同文算指通編卷六
明 李之藻 撰
測量三率法第十一
凡測山岳樓臺城郭之髙川谷之深土田道里之逺舊名勾股法立表或立重表參望相直乃以開方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代開方之算勾股者植立地上為股其影横地上為勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二邊各刻為度互為勾股立為直影倒影二算義同勾股而法稍捷製矩度法以堅木或銅版其制平方上畫甲乙丙丁四直角方形務取極方詳具幾何原本用甲乙邊立兩耳平對各通一竅名曰通光以便窺望以甲角為矩極系線任其垂下以權鎮之次自甲至丙斜界一線分矩面為兩平分乃並乙至丙及並丙至丁各依原邊線又平行二線俱勻分十二度其度各自其邊界望矩極分之近極為虚線外用為實線或每度更分三分五分六或分至十二皆隨版體大小為分愈細則法愈密矣用時甲昻乙低以目射兩竅與所望之物參相直視其繩之所值何度何分以算推之或不設兩竅只立相等兩小表亦可凡測望必以所求物與立矩度處為直角形取平解在㡬何有不平者須先準平然後測量次論直倒二景直影者繩在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者繩在丁丙界内即股影也如立表墻上影射墻面者是凡有所窺測而望者前卻其步使其繩適在甲丙是為勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者須將倒直互變推求且如求髙求深所求在股即權繩宜在直度而却在倒度則當變倒為直若求逺求近所求在勾其權繩宜在倒度而却在直度則當變直為倒各以通二度之窮其互變之術皆以矩全度為準少者用十二多者用一百四十四假如繩在倒影三度今欲變為直影度者法以矩度為實三度為法除之得四十八為直影度假如繩在倒影五度三分度之二欲變直度者因有三之二每度以三通之得一十七為法亦以三通其矩度得四百三十四為實以法除之得二十五度餘十七分度之七為直度也其繩在直度而欲變為倒度者亦如之詳見徐太史測量法義量影測髙
已知影長若干欲測其髙者如測日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之兩竅權線與矩度相切任其垂下審值何度何分若在十二度之中正對角線丙際則影與物必正相等知影㡬何長即得物㡬何髙矣若權線在直影邊則影小于物而直影上所值度分為第一率以矩度十二為第二率以物影度為第三率二三相乘一除之得第四率為其物髙假如欲測己庚之髙線在直影乙戊得八度正其庚辛影長三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即己庚髙四十五步若權線在倒影邊則影大於物以矩度為第一率以倒影上所值度分為二率以物影度為三率算之得物之髙假如欲測己庚之髙線在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十為實以矩度六十分為法除之得己庚之髙三十六步因權值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表度十二亦通作六十分
從髙測影
若已知物髙若干欲測其影者以矩度承曰審值度分若權線在丙則影與物等若權線在直影邊即物大于影以矩度十二為第一率直影度分為第二率物髙度為第三率算之得數為影度若權線在倒影邊即物小于影以倒影度分為第一率矩度為第二率物髙度為第三率算之得數為影度以目測髙
已知庚辛之逺欲測己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙㡬何乃以矩度向所測物頂甲耳在前目切乙後目與矩耳及髙相參直細審權線值何度分假如權線在直影乙戊以乙戊度為第一率矩度為第二率次量庚距辛之逺㡬何為第三率二三相乘以一除之得物之髙
假如權線在倒影丁戊即以矩度為第一率丁戊倒影為第二率庚辛為第三率照前算之若權線不在丙而有平地可前可却即任意前却至權線值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚若人目在辛求己庚之髙而為山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者則用兩直影之較起算其法依前以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影即以所值度分依法變作直影次從所立之辛依地平取直線或前或却任意逺近至癸仍以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影亦以所值度分變作直影乃以兩直影度分相減之較為首率以矩度為二率辛癸大小兩矩之較為三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之數得己庚之髙假如欲測己庚之髙如前圖先從辛立望得直影小乙戊為五度次却立于癸得直影大乙戊為十度丙影之較五度為首率矩度為次率次量足距之較從癸至辛十步為三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸試作一步即知己庚之髙二十五步 如後圖先于辛得直影小乙戊為十一度次退立于癸得倒影九度當如前變法作大乙戊直影十六度得景較五度以為首率矩度為次率次量距之較癸辛二十步為三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步地平測逺
欲于已測己庚之逺先除自目至足之髙為甲己若量極逺則立樓臺或山岳之上以目下至地平為甲己測髙法見前次以矩極甲角切于目以乙向逺際之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相參直細審權線值何度分如權線在丙則髙與逺等若權在乙丙直影邊即逺數不及髙數以矩度十二為首率直景乙丙為二率甲己為第三率算之得己庚逺若權在丁丙倒影邊即逺過于髙以倒影丁丙為首率以矩度十二為次率甲己為三率算之此所置一率二率視前測髙之法互換云測深
凡從井上測深者井口或徑為己庚井面為辛壬欲測己壬之深用矩極甲角切目以乙從己向對面水際之辛如前法稍移就之令目與竅與辛相參直垂下權線假如線在直影乙戊三度為首率矩度為次率次量己庚井口十二尺為三率算得四十八尺為己壬之深
若權線在倒影三度則依法變為直影得四十八度而以矩度十二為首率變得直影度為次率井口乘之歸除數同以上用矩度者如無矩度另有用鏡用表用尺諸法具後平鏡測髙用盂水亦同
欲知甲乙之髙置平鏡于丙人立于丁其丙丁取平人目在戊向物頂之甲稍移就之令目見甲在鏡中心而甲影從鏡心射目乃量自丁至丙之度為首率丁戊為次率乙丙為三率算之得甲乙髙以表測髙凡立表必三面垂線以取端直已知乙戊之逺而欲測甲乙之髙立表于丙為丁丙退立于戊置乙丙戊為極平線人目在己視表末丁至物頂甲相參直次量目至足數移置表上為辛以截取丁辛之數其辛己線與乙丙戊為平行若其表僅與身等或小于身另立一小表為己戊而以目切之為己亦可乃以丙戊為首率丁辛為次率乙戊為三率算之得甲庚之髙加目至足之數己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至則用兩表之較為算如前圖立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛數乃或前或却又立一表或即用前表或兩表等為癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅數此癸寅與丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相減截己辛于卯得卯辛較為首率以表目相減之較癸寅或丁辛為二率以兩目相距之較己丑或戊子為三率算之得甲庚加自目至足之數得甲乙之髙前圖為進步立重表者後圖為退步立重表者以表測地平逺
欲于甲測甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窺望次却立于戊目在丁視表末丙與逺際乙相參直次移丙度于己截取丁己之度為首率以丙己或甲戊為次率丙甲表度為三率算之得甲乙之逺
以矩尺測逺
欲于甲測地平逺者先立一表為甲丁與地平為直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺際之乙稍移就之使丁戊與乙相參直次迴身從丁丙尺上亦望地平之己使丁丙與己相參直乃量己至表下甲為首率表身丁甲為次率又為第三率依法算之得甲乙逺以重矩兼測無廣之深無深之廣有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂下直線立戊甲己勾股矩尺其甲己勾長六尺人從股尺上視勾末己與谷底丙相參直以目截取戊甲股上之庚庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂下直線取壬壬去甲一丈五尺于壬上亦依垂直線更立一辛壬癸勾股矩尺壬癸勾亦長六尺從股尺上視勾末癸與谷底丙相參直而以目截取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如欲求深者以前股所得庚甲五尺與兩勾間壬甲十五尺相乘得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺如欲求廣者以勾六尺與兩勾間十五尺相乘得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺測深法與重表測逺同測逺法與重表測髙同移測地平逺及水廣
凡測江河谿壑之廣逺身不能至而其傍近有平地與彼相當者立表於乙際為甲乙與地平為直角次用一小尺或竹木等為丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相參直次以表帶尺旋轉向平地以目視丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之數 如不用表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便以四表測逺前測逺諸法不依極髙不得極逺此法能于平地測極逺逺望一山或城或臺為甲欲測其逺擇平曠處立表前云依地平線必依直線取平此不必拘為乙次任却後若干步更立一表為丁望兩表與甲一直線次從乙丁各横行若干步取平方為四角形其二角為丙為己就丙上更立一表又從丁己直行若干尺望丙與甲一直線此際立表為戊乃以乙丙減丁戊之較為首率乙丁為次率乙丙為三率算之得乙逺假如丁戊三十六乙丙三十相減餘六乙丁四十以六為首率四十為次率三十為三率算之得二百四十為甲乙逺測髙深逺近不諧布算而得其度凡測量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立處距所測物之底若不能至者則其影較度或兩測較度也其三表度或距較度也設如測一髙其影較八而距較十步其影較八一率與表十二二率之比例若距較十步三率與其所求之髙四率如不諳算法則于平面畫作甲乙甲丙兩直線任和交于甲從甲向乙用規作八平分為影較甲丁次用元度從丁向乙規取十二平分為矩度丁乙次從甲向丙規取十平分為矩較甲戊此用度與前兩率度任等不等乃從戊至丁畫一直線次從乙亦畫一直線與戊丁平行而截甲丙線于丙次取甲戊元規度從丙向戊畫得若干分即所求之髙又法若景較七度有半距較八度三分度之一即物髙度十三步三分步之二如後圖加目至足髙即得全髙附勾股畧
測量之法専用半矩則勾股所必藉也故補入勾股以顯測望原本舊法勾三股四弦五葢勾自乘股自乘併之即弦自乘數故得勾股可以求弦得勾弦可以求股得股弦可以求勾而引伸其義可以求勾股中容方容圓可以各較求勾求股求弦可以各和求勾求股求弦其變無窮今撮其要者十五則著於篇句股求弦
甲乙股四乙丙勾三求弦以股自乘得十六勾自乘得九併得二十五為實開方得甲丙弦五開方法見後編勾弦求股
如前圖乙丙勾三自乘得九甲丙弦五自乘得二十五相減得較十六開方得甲乙股四股弦求勾
如前圖甲乙股四自乘得十六甲丙弦五自乘得二十五相減得較九開方得乙丙勾三勾股求容方
甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形為實并勾股得甲戊長線六十三為法除之得庚戊長方其辛乙乙癸各邊俱一十五零六十三之二十七約之為七之三為勾股内所容方形餘勾餘股求容方求勾求股甲丁餘股七百五十戊丙餘勾三十求丁乙戊己容方邊以丙戊勾甲丁股相乘為辛壬己庚方形得二萬二千五百為實開方得容方乙丁丁己各邊俱一百五十加餘股得股九百加餘勾得勾一百八十辛壬己庚形與丁乙己戊方形等説見㡬何原本六卷其羃相同故開方即容方容方與餘勾求餘股與餘股求餘勾容方丁乙己丁各邊俱一百五十戊丙餘勾三十求甲丁餘股以容方邊自乘為實以餘勾為法除之得甲丁餘股七百五十以容方與餘股求餘勾法同辛己方之羃既等丁戊方之羃矣開方即容方矣加餘股非全股乎加餘勾非全勾乎勾股求容圜
甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九萬二千為甲乙丙丁方形倍之得三十八萬四千為丙丁戊己方形以為實别以勾股求弦得甲丙邊六百八十併
辛長線一千
六百為法除
實得辛壬癸
甲長方形其辛壬邊相等之乙子二百四十即容圜徑半徑為圜心於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與弦等得甲辛為弦和和為法除實即成辛壬癸甲長方形與丙丁戊己方形之羃等而壬癸邊截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各邊名弦和較皆容圜徑亦皆切圜線也詳著徐太史勾股義又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十與甲丙弦六百八十相減亦得乙子二百四十勾股較求股求勾
甲丙弦四十五甲乙股甲丙勾之較為甲丁九求股求勾以弦自乘得二千○二十五為甲戊方形倍之得四千○五十為己丙方形較自乘得八十一為甲庚小方形以減己丙之兩弦羃存三千九百六十九為實開方得勾股和六十三即丑辰大方形四邊之一也以之加較九得七十二半之得三十六為甲乙股即以減較得二十七為乙丙勾丑辰方形内之丑寅方及卯辰方兩股羃也丙壬方癸子方兩勾羃也以比甲己方形只中心多一箇較羃耳故減此開方即得勾股和矣再加較得兩股故折半得股以減較得勾勾弦較求勾求弦附弦較和求勾求弦弦和較求勾求弦甲乙股三十六乙丙勾甲丙弦之較為甲丁十八求勾求弦以股自乘得一千二百九十六為甲戊方形較自乘得三百二十四為庚丁小方形兩方形相減於甲戊方内去其等庚丁方之辛癸方即得甲壬戊之磬折形存九百七十二為實倍較乙寅為法除之得乙子長方形其丙乙之邊二十七為勾以加較得四十五為甲丙弦乙子方何以等于甲壬戊形之實也葢加一同較羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即與股羃甲戊方形等也又甲辰方形弦羃也内兼勾股二羃試照庚丁較羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌較也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相併勾羃也庚丁形丁午形相併股羃也各加較羃則甲戊午之磬折形與子卯癸之磬折形等亦與甲戊股羃等内各減較羃則乙子方形即甲壬戌磬折形矣又法股自乘得甲己方形一千二百九十六為實以勾弦較甲丁十八即同乙癸為法除之得甲壬之勾弦和七十二加較得九十半之得弦四十五減較得勾二十七甲壬何以知為勾弦和葢弦羃甲丑形内既兼勾股羃矣試以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分為三方形其丙丁寅辰形勾羃也則甲卯卯辰兩形併即股羃也亦即甲辛長方形也子卯也卯寅也甲庚也皆較也甲子弦也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬線為勾弦和若以股與弦較和求勾求弦者股自乘為實次以股減弦較和餘即勾弦較除實得勾弦和乃以加減同前若以股與弦和較求勾求弦者股自乘為實以股減弦和較餘即勾弦較除實加減同前股弦較求股求弦附弦和較求股求弦弦較較求股求弦乙丙勾二十七甲乙股甲丙弦之較為丙丁九求股求弦以勾自乘得乙己方形七百二十九較自乘得丙丑方形八十一丙庚同相減存乙庚己磬折形得六百四十八為實乃倍丙丁較為辛乙線以為法除實得辛壬方形其乙辛邊三十六即甲乙股數以加較得甲丙弦四十五弦羃甲癸方形内兼勾股二羃試依丙丑較羃線分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子為股羃而餘為勾羃之實也甲丑與丑癸併固與乙庚己磬折之形等亦與辛壬長方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之兩較甲丁及寅癸均為兩股合并成乙壬之股又法勾自乘得丙戊方形七百二十九為實以丙丁較九為法除之得丙己方形其丙庚邊八十一為股弦和加較得九十半之得弦四十五減較得股三十六丙庚線何以為股弦和也甲丙弦羃内兼有勾股二羃試依丙丁較截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸方形為股羃而餘為勾羃亦即丙己長方形之實也夫甲癸也壬辛也庚己也均較也而甲丁之股丙辛之弦併之非丙庚乎故云股弦和若勾與弦和較求股求弦者勾自乘為實次以勾減弦和較餘即股弦較除實得股弦和乃以加減同前又勾與弦較較求股求弦者勾自乘為實以勾減弦較較餘即股弦較除實加減同前勾股和求股求勾
甲丙弦四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以弦自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁線自乘得甲己方形三千九百六十九相減得八十一開方得勾股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙勾二十七勾股和自乘為甲己方形此形内函甲辛及癸己之兩股羃乙寅及庚壬之兩勾羃而中間重借一癸辛小方形正其較羃若以弦自乘只得一勾一股羃倍之當得兩勾兩股羃今以減甲己方形少一較羃之癸辛形故以癸辛開方得較也勾弦和求勾求弦附弦和和求勾求弦弦較較求勾求弦甲乙股三十六乙丙甲丙勾弦和七十二求勾求弦以股自乘得一千二百九十六又以勾弦和作乙己線自乘得五千一百八十四為乙戊方形次用股羃減之就乙戊大方内減去庚壬長方餘三千八百八十八即丁辛及丙己兩長方形半之得一千九百四十四為實以勾弦和乙己為法除之得乙丙勾二十七以減和得甲丙弦四十五何以知庚壬長方為股羃也試于乙戊方之乙己線以勾度截之取子寅二㸃作子癸線寅丑線又照取丙庚二㸃作丙壬庚辛二線則一形内四隅有勾羃四中央有較羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰為勾較相乗之羃亦四也夫一勾一較相併為弦則卯己之方形為弦冪而弦冪之内存一午己之勾冪而此外子午辛之磬折形即為所減之股羃兹以庚未形代子午形則庚壬固所減之股羃矣此丁辛丙己兩形所以為減餘形也半之即丙已形次以乙己線除之又法股自乗得一千二百九十六以勾弦和七十二為法除之得十八為勾弦較加勾弦和得九十半之得四十五為弦減較得二十七為勾此與前勾弦較求勾求弦又法同理若以股與弦和和求勾求弦者既得股自乗之數乃以股減弦和和餘即勾弦和除之得勾弦較加減如前因多一股故用一減又股與弦較較求勾求弦者股自乘為實以股併弦較較即得勾弦和除實加減同前股弦和求股求弦附弦和和求股求弦弦較和求股求弦乙丙勾二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以勾自乗得七百二十九股弦和自乘為乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相減去戊己長方形存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙弦四十五大方形内之戊乙句羃也餘論同前又法勾自乘得七百二十九以股弦和八十一為法除之得九為股弦較加股弦和得九十半之得四十五為弦減較得三十六為股此與勾弦較求勾求弦又法同理若以勾與弦和和求股求弦者勾自乘為實以勾減弦和和仍得股弦和除之餘如前亦因多一勾故用一減若以勾與弦較和求股求弦者勾自乗為實勾和相併即股弦和除之股弦較勾弦較求勾求股求弦甲乙股甲丙弦較二乙丙勾甲丙弦較九求勾求股求弦以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為弦和較加勾弦較九得甲乙股十五加股弦較二得乙丙勾八以勾弦較加勾或股弦較加股得十七為甲丙弦此最要者在求弦與勾股和之較法以二九互乘是乘兩次也故倍之戊癸及子丑長方形是也倍之而開方得六即弦和較矣然所以三十六開方為弦和較者何也葢一弦之羃常兼有勾股兩羃今試于甲乙股線引之加甲辰之弦亦于丙乙勾線引之加乙午之弦于甲丙弦引之加丙艮之股艮申之勾此三線者各以自乘為三大羃則弦兼勾股之羃比諸股弦與勾相併之羃共欠四十九數而此四十九為合減之數就于多羃中心減之所餘三十六即開方之弦和較何者試取三大羃而各以元設之勾股弦分之為諸小羃相當相抵其甲酉羃内多勾股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多弦羃一以此兩多之形又相當抵所差者有四十九數而原設股弦較二勾弦較九相減餘七自乗之數亦相符焉至于中心減之而餘三十六葢又有説試以股弦較二自乘得四為己庚方形以勾弦較九自乘得八十一為辛壬方形併得八十五而以四十九減之減去乾兑形其餘形之乾離離壬及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之數也用此開方得六以作寅卯方形令于甲酉方減此寅卯而丙戊方亦減辛壬而乙亥方亦減己庚則其弦兼勾股之羃不等于股弦勾弦之二羃乎葢甲酉四隅四弦羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所謂弦羃兼勾股羃者既相當抵而甲寅辛坎兩形併亦與寅㢲方形相當中心除出乾兑之四十九而乾離離壬及己庚又與寅卯相當故以寅卯開方求之而弦和較得焉夫丙巽即寅卯邊也在甲丙巽申兩弦之間者也丙距申為勾股和則丙截巽為弦和較明矣已得弦和較即以元設兩較相加而勾股弦皆可得矣加九者巽距艮也艮申為勾而艮丙為股也加二者丙距坤也坤甲為股而巽坤為勾也以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆弦也
勾弦和股弦和求勾求股求弦甲丙乙丙勾弦和七十二甲乙甲丙股弦和八十一求勾求股求弦以兩和相乘得五千八百三十二為乙己長方形倍之得一萬一千六百六十四為丁戊大方形以為實平方開之得己庚形其邊一百○八為弦和和求乙丙勾者以股弦和減之得勾二十七求甲乙股者以勾弦和減之得股三十六欲求弦者以勾股和減之得弦四十五己庚形與丁戊形等其開方邊為弦和和者葢丁戊全形内有弦羃二股弦矩形及勾弦矩形各二與己庚方形内諸形比各等其丁戊形内餘一弦羃己庚形内亦餘一句羃一股羃又相等故己庚形之各邊皆弦和和論曰勾股弦三合成形錯綜立義勾股相減其差曰較勾股相併其名曰和股弦之差曰股弦較勾弦之差曰勾弦較併勾股與弦較其差曰弦和較勾股之差與弦相減其差曰弦較較股弦相併曰股弦和勾弦相併曰勾弦和勾股之差併弦曰弦較和勾股弦併曰弦和和勾股各自乘併之為弦實故開之得弦勾弦各自乘減餘為股實故開之得股股弦各自乘減餘為勾實故開之得勾勾股和自乘倍弦實相減開其餘即勾股較也勾股較自乘以減倍弦實開其餘即勾股和也併勾弦以除股實得勾弦較若以勾弦較除股實即得勾弦和矣併股弦以除勾實得股弦較若以股弦較除勾實即得股弦和矣勾股和自乗減弦實除以弦較較得弦較和矣除以弦較和非即弦較較乎勾股較自乘減弦實除以弦和和則得弦和較矣除以弦和較非即弦和和乎勾乘股為實併勾股為法除得容方徑勾乘股倍之勾股求弦併之除得容圜徑容圜之徑即弦和較也又錯綜論之勾為主以加股弦較即弦較較以減股弦較即弦和較若加弦較和又即股弦和也股為主以加勾弦較即弦較和以減勾弦較即弦和較若加弦較較又即勾弦和也勾股較為主以加股弦較即勾弦較若減股弦和亦即勾弦和也勾股和為主以加股弦較復得勾弦和若減股弦和亦得勾弦較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恒得所求若取勾股較以加勾股和半之得股以減勾股和半之得勾若取股弦較以加股弦和半之得弦以減股弦和半之得股取勾弦較者以加勾弦和半之得弦以減勾弦和半之得勾取弦和較者以加弦和和半之得和以減弦和和半之得弦取弦較較者以加弦較和半之得弦以減弦較和半之得較加減乘除圜變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢準此而推亦在乎熟之而已開平方法第十二
凡平方開者依除法列位先審當以幾位除盡列實自末位下㸃記之每隔位一㸃每一㸃即定開下一位乃從左位起用自乘開除凡㸃在左首位下者以一字取數自乘如係九數則用三除三三見九除盡之類若㸃在左次位下者以二字共取一數自乘各除之如係一六則用四除四四一十六除盡之類是為初商以紀格右亦註首㸃之下兩相呼除不盡者作餘數再商如係二十者用五則廿五矣是不可也須用四自乘得十六外剩四作餘數以再商除之倍初商為亷法註初㸃初商之次位若干以除上位視其可得㡬轉以定次商若干註次㸃之下為隅法亦紀于格右先與亷呼除若干再與隅呼除若干有不盡者再倍亷法商除如前若剩數僅及開數一倍以下以法命之開者一面數也加倍又加一數乃得二面是于小平方外添一勾股為大平方若不及加倍増一總是不滿方面即以加倍増一為母餘數為子命曰幾分之㡬
列實二千一百一十七萬八千四百○四凡八位従末位㸃起每隔一位用一㸃共四㸃知用四字開盡此首位無㸃而㸃在次位者以二一相連且作二十一數只一字開之初商用四除註㸃下亦紀格右四四乘之除一十六尚剩五 四上一變五完首段既用四自乘除剩五矣第二段所㸃従五至七凡三位且只作五百八十四而商以從簡便先立亷法須倍前商數前係四則此倍作八註八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有㡬箇八該得六紀六于格右四字之次亦註次㸃下為隅法如八十六者然乃與次商相呼先呼六八除四十八剩三數八上一變三尚剩三十七又以六六相呼要見六於三十七内恰好否若可除則用六如總數不足則寧減一數以就之如前除法相似所謂商也此呼六六三十六尚剩一六上七變一完次段除實二千一百一十六萬餘實一萬八千次于所剩之一除起因此第三㸃管到四字止則自一到四作一百八十四除之其格右四六乃四十六倍作九十二列次下為亷法列式且讓四下之㸃不填以待所商之隅法而列二于八下列九于一下凡亷法商法冩式皆倣此九不可除一作○于格右四六之次以存虚位餘皆抺之另商第四㸃所用仍剩一萬八千四百四竟以一數開畢
前所用四六○是四百六十仍再倍為亷法當作九百二十數讓空四下所㸃一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也當用二為再商右紀二亦註于所㸃四下為隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二減四次○不必除次又以二乘二除四恰盡凡開方每面四千六百零二若欲還原用自又有開方不盡者
具式于後假如列
實四億五千六百
七十八萬九千○ 首㸃左第一位下只以本
一十二數凡九位 一位開之首位係四當用
從小數間㸃至大 二蓋二之自乘四也系二
數共五㸃該以五 于四下右紀二為初商相
四億餘實五千六百七十八萬九千一十二俟再商次除五六且作五十六以從簡便倍初商二作四為亷法讓㸃下一位系四于五下所商以四除五得㡬轉四除五只一轉右紀一亦註一于㸃下先呼一四如四五除四剩一四上五變一次呼一一如一六除一剰五也一上六變五完二段除實四億四千一百萬餘實一千五百七十八萬有竒另商
次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是為二十一今倍作四十二為亷法空有㸃之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡幾轉計得三轉即用三數為再商紀格右亦系三于有㸃八字之下先呼三四一十二于十五内除十二則抺五改三進抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一則抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九進位一變○完三段餘實三百九萬九千有竒次除三○九九○之一段因前用二一三是為二百一十三今又倍其數作四二六為亷法空有㸃之○而于九下系六于進位九下系二于○下系四先以四商上三○看四除三十凡㡬轉該七轉則用七紀七于格右亦系于有㸃○下以相呼先呼四七二十八于三十内除二十八尚剩二數四上○變二進抺三次呼二七一十四于廿九内除十四二上九變五進位二變一次呼六七四十二六上九變七進位五變一次呼七七四十九依借法七上○變一進位七變二完四段餘實一十一萬二千一百一十二另開次除一一二一一二總作一段前已用二一三七是為二千一百三十七今倍之當作四二七四為亷法空有㸃之二而于進位一下系四于又進之一下系七于進二下系二于進一下系四先以四商上一十一看除該二轉則用二紀格右亦系二于末位㸃下而先呼二四為八以除一十一餘數三乃抺一改三進抺一次呼二二為四依借法二上二變八進位三變二又呼二七一十四依借法七上一變七進位八變六再呼二四為八依借法四上一變三進位七變六又呼二二為四依借法二上二變八進位三變二完第五段除實四億五千六百七十六萬二千三百八十四餘二萬六千六百二十八為不盡數
右開方二萬一千三百七十二以自乘得四億五千六百七十六萬二千三百八十四併入餘數二萬六千六百二十八得原數
開平竒零法第十三
凡開方法有可盡者如十六用四除盡如二十五用五除盡是也亦有必不可盡者假如列實二十者用四除去十六尚餘四此所餘之四將何術以開之其法依除法立子母數倍用數為亷法外加一為隅法併為母而以餘數為子乃以原所用開之數依母數化之而併子數俱以為子乃以母自乘子亦自乘以取開方而以小數除其大數視其所得之數若干即開盡數若原數内
更有未盡者再法開之 倍用數得八加一為
母共九而以餘數四
為子次以用數乘母
共三十六併子四共四十以八十一而
除一千六百
八十一之
六十一為
開方之數
尚有未盡
另法具後
右法于二十數内開過一十九零八十一之六十一比前但開除一十六者所得多矣然尚餘八十一之二十未盡另立一法開焉用盈不足對稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不
足五對前四又九 五内除四餘一依前
之四而以少除多 法化一為九内又除
以五為實以四又九之四為法除之 四餘五是九之五也
乃以前四零九之四者而 五八併得十三
倍之為八零九之八併入今 除一九是一整
餘九之五共得九零九之四 數尚剰九之四
次取九零九之四以除前所餘未盡八十一之二十依化法整九與母九相乘得八十一併入子四共八十五
十五又倒位 千八百八十
對相母乘母 五兩子乘得
子乘子 一百八十
又以母子乘 兩母數以九乘
存九之四十 得六萬一千九百
對列而以兩 六十五為共母其
母相乘為母 子數以六千八百
次以子母互 八十五乘四十得
乘各為子而 二十七萬五千四
併之原存盈數也今 百以九乘一百八乘出數不足也亦相併 十得一千六百二九百六十五之二萬九千一百六十約之即十七分之八也為開方𢃄零數若欲知其已于二十數内除過㡬許即將四零十七分之八自乘之依法先以四各化為十七加八俱為子數而仍以十七為母母子各自乘以見開方母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六而以母數除子數即見依除法已開凈一十九零二百八十九之二百八十五較前十九零八十一之六十一逺矣尚餘二百八十九之四未盡欲盡
之再依前法開
除
又法以四開二十因用四開之不盡乃用四零二之一數加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之八化三十六得二百八十八併入三十四得三百二十二為三十六之三百二十二若用約法則為八零十八之十七亦依法化之八化十八得一百四十四併入十七共得一百六十一為一十八之一百六十一此倍出亷數也以之倒位而對前所餘數母子俱自乘仍對前所化
次以所約之母子與原亷母子相對而依法以乘母者併母次以兩子各乗總母得數對減餘為實乃取所併此為開方不足之數比前則所剩微矣欲開盡依法再推
同文算指通編卷六