御製數理精藴卷二十二
面部十二
各等邊形
更面形
設如五等邊形每邊一尺二寸問面積㡬何
法以全圜三百六十度五分之每分得
七十二度折半得三十六度爰以三十
六度之正弦五萬八千七百七十九為
一率半徑十萬為二率今所設之五等
邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為
三率求得四率一尺零二分零七豪七
徑或用求圜内容五等邊形之一邊之
定率比例以定率之圜内容五等邊形
之每邊五八七七八五二五為一率圜
徑一○○○○○○○○為二率今所
設之五等邊形之每邊一尺二寸為三
率求得四率二尺零四分一釐五豪六
絲一忽有餘折半得一尺零二分零七
豪八絲有餘為五等邊形外切圜之半
二絲七忽有餘為五等邊形之中心至
每邊正中之垂線或以三十六度之正
弦五萬八千七百七十九為一率三十
六度之餘弦八萬零九百零二為二率
今所設之五等邊形之每邊之半六寸
為三率求得四率八寸二分五釐八豪
二絲五忽有餘為五等邊形之中心至
邊折半之數相乗得四十九寸五十四
分九十釐有餘五因之得二尺四十七
寸七十四分五十釐有餘即五等邊形
之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形
試作一外切圜形則每邊之弧皆為七
十二度將甲乙邊折半於己自圜心庚
則甲辛弧為三十六度甲己即三十六
即如今所設之每邊之半甲己與所得
之半徑甲庚之比又三十六度之正弦
與三十六度之餘弦之比即如今所設
之每邊之半甲己與所得之垂線庚己
又法以三十六度之正切七萬二千六
百五十四為一率半徑十萬為二率今
三率求得四率八寸二分五釐八豪三
絲二忽有餘為五等邊形内容圜之半
徑或用求圜外切五等邊形之一邊之
定率比例以定率之圜外切五等邊形
之每邊七二六五四二五二為一率圜
徑一○○○○○○○○為二率今所
設之五等邊形之每邊一尺二寸為三
率求得四率一尺六寸五分一釐六豪
圜之半徑即五等邊形之中心至每邊
正中之垂線乃與每邊折半之數相乗
五因之得二尺四十七寸七十四分八
十七釐有餘為五等邊形之面積也如
圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一内容
圜形自甲角過圜心己作甲己庚線遂
平分丙丁邊於庚則丙庚即三十六度
十萬之比同於今所設之每邊之半丙
庚與所得之内容圜半徑己庚之比也
此即圜外切五等邊形之法而轉用之也
又法用連比例三率有中率求末率之
法以每邊一尺二寸為中率求得末率
七寸四分一釐六豪四絲有餘中率求末率即
尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為首
尺八寸四方六釐六豪零九忽有餘為
五等邊形中心至每邊正中之垂線與
分角線之和即五等邊形自一角至每邊正中之垂線復以
此垂線為首率每邊之半為中率求得
末率一寸九分四釐九豪五絲二忽為
五等邊形中心至每邊正中之垂線與
分角線之較乃以此較數與先所得和
一忽有餘折半得一尺零二分零七豪
八絲有餘為五等邊形之分角線即五等邊
形外切圜之半徑仍以此較數與先所得和數
相減得一尺六寸五分一釐六豪五絲
七忽有餘折半得八寸二分五釐八豪
二絲八忽有餘為五等邊形中心至每
邊正中之垂線即五等邊形内容圜之半徑乃以此
垂線與每邊之半相乗五因之得二尺
五等邊形巳為五等邊形之中心試自
甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線成
甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁
乙線截甲丙線於庚則又成丁庚丙三
角形此兩三角形為同式形故甲丙線
為首率即理分中末線之全分丙丁邊為中率即理
分中末線之大分而所截之甲庚一段與丙丁
分中末線之小分其比例為甲丙首率與丙丁
中率之比即同於丙丁中率與庚丙末
率之比故按連比例三率有中率求末
率之法求得庚丙末率與甲庚中率相
加即得甲丙首率為兩角相對斜線爰
用甲丙斜線為弦丙辛每邊之半為勾
與甲己分角線之和既得甲辛線則用
即己辛中心至邊之垂線與甲己分角
線之較既得辛壬與甲辛相加折半得
甲己即分角線又為五等邊形外切圜
之半徑以辛壬與甲辛相減折半得己
辛即中心至每邊之垂線又為五等邊
形内容圜之半徑既得己辛垂線與丙
丁每邊之半丙辛相乗得己丙丁一三
積也
又既得五等邊形兩角相對之斜線與
自一角至每邊正中之垂線求面積捷
法以所得末率七寸四分一釐六豪四
絲有餘加每邊之半六寸得一尺三寸
四分一釐六豪四絲有餘與自一角至
每邊正中之垂線一尺八寸四分六釐
六豪零九忽有餘相乗得二尺四十七
形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二
線遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角
形又自甲至己作甲己垂線則甲己垂
線與丙己每邊之半相乗即得甲丙丁
三角形面積又自乙角至甲丙線上作
乙庚垂線則乙庚垂線與甲丙斜線相
乗即得甲乙丙甲戊丁兩三角形之共
角作丁乙斜線截甲丙斜線於辛則甲
辛與丁辛等俱為中率乙辛與辛丙等
俱為末率又成乙辛庚勾股形與甲丙
己勾股形為同式形丁辛丙三角形之辛角原與丙角等
而與乙辛庚勾股形之辛角為對角其度亦等庚角與己角又同為直角其餘
一角亦必等所以為同式形故甲丙為一率甲己為
二率乙辛為三率乙庚為四率凡二率
甲乙丙甲戊丁兩三角形之共積矣故
以乙辛末率與丙己每邊之半相加而
與甲己垂線相乗即得甲乙丙丁戊五
等邊形之面積也
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率五等邊形面積一七二
邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四
十四寸為三率求得四率二尺四十七
寸七十四分八十七釐有餘即五等邊
形之面積也葢五等邊形之每一邊為
一○○○○則其自乗之正方面積為
一○○○○○○○○而五等邊形之
每一邊一○○○○所得之五等邊形
面積為一七二○四七七四一故以子
○○○○○○○○與子丑寅卯辰五
等邊形面積一七二○四七七四一之
比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等
邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁
己庚正方面積一尺四十四寸與今所
得之甲乙丙丁戊五等邊形面積二尺
四十七寸七十四分八十七釐有餘之
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之五等邊形之每邊七六二
三八七○五為一率正方形之每邊一
○○○○○○○○為二率今所設之
五等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率一尺五寸七分四釐零三忽有
每邊之數自乗得二尺四十七寸七十
八七○五正方形之每邊為一○○○
○○○○○則兩面積相等故以子丑
寅卯辰五等邊形之寅卯一邊七六二
三八七○五與己午未申正方形之午
未一邊一○○○○○○○○之比即
同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形
之丙丁一邊一尺二寸與今所得之己
七分四釐零三忽有餘之比既得庚辛
一邊自乗得己庚辛壬正方面積即與
甲乙丙丁戊五等邊形之面積為相等
也
如有五等邊形之面積二尺四十七寸
七十四分八十七釐求每邊之數則用
邊線相等面積不同之定率比例以定
率之五等邊形之面積一七二○四七
邊形之面積二尺四十七寸七十四分
八十七釐為三率求得四率一尺四十
四寸開方得一尺二寸即五等邊形之
每一邊也此法葢因五等邊形之每邊
與正方形之每邊相等五等邊形之面
積與正方形之面積不同故先定為面
與面之比例既得面積而後開方得線
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之正方形之每邊一○○○
○○○○○為一率五等邊形之每邊
七六二三八七○五為二率今所設之
五等邊形之面積二尺四十七寸七十
四分八十七釐開方得一尺五寸七分
尺二寸即五等邊形之每一邊也此法
每邊不同故以五等邊形之面積先開
方既得方邊而後為線與線之比例也
設如六等邊形每邊一尺二寸問面積幾何
法因六等邊形之每邊與分角線即六等邊
形外切圜之半徑相等故即以每邊一尺二寸
為弦每邊之半六寸為勾求得股一尺
零三分九釐二豪三絲有餘為六等邊
之半徑乃以此垂線與每邊之半相乗六
因之得三尺七十四寸一十二分二十
八釐有餘即六等邊形之面積也如圖
甲乙丙丁戊己六等邊形庚為六等邊
形之中心其庚丙分角線與丙丁類每
邊等故以庚丙為弦每邊之半丙辛為
勾求得庚辛股即六等邊形中心至每
邊正中之垂線既得垂線與丙丁之半
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率六等邊形面積二五九
八○七六二○為二率今所設之六等
邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四
十四寸為三率求得四率三尺七十四
寸一十二分二十九釐有餘即六等邊
一○○○○則其自乗之正方面積為
一○○○○○○○○而六等邊形之
每一邊一○○○○所得之六等邊形
面積為二五九八○七六二○故以子
丑寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊一
一○○○○○○○○與子丑寅卯辰
己六等邊形面積二五九八○七六二
之丙丁庚辛正方面積一尺四十四寸
與今所得之甲乙丙丁戊己六等邊形
面積三尺七十四寸一十二分二十九
釐有餘之比也
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之六等邊形之每邊六二○
四○三二四為一率正方形之每邊一
六等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率一尺九寸三分四釐二豪二絲
五忽有餘為與六等邊形面積相等之
正方形每邊之數自乗得三尺七十四
寸一十二分二十六釐有餘即六等邊
形之面積也葢六等邊形之每邊為六
二○四○三二四正方形之每邊為一
○○○○○○○○則兩面積相等故
方形之未申一邊一○○○○○○○
○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊
己六等邊形之丙丁一邊一尺二寸與
今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一
邊一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽
有餘之比既得辛壬一邊自乗得庚辛
壬癸正方面積即與甲乙丙丁戊己六
如有六等邊形之面積三尺七十四寸
一十二分二十九釐求每邊之數則用
邊線相等面積不同之定率比例以定
率之六等邊形之面積二五九八○七
○○○○○○為二率今所設之六等
邊形之面積三尺七十四寸一十二分
二十九釐為三率求得四率一尺四十
與正方形之每邊相等六等邊形之面
積與正方形之面積不同故先定為面
與面之比例既得面積而後開方得線
也
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之正方形之每邊一○○○
○○○○○為一率六等邊形之每邊
等邊形之面積三尺七十四寸一十
二分二十九釐開方得一尺九寸三分
四釐二豪二絲五忽有餘為三率求得
四率一尺二寸即六等邊形之每一邊
也此法葢因六等邊形之面積與正方
形之面積相等六等邊形之每邊與正
方形之每邊不同故以六等邊形之面
積先開方既得方邊而後為線與線之
法以全圜三百六十度七分之每分得
五十一度二十五分四十二秒有餘折
半得二十五度四十二分五十一秒有
餘爰以二十五度四十二分五十一秒
有餘之正弦四萬三千三百八十八為
一率半徑十萬為二率今所設之七等
邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為
豪七絲有餘為七等邊形外切圜之半
徑或用求圜内容七等邊形之一邊之
定率比例以定率之圜内容七等邊形
徑一○○○○○○○○為二率今所
設之七等邊形之每邊一尺二寸為三
率求得四率二尺七寸六分五釐七豪
一絲七忽有餘折半得一尺三寸八分
邊形之每邊折半為勾求得股一尺二
寸四分五釐九豪二絲五忽有餘為七
等邊形之中心至每邊正中之垂線或
以二十五度四十二分五十一秒有餘
之正弦四萬三千三百八十八為一率
二十五度四十二分五十一秒有餘之
餘弦九萬零九十七為二率今所設之
得四率一尺二寸四分五釐九豪二絲
五忽有餘為七等邊形之中心至每邊
正中之垂線既得此垂線乃與每邊折
半之數相乗得七十四寸七十五分五
十五釐有餘七因之得五尺二十三寸
二十八分八十五釐有餘即七等邊形
之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等
邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆
癸半徑線遂平分甲乙弧於癸則甲癸
弧為二十五度四十二分五十一秒有
餘甲辛即二十五度四十二分五十一
秒有餘之正弦壬辛即二十五度四十
二分五十一秒有餘之餘弦是故二十
五度四十二分五十一秒有餘之正弦
與半徑十萬之比即如今所設之每邊
二十五度四十二分五十一秒有餘之
有餘之餘弦之比即如今所設之每邊
之半甲辛與所得之垂線壬辛之比也
此即圜内容七等邊形之法而轉用之也
又法以二十五度四十二分五十一秒
有餘之正切四萬八千一百五十七為
一率半徑十萬為二率今所設之七等
有餘為七等邊形内容圜之半徑或用
求圜外切七等邊形之一邊之定率比
例以定率之圜外切七等邊形之每邊
四八一五七四六二為一率圜徑一○
○○○○○○○為二率今所設之七
等邊形之每邊一尺二寸為三率求得
四率二尺四寸九分一釐八豪二絲五
豪一絲二忽有餘為七等邊形内容圜
之半徑即七等邊形之中心至每邊正
中之垂線乃與每邊折半之數相乗七
因之得五尺二十三寸二十八分三十
釐有餘即七等邊形之面積也如圖甲
乙丙丁戊己庚七等邊形試作一内容
圜形自甲角過圜心辛作甲辛壬線遂
平分丁戊邊於壬則丁壬即二十五度
正切與半徑十萬之比同於今所設之
每邊之半丁壬與所得之内容圜半徑
辛壬之比也此即圜外切七等邊形之法而轉用之也
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率七等邊形面積三六三
三九一二四○為二率今所設之七等
寸二十八分三十三釐有餘即七等邊
形之面積也葢七等邊形之每一邊為
一○○○○則其自乗之正方面積為
一○○○○○○○○而七等邊形之
每一邊一○○○○所得之七等邊形
面積為三六三三九一二四○故以子
丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊
辰己午七等邊形面積三六三三九一
二四○之比即同於今所設之甲乙丙
丁戊巳庚七等邊形之每一邊一尺二
寸自乗之丁戊辛壬正方面積一尺四
十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚
七等邊形面積五尺二十三寸二十八
分三十三釐有餘之比也
例以定率之七等邊形之每邊五二四
五八一二六為一率正方形之每邊一
○○○○○○○○為二率今所設之
七等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率二尺二寸八分七釐五豪三絲
八忽有餘為與七等邊形面積相等之
正方形每邊之數自乗得五尺二十三
寸二十八分三十釐有餘即七等邊形
○○○○○○○則兩面積相等故以
子丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一
邊五二四五八一二六與未申酉戌正
方形之申酉一邊一○○○○○○○
○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊
己庚七等邊形之丁戊一邊一尺二寸
忽有餘之比既得壬癸一邊自乗得辛
壬癸乾正方面積即與甲乙丙丁戊己
庚七等邊形之面積為相等也
如有七等邊形之面積五尺二十三寸
二十八分三十三釐求每邊之數則用
邊線相等面積不同之定率比例以定
率之七等邊形之面積三六三三九一
二四○為一率正方形之面積一○○
三十三釐為三率求得四率一尺四十
四寸開方得一尺二寸即七等邊形之
每一邊也此法葢因七等邊形之每邊
與正方形之每邊相等七等邊形之面
積與正方形之面積不同故先定為面
與面之比例既得面積而後開方得線
也
例以定率之正方形之每邊一○○○
○○○○○為一率七等邊形之每邊
五二四五八一二六為二率今所設之
七等邊形之面積五尺二十三寸二十
八分三十三釐開方得二尺二寸八分
七釐五豪三絲八忽有餘為三率求得
四率一尺二寸即七等邊形之每一邊
也此法葢因七等邊形之面積與正方
積先開方既得方邊而後為線與線之
比例也
設如八等邊形每邊一尺二寸問面積幾何
法以全圜三百六十度八分之每分得
四十五度折半得二十二度三十分爰
以二十二度三十分之正弦三萬八千
折半得六寸為三率求得四率一尺五
寸六分七釐八豪八絲九忽有餘為八
等邊形外切圜之半徑或用求圜内容
八等邊形之一邊之定率比例以定率
之圜内容八等邊形之每邊三八二六
八三四三為一率圜徑一○○○○○
○○○為二率今所設之八等邊形之
每邊一尺二寸為三率求得四率三尺
忽有餘為八等邊形之切圜之半徑乃
以此半徑為弦八等邊形之每邊折半
為勾求得股一尺四寸四分八釐五豪
二絲七忽有餘為八等邊形之中心至
每邊正中之垂線或以二十二度三十
分之正弦三萬八千二百六十八為一
率二十二度三十分之餘弦九萬二千
形之每邊之半六寸為三率求得四率
一尺四寸四分八釐五豪四絲一忽有
餘為八等邊形之中心至每邊正中之
垂線既得此垂線乃與每邊折半之數
相乗得八十六寸九十一分二十四釐
有餘八因之得六尺九十五寸二十九
分九十二釐有餘即八等邊形之面積
也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形
作癸壬子半徑線遂平分甲乙弧於子
則甲子弧為二十二度三十分甲壬即
二十二度三十分之正弦癸壬即二十
二度三十分之餘弦是故二十二度三
所設之每邊之半甲壬與所得之半徑
甲癸之比又二十二度三十分之正弦
今所設之每邊之半甲壬與所得之垂
線癸壬之比也此即圜内容八等邊形之法而轉用之也
又法以二十二度三十分之正切四萬
一千四百二十一為一率半徑十萬為
二率今所設之八等邊形之每邊之半
六寸為三率求得四率一尺四寸四分
八釐五豪四絲有餘為八等邊形内容
圜之半徑或用求圜外切八等邊形之
一率圜徑一○○○○○○○○為二
率今所設之八等邊形之每邊一尺二
寸為三率求得四率二尺八寸九分七
釐零五絲六忽有餘折半得一尺四寸
四分八釐五豪二絲八忽有餘為八等
邊形内容圜之半徑即八等邊形之中
心至每邊正中之垂線乃與每邊折半
十九分三十四釐有餘為八等邊形之
面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等
邊形試作一内容圜形自圜心壬作壬
癸中心至每邊正中之垂線遂平分丁
戊邊於癸則丁癸即二十二度三十分
之正切故以二十二度三十分之正切
與半徑十萬之比同於今所設之每邊
之半丁癸與所得之内容圜半徑壬癸
十四寸折半得七十二寸開方得八寸
四分八釐五豪二絲八忽有餘與每邊
之半六寸相加得一尺四寸四分八釐
正中之垂線乃以此垂線與每邊之半
相乗八因之得六尺九十五寸二十九
分三十四釐為八等邊形之面積也如
八等邊形之中心試將辛甲乙丙丁戊
己庚四邊俱引長相交遂成癸子丑寅
正方形其四角丙子丁類勾股相等之
四勾股形之弦即八等邊形之每一邊
故以丙丁一邊自乗折半開方得丙子
或子丁於丙子内再加乙丙邊之半卯
丙得卯子與壬辰等即八等邊形自中
心至每邊正中之垂線既得垂線與每
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率八等邊形面積四八二
八四二七一二為二率今所設之八等
邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四
十四寸為三率求得四率六尺九十五
寸二十九分三十五釐有餘即八等邊
一○○○○則其自乗之正方面積為
一○○○○○○○○而八等邊形之
每一邊一○○○○所得之八等邊形
面積為四八二八四二七一二故以子
丑寅卯辰巳午未八等邊形之卯辰一
邊一○○○○自乗之卯辰申酉正方
面積一○○○○○○○○與子丑寅
卯辰巳午未八等邊形面積四八二八
一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面積
一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁
寸二十九分三十五釐有餘之比也
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之八等邊形之每邊四五五
○八九八五為一率正方形之每邊一
八等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率二尺六寸三分六釐八豪四絲
一忽有餘為與八等邊形面積相等之
正方形每邊之數自乗得六尺九十五
寸二十九分三十五釐有餘即八等邊
形之面積也葢八等邊形之每邊為四
五五○八九八五正方形之每邊為一
○○○○○○○○則兩面積相等故
亥正方形之酉戌一邊一○○○○○
○○○之比即同於今所設之甲乙丙
丁戊己庚辛八等邊形之丁戊一邊一
尺二寸與今所得之癸乾一邊二尺六
寸三分六釐八豪四絲一忽有餘之比
既得癸乾一邊自乗得壬癸乾坎正方
面積即與甲乙丙丁戊己庚辛八等邊
如有八等邊形之面積六尺九十五寸
二十九分三十五釐求每邊之數則用
邊線相等面積不同之定率比例以定
率之八等邊形之面積四八二八四二
七一二為一率正方形之面積一○○
○○○○○○為二率今所設之八等
邊形之面積六尺九十五寸二十九分
三十五釐為三率求得四率一尺四十
積與正方形之面積不同故先定為面
與面之比例既得面積而後開方得線
也
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之正方形之每邊一○○○
○○○○○為一率八等邊形之每邊
八等邊形之面積六尺九十五寸二十
九分三十五釐開方得二尺六寸三分
六釐八豪四絲一忽有餘為三率求得
四率一尺二寸即八等邊形之每一邊
也此法葢因八等邊形之面積與正方
形之面積相等八等邊形之每邊與正
方形之每邊不同故以八等邊形之面
積先開方既得方邊而後為線與線之
法以全圜三百六十度九分之每分得
四十度折半得二十度爰以二十度之
正弦三萬四千二百零二為一率半徑
十萬為二率今所設之九等邊形之每
邊一尺二寸折半得六寸為三率求得
四率一尺七寸五分四釐二豪八絲三
忽有餘為九等邊形外切圜之半徑或
比例以定率之圜内容九等邊形之每
邊三四二○二○一四為一率圜徑一
○○○○○○○○為二率今所設之
九等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率三尺五寸零八釐五豪六絲五
忽有餘折半得一尺七寸五分四釐二
豪八絲二忽有餘為九等邊形外切圜
之半徑乃以此半徑為弦九等邊形之
之中心至每邊正中之垂線或以二十
度之正弦三萬四千二百零二為一率
二十度之餘弦九萬三千九百六十九
為二率今所設之九等邊形之每邊之
半六寸為三率求得四率一尺六寸四
分八釐四豪八絲二忽有餘為九等邊
形之中心至每邊正中之垂線既得此
八寸九十分八十九釐有餘九因之得
八尺九十寸一十八分零一釐有餘即
九等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊
己庚辛壬九等邊形試作一外切圜形
則每邊之弧皆為四十度將甲乙邊折
半於癸自圜心子作子癸丑半徑線遂
平分甲乙弧於丑則甲丑弧為二十度
甲癸即二十度之正弦子癸即二十度
與所得之半徑甲子之比又二十度之
正弦與二十度之餘弦之比即如今所
設之每邊之半甲癸與所得之垂線子
癸之比也此即圜内容九等邊形之法而轉用之也
又法以二十度之正切三萬六千三百
九十七為一率半徑十萬為二率今所
設之九等邊形之每邊之半六寸為三
八絲七忽有餘為九等邊形内容圜之
半徑或用求圜外切九等邊形之一邊
之定率比例以定率之圜外切九等邊
形之每邊三六三九七○二四為一率
圜徑一○○○○○○○○為二率今
所設之九等邊形之每邊一尺二寸為
三率求得四率三尺二寸九分六釐九
豪七絲二忽有餘折半得一尺六寸四
至每邊正中之垂線乃與每邊折半之
數相乗九因之得八尺九十寸一十八
分一十九釐有餘為九等邊形之面積
也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊
形試作一内容圜形自甲角過圜心癸
作甲癸子線遂平分戊巳邊於子則戊
子即二十度之正切故以二十度之正
邊之半戊子與所得之内容圜半徑癸
子之比也此即圜外切九等邊形之法而轉用之也
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率九等邊形面積六一八
一八二四二○為二率今所設之九等
邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四
十四寸為三率求得四率八尺九十寸
○○○○則其自乗之正方面積為一
○○○○○○○○而九等邊形之每
一邊一○○○○所得之九等邊形面
積為六一八一八二四二○故以子丑
寅卯辰巳午未申九等邊形之辰已一
邊一○○○○自乗之辰已酉戌正方
面積一○○○○○○○○與子丑寅
一八二四二○之比即同於今所設之
甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之每
一邊一尺二寸自乗之戊己癸乾正方
面積一尺四十四寸與今所得之甲乙
丙丁戊己庚辛壬九等邊形面積八尺
九十寸一十八分二十六釐有餘之比
也
○○○○○○○○為二率今所設之
九等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率二尺九寸八分三釐五豪九絲
二忽有餘為與九等邊形面積相等之
正方形每邊之數自乗得八尺九十寸
一十八分二十一釐有餘即九等邊形
之面積也葢九等邊形之每邊為四○
○○○○○○○則兩面積相等故以
子丑寅卯辰巳午未申九等邊形之辰
巳一邊四○二一九九六三與酉戌亥
金正方形之戌亥一邊一○○○○○
○○○之比即同於今所設甲乙丙丁
戊己庚辛壬九等邊形之戊已一邊一
尺二寸與今所得之癸乾坎艮正方形
之乾坎一邊二尺九寸八分三釐五豪
丁戊己庚辛壬九等邊形之面積為相
等也
如有九等邊形之面積八尺九十寸一
十八分二十六釐求每邊之數則用邊
線相等面積不同之定率比例以定率
之九等邊形之面積六一八一八二四
二○為一率正方形之面積一○○○
形之面積八尺九十寸一十八分二十
六釐為三率求得四率一尺四十四寸
開方得一尺二寸即九等邊形之每一
邊也此法葢因九等邊形之每邊與正
方形之每邊相等九等邊形之面積與
正方形之面積不同故先定為面與面
又法用面積相等邊線不同之定率比
四○二一九九六三為二率今所設之
九等邊形之面積八尺九十寸一十八
分二十六釐開方得二尺九寸八分三
釐五豪九絲二忽有餘為三率求得四
率一尺二寸即九等邊形之每一邊也
此法葢因九等邊形之面積與正方形
之面積相等九等邊形之每邊與正方
先開方既得方邊而後為線與線之比
例也
形每邊一尺二寸問面積幾何
法以全圜三百六十度十分之每分得
三十六度折半得十八度爰以十八度
之正弦三萬零九百零二為一率半徑
十萬為二率今所設之十等邊形之每
邊一尺二寸折半得六寸為三率求得
用求圜内容十等邊形之一邊之定率
比例以定率之圜内容十等邊形之每
邊三○九○一六九九為一率圜徑一
○○○○○○○○為二率今所設之
十等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率三尺八寸八分三釐二豪八絲
一忽有餘折半得一尺九寸四分一釐
半徑乃以此半徑為弦十等邊形之每
邊折半為勾求得股一尺八寸四分六
釐六豪零九忽有餘為十等邊形之中
心至每邊正中之垂線或以十八度之
正弦三萬零九百零二為一率十八度
所設之十等邊形之每邊之半六寸為
三率求得四率一尺八寸四分六釐五
每邊折半之數相乗得一尺一十寸七
十九分五十八釐有餘十因之得一十
一尺零七寸九十五分八十釐有餘即
十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊
己庚辛壬癸十等邊形試作一外切圜
形則每邊之弧皆為三十六度將甲乙
邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑
八度甲子即十八度之正弦丑子即十
八度之餘弦是故十八度之正弦與半
徑十萬之比即如今所設之每邊之半
甲子與所得之半徑甲丑之比又十八
度之正弦與十八度之餘弦之比即如
今所設之每邊之半甲子與所得之垂
線丑子之比也此即圜内容十等邊形之法而轉用之也
又法以十八度之正切三萬二千四百
率求得四率一尺八寸四分六釐六豪
零八忽有餘為十等邊形内容圜之半
徑或用求圜外切十等邊形之一邊之
定率比例以定率之圜外切十等邊形
之每邊三二四九一九七○為一率圜
徑一○○○○○○○○為二率今所
設之十等邊形之每邊一尺二寸為三
二絲有餘折半得一尺八寸四分六釐
六豪一絲有餘為十等邊形内容圜之
半徑即十等邊形之中心至每邊正中
之得一十一尺零七寸九十六分六十
釐有餘為十等邊形之面積也如圖甲
乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形試作
一内容圜形自中心子至每邊之正中
切與半徑十萬之比同於今所設之毎
邊之半戊丑與所得之内容圜半徑子
丑之比也此即圜外切十等邊形之法而轉用之也
又法用連比例三率有中率求末率之
法以每邊一尺二寸為中率求得末率
七寸四分一釐六豪四絲有餘中率求末率即
如首率求中率也乃以末率與中率相加得一
率即十等邊形之分角線即十等邊形外切圜之半
徑乃以分角線為弦每邊之半為勾求
得股一尺八寸四分六釐六豪零九忽
有餘為十等邊形自中心至每邊正中
之垂線即十等邊形内容圜之半徑乃以此垂線與
每邊之半相乗十因之得一十一尺零
七寸九十六分五十四釐有餘即十等
邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚
巳二線成子戊已三角形又自已角至
丙角作巳丙線截子戊線於丑則又成
巳丑戊三角形與子戊巳三角形為同
式形故子戊線為首率即理分中末線之全分戊
已邊為中率即理分中末線之大分而所截之子
丑一段與戊巳邊等亦為中率丑戊一
段即為末率即理分中末線之小分其比例為子
中率與丑戊末率之比故按連比例三
率有中率求末率之法求得丑戊末率
與子丑中率相加即得子戊首率為分
角線又為十等邊形外切圜之半徑以
子寅股即十等邊形中心子至每邊正
中之垂線又為十等邊形内容圜之半
徑既得子寅垂線與戊已邊之半戊寅
又法用邊線相等面積不同之定率比
例以定率之正方面積一○○○○○
○○○為一率十等邊形面積七六九
四二○八八三為二率今所設之十等
邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四
十四寸為三率求得四率一十一尺零
七寸九十六分六十釐有餘即十等邊
一○○○○則其自乗之正方面積為
一○○○○○○○○而十等邊形之
每一邊一○○○○所得之十等邊形
面積為七六九四二○八八三故以子
丑寅卯辰巳午未申酉十等邊形之辰
巳一邊一○○○○自乗之辰巳戌亥
正方面積一○○○○○○○○與子
丑寅卯辰已午未申酉十等邊形面積
邊形之每一邊一尺二寸自乗之戊己
乾坎正方面積一尺四十四寸與今所
得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊
形面積一十一尺零七寸九十六分六
十釐有餘之比也
又法用面積相等邊線不同之定率比
例以定率之十等邊形之每邊三六○
○○○○○○○○為二率今所設之
十等邊形之每邊一尺二寸為三率求
得四率三尺三寸二分八釐六豪一絲
方形每邊之數自乗得一十一尺零七
寸九十六分五十七釐有餘即十等邊
形之面積也葢十等邊形之每邊為三
六○五一○五八正方形之每邊為一
之辰巳一邊三六○五一○五八與戌
亥金木正方形之亥金一邊一○○○
○○○○○之比即同於今所設之甲
乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之戊
巳一邊一尺二寸與今所得之乾坎艮
震正方形之坎艮一邊三尺三寸二分
八釐六豪一絲二忽有餘之比既得坎
與甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形
之面積為相等也
如有十等邊形之面積一十一尺零七
寸九十六分六十釐求每邊之數則用
邊線相等面積不同之定率比例以定
率之十等邊形之面積七六九四二○
八八三為一率正方形之面積一○○
○○○○○○為二率今所設之十等
四寸開方得一尺二寸即十等邊形之
每一邊也此法葢因十等邊形之每邊
與正方形之每邊相等十等邊形之面
積與正方形之面積不同故先定為面
與面之比例既得面積而後開方得線
也
又法用面積相等邊線不同之定率比
○○○○○為一率十等邊形之每邊
三六○五一○五八為二率今所設之
十六分六十釐開方得三尺三寸二分
八釐六豪一絲二忽有餘為三率求得
四率一尺二寸即十等邊形之每一邊
也此法葢因十等邊形之面積與正方
形之面積相等十等邊形之每邊與正
比例也
設如正方形每邊一尺二寸今欲作與正方形積相等之圜面積問徑幾何
法用面積相等邊線不同之定率比例
以定率之正方形之每邊一○○○○
○○○○為一率圜徑一一二八三七
九一六為二率今所設之正方形之每
邊一尺二寸為三率求得四率一尺三
之圜徑也葢正方形之每邊為一○○
○○○○○○圜徑為一一二八三七
九一六則兩面積相等故以子丑寅卯
正方形之每邊一○○○○○○○○
與辰巳圜徑一一二八三七九一六之
比即同於今所設之甲乙丙丁正方形
之每邊一尺二寸與今所得之戊巳圜
徑一尺三寸五分四釐零五絲四忽有
法用邊線相等面積不同之定率比例
以定率之正方面積一○○○○○○
○○為一率圜面積七八五三九八一
六為二率今所設之正方面積一尺四
十四寸為三率求得四率一尺一十三
寸零九分七十三釐有餘即所求之圜
則正方形之每邊與圜徑相等故以子
丑寅卯正方面積一○○○○○○○
○與辰巳圜面積七八五三九八一六
之比即同於今所設之甲乙丙丁正方
面積一尺四十四寸與今所得之戊巳
圜面積一尺一十三寸零九分七十三
釐有餘之比而正方形之每邊與圜徑
法用面積相等邊線不同之定率比例
以定率之圜徑一一二八三七九一六
為一率三等邊形之每邊一五一九六
七一三七為二率今所設之圜徑一尺
二寸為三率求得四率一尺六寸一分
六釐一豪二絲八忽有餘即三等邊形
九一六三等邊形之每邊為一五一九
六七一三七則兩面積相等故以子丑
圜徑一一二八三七九一六與寅卯辰
三等邊形之每邊一五一九六七一三
七之比即同於今所設之甲乙圜徑一
尺二寸與今所得之丙丁戊三等邊形
之毎邊一尺六寸一分六釐一豪二絲
八忽有餘之比而兩面積亦為相等也
法用邊線相等面積不同之定率比例
以定率之圜面積七八五三九八一六
為一率五等邊形面積一七二○四七
七四一為二率今所設之圜面積一尺
四十四寸為三率求得四率三尺一十
五寸四十四分三十五釐有餘即五等
邊形之面積也葢圜面積為七八五三
四七七四一則圜徑與五等邊形之每
邊相等故以子丑圜面積七八五三九
八一六與寅卯辰巳午五等邊形面積
一七二○四七七四一之比即同於今
所設之甲乙圜面積一尺四十四寸與
今所得之丙丁戊己庚五等邊形面積
三尺一十五寸四十四分三十五釐有
餘之比而圜徑與五等邊形之每邊亦
設如六等邊形每邊一尺二寸今欲作與六等邊形面積相等之七等邊形問每一邊幾何
法用面積相等邊線不同之定率比例
以定率之六等邊形每邊六二○四○
三二四為一率七等邊形之每邊五二
四五八一二六為二率今所設之六等
邊形每邊一尺二寸為三率求得四率
一尺零一分四釐六豪五絲八忽有餘
每邊為六二○四○三二四七等邊形
毎邊為五二四五八一二六則兩面積
相等故以子丑寅卯辰巳六等邊形之
每邊六二○四○三二四與午未申酉
戌亥金七等邊形之每邊五二四五八
一二六之比即同於今所設之甲乙丙
丁戊己六等邊形之每邊一尺二寸與
今所得之庚辛壬癸乾坎艮七等邊形
設如五等邊形面積一尺四十四寸今欲作與五等邊形每邊相等之八等邊形問積幾何
法用邊線相等面積不同之定率比例
以定率之五等邊形面積一七二○四
七七四一為一率八等邊形面積四八
等邊形面積一尺四十四寸為三率求
釐有餘即八等邊形之面積也葢五等
邊形面積為一七二○四七七四一八
等邊形面積為四八二八四二七一二
則五等邊形之每邊與八等邊形之每
邊相等故以子丑寅卯辰五等邊形之
面積一七二○四七七四一與巳午未
申酉戌亥金八等邊形之面積四八二
八四二七一二之比即同於今所設之
艮八等邊形之面積四尺零四寸一十
二分八十二釐有餘之比而五等邊形
之每邊與八等邊形之每邊亦為相等
也