御製數理精蘊下編卷二十八
體部六
球内容各等面體
設如圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及體積幾何
法以圓球徑一尺二寸三歸二因得八寸為圓球内容四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得六十四寸二歸三因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積四十一寸五十六分九十二釐一十九豪有餘與自尖至每面中心之立垂線八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十釐有餘三歸之得一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊四面體甲己與丙庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心甲辛與丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與甲庚辛勾股形為同式形甲己壬勾股形以甲己自尖至底中心立垂線為股己壬一面中垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂線為弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂線之三分之二為股庚辛四面體中心至每面中心之垂線為勾甲辛四面體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股形同用一甲角而己角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為同式形也己壬為丙壬一面中垂線之三分之一亦為甲壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而甲辛即圓球之半徑故庚辛亦為圓球半徑之三分之一庚辛與辛已等今命甲辛圓球半徑為三分則甲乙圓球全徑為六分以辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑之六分之四即三分之二故以甲乙圓球徑三歸二因即得甲己為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每邊自乘方之三分之二見前四面體求積法故以甲己立垂線自乘二歸三因即得每一邊自乘方積開平方得甲丙為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之積也
又求邊捷法以圓球徑一尺二寸自乘三歸二因得九十六寸開平方亦得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘為内容四面體之每一邊也蓋四面體之甲巳立垂線既為甲乙圓球徑之三分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又為甲丙每邊自乘方之三分之二即六分之四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓球徑自乘方之九分之六即三分之二故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦得四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線二歸三因即圓球徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦即得圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容四面體之一邊八一六四九六五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積六四一五○○二九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積一二二五一七五三○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百四十九釐有餘即圓球内容四面體之積也
法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之每一邊以一邊自乘再乘得三百三十二寸五百五十三分七百四十四釐有餘即圓球内容正方體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得丙乙弦即每一面之對角斜線勾與股既相等則丙乙每一面對角斜線自乘方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍矣又試以丙乙對角斜線為股甲丙一邊為勾求得甲乙弦即圓球徑則甲乙圓球徑自乘方又為甲丙類每邊自乘方之三倍矣故以圓球徑自乘三歸即得每邊自乘之積開平方即得圓球内容正方體之一邊以一邊自乘再乘即得圓球内容正方體之積也如有正方體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘三因之開平方即得圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容正方體之一邊五七七三五○二六為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積一九二四五○○八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積三六七五五二五九○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊及體積幾何
法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊自乘得七十二寸以球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸三歸之得二百八十八寸即圓球内容八面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面體自正中對四角平分截之則成甲丙己丁戊乙丁戊丙己二尖方體甲乙圓球徑為二尖方體之共髙即甲丙乙丁正方面之對角斜線試以甲丙一邊為股乙丙一邊為勾則甲乙球徑為弦勾與股既相等則甲乙自乘方為甲丙自乘方之二倍故以甲乙球徑自乘折半開方即得甲丙為内容八面體之一邊以戊丙一邊自乘得戊丙己丁二尖方體之共底面積以甲乙共髙再乘三歸之得二尖方體積即八面體之總積也如有八面體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘加倍開平方得對角斜線即圓球徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容八面體之一邊七○七一○六七八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積一六六六六六六六六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率二百八十八寸即圓球内容八面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積三一八三○九八八五為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八釐有餘即圓球内容八面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容十二面體之每一邊及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六○一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊用五等邊形求面積法求得每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪有餘又用五等邊形求外切圜徑法求得半徑即分角線三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七釐有餘三歸之得五十寸一百三十二分九百三十五釐為一五角尖體積十二因之得六百零一寸五百九十五分二百二十釐有餘即圓球内容十二面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊試自十二面體之甲卯一邊正中至中心辰作庚辰垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲辰圓球半徑共成甲庚辰勾股形庚辰為股甲庚為勾甲辰為弦庚辰即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之小分何以知之蓋十二面體每面之壬子兩角相對斜線與甲丙等為全分則子丑一邊與甲卯等為大分若以壬子兩角相對斜線為大分則子丑一邊為小分兩角相對斜線之一半庚辛為大分則每邊之半甲庚即為小分矣又庚辰中心至每邊正中之垂線既為十等邊形外切圜之半徑而庚辛為十等邊形之一邊則庚辛為大分而庚辰必為全分矣因庚辰全分為股甲庚小分為勾而甲辰圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股小分為勾求得弦與小分之比同於甲辰半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙全徑與甲卯全邊之比也既得一邊則用五等邊形求面積法求得壬癸子丑寅五等邊形面積又求得巳癸五等邊形外切圜半徑即分角線乃以辰癸圓球半徑為弦與辰甲等已癸分角線為勾求得辰巳股即圓球中心至内容十二面體每面中心之立垂線與壬癸子丑寅五等邊形面積相乘三歸之得辰壬癸子丑寅一五角尖體積十二因之即得圓球内容十二面體之總積也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也
又求邊法用求圓球内容正方體之一邊法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘為圓球内容十二面體每一面兩角相對斜線乃以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率每一面兩角相對斜線六寸九分二釐八豪二絲零三㣲為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽四㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體試於每一面各作一斜線相連則十二斜線之二十四端合為八角遂成正方體形其十二面之十二斜線即正方體之十二邊其八角即正方體之八角皆切於圓球之面故用求球内容正方體法求得正方體之一邊即十二面體每一面兩角相對之斜線既得斜線則以理分中末線之全分與大分之比即同於兩角相對之斜線與每一邊之比而得十二面體之每一邊也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得每面兩角相對斜線為正方體之一邊用正方體求外切圓球徑之法亦即得圓球徑矣
又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體之一邊三五六八二二○九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積三四八一四五四八二為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十二釐有餘即圓球内容十二面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積六六四九○八八九一為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十一釐有餘即圓球内容十二面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每一邊及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得弦一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘又用三等邊形求外切圜徑法求得半徑即分角線三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四釐有餘三歸之得二十七寸三百九十分四百二十一釐有餘為一三角尖體積二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十釐有餘即圓球内容二十面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而為十等邊形之一邊試自二十面體之甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬為弦庚壬即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之大分何以知之蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比同於甲壬半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比也又圖子丑圓球内容子丙寅丑卯已二十面體自丙已二處横截之則所截之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面形試自二十面體之巳角至寅角作已寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為股丙寅為勾已寅為弦以甲丙丁戊己五等邊面形言之則巳丙股為兩角相對斜線即如理分中末線之全分丙寅勾與丙丁一邊同即如理分中末線之大分今己丙全分既為股丙寅大分既為勾巳寅與子丑同為圓球徑既為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比即同於今所設之子丑全徑與丙寅一邊之比也既得一邊則用三等邊形求面積法求得辰已午三等邊形面積又求得未巳三等邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳圓球半徑與甲壬等為弦未巳分角線為勾求得壬未股即圓球中心至内容二十面體每面中心之立垂線與辰巳午三等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳午一三角尖體積二十因之即得圓球内容二十面體之積也如有二十面體之一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也
又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體之一邊五二五七三一一一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之一邊也
又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積三一七○一八八三三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積六○五四六一三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也球外切各等面體
法以圓球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為圓球外切四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得五尺七十六寸二歸三因得八尺六十四寸開平方得二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積三尺七十四寸一十二分二十九釐七十二豪有餘與自尖至每面中心之立垂線二尺四寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十六釐有餘即圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體丙乙與丁庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心辛乙與辛庚俱為圓球半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形為同式形丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂線為股乙壬一面中垂線之三分之一為勾丙壬一面中垂線為弦丙庚辛勾股形以丙庚一面中垂線之三分之二為股庚辛圓球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股形同用一丙角而乙角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為同式形乙壬為丁壬一面中垂線之三分之一亦為丙壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而庚辛為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三分之二與甲乙全徑等故以甲乙圓球徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每一邊自乘方之三分之二見前四面體求積法故以丙乙立垂線自乘二歸三因得每一邊自乘方積開平方得丙丁為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丁戊己三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸之即得丙丁戊己四面體之積也如有四面體之一邊求内容圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線折半即内容圓球徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率球外切四面體之一邊二四四九四八九七四為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率球外切四面體積一七三二○五○八○七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切四面體積三三○七九七三三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之每一邊及體積幾何
法因圓球徑一尺二寸即外切正方體之每一邊自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方體積故他法皆不設止存此題以備一體焉
設如圓球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及體積幾何
法以圓球徑一尺二寸折半得六寸為圓球外切八面體中心至每面中心之立垂線自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸開平方得一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積九十三寸五十三分零七釐四十三豪有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得一百八十七寸零六十一分四百八十六釐有餘為一三角尖體積八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八釐有餘即圓球外切八面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方體將二尖方體自尖依各稜直剖之則又得子丙丁庚類八三角尖體圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切八面體中心至每一面中心之立垂線試自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面中垂線又自八面體中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂線復自八面體中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂成壬癸子勾股形此形以子癸立垂線即圓球半徑為股丙壬一面中垂線之三分之一癸壬為勾八面體中心至每邊正中斜線子壬為弦子壬即八面體每邊之一半蓋壬丑與庚己平行其度相等折半於子故為每邊之半夫癸壬既為丙壬一面中垂線之三分之一則癸壬自乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之九分之一而丙壬一面中垂線自乘方原為丙丁每邊自乘方之十二分之九則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方之十二分之一又子壬既為每邊之半則其自乘方必為每邊自乘方之四分之一今命為十二分之三癸壬勾自乘方既為每邊自乘方十二分之一子壬弦自乘方又為每邊自乘方十二分之三則子癸股自乘方必為每邊自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圓球半徑自乘六因之得每邊自乘方積開平方得八面體之每一邊也既得每一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁庚一面積與子癸圓球半徑相乘三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總積也如有八面體之一邊求内容圓球徑則求得自中心至每一面中心之立垂線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切八面體之一邊一二二四七四四八七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積八六六○二五四○三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六釐有餘即圓球外切八面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積一六五三九八六六八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七釐有餘即圓球外切八面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲零三㣲有餘為圓球外切十二面體每一面中心至邊之垂線又以全分一○○○○○○○○為一率倍小分七六三九三二○二為二率今所設之圓球半徑六寸為三率求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二㣲有餘為每一面中心至角之分角線乃以每一面之分角線為弦每一面中心至邊之垂線為股求得勾二寸六分九釐四豪一絲六忽八㣲有餘倍之得五寸三分八釐八豪三絲三忽六㣲有餘即圓球外切十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊與每一面中心至邊之垂線相乘得數折半五因之得四十九寸九十五分二十六釐零九豪有餘為圓球外切十二面體之每一面之積與圓球半徑六寸相乘三歸之得九十九寸九百零五分二百一十八釐有餘為每一五角尖體積十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六釐有餘即圓球外切十二面體之總積也蓋圓球外切十二面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切十二面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切十二面體之每一面中心至邊之垂線即五等邊形内容圜半徑為大分每一面中心至角之分角線即五等邊形外切圓半徑為倍小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與子癸皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子丑丑丙皆為十二面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為十二面體中心至每邊正中之垂線寅辰為十二面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為大分辰丙為倍小分何以知之寅卯既為十二面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為小分蓋十二面體中心至每邊正中之垂線為全分則其每一面兩角相對斜線之一半為大分而毎邊之半即為小分見球内容十二面體法試依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形則丑巳與已卯亦皆為全分巳卯既為全分而丙卯又為小分則巳丙即為大分丑已丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形寅辰丑勾股形之丑角與寅角併之共九十度而寅長丑勾股形之丑角與丑已丙勾股形之丑角併之亦共九十度故此二勾股形之已丑丙角與丑寅辰角為相等辰角與巳角又同為直角其餘一角亦必等故為同式形丑已丙勾股形之丑巳股為全分則己丙勾為大分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾亦即為大分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與大分之比也又凡五等邊形自心至邊之垂線為大分則自心至角之分角線即為倍小分如丙午未申酉五等邊形其辰丑垂線為大分則辰申分角線為倍小分何以知之蓋丙未兩角相對斜線為全分則未甲一邊為大分而酉未與丙申兩兩角相對斜線相交所截戌申一段即為小分成連比例三率故丙戌與戌未亦皆為大分與未申等試自戌至亥作戌亥垂線平分丙未兩角相對斜線於亥則成丙亥戌勾股形與辰丑申勾股形為同式形辰丑申勾股形之辰角當丑申半邊所對之弧為未申邊所對之弧之一半故辰丑申勾股形之辰角與丙戌亥勾股形之丙角等丑角與亥角又同為直角其餘一角亦必等故為同式形夫丙未為全分則丙戌為大分丙未為大分則丙戌為小分若以丙未之半丙亥為大分則丙戌即為倍小分故以辰丑垂線為大分則辰申分角線亦即為倍小分今圓球半徑與每面中心至邊之垂線之比既同於全分與大分之比則圓球半徑與每面分角線之比亦即同於全分與倍小分之比也既得辰丑垂線又得辰申分角線則用股弦求勾法求得丑申勾倍之得未申即圓球外切十二面體之每一邊既得每一邊又得每面中心至邊之垂線則以辰丑每面中心至邊之垂線與未申一邊相乘折半五因之得丙午未申酉五等邊形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未申酉一五角尖體積十二因之即得丙丁戊己庚十二面體之總積也如有十二面體之一邊求内容圓球徑則求得十二面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體之每一邊四四九○二七九七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率五寸三分八釐八豪三絲三忽五㣲有餘即圓球外切十二面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積六九三七八六三六七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十釐有餘即圓球外切十二面禮之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積一三二五○三四三五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十二釐有餘即圓球外切十二面體之積也
設如圓球徑一尺二寸求外切二十面體之每一邊及體積幾何
法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率二寸二分九釐一豪七絲九忽六㣲有餘為圓球外切二十面體每一面中心至邊之垂線三因之得六寸八分七釐五豪三絲八忽八㣲有餘為每一面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方得七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積二十七寸二十九分一十九釐有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得五十四寸五百八十三分八百釐有餘為一三角尖體積二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有餘即圓球外切二十面體之總積也蓋圓球外切二十面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切二十面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切二十面體之每一面中心至邊之垂線即三等邊形内容圜半徑為小分每一面中心至角之分角線即三等邊形外切圜半徑為倍小分其每一面自一角至對邊之中垂線為三小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚二十面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與癸子皆二十面體之每一邊丑丙辛壬壬癸子丑皆為二十面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為二十面體中心至每邊正中之垂線寅辰為二十面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為小分辰丙為倍小分丙丑即為三小分也何以知之寅卯既為二十面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為大分蓋二十面體中心至毎邊正中之垂線為全分則每邊之半為大分見球内容二十面體法試依寅卯全分度作已卯寅丑正方形則丑巳與已卯亦皆為全分已卯既為全分而丙卯又為大分則已丙即為小分丑巳丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形丑已丙勾股形之丑巳股為全分則巳丙勾為小分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾為小分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與小分之比也既得辰丑每面中心至邊之垂線則以三因之即得丙丑每面自一角至對邊之中垂線而每面自一角至對邊之中垂線自乘方為每邊自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方即得午未為圓球外切二十面體之每一邊既得午未一邊與丙丑每面自一角至對邊之中垂線相乘折半得丙午未一三角形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未一三角尖體積二十因之即得丙丁戊己庚二十面體之總積也如有二十面體之每一邊求内容圓球徑則求得二十面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也
又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體之每一邊六六一五八四五三為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之一邊也
又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體積六三一七五六九九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺九十一寸六百七
二十面體之積也
又用圓球積之定率比例以定率之圓
球積一○○○○○○○○○為一率
圓球外切二十面體積一二○六五六
六九九一為二率今所設之圓球徑一
尺二寸求得圓球積九百零四寸七百
七十八分六百八十四釐有餘為三率
六分零九十四釐有餘即圓球外切二
十面體之積也