又盈四萬也列右下以盈相減剰數為法上下左右互乘得數亦相減剰為實以法除實得三萬二千為北衰推知西兵二萬四千總共九萬六
南西二之
一西得南
北三之一
問黄金百斤製罏一座既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之恐傷工本欲知和銀若干法以器貯水令滿已知水㡬斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令滿别以純金百斤入之溢水六十斤另貯滿水以銀百斤入之溢水九十斤今借銀四十斤為匠所換數列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以純金只溢六十斤推之實在罏内之金六十斤只該出水三十六斤又以純銀溢水九十斤推之所和之銀四十斤亦該出水三十六斤共該溢七十二斤今視原數六十五斤盈七斤列左下又借銀三十斤為匠所換數列右上存金七十斤列右次以純金溢水六十斤推之則罏金七十斤該出水四十二斤又以純銀溢水九十斤推之則和銀三十斤該出水二十七斤共該溢六十九斤今視原數六十五斤又盈四斤列右下兩盈相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得一十六斤零三分斤之二為匠人盜和銀數其實在純金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤則八十三斤及三分斤之一該出水五十斤銀百斤溢水九十斤則一十六斤及三分斤之二該出水一十五斤合之得六十五斤合問
問綾七尺羅九尺兩價適等其每尺之價羅少于綾者其較三十六文此綾羅各價若干是為匿價衰分法先借七十二文為綾價列左上則羅價當三十六文列左次各以尺數乘之綾七尺得五百○四文羅九尺得三百二十四文羅視綾不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文為綾價列右上則羅價當六十四文列右次各以尺數乘之綾七尺得七百文羅九尺得五百七十六文羅視綾不足一百二十四文亦不相等也又列其下以兩不足相減餘為法乃以左上乘右下右上乘左下得數亦相減餘為綾實以法除之得綾每尺價一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得數相減餘為羅實以法除得羅每尺價一百二十六文又各以尺數乘之綾七尺共一千一百三十四文羅九尺亦一
三十四
文正等
問金九錠銀十一錠其重適等互換一錠則金輕十三兩金銀每錠重若干此因互換一錠而金輕十三兩因知金銀之輕為六兩五錢也乃先借一十三兩為金衰列右上則銀該六兩五錢列右次各以錠乘金九錠得一百一十七兩銀一十一錠得七十一兩五錢金視銀盈四十五兩五錢列下另借二十四兩為金衰列左上則銀該一十七兩五錢列左次各以錠乘金九錠得二百一十六兩銀十一錠得一百九十二兩五錢金視銀盈二十三兩五錢又列其下兩盈相減餘為法
而以左上乘右下右上乘左下得數相減餘為金實左次乘右下右次乘左下得數相減餘為銀實俱以法除得金一錠重三十五兩七錢五分銀一錠重二十九兩二錢五分而各以錠乘金九錠共三百二十一兩七錢五分銀十一錠亦三百二十一兩七錢五分正等問牛羊共一百牽總價一百六十八兩每牛三頭銀十二兩羊四羫一兩五錢欲知牛羊各數各價若干此于大總内又立小總法先以三歸十二得牛一頭價四兩以四歸一兩五錢得羊一羫價三錢七分五釐而化兩及錢分皆為釐算之先借六十為牛衰列左上則羊該四十列左次而以各價乘之牛六十頭乘四千釐得二十四萬羊四羫乗三百七十五釐得一萬五千併共得二百五十五兩以視共價盈八十七兩列左下又借三十為牛衰列右上則羊該七十列右次而以各價乘之牛得一十二萬釐羊得二萬六千二百五十釐併共得一百四十六兩二錢五分以視共價不足二十一兩七錢五分列右下併盈不足為
法依
式互
乘
乃以左右上數互乘下併為牛實左右次數互乘下併為羊實以法除得牛三十六羊六十四以各價乘得總
問雞兎同籠不言其數但云九十六頭三百零八足其雞兎各㡬何法以九十六頭為主先借到雞四十八隻列右上兎亦四十八隻列右次而以各足乘之雞二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足併二百八十八足以較三百○八足不足二十列右下又借作雞六十隻列左上則兎該三十六隻列左次而以各足乘之雞二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四併二百六十四足以較三百○八足不足四十四列左下兩不足相減餘二十四為法又以左上乘右下右上乘左下各得數相減餘為雞實以法除之得雞三十八隻其左次右次亦如法乘減餘為兎實以法除得兎五十八隻各以兩足四足乘之合三百○八足之數
又法置九十六頭倍之得一百九十二以減總足餘一百一十六足以二歸之得五十八為兎數却以四足乘之得二百三十二又以減總足餘七十六以二歸之得三十八為雞數葢以兩物皆借作兩足起算者以上原二十二條補七條與舊法盈朒畧似然本無盈朒而借立一數以求盈朒乃以盈朒推之者與前借衰互徵之法俱極超妙雖至隠至奥之數用此推求未有不渙然氷釋者學人熟此二法於算義思過半矣其舊法盈朒章人所恒習亦附數條于後相比擬
舊法未知借推之妙只立盈與不足或兩盈兩不足為母兩母相減為法以母子互乘之數求其物實以兩子或併或減之數求其人實大抵一盈一不足者相併為實兩盈兩不足者減餘為實俱如前法耳又有疊數盈朒如㡬人分㡬許盈幾數㡬人分㡬許不足幾數之類列作上中下三位所求人實亦取下層盈不足併減同前而取兩上相乘以為通法更乘人實然後乃以上中互乘減餘為法除之又以上中乘出之數互乘下層仍前併減以為物實以法除之與人實同問醵金買物每人出五兩盈六兩每人出三兩不足四兩人數物價各若干左列五之六右列三之四互乘併之為物實另併兩子六四為人實兩母相減餘二為法除人實得人數五除物實得物價一十九兩或先得人數以乘出率五内減盈六及以乘三外加不足四皆同右法若依借衰者且借立一數與五相乘内減六得若干又與三相乘外加四得若干如相同即所求之數若不同者則依盈朒推之假如借四人列左上以乘五減盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六兩數相較不足二列左下又借七人列右上以乘五減盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相較盈四列右下以併左下共六為法左右上下互乘併得三十為實以法除實得五人以乘出率五内減盈六得一十九兩若以乘三加不足亦同
此併子數為法併乘數為實以求人數與
前兩母減餘為法而除人實物實及以乘
出為物實而以母較除之者法稍異耳
問衆人分榖每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人榖各若干以五之三十列左六之四十列右互乘併之為榖實併兩子三十四十為人實兩母五六相減餘一為法除人實得人數七十除榖實得三百八十石或先得人數即以乘分率五外加盈三十及以人數乘分率六内減不足四十亦同前條係出率故減盈增不足此條係入率故增盈減不足右法若用借衰者試借三十人列左上以乘五一百五十加三十共一百八十石亦以三十乘六一百八十減四十一百四十以前數較盈四十列左下另借一百人列右上以乘五五百加三十五百三十即以一百乘六六百減四十五百六十亦以前數較不足三十列右下盈不足相併為法左右上下互乘併之為實以法除實得七十為人數乃以人數乘五得三百五十外加盈三十為三百八十石又以人數乘六四百二十内減不足四十
亦三百八
十石
問以絹一匹作帳先摺成六幅比舊帳長六寸後摺成七幅比舊帳短四寸新絹舊帳幅各長若干此先以幅數乘盈不足數求之置六幅列左上以乘盈六寸得三尺六寸列左下置七幅列右上以乘不足四寸得二尺八寸列右下左右上下互乘併之為絹實另併盈不足三尺六寸二尺八寸為舊帳幅實而以七幅六幅相減餘一為法
除之得絹長四
丈二尺舊帳幅
長六尺四寸
問直田一段欲截一半另佃第云截長六步不足七步截長八步盈九步所截步及原濶步各若干列六之七及八之九互乘併之為截積之實併子數為原濶之實而以兩母相較餘二為法除之得原濶之步八得截積之步五十五
問每人出銀三兩五錢盈六兩每人出銀三兩三錢盈二兩八錢人數物價各若干此以兩出率左右列及以兩盈各置出率之下互乘得數相減餘為物實以兩盈相減餘為人實又以出率相減餘二為法除物實得價五十兩除
十六人
問每人出銀五兩不足四兩每人出五兩四錢不足二兩人數物價各若干列兩出率及兩不足互乘得數亦相減餘為物實以兩不足相減餘為人實又以兩出率相減餘四為法除人實得五人除物實得價二十九兩問井不知深將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺次將繩摺作四股入井繩餘一尺井深繩長各若干置三股四股為母各以所盈數乘之以三乗四尺得一十二尺以四乘一尺得四尺左右列位互乘得數相減餘為繩實以前所乗出兩盈數相減餘為井深之實乃以二母相減餘一為法除繩實得繩長三丈六尺除井實得井深八尺問每人出銀二兩五錢盈六兩每人出二兩三錢適足人數物價各若干置出率各以盈適足系之除適足無乘只以左盈乘右出率為物實以盈數為人實仍以兩出率相減餘二為法除物實得物價六十九兩除人實得三十人或不乘盈數徑求人數而以所得之人數乘適足之出率者亦得物價同前問每人出銀七兩不足一十四兩每人出九兩適足人數物價各若干仍前列位以右九乘左不足為物實以不足為人實兩出率減餘二為法除人實得七人除物實得價六十三兩或不以乘法求物實徑求人數而以人數乘適足之出率亦得物價同前問以米換布換九匹適足換七匹多米四斗其米數布價各若干置出率及盈適足以盈數為實以兩出率減餘為法除之得每匹值米二斗乃以適足之九匹乘之得總米一十八石
問每八人共出銀七兩盈四兩五錢每九人共出六兩不足三兩人數物價各若干此疊數盈朒也布位三層先立通數以乘人率法取左上右上相乘為之七十二乃以上中二位左右互乘得數左六十三右四十八相減以其餘數一十五為後除人實物實之法而各以乘得之數與下位左右互乘左二百一十六右一百八十九併之四百零五為物實以法除得價二十七兩仍併盈不足數為人實之率七十五而以前求通法七十二乘之得數五百四十為人實亦以法除得三十六人此法與前數條大畧相同但物實則以上中乘出之數乘其下位盈朒之數而人實則増二上相乘通數以與再乘其所除人實物實之法則前條直以出率減餘為之此以上中互乘得數相減餘數為之此其小異耳
問每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩人數物價各若干法以左上右上乘得數為通法二十四次以上中互乗左得三十六右得四十二相減餘六為除人實物實之法六又以互乘所得之數與下兩盈數互乘左得二百一十六右得一百二十六相減餘為物實九十兩以法除得價一十五兩以兩盈相減餘三為人實之率而以通法二十四乘
之得人實七十二以法除得一十二人 其疊數兩
不足倣此
問每三人共出銀五兩多一十兩每五人共出銀九兩適足人數物價各若干法以左上右上相乘得數為通法一十五次以左上乘右中二十七右上乘左中二十五相減餘二為除人實物實之法次以右中得數乘左下盈得二百七十兩為物實以法除得價一百三十五兩就以左下盈一十為人實率而以通法一十五乘之為人實一百五十以法除得七十五人
上 中 下 其疊數不足適足倣此
問銀未知數以買物用三分之二盈三兩用五分之三不足一兩銀數物價各若干法取子母互乘以通盈朒之數如子數二互乘母五得一十以通朒一兩得一十兩列左子數三互乘母三得九以通盈三兩得二十七兩列右乃以左中乘右下二百七十右下乘左下九十併之三百六十而以兩子相乘六為法除之得六十為銀實而以左上右上減餘一為法除之仍得總銀六十兩次併盈朒二數三十七為物實而以法除得價三十七兩
上 中 下
問銀未知數取六分之四買物盈二兩取四分之三買物盈三兩五錢銀數物價各若干以子數四互乘母四得一十六以通盈三兩五錢得五十六兩列左以子數三互乘母六得一十八以通盈二得三十六列右乃以左中乘右下五百七十六以右中乘左下一千零八減餘四百三十二亦以兩子相乘一十二為法除之得三十六為銀實以左中右中減餘二為法除之得總銀一十八兩别以兩盈相減餘二十為物價之實仍以法除得物價一十兩
問𣲖納官銀不言其數但知有甲乙二等户乙户所辦當甲户十之八先令甲等八户乙等五户納之不足五兩後令甲等六户乙等八户納之不足三兩其𣲖銀數及各户則例若干法以甲乙二衰乘户數各併之列位甲衰一十以乗八得八十乙衰八以乘五得四十併得一百二十户列左又以甲衰十乗六得六十以乙衰八乗八得六十四併得一百二十四户列右以兩不足數系之互乘相減餘為銀實二百六十兩乃以上相減餘為法四得官𣲖銀六十五兩别以兩不足數相減餘二兩為則例之實以法除之得五錢而以各衰乘之甲衰一十乘得五兩為甲等一户辦數乙衰八乘得四兩為乙等一户辦數
問錢未知數以買物取二分之一盈四文取七分之三適足錢數物價各若干先取母子互乘一乘七得七列右三乘二得六列左而以六互乘盈四得二十四列右下即以為物價之實兩母減餘為法一除得物價二十四文又以適足之母七乘盈數二十四得數為錢實一百六十八而以原子一三相乘得數為法三除之得錢五十六文問糶麥不知數但云取三分之一糶銀八兩適足若取八分之三糶銀十兩不足二石總麥石數若干每銀一兩糶麥若干法取兩子母互乘得數各通糶銀以母三互子三得九通八兩得七十二以母八互子一得八通十一兩得八十另以所通得數七十二列左八十列右乃以適足銀八乘不足之麥二得數一十六石列右下如不足適足例而取適足所通出之銀率七十二以乘不足所乘出之麥率一十六得數一千一百五十二又以兩子相乘三為法除之以為麥實左中右中相減餘八為法除得總麥四十八石另以不足乘出一十六為銀實亦以法除八得麥二石價銀實一兩