御製數理精藴下編卷十三
面部三
勾股勾股弦和較相求法下股勾股積與和較相求正勾比例勾股弦和較相求法下
設如有勾股較七尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何第三十四
法以勾股弦總和四十尺内減勾股較七尺餘三十三尺為兩勾一弦之共數葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾股較是於股内減勾股較即又得一勾矣故為兩勾一弦也自乗得一千零八十九尺又以勾股較七尺自乗得四十九尺兩自乗數相減餘一千零四十尺折半得五百二十尺為長方積乃以勾股弦總和四十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得七十三尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減勾八尺又減股十五尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一弦自乗之一大正方内戊己庚辛為弦自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己為勾弦相乗之四長方弦自乗之一正方内容四勾股積為勾股相乗之二長方又勾股較自乗之一小正方今於甲乙丙丁兩勾一弦自乗之一大正方内減去午未申酉勾股較自乗之一小正方尚餘勾股相乗之二長方勾弦相乗之四長方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一長方勾弦相乗之二長方勾自乗之二正方與戌亥乾坎長方形等其濶即勾其長為兩勾兩弦一股其長濶和為三勾兩弦一股故以勾股弦總和與兩勾一弦之共數相併為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也
又法以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺為長方積乃以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法筭之得闊二十五尺為勾弦和得長三十二尺為股弦和於勾股弦總和四十尺内減勾弦和二十五尺餘十五尺為股減勾股較七尺餘八尺為勾又於勾弦和二十五尺内減勾八尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為勾自乗之一正方甲辰辛寅與癸己卯丙為勾弦相乗之二長方寅辛己戊與己癸卯庚為股弦相乗之二長方辰子壬辛與壬丑己癸為勾股相乗之二長方如以勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併則又與弦自乗之一正方相等是為弦自乗之正方二股弦相乗之長方二勾弦相乗之長方二勾股相乗之長方二折半即得弦自乗之正方一股弦相乗之長方一勾弦相乗之長方一勾股相乗之長方一而與午未申酉勾弦和與股弦和相乗之長方等葢午未申酉之長方内戌亥乾酉為弦自乗之一正方午坎亥戌為股弦相乗之一長方亥艮申乾為勾弦相乗之一長方坎未艮亥為勾股相乗之一長方其濶即勾弦和其長即股弦和其長濶較即勾股較故以勾股較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為勾弦和也
設如有勾弦較九尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何第三十五
法以勾股弦總和四十尺内減勾弦較九尺餘三十一尺為兩勾一股之共數盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾弦較是於弦内減勾弦較即又得一勾矣故為兩勾一股也自乗得九百六十一尺又以勾股弦總和四十尺與勾弦較九尺相加得四十九尺爲兩弦一股之共數葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加勾弦較是於勾數加勾弦較即又得一弦矣故為兩弦一股也自乗得二千四百零一尺兩數相減餘一千四百四十尺四歸之得三百六十尺為長方積乃以勾弦較九尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減股十五尺餘二十五尺為勾弦和減勾弦較九尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾弦較九尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為股弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去勾自乗之方與股自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃勾弦較與股相乗之四長方戌戊為弦壬戊為勾故戌壬為勾弦較以四歸之則餘股自乗之一正方勾弦較與股相乗之一長方共為戌坤兌亥一長方其闊即股其長即股與勾弦較之和故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為股也
法以勾股弦總和四十尺内減股弦較二尺餘三十八尺為兩股一勾之共數盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減股弦較是於弦内減股弦較即又得一股矣故為兩股一勾也自乗得一千四百四十四尺又以勾股弦總和四十尺與股弦較二尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加股弦較是於股數加股弦較即又得一弦矣故為兩弦一勾也自乗得一千七百六十四尺兩數相減餘三百二十尺四歸之得八十尺為長方積乃以股弦較二尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦和減股弦較二尺餘三十尺折半得十五尺為股加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為勾弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去股自乗之方與勾自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃股弦較與勾相乗之四長方戌戊為弦壬戊為股故戌壬為股弦較以四歸之則餘勾自乗之一正方股弦較與勾相乗之一長方共為戌坤兊亥一長方其闊即勾其長即勾與股弦較之和故以股弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也
設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何第三十七
法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺與弦與勾股較之較十尺相加得三十三尺為兩勾一弦之共數葢弦與勾股較之較為一勾一股弦較之共數與勾股和相加則得兩勾一股一股弦較而股加股弦較即弦故為兩勾一弦之共數也自乗得一千零八十九尺兩自乗數相減餘五百六十尺折半得二百八十尺為長方積乃以弦與勾股較之較十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得四十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾股和二十三尺内減勾八尺餘十五尺為股又於股十五尺内減勾八尺餘七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一弦自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方未申酉辰亥乾申未乾子坎申申坎艮酉為勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌為勾弦相乗之四長方今以兩正方相減則是癸子丑寅方内減去離辰坤震股自乗之一正方即如前圖之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然又巽未辰離辰酉兑坤勾股相乗之二長方即如前圖之甲辛己戊己壬丙庚然所餘之卯離震坤己寅一磬折形與勾自乗之一正方等弦自乗之正方内減股自乗之方則與勾自乗之方等再午巽離卯與坤兌戌己二小長方為股弦較與勾相乗之二長方若各補於勾自乗之二正方内即成勾與弦與勾股較之較相乗二長方葢弦與勾股較之較乃弦内減去勾股較之餘然弦内有一勾一勾股較一股弦較若減去勾股較則所餘為一勾一股弦較矣今以股弦較與勾相乗之長方補於勾自乗之正方内則其長為一勾一股弦較即弦與勾股較之較其濶即勾故為勾與弦與勾股較之較相乗之長方也合計之則為勾自乗二正方勾弦相乗二長方勾與弦與勾股較之較相乗二長方折半則餘勾自乗一正方勾弦相乗一長方勾與弦與勾股較之較相乗一長方之共積與金木水火長方形等其闊即勾其長為一勾一弦一弦與勾股較之較其長闊和為兩勾一弦一弦與勾股較之較故以弦與勾股較之較與兩勾一弦之共數相加用帯縱和數開方法算之得闊為勾也
設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何第三十八
法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相加得一千一百零五尺為長方積乃以弦與勾股較之和二十四尺倍之得四十八尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得十七尺為弦於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較之和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方癸午辰卯與辰未丑巳為勾股較與弦相乗之二長方兩大正方相併則得弦自乗三正方勾股較與弦相乗二長方共為申酉戌亥一長方形何也卯辰巳寅為一弦方戊己庚丁一股方與辛乙壬己一勾方相併為一弦方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二長方即四勾股積與午子未辰勾股較自乗之一正方相併又為一弦方癸午辰卯辰未丑巳即勾股較與弦相乗之二長方今二自乗方相加則成申酉戌亥之一大長方其闊即弦其長為三弦二勾股較其長濶較為二弦二勾股較故将弦與勾股較之和倍之為二弦二勾股較之共數用𢃄縱較數開方法算之得闊為弦也
設如有勾弦和二十五尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何第三十九
法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十一尺為兩勾一股之共數葢勾弦和為一勾一弦之共數今於弦數内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩勾一股之共數矣與勾弦和二十五尺相乗得七百七十五尺兩數相減餘一百五十尺為長方積乃以勾弦和二十五尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得長十五尺為股於股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較與勾弦和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊巳庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一股與勾弦和相乗之一大長方内卯辰己寅為股自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為勾與弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為勾自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為勾自乗之一正方與卯辰巳寅股自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑巳一長方其辰巳長即股其辰巳巳丑長闊和即勾弦和故以𢃄縱和數開方法算之得長為股也
設如有勾弦和二十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何第四十
法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得四十九尺為兩弦一股之共數葢勾弦和加弦與勾股較之和則得兩弦一勾一勾股較而勾加勾股較即股故為兩弦一股也自乗得二千四百零一尺兩自乗數相加得三千零二十六尺為長方積乃以兩弦一股之共數倍之得九十八尺為四弦二股之共數與勾弦和相加得一百二十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得濶三十四尺折半得十七尺為弦於勾弦和二十五尺内減弦十七尺餘八尺為勾又於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較與勾八尺相加得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一股自乗之一大正方内卯辰己寅為弦自乗之四正方午未子辰為股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己為股弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方勾弦相乗二長方股弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其濶即二弦數其長為三弦一勾二股數其長濶和為五弦一勾二股數故将兩弦一股之共數倍之與勾弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也
設如有股弦和三十二尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何第四十一
法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十八尺為兩股一勾之共數葢股弦和為一股一弦之共數今於弦數内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩股一勾之共數矣與股弦和三十二尺相乗得一千二百一十六尺兩數相減餘一百九十二尺為長方積乃以股弦和三十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較與股弦和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減股弦較二尺餘十五尺為股也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為股自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩股一勾與股弦和相乗之一大長方内卯辰巳寅為勾自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為股弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為股自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為股自乗之一正方與卯辰己寅勾自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑己一長方其辰己濶即勾其辰己巳丑長濶和即股弦和故以𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也
設如有股弦和三十二尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何第四十二
法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股較之較十尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數葢弦與勾股較之較為一勾一股弦較之共數與股弦和相加則得一勾一股一弦一股弦較而股加股弦較即又得一弦故為兩弦一勾也自乗得一千七百六十四尺兩自乗數相加得二千七百八十八尺為長方積乃以兩弦一勾之共數倍之得八十四尺為四弦二勾之共數與股弦和三十二尺相加得一百一十六尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊三十四尺折半得十七尺為弦於股弦和三十二尺内減弦十七尺餘十五尺為股又於弦十七尺内減弦與勾股較之較十尺餘七尺為勾股較於股十五尺内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬巳為股自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之四正方午子未辰為勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳為勾弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方股弦相乗二長方勾弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其闊即二弦數其長為三弦一股二勾數其長濶和為五弦一股二勾數故将兩弦一勾之共數倍之與股弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也
法以弦與勾股和之較六尺自乗得三十六尺折半得十八尺為長方積以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得二尺為股弦較與弦與勾股和之較六尺相加得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股再加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之一正方甲壬癸辛為勾自乗之一正方戊丑癸子為弦與勾股和之較自乗之一正方其積與壬乙己丑辛子庚丁之勾弦較與股弦較相乗之二長方等見前有勾弦較股弦較求勾股弦法今以弦與勾股和之較自乗折半必與壬乙己丑一長方積相等其乙己闊即股弦較其壬乙長即勾弦較而勾弦較之中有一股弦較一勾股較故以勾股較為長闊較用帯縱較數開方法算之得濶為股弦較也
設如有勾弦較九尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何第四十四
法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數葢弦與勾股較之較乃弦内減去勾股較之餘然弦内有一勾一勾股較一股弦較今减去勾股較故餘為勾與股弦較之共數也自乗得一百尺又以勾弦較九尺與弦與勾股較之較十尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數葢勾加勾弦較即弦今弦與勾股較之較既為勾與股弦較之共數若加勾弦較則為弦與股弦較之共數矣自乗得三百六十一尺兩自乗數相减餘二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺於兩自乗數相減之餘二百六十一尺内減之餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長十五尺為股以股十五尺與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾與股弦較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛乙壬己為股弦較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦較與勾相乗之二長方又癸子丑寅為弦與股弦較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午未子辰為股弦較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬巳然癸午辰卯與辰未丑巳為股弦較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去勾自乗方所餘之股自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾弦較與股弦較相乗之二長方共積與弦與勾股和之較自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形變為股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥乾丑己二長方共積變為弦與勾股和之較自乗之方作一巽離坤兌正方形則此二正方邉之較即勾弦較並見勾弦較股弦較求勾股弦法中是以坎艮震巽股自乗之正方形内減去水艮金木勾弦較自乗之正方則餘坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木離巽之一正方形與巽離坤兌之正方形等是則坎水木金震巽磬折形與巽離坤兌正方形相合共為坎水離巽類之二長方矣折半則為一長方其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也又法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數與勾弦較九尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數兩數相併得二十九尺為一勾一弦二股弦較之共數與勾弦較九尺相乗得二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺兩積相減餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長闊較用帯縱較數開方法算之得長十五尺為股與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦較與一勾一弦二股弦較相乗之長方内甲乙己戊為勾弦較與勾弦和相乗之一長方與庚辛壬癸股自乗之一正方積等見股與勾弦較求勾弦法中戊己丙丁為勾弦較與股弦較相乗之二長方與癸子丑寅弦與勾股和之較自乗之一正方積等此二正方邉之較即勾弦較並見勾弦較股弦較求勾股弦法中是以庚辛壬癸股自乗之正方形内減去卯辛巳辰勾弦較自乗之正方則餘庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方與癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一長方與辰己壬子之長方形等折半即餘庚卯子癸一長方形其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也
設如有股弦較二尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何第四十五
法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數葢弦内減股弦較餘即股故於弦與勾股較之和内減股弦較餘即為股與勾股較之共數也自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩自乗數相減餘九十二尺又於股與勾股較之共數自乗之四百八十四尺内減兩自乗數相減所餘之九十二尺餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾股較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然癸午辰卯與辰未丑己為勾股較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形所餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去股自乗方所餘之勾自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾股較與股弦較相乗之二長方今以此餘積再於甲乙丙丁正方形内減之則減去坎艮震丁勾自乗之一正方其積與卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽離戊與戊離坤坎二長方即如癸申酉卯亥乾丑巳二長方然所餘兌巳庚震與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方火辛己兌與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方巽火兌離與離兌艮坤為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将巽火兌離離兌艮坤二長方移為水木辛火木金乙辛則成水金丙震一大長方形其闊即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長濶和用帯縱和數開方法算之得濶為二勾股較折半得勾股較也
又法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺與股與勾股較之共數二十二尺相加得四十六尺為一股一弦二勾股較之共數以股弦較二尺乗之得九十二尺兩數相減餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股較之共數自乗之正方也盖圖以甲辛為股辛乙為勾股較若以甲申為勾則申辛亦勾股較故為一勾兩勾股較也内巳午未丁為勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌為勾股較自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚為勾股較與勾相乗之四長方又癸子丑寅為股弦較與一股一弦二勾股較相乗之一長方内癸子辰夘為股弦較與股弦和相乗之一長方與勾自乗之一正方等見勾與股弦較求股弦法中卯辰丑寅為股弦較與二勾股較相乗之二長方今以兩積相減則於甲乙丙丁正方形内減去與癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又減去與卯辰丑寅相等之甲乾坎戊戊坎艮巳之股弦較與二勾股較相乗之二長方所餘酉巳庚未與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方申辛己酉與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方乾申酉坎坎酉午艮為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将乾申酉坎坎酉午艮二長方移為震巽辛申巽離乙辛則成震離丙未一大長方形其濶即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股内少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為二勾股較折半得勾股較也勾股積與勾股弦和較相求法
設如有勾股積一百二十尺勾十尺求股弦各幾何法以勾股積一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺為股勾股求弦得弦二十六尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其闊即勾其長即股故以勾除倍積而得股也
設如有勾股積六十尺股十五尺求勾弦各幾何法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺為勾勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其長即股其濶即勾故以股除倍積而得勾也
設如有勾股積三十尺弦十三尺求勾股各幾何法以勾股積三十尺四因之得一百二十尺又以弦十三尺自乗得一百六十九尺相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較乃以勾股積倍之為長方積以勾股較為長濶較用帯縱較數開方法算之得濶五尺為勾得長十二尺為股如圖甲乙丙丁為弦自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積戊己庚辛一勾股較自乗方積故於弦自乗方内減四勾股積即餘勾股較自乗之方而開方得勾股較也
法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以勾股較七尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得濶八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其濶即勾其長即股其長濶較即勾股較故用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也又如有勾股積幾何知勾弦較或股弦較求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後
法以勾股積六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺兩數相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之方内容八勾股積一勾股較自乗方積今於勾股和自乗之方内減八勾股積所餘戊己庚辛正方即勾股較自乗之方故開方而得勾股較也又如有勾股積幾何知勾弦和或股弦和求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後
設如有勾股積六十尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何
法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺兩數相減餘一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股弦總和四十尺除之得十七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為弦自乗之一正方寅子壬辛與壬丑卯癸為股弦相乗之二長方甲寅辛辰與癸卯丙己為勾弦相乗之二長方辰辛己戊與己癸己庚為勾股相乗之二長方夫勾股相乗之二長方與四勾股積等今於勾股弦總和自乗之一大正方内減去四勾股積即減去勾股相乗之二長方而勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併又與弦自乗之一正方等故所餘者為弦自乗之二正方股弦相乗之二長方勾弦相乗之二長方折半即得弦自乗之一正方股弦相乗之一長方勾弦相乗之一長方與甲乙丑辰長方形等其濶即弦其長即勾股弦總和故以勾股弦總和除之而得弦也
法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺以弦與勾股和之較六尺除之得四十尺為勾股弦總數内減弦與勾股和之較六尺餘三十四尺折半得十七尺為弦加弦與勾股和之較六尺得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如圖甲乙為勾股和丙乙為弦甲丙為弦與勾股和之較試依甲乙線作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙線作丙己庚乙弦自乗之一正方二方相較其甲丁戊庚己丙磬折形乃與四勾股積相等葢勾股和自乗方内容八勾股積一勾股較自乗方積弦自乗方内容四勾股積一勾股較自乗方積二方相減所餘磬折形積與四勾股積相等引而長之即如丙甲戊庚一長方形其濶即弦與勾股和之較其長即弦與勾股和之和故以弦與勾股和之較除之得勾股弦總數也
設如有勾股積六十尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何
法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相減餘三百三十六尺折半得一百六十八尺用弦與勾股較之和二十四尺除之得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦與勾股較之和自乗之一正方甲戊己庚為弦自乗之一正方而弦自乗之方内容四勾股積一勾股較自乗方積今減去四勾股積餘辛壬癸子為勾股較自乗之一正方而巳丑丙寅亦為勾股較自乗之一正方再戊乙丑巳與庚己寅丁又為勾股較與弦相乗之二長方折半則餘戊乙丑己一長方己丑丙寅一正方其戊寅長即弦與勾股較之和其戊乙闊即勾股較故以弦與勾股較之和除之而得勾股較也
法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之較十尺自乗得一百尺兩數相減餘一百四十尺折半得七十尺以弦與勾股較之較十尺除之得七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦自乗之一大正方内丁戊己庚為勾股較自乗之一正方辛乙壬己為弦與勾股較之較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與弦與勾股較之較相乗之二長方葢弦自乗方内容四勾股積一勾股較自乗方積今丁戊己庚既為勾股較自乗之方若於甲乙丙丁弦自乗方内減之則所餘甲乙丙庚巳戊磬折形即與四勾股積相等又於四勾股積相等之甲乙丙庚己戊磬折形内減辛乙壬己弦與勾股較之較自乗之方則尚餘甲辛己戊己壬丙庚二長方折半則得巳壬丙庚一長方其己壬長即弦與勾股較之較其己庚闊即勾股較故以弦與勾股較之較除之而得勾股較也正勾股比例
設如有正勾股知勾十二尺求股與弦各幾何
法以正勾股定分之勾三分為一率股四分為二率今所設之勾一十二尺為三率推得四率十六尺為股仍以勾三分為一率弦五分為二率今所設之勾十二尺為三率推得四率二十尺為弦也葢大小兩同式形其相當各界互相比之比例俱為相當比例四率見幾何原夲八卷第三節故正勾股定分之勾三與股四之比即同於今所設之勾十二與股十六之比又正勾股定分之勾三與弦五之比亦同於今所設之勾十二與弦二十之比也
又㨗法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所設之勾股形為加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分弦五分各加四倍即得所求之股弦之各數矣
設如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股弦各幾何
法以正勾股定分之勾三分股四分相併得七分為一率勾三分為二率今所設之勾股和六十三尺為三率推得四率二十七尺為勾若以股四分為二率即得四率三十六尺為股若以弦五分為二率即得四率四十五尺為弦也葢正勾股定分之勾股和七尺與勾三股四弦五各相為比即同於今所設之勾股和六十三尺與勾二十七尺股三十六尺弦四十五尺各相比之比例也又㨗法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所設之勾股形為加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加九倍即得所求之各數也
法以正勾股定分之勾三分股四分弦五分相併共得十二分為一率勾三分為二率今所設之勾股弦總和六十尺為三率推得四率十五尺為勾若以股四分為二率即得四率二十尺為股若以弦五分為二率即得四率二十五尺為弦也
又㨗法以勾股弦總和六十尺用正勾股定分之勾三股四弦五相併之十二分除之得五尺即知今所設之勾股形為加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加五倍即得所求之各數也
設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉幾何法以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘或以勾九尺七歸四因亦得五尺一寸四分二釐八毫有餘為内容方邉也葢勾三分股四分者則以勾股和七分為一率勾三分為二率股四分為三率推得四率為内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺與十二尺之比仍同於三分與四分之比故以其分數相求得内容方邊仍為比例四率也
設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜徑幾何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即為内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者則於勾股和七分内減弦五分餘二分為内容圜徑見勾股容圜第二法是内容圜徑得股四分之二得勾三分之二也今九尺與十二尺之比同於三分與四分之比故十二尺與六尺之比仍同於四與二之比而九尺與六尺之比亦仍同於三與二之比也
設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方邊幾何
法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七歸四因或以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘即内容方邊也葢内容方邊得勾七分之四得股七分之三見前法故必先比例得勾數或股數復比例得内容方邊也
設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜徑幾何
法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分為一率内容圜徑二分為二率今所設之勾股和二十一尺為三率推得四率六尺即内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者其内容圜徑為二分見前法故勾股和之七分與内容圜徑二分之比即同於今所設之勾股和之二十一尺與内容圜徑六尺之比也總之正勾股形知一數即得所求之各數要先以勾三股四弦五求得所知之定分及所求之定分如勾股較則以勾三分與股四分相減餘一分又如弦與勾股較之和則以勾股較一分與弦五分相加得六分之類乃以所知之定分與所求之定分之比即同於今所知之數與今所求之數之比也
設如有正勾股面積九十六尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之面積六分為一率勾三分自乗得九分為二率今所設之勾股積九十六尺為三率推得四率一百四十四尺為勾自乗之方開方得十二尺為勾如以正勾股定分之股四分自乗為二率則得今所設之股自乗之方如以正勾股定分之弦五分自乗為二率則得今所設之弦自乗之方各開方而即得各數矣或得勾而以正勾股定分之勾股弦各比例之亦可葢同式兩勾股形其面積互相為比即同於勾股形各相當界所作正方形互相為比見幾何原夲八卷第四節故以正勾股定分之面積六尺與勾股弦各方之比即同於今所設之面積九十六尺與勾股弦各方之比也
又㨗法以面積九十六尺用正勾股定分之面積六尺除之得十六尺開方得四尺即知今所設之勾股弦為各加四倍之比例乃以正勾股定分之各數各加四倍即得各數葢兩直角方面形其兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例見幾何原夲七卷第五節今勾股為長方之半正方與正方為比長方與長方為比其比例相同並見第六節故積大十六倍者界必大四倍既知其大四倍則以正勾股之定分各加四倍即得矣
設如有正勾股知勾自乗股自乗弦自乗共積四百五十尺求勾股弦各幾何
法以共積四百五十尺折半得二百二十五尺為弦自乗方積開方得一十五尺為弦既得弦則以勾股弦之定分比例之得九尺為勾得十二尺為股也如用面積為比例則以弦五分自乗之二十五分為一率勾三分自乗之九分為二率今所得之弦自乗方二百二十五尺為三率求得四率八十一尺為勾自乗方積開方得九尺為勾若以股四分自乗之十六分為二率則得四率一百四十四尺為股自乗方積開方得十二尺為股也葢弦自乗之一方既與勾自乗股自乗之二方等則勾自乗股自乗弦自乗之三方必與弦自乗之二方等故折半即得弦自乗之一方而開方得