同文算指通編卷五
明 李之藻 撰
雜和較乗法第八
諸物互和未易縷析必取互乗之數較餘為用以少除多得一數以推其他而纎悉見矣若條縷多者别立正負為算别同異以分加減總歸于去煩就簡故率除首列同乗減盡一數而其餘則名類相同者減之相異者加之其最繁者亦視首列所主為用如首以同名減則其下同減而異併首以異名減則其下異減而同併大要與盈朒相近而又濟盈朒之窮舊名方程用前疊借互徵亦同頭緒多者用此為便問鼎三彞二共重一百五十五兩又鼎四彞五共重二百六十五兩鼎彞各重若干將二項左右對列各作三段遞互徧乗之又相對較之視其餘數以少除多而互得其重如以彞乗則反得鼎重以鼎乘則反得彞重且如以右鼎徧乗左行鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五以左鼎徧乗右行鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十各得數相減兩鼎數相等減盡不用兩彞數減餘七又兩重減餘一百七十五以少除多七為法一百七十五為實除得彞重二十五兩以右中彞二乗之得五十兩以減右總餘一百零五兩亦以右鼎三除得每鼎重三十五兩鼎三以乗左行得一十二彞二得八重一百五十五兩得六百二十鼎四以乗右行得一十二彞五得一十五重二百六十五兩得七百九十五右法若以彞徧乗其以七為法亦同所得減餘之實凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五兩以右鼎三乗之得共鼎一百五兩以減右行重數餘一百兩為二彞重數若以左彞四乗之得共鼎一百四十兩以減左行重數餘一百二十五兩為五彞重數問紗三匹絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢紗絹各價若干亦將二項左右列之各三段徧乗如以右紗徧乗左行紗七得二十一絹二得六價六兩八錢得二十兩四錢左紗徧乗右行紗三同上絹四得二十八價四兩八錢得三十三兩六錢各得數對減其兩紗減盡不用兩絹減餘二十二為法兩總減餘一十三兩二錢為實以法除實得絹每疋價六錢就以右絹四乘得共價二兩四錢以減右總價尚餘二兩四錢為右紗三疋之價得每疋價八錢紗三與左乗得二十一絹四得二十八共四兩八錢得三十三兩六錢紗七與右乘得二十一絹二得六共六兩八錢得二十兩四錢右式若以絹徧乘其法同前但減餘之實一百七十六以法除之亦得八錢為疋紗之價以右紗三乘得二兩四錢以減右總價餘二兩四錢為四絹之價若以左紗七乘得五兩六錢就減左總價餘一兩二錢為二絹之價
問筆三管換硯七箇貼硯價四百八十文别以硯三箇換筆九管貼筆價一百八十文筆硯各價㡬文依前左右三行列之而以硯為正筆為負互乘得數却于正負同名者對減異名者對加求之硯正七正二十一筆負三負九價正四百八十文正一千四百四十硯正三正二十一筆負九負六十三價負一百八十文負一千二百六十右硯正七乘左硯正二十一筆負六十三價負一千二百六十左硯正三亦乘右硯正同上筆負得九價正一千四百四十得數兩硯正同名減盡兩筆負同名減餘五十四為法兩價正負異名加併得二千七百為實以法除實得五十文為一筆之價取右行筆負之三乘之得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右硯七箇總價以七除得九十文為一硯之價若取一筆之價以左行筆負之九乘之得四百五十則當就内減總一百八十餘二百七十即左行三硯之價若移置筆負為法徧乘者得異併之實四千八百六十文以法除之五十四得九十文為硯價問七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕于中互換其一輕重適等不知各重若干此依互換者列位一係六釧一釵一係一釧八釵而中分其總重之數
釧六 釵一 四兩七錢
釧一 釵八四千八 四兩七錢二十八兩二錢
先以右釧六徧乘左行釵八得四十八價四兩七錢得二十八兩二錢次以左釧一徧乘右行釧一價四兩七錢對減餘四十七者為法餘二十三兩五錢者為實以法除實得五錢為一釵數以減右行總重四兩七錢餘四兩二錢即六釧共數六除之得每釧重七錢
若移用右行釧一左行釵八為法徧乘者得減餘之實三十二兩九錢以法除之四十七先得七錢為一釧之重
問錢一萬文以賣二馬一牛則不足半馬之價以賣一馬二牛則餘半牛之價其牛馬價各若干此當以不足半馬者損為一馬零二分馬之一及一牛以餘半牛者益之為一馬及二牛零二分牛之一依法列之而以整帶零之法乘除之
馬一匹一匹二之一 牛二頭二之一三頭四之三價一萬文一萬五千先以右馬徧乘左行馬一匹二之一牛三頭四之三價一萬五千次以左馬徧乘右行馬如上牛二價一萬文其兩馬減盡兩牛減餘二頭又四之三為法兩價減餘五千文為實以法除實得一千八百一十八文又十一之二為牛價以減右行總價一萬文餘八千一百八十一文又十一之九以馬一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六為馬價問甲乙二窖積粟不知各㡬何但云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙則各滿二千石其原窖㡬何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千減餘二千為實而以兩母相倂得五為法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石為乙窖原粟餘八百石以甲母二乘得一千六百石為甲粟其必各以母乘者盖前所除得只是子數必歸母見整故也
甲二之一 二千石六千
乙三之一 二千石四千
問治地不知畝數每工種麥三畦種菽四畦共三百零一工其菽麥數并工數各若干此為雙頭單脚互乘取三四左右列之併得七為法其下列工數麥三畦
菽四畦
若求菽數者右三乘總工九百三以法除得一百二十九為菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麥畦數若求麥數者左四乘總工一千二百四以法除得一百七十二為麥畦以三乘得工數如前亦以左四除得菽畦問犒夫不知數但云二人共飯三人共酒四人共肉總用飯酒肉六十五分計夫若干列三位維乘二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八併得二十六為法另用乘併之法二乘三得六以乗四得二十四得數以乘總分六十五 二人
以法除得六十為夫數 四人
問銀二百六十四兩買牛羊共一百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢内牛羊倂價各若干以牛羊各價依子母左右列之互乘得數牛乘羊四兩五錢羊乘牛八十兩減餘七十五兩七錢為法另列總牽總價于下如求牛數者先以羊四乗總價一千五十六以羊價乘總牽一百五十減餘九百零六為實以法除得一兩二錢為牛衰以右位牛三乘得三十六頭以二十乘得共價二百四十两就總内減牛數餘為羊數
牛三 二十兩
羊四 一兩五錢
若先求羊數者以牛三乗總價七百九十二以牛價乗總牽二千減餘一千二百零八為實亦以法除之得一十六為羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四兩就總内減羊亦得牛數
問用匠五千名包磚板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方磚板堤匠各若干以母子左右對列互乘得數九乗四得三十六七乘十一得七十七減餘四十一為法另列總匠總隄于下
七名 四方
若求板隄數者左七乘總方三萬四千九百六十五四乘總匠二萬減餘一萬四千九百六十五為實以法除之得三百六十五為板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于總内除板隄餘皆磚數或求磚隄數者右九乗總方四萬四千九百五十五十一乘總匠五萬五千減餘一萬零四十五為實以法除之得二百四十五為磚衰以乘左七得磚匠一千七百一十五方以乘四得磚隄九百八十方于總内除磚隄餘即板數問七人醵金不知總數亦不知各數第云甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢亦不知丙丁共數此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一為四與後章求隔母法同仍以右衰三乘之得數十二減半六又減去右衰三餘三為右中率取左衰二乘總位七人得數十四内減右衰三餘十一為左中率而各以共金數列其下
左三 一十一 二十三兩七錢乃以左二徧乘右中三得六下二十六兩一錢得五十二兩二錢以右三徧乘左中十一得三十三下二十三兩七錢得七十一兩一錢各得數相減中餘二十七為法下餘一十八兩九錢為實以法除實得七錢為隔母之數别取甲乙共數二十三兩七錢併入隔母七得二十四兩七錢減半得一十二兩二錢為甲金數内減差數七得十一兩五錢為乙金數其餘以七遞減各得丙十兩八錢丁十兩一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩
問竹筩一莖九節下大上細下三節共盛粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知數要見每節盛粟若干亦先求隔母數為逐節相較之率取上三列左下四列右以右四加一為五與右四相乘得數二十減半一十又減右四得六為右中率别以左三乘總位九得數二十七内減右中率六得二十一為左中率各以所共盛之數從之
右四 六 三升
左三 二十一 三升九合
乃以左三徧乘右中六得一十八下三得九分以右四徧乘左中二十一得八十四下三升九合得一十五分六釐得數相減中餘六十六為法下餘六十六為隔母率别以左三共粟為實三升九合以法六十六乘之得二百五十七分四釐以三除之因係三節故也得八十五分八釐是第八節數加母率六分六釐得九十二分四釐是第九節數若減母數六分六釐得七十九分二釐是第七節數其餘遞減母率第六節得七十二分六釐第五節得六十六分第四節得五十九分四釐第三節得五十二分八釐第二節得四十六分二釐第一節得三十九分六釐而仍以法除之第一節六合第二節七合第三節八合第四節九合第五節一升第六節一升一合第七節一升二合第八節一升三合第九節一升四合其以中餘六十六為法下餘為實以法除實者得一合為隔母率以三除左總三升九合得一升三合為第八節數以一合加減之亦得第七節第九節數以次推之同前
問四雀六燕七鷦共集于衡重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩六分三禽各重若干法置左右中三行三色及總重作四段列之先以右行五雀徧乘中行雀一十五燕二十五鷦四十五共重四兩零五再置前圖減餘而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行餘四燕 餘廿一鷦四十二共餘八錢七分一兩七錢四分餘二燕 餘三鷦十二 共餘二錢一分八錢四分乘訖對減鷦餘三十為法共重餘九錢為實以法除實得三分為一鷦之衡就以乘左餘鷦三得九分以減左重餘一錢二分為二燕之衡即知每燕重六分也既得一鷦之衡以乗右餘鷦二十一及減右重亦得每燕六分乃于前左行原價八錢九分之内減去原鷦七二錢一分原燕六三錢六分各重數其餘三錢二分以雀四除之得雀重八分或于前右行中行原數内減乘皆同問牛一頭馬一匹驢三匹皆載物七百斤上坡皆不能上牛借馬一匹馬借驢一匹驢借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及總物為四段
借牛一 ○負一二 正驢三六 七百斤一千四百斤先右行正牛一徧乘左行得數又以左行借牛一徧乘右行得數乘借馬一一如一乘物仍七百斤對減盡因左行中○無減乃倣右馬乘出之數為立負馬一以俟另乘次以中行正馬二徧乘左行中下得數負一得二原驢得六下物一千四百斤復以左行負一為法徧乘中行中下得數正馬得二借驢得一下物仍七百斤以對減正負馬同名減盡正借驢異名相併得七為法下物同名相減餘七百斤為實以法除實得驢力一百斤取中行物實七百内減一驢之力餘六百即二馬之力以二除得每馬三百斤又于右行物實七百亦減一馬之力餘四百即一牛力右法或更置其位先求一馬之力
借驢一 正馬二左六○ 七百二千一百左減餘一千四百
○ 借馬一六正牛一六七百四千二百左減餘三千五百
正驢三 ○負六六借牛一一七百七百先以右行借驢一徧乘左行中下得數亦即以左行正驢三徧乘右行中下得數正馬得六下物二千一百因左馬空○乃如右馬乘得之數亦置負六相減三畜俱減盡下物餘一千四百次以中行借馬一徧乘左行中下得數而以左行負六徧乘中行中下借馬六正牛六下物四千二百牛數正借異名以相併得數七為法下物中左同名相減得三千五百又以右下餘物減之得二千一百為實以法除實得三百斤為一馬之力然後取右行物實減二馬力餘一百見一驢之力又取左行物實減三驢之力餘四百見一牛之力
問硃二斤黄三斤價錢二千四十文又黄五斤碌六斤價六百四十文硃三斤碌七斤價二千九百八十文三色各價若干依式左右中列之
○ 黄五四十五碌六 價六百四十文
硃三 ○負九四十五碌七一十四價二千九百八十文五十九百六十先以右行硃二徧乘左行得數碌得一十四價得五千九百六十次以左行硃三徧乘右行得數黄得九價得六千一百二十文於左行○位照右立負九而與右行相對三色俱減盡其價餘一百六十文又以中行黄五另列右徧乘左行碌七十價得八百以左行負九另列左徧乘右行碌得五十四價得五千七百六十黄五四十五碌六五十四 價六百四十五千七百六十○負九四十五碌餘一十四七十價餘一百六十八百以相減黄與○同數減盡碌係正負異名併得一百二十四為法兩價同名相減餘四千九百六十為實以法除實得四十文為碌一斤之價乃於前圖中行原價内減碌六斤價二百四十餘四百文悉黄價以黄五除之得每斤價八十文又于右行原價減黄三斤價二百四十餘一千八百文悉硃價以二除之得每斤九百文問鴈二雉三換穀五斗七升鴈五兎四換穀一石雉二兎二換穀五斗三升每色每箇價穀若干先以右行鴈二徧乘左行得數鴈一十兎八穀二石亦以左行鴈五徧乘右行鴈一十雉十五穀二石八斗五升以相減鴈盡係○照立負十五兎無減仍八穀餘八斗五升
鴈二 雉三左一十五○ 穀五斗七升左二石八斗五升
○ 雉三左四十五兎二左三十穀五斗三升左七石九斗五升
鴈五○負十五中四十五兎四右八中二十四穀一石右二減餘八斗五升中乘二石五斗五升另以中行雉三徧乘左行中下雉負四十五兎二十四穀二石五斗五升左行雉負徧乗中行中下雉四十五兎三十穀七石九斗五升以相對雉減盡兎係正負異併得五十四為法價榖同名相減餘五石四斗為實以法除實得一斗為一兎價就于中行穀内減二兎價餘三斗三升悉雉價以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行穀内減三雉價餘二斗四升悉鴈價以右鴈二除之得每鴈一斗二升問賣二牛五羊買十三豕餘價銀五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩各價若干此以賣為正買為負餘為正不足為負而正為主則同減異併負為主則同併異減如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得數牛正二羊負六豕正二其中行牛一亦徧乗右行牛二同正減盡羊正五與中行負六異名併得負十一豕負十三與中行豕正二係異名併得正十五價正五中空無減又右行牛二徧乗左行牛十羊十二豕十六價六其左行牛五亦徧乗右行牛十正負異名減盡羊正二十五與左正十二同名併得正三十七豕負六十五異减豕正餘得負四十九價正二十五異減左負餘負一十九依法或減或併訖牛正二中二左一十羊正五中五左二十五豕負十三中十三左六十五正五兩中五左二十五牛正一右二羊負三右六豕正一右二 ○足牛負五右一十羊正六右十二豕正八右一十六負三兩右六乃别列減併之數仍分正負互乘之如後圖羊負十一為法以乘左行中下羊正得四百零七豕負得五百三十九價負得二十兩九錢亦以羊正三十七而乘右行中下羊負同數異名減盡豕正得五百五十五與左豕負異名減餘一十六價正一十八兩五錢與左異減餘二兩四錢以減餘豕正一十六為法價正二百四十為實以法除實得豕價一兩五錢就以右行豕正十五乘二十二兩五錢加正價五兩共二十七兩五錢俱羊價以十一除之得每羊二兩五錢復以前圖右行豕負十三乘豕價得數一兩五錢加入正價五兩共二十四兩五錢為牛羊總價内減右行五羊之價一十二兩五錢餘一十二兩悉牛價以牛二除之得每牛六兩羊負一十一 豕正一十五五百五十五價正五一十八兩五錢羊正三十七四百七豕負四十九五百三十九價負一十九二十兩九錢問買柰二梨四共錢四十文梨二桃七亦共錢四十文桃四榴七共錢三十文梨八柰一共錢二十四文各價㡬文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰為法彼此互乘以甲柰二徧乘丁梨空桃空榴一十六錢四十八文丁柰一徧乘甲桃榴俱空錢仍四十文對減餘八文因丁梨空當照甲立負四次當以乙丁柰互乘乙無柰取梨二徧與丁乘梨負得八桃空榴三十二錢一十六文丁亦以負梨四徧乘乙梨八減盡桃二十八榴空錢一百六十文併得一百七十六文因丁桃空亦照乙立負二十八次以丙桃徧乗丁桃一百一十二榴一百二十八錢七百零四文丁亦以桃負二十八徧乘丙桃一百一十二減盡榴一百九十六減餘六十八錢八百四十文減餘一百三十六相減訖取此餘榴六十八為法餘錢一百三十六文為實其甲乙與丁互乘之數但求應立負數以為乘母而減併之數皆置不用者也以法除實得二文為榴價乃就丙價三十文内減七榴之價十四餘錢一十六文俱桃價以四除得每桃四文又于乙價四十文内減七桃之價二十八文餘錢一十二文俱梨價以二除得每梨六文又于甲價四十文内減四梨之價餘一十六文俱柰價以二除得每柰八文
乙○ 梨二桃七二十八 ○ 四十文
丁柰一 ○負四八○負二十八 榴八一十六一百二十八二十四文四十八文問井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之
及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六條則借甲一乃俱及泉其井深若干五等繩各長若干列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為井深積列位
一 甲二 乙一 ○ ○ 七百二十一
二 ○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一
三 ○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一
四 ○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一
五甲一 ○負一 ○負一○負一戊六 七百二十一
乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲二為法徧乘五行甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二五行甲一亦乘一行對減甲二得二減盡乙一得一因五行乙空立負一積七百二十一得本數以減五行仍餘七百二十一次以二行乙三為法乘五行乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三五行乙負一亦乘二行乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數併入五行積二十一百六十三共二千八百八十四再以三行丙四為法乘五行戊正三十六得一百四十四積二千八百八十四得一萬一千五百三十六五行丙負一亦乘三行丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數與五行積一萬一千五百三十六對減餘一萬八百一十五又以四行丁五為法乘五行丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬八百一十五得五萬四千七十五五行丁負一亦乘四行丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十共七百二十一積得本數併入五行積五萬四千七十五得五萬四千七百九十六乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積七百二十一餘六百四十五以丁五除之得一百二十九為丁繩一丈二尺九寸以減三行積七百二十一後同餘五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸亦減二行積餘五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行積餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸
數始于微積于鉅漸加漸賾覽之茫如然有定數可推如人數物數有分有總但知一隅亦可例推也為立法如左右超位加各審其母如超一超二超三四之類各以所超為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即母
凡超位數截取三位較之其前後二位數必倍于中位數若截四位較之則前後二位與中二位數等以上皆取位置匀列超母相同者論之雖所超多位如超五超六至千萬位但同超母者截取前後逺數相併較其進内挨身兩位相併其數皆等右凡加數以求總積之實不論累加超加及超二超三等但係遞加者只除首位單一不用外取次位與末位數併為實其中間亦不拘㡬位但察自前至後布位之數為法乘之所得之數皆倍各位實積之數以減半得總數如右式以前四後三十七併之共四十一數係一十二位以一十二乘四十一得四百九十二減半為二百四十六即其十二位之全數若以前四後十六併之共二十數係五位乘得一百減半得五十即五位全數也如欲連首位算則再加一云
此超八
遞加者
右式假如方箭一束外周六十四枝問中積數㡬何者凡方物必以八包一每層超八遞加今置中心一枝不算即首位之一以内層之八併外周六十四共七十二以八位乘之得數五百七十六減半得八位之總數加中心之一為二百八十九枝凡平方面有中心之一者倣此此超六遞加者
右式假如圓箭一束外周三十六枝問中積者凡圓物必以六包一每層以六遞加今置中心一枝不算外以内層之六併外周三十六共四十二以六位乘之得數二百五十二減半得六位之總數再加中心之一為一百二十七枝凡平圓面倣此
遞加者
右式假如有三稜物一束外周七十二枝問積者凡三稜物必以外九包中一每層超九遞加置中心一枝不算外以内層之九併外周七十二共八十一以八位乘之得數六百四十八減半得八位之總數再加中一為三百二十五枝凡三稜面者倣此若順數而加自一而二而三而四以遞相加者另是一法但取最後二大數相乘得數亦以減半即得最後第二位以至首位之數惟餘最後第一位在外又併入得全數
右式假如有物倚墻一面尖堆最下一行濶十五枚問總積若干取最下二行一十五一十四相乘得數二百一十減半一百○五又加入下行十五得一百二十枚合總
一法取下行加一為法以乘下行得數減半亦同若首位不係一數而自二數或三或四為首者併首尾二位為實而以首位數減尾位數其餘數加一為法乘之減半合總
假如有物倚墻一面平堆下濶十四枚上濶四枚問總積者併首尾二位得一十八為實就尾位減首位得一十外加一共一十一乘之葢原係十一位也以乘得數一百九十八減半得九十九枚合總
又假如衆人醵錢首位出八文末位出六十文問總數總人者以首位減末位餘五十二外加一係五十三位乃併首尾二位錢數以乘五十三得三千六百四文合總
若自一而三而九俱以陽數超加者但看位數以自乘得全數
此皆陽位但據位數自乘如係一十位自乘得一百之類其陽數超加已知首尾兩位之數而未知中間若干位者但取尾位之數外加一以減半得位數如右式尾位十九加一得二十減半則十位也但係陽數雖至百千萬位皆同此法
若自二而四而六俱以陰數超加者取最後一位之數減半即得位數再以減半數外加一而與位數相乘即得自首至尾全數
四 取二十四減半見位數又減半加一為十三二 以乘位數十二得一百五十六見全數又若自二數起遞加至一百數止但取一百減半知是共五十位再加一為五十一以乘位數五十得二千五百五十即五十位之全數
若多中起數超位遞加但知位數及首位數及所超母數而未知最後一位數者但審布位若干於内減一以乘超母如超一則一為母超八則八為母之類得數加入首位數即得尾位之數既得首尾二位乃照前首尾相併而以位乘減半得全數
此超八遞加者計十位減一為九與八相乘得七十二再加首位三得七十五為末位數又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十減半三百九十合全數
假如有牛四十區但云第一區是三十頭餘區遞加二十頭今問第四十區㡬頭依前法就四十減一為三十九與超母二十相乘得七百八十再加首區三十知是八百一十乃最後一區之數也再問各區總數㡬何照法以首區三十加末區共八百四十以乘區數四十得三萬三千六百減半得一萬六千八百頭為各總數若但知末區數及母數位數而不知首區數者照前以區數減一與母數相乘得數而以末區數減之即得首區之數如前乘得七百八十而末區係八百一十相差三十即知首區係三十頭假如發兵破一賊巢有二十人先登以登城先後敘賞其第二十人賞銀一百兩第十九人賞一百三十兩其餘遞加三十兩問第一人該銀㡬何此以二十為位減一為十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十兩為第一人所賞之數也若問此二十人共銀幾何照法併首尾二數得七百七十與位數二十相乘減半得七千七百兩見全數若但舉總數及超數及首尾共數而不知係幾位亦不知首尾二位數各若干者以總數為實以首尾數減半為法除之得位數又以位數減一乘超母得數即用此數為主若以併首尾共數減其半即尾數若以較首尾共數減其半即首數右式假如貸錢起息每日増錢六文共積子母錢三百二十文不言每日細數但云併初末日共錢一百六十文問初末日各㡬文其起息計幾日者以日為位立總錢三百二十為實併初末減半得八十除之得四日依法減一為三乘増母之六得一十八以併初末數得一百七十八減半是末數若以較初末數餘一百四十二減半是初數
若但舉中積及位數及首尾之較若干以求首尾各㡬何者倍中積為實以位為法除之得數以較減之半其餘得首數乃以較加之得尾數右假如織布自冬至始厯十三日共織一千三百五十二寸因晷漸長其功日加六寸末日視首日多織七十二寸問首日末日各織㡬許者倍中積得二千七百四寸為實以積日十三為法除之得二百零八以較減之得數又減半合首數六十八以較併入亦減半合末數一百四十
若但知位數總數及超母數而未知每位得若干數者取位數列之去尾數餘併之如係九位則但用一二三四五六七八共三十六數除九不用以乘超母得數減總乃以位數歸其餘得首位數乃以超母遞加得各位細數
假如兄弟九人遞差三嵗共二百○七嵗欲知每人㡬何者照右法置母數三乃取位數内除去尾數九只以八位細數併之得三十六以乘母得數一百零八以減總數餘九十九以九除之得最幼一人嵗數一十一乃以三遞加之得諸人嵗數
七為超母總數
九百九十六
假如鈔九百九十六錠分給八人遞差一十七錠各若干取位數除去尾八併自一至七之數共二十八以乘超母一十七得數四百七十六以減總餘五百二十以八除得最少一人數六十五仍以一十七遞加得諸人數若超位遞加但知係㡬位及各位總數而未知超母㡬位亦未知各位細數與首尾二位數第云前㡬位共若干後㡬位共若干以求各位細數者依母子互乘法求之以所知前㡬位後㡬位為母以前共若干後共若干為子互乘得數相較為實又併其母減半以較總位餘若干而以兩母相乘之數乘之得數為法以法除實得超母加入所知之數如係二位者加入折半得多者數如係三位者加入三歸得中數乃依超母遞加遞減得全數
假如八人差等分錢但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文問每人㡬文者以二人乘六十六得一百三十二以三人乘七十七得二百三十一以相較餘九十九為實併分母二三得五減半得二零二之一以減總位八餘五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三為法以法除實得三為超母之數併入甲乙減半得四十為甲衰若求己庚辛則三歸之得中間之庚衰乃以超母遞加遞減得全數○外如係戊己庚辛四位者三歸之得己庚共數又加減超母之半得己庚數
倍加法第十
數有挨次遞加者以一數為遞母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者
右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一見二以二二見四以二四見八以二八見十六也第三式倍一加者以二三見六以二六見十二也第二式倍三加者以三三見九以三九見二十七以三箇二十七見八十一也此由少進多之法假如欲尋其母則取挨身小數減其大數知之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也凡挨次遞加者由少加多其多至于無窮葢凡數從多減少其減至于單數而止無復零分之可減也惟此倍加之數則進而加之無窮減而約之亦無窮剖之又剖細微毫忽按法而約求焉豈可以數盡乎此以倍一約之其數無窮餘法皆同右數假如截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位數之自乘者等假如八四二共三位以二八相乘得十六以中間之四自乘亦十六若截取四位而以首尾二位相乘其所得數與中二數相乘者亦等假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中間之八與四乘亦得卅二雖至許多位但以首尾二位相乘其所得數與挨身次二位俱相等步步乘入皆無不同至於最中若有單位以之自乘亦復如是
内乘皆同中
凡倍加之數不論㡬位欲知總數但取首尾二位為主以首最小數減尾最大數而以其所剰大數依後法求之如係加一倍者即二因先取尾大數倍之内減首數得全數如一二四八六二四一三六此七位者取尾六十四倍得一百二十八數減首位一得一百二十七即此七位之細數加一倍者自一起手用此法其加二加三者雖亦自一起手但各另有倍母則另如後法以倍母為首位不以一為首位云如係加二倍者即三因法取尾後最多數内先減首位之數而以餘數二歸縁三因者係加二倍故以二為倍母而用二取其所得之數併入尾位大數即得中間㡬位細數凡四因五因以至六七等類皆同此法而四因三歸五因四歸各減因數之一者依所倍之數為母也餘皆同
此係四因者三
倍于本數以相
加也用尾位數
内減首位數實
百四十九以倍母之三除之得一萬六千三百八十三加入四萬九千一百五十二共得六萬五千五百三十五是八位全數
又有加一倍又二之一遞進者即四六衰分法也此一因半
右四六衰分倍加係一因有半者若欲求其各位總數亦取尾位數四十五又十六之九内減首位數除四得四十一又十六之九如前法亦減除法一數十一因半減其一也如前三因者用二及四因用三之類而用半以除之以半為倍母以除之者是一化為二得八十三零八之一以併尾數總共得一百二十八零十六分之十一也為七位細數
凡二因半三因半等類倣此其除法俱只減其一數凡倍加數不論共有㡬位但就中抽取一位自乘但看自首挨來是㡬位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之數即與此後第四位之數相同即九位不特此也又如取第五位與第七位相乘其五位前凡有四位則其第七位後亦管四位其五位七位乘得之數即與第十一位之數相同如後式假如後式十六係第五位前有四位後亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰與後四位之數相同又假如三十二係第六位前有五位今以三十二自乘得一千二十四即合後第五位之數一又假如八係第四位與七位之六十四相乘以八前凡有三位則六十四之後亦管到三位今以八乘六十四得五百十二數亦與第十位之數相合其相離亦三位故也又法不必算其前後之位但看所自乘數為第㡬位以本位數加一倍内減一即得同數之位假如第六位倍六得十二内減一為十一位則第六位自乘所得之數正合第十一之數與前法理同而更為捷徑又法不必減一但先排倍數于右次排位數于左相對而于位前加一即以○見所減之一其餘以次察之凡所得位數但係自乘者只一位以位數倍之但係互乘者有兩位以兩位數積之右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四則十六之數即第四位之數也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六數其八之本位係三位三十二之本位係五位三與五併共得八即係第
若首位非自一起如二或三或四五之類則自乘互乘皆先取首位之數分之如首位四則以四分其所得而後倍位積位如前法假如以八十自乘得六千四百因首位非從一起而從五起先以首位之五而分之得一千二百八十數仍取列位之四倍之為八則對八之數又假如以四十與六百四十相乘得二萬五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以兩位相積其一是三其一是七合對十之數凡倍一加者即二因就中隨意截取一位以其本數減一即合此位以前各位之細數此除本身而言然必從一數起者合此
假如截取一百二十八數内減一得一百二十七數即合第六位以前之總數葢自六位之六十四以前各位細數總得此
又假如右式以對八位之二百五十六數而求本位以前各位之總依前法以次位求之次位減一得五百一十一乃對八以前各位細總也若就以此八位為主外加一作五百一十二以自乘得二十六萬二千一百四十四數内再減一此何數乎按實對八之位乃係第九位此前既有九位此後亦管九位乃是第十八位以前各位細數也葢以倍位所對之本數自乘則得對位加倍之本數此用倍位法看之如不以本數乘而以積出本位以前諸位之全數乘則又推得本位以後相對若千位之全數此則不用倍位而用實位得之者實位者如本位前實有九位則本位後再管十位即其相對之位之全數也須減一數始合不減一數則進越一位矣假如借銀一忽每日加息一倍至第六十四日該息㡬何依前法推之試如一二四八此四位共十五數加一自乘得二百五十六内減一餘二百五十五即係八位之數蓋自首位一至第八位之一百二十八其細數乃二百五十五數也再以此加一二百五十六自乘得六萬五千五百三十六内減一餘六萬五千五百三十五即知其為第十六位之數再以此數加一得六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六内減一即知其為第三十二位之數凡四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五數又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬零七百三十七億又九百五十五萬一千六百一十六忽内減一即知其為第六十四值之數凡一十八兆四千四百六十七億四千四百零七萬三千七百九兩五錢五分一釐六毫一絲六忽也
同文算指通編卷五