御製數理精藴上編卷三
幾何原本六
幾何原本七
幾何原本八
幾何原本九
幾何原本十
第一
大凡欲論諸物之不齊必借同類之
物以比之始可以得其不齊之度數
如一線與他線相比其度之或長或
短其數之或多或少自能見之如一
面與他面相比其面度之或大或小
其積數之或多或少自能見之又如
薄其積數之或多或少亦自能見之
若將一線與一面相比或一面與一
體相比既不同類又不同形則線之
長短面之大小體之厚薄俱不可辯
矣故曰欲論諸物之不齊必借同類
之物以比之也
第二
將兩數相比其度互為大小則謂之
其所比之數為後率如甲乙二數互
相為比其相較之分甲數之度為長
其分為多乙數之度為短其分為少
如是以比之故謂之二率甲為比之
之數故謂之前率乙為所比之數故
謂之後率焉
第三
同於三率與四率之比則謂之同理比
例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與
丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分
之五則甲與乙之比例丙與丁之比例
此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即
可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内
將一率與三率分數定為相等二率與
四率分數亦定為相等其度之長短雖
丁四線内甲第一線與丙第三線俱各
定為五分則甲度之長雖大於丙度之
長其分數則俱為六而乙度之長雖大
於丁度之長其分數亦俱為五故知乙
第二線度與甲第一線度之六分之五
分相等丁第四線度亦與丙第三線度
線即如丙線之比丁線而謂之同理比
例也
第四
凡四率兩兩相比其一率與二率相比
之分若大於三率與四率相比之分則
為不同理之比例而比例不得行也如
有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互
相為比苟甲第一數與乙第二數相比
比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例
者以一率二率相比之分為凖則三率
四率相比之分為小若依三率四率相
比之分為準則一率二率相比之分又
大故謂之不同理之比例而比例四率
不能行也
第五
分數若同於三率之度與四率之度相
比分數則此四率又謂之相當比例四
率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線
相比之度與丙線與丁線相比之度其
分數同則此四線謂之各相當線而毎
兩率相比其毎度之分數同故又謂之
相當比例四率也
第六
例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲
數與乙數之比同扵乙數與丙數之比
則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣
若相連比例率内將一率與三率比之
比例四率將一率與四率比之則為隔
二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾
比例也如甲乙丙相連比例率内其甲
與丙之比為隔一位加一倍之比例又
或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率
其甲與丁之比即為隔二位加二倍之
比例而甲與戊之比則又為隔三位加
三倍之比例矣
第七
相當比例四率為數學之要因其理之
此二圜界各具三百六十度故皆可以
為三百六十分首卷第十七節云凡圜無論大小俱定為三百
六十度於是自圜之甲心過小圜界之辛
壬二處至大圜己庚二處作二線則大
圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲
角此甲角相對之己庚弧界設為六十
度則為乙丙大圜三百六十分中之六
六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦
為六十分矣大凡角度俱定於相對之
圜界見首卷第九節今此大圜之己庚弧界小
圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度
雖依圜之大小不同而分數則等分數
既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相
為比即如四率之兩兩相比為同理比
例矣是以大圜之三百六十分為一率
所分之辛壬弧之六十分為四率其乙
丙大全圜與本圜己庚分之比即同於
丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故
凡各率各度雖異相當之分數若同則
之比而俱謂之順推比例矣要之分合
加減各率之法總不越此圖之互轉相
第八
一種反推比例將一率與二率之比同
於三率與四率之比者反推之以二率
與一率為比四率與三率為比其所比
之例仍同故亦謂之相當比例率也如
甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙
與丁之比反推之以乙與甲為比丁與
丙為比則所比之例仍同於相當比例
弧界之比例丙數與丁數之比例即丁
戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例
也今反以乙與甲為比丁與丙為比即
如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙
丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛
壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其
以二率為一率以三率為四率前後互
例而相當比例之率仍與順推比例相
同也
第九
一種遞轉比例將一率與二率之比同
於三率與四率之比者轉較之以一率
與三率為比二率與四率為比其所比
之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁
四數將甲與乙之比同於丙與丁之比
雙圜圖 乙丙大圜全界一率與所
分巳庚弧界二率之比同於丁戊小圜
全界三率與所分辛壬弧界四率之比
若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊
小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧
為比其度雖依圜之大小有異而分數
丁之四數亦如大小二圜為互相比例
之率而甲一率與丙三率之比即大圜
與小圜之比乙二率與丁四率之比即
大圜所分弧界與小圜所分弧界之比
也葢以三率為二率以二率為三率遞
轉相較故謂之遞轉比例其相當比例
之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比
例之四率也
二率之比同於三率與四率之比矣若
將此相比之率所較之分截開以一率
與二率之較為一率與二率為比以三
率與四率之較為三率與四率為比則
其所比之例仍為相當比例率也如甲
乙丙丁四數於甲數内減去乙數之分
為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛
丙與丁線為比則所比之例仍同於相
當比例率也如前雙圜圖 於乙丙
大圜全界内減去所分己庚弧界一段
仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内
減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧
界為比亦與大圜全界與大圜所分弧
界小圜全界與小圜所分弧界相比之
理同故此甲線内截去乙所成戊己仍
線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即
如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段
仍與辛壬弧界相比也其比例仍同於
相當比例四率但因其各分内有分開
第十一
一種合數比例有四率以一率與二率
相比之率併之以一率與二率相加為
一率仍與二率為比以三率與四率相
加為三率仍與四率為比其所比之例
亦仍同於相當比例之四率也如甲乙
丙丁四數以甲數與乙數相加共為一
率與乙數為比丙數與丁數相加共為
三率與丁數為比則所比之例仍同於
相當比例四率也此合數比例與分數
一段仍與所分弧界一段為比今此合
數比例即如二圜全界内所分大段加
入所分弧界一小段即是全界而與所
分弧界一段為比也其所比之理仍同
於相當比例四率但因有相加之加故
謂之合數比例焉
第十二
於三率與四率之比者更之將一率與
二率相減用其餘分為二率仍與一率
為比又將三率與四率相減用其餘分
為四率仍與三率為比則其比例之理
仍同於相當比例四率也如甲乙丙丁
四數於甲第一率内減去乙第二率所
餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位
而以甲與戊己為比復於丙第三率内
其所比之理仍同於四率之比例故亦
為相當比例之四率也今以雙圜圖解
之 乙丙大圜三百六十度之全界
仍為一率全界内減去所所分之巳
一大段 為二率丁戊小圜三百六
十度之全界 仍為三率全界内減
戊壬三百度一大段 為四率則乙
丙大圜三百六十度之全界如甲所更
之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜
三百六十度之全界如丙所更之辛戊
壬三百度如庚辛故其四率之兩相比
例亦同為相當比例率也凡四率之内
前後之相差雖更入比之仍與相當比
例之理同但以其數有更入之故所以
一種隔位比例有兩相比例四率将此
一邉四率内一率與末率為比彼一邊
四率内一率與末率為比則其所比之
例仍同於相當比例四率也如此一邊
有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛
四數此甲與乙之比同於彼戊與己之
比此乙與丙之比同於彼已與庚之比
将此四率隔位比之使此一邊之甲與
丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其
比例仍同於相當比例四率也試以雙
圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引
長 自庚壬過甲至癸丑作一全徑
線復自己辛過甲至子寅作一全徑線
則分大圜為庚巳己丑丑寅寅庚四段
分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其
四段亦為相當四率此二圜之所分四
段既俱為相當四率則其各相比例度
之大小雖異而分數相同故大圜之庚
壬辛一段與辛癸一段之比大圜之已
丑一段與丑寅一段之比同於小圜之
辛癸一段與癸子一段之比大圜之丑
癸子一段與子壬一段之比也若以此
各相當四率隔位以比之其大圜之庚
已一段與寅庚一段為比而小圜之壬
辛一段與子壬一段為比其比例仍同
於相當比例四率但以其兩邊各相比
例四率内各取兩率隔位以比之故謂
之隔位比例耳
第十四
邊三率内中率與末率之比則為相當
比例之四率苟錯綜其位分以此一邊
首率與末率隔位為比復取另一數與
彼一邊中率為比而成同理之四率則
此另一數必與彼邊三率為連比例四
率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數
彼一邊有丁戊已連比例三數将此一
一邊中率戊數與彼一邉末率己數之
比則其比例為同理比例矣今錯綜其
位分使此一邊所有之首率甲數與所
有之末率丙數隔位為比復另取一庚
數與彼一邊所有之中率戊數為比則
其比例亦同於相當比例四率而此庚
數與彼邊丁戊己三率為連比例之數
矣何也試以庚數置於彼一邊丁首率
丙末率之比同於彼一邊所取庚首率
與所易戊末率之比但以兩連比例率
錯綜比例耳
第十五
一種加分比例凡有二率依本度各加
幾倍所加之分數若等則所成之二率
謂之等倍相加之比例也如甲乙二數
於甲數依本度加三倍為丙於乙數依
本度加三倍為丁則此丙丁二數互相
為比仍同於甲乙二數之互相為比也
假若甲度為一大分乙度為一小分則
甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成
四小分之丁以四大分之丙比四小分
之丁以一大分之甲比一小分之乙其
其所加之分數若等其加分之率互相
為比必同於原率之互相為比因於原
數有相加之分故謂之加分比例也
第十六
一種減分比例凡有二率依度度各減
幾倍所減之分數若俱等則所成之二
率互相為比仍同於原二率之互相為
丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊
一分丙丁之三分内減去丙己一分則
戊乙己丁互相為比仍同於原甲乙丙
丁全數之互相為比也何也夫甲乙度
為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減
去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一
寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所
餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺
無論減幾分其所減之分數若等則相
比之理必同於原數之比例因於原數
第一
前卷所論比例之法凡一十有二相當比例
一種相連比例一種正比例一種反比例一種遞轉比例一種分數比例一種
合數比例一種更數比例一種隔位比例一種錯綜比例一種加分比例一種
減分比例一種雖種種變化不窮其每相當分
數所成之率依然一理故其相比之例
俱同而皆為相當比例四率也是故線
前各種比例之法線之比例若同則為
相當比例線面之比例若同則為相當
比例面體之比例若同則為相當比例
體矣夫線面體為類不同雖不能互相
為比假使線面體之每相當分數若等
則按其各類相當分數比之亦為同理
比例率也如甲之六分線與乙之三分
線相比丙之六分面與丁之三分面相
亦俱相等而六率互為同理比例可知
矣
第二
大凡直角平方面積皆生於二線之度
故欲知方面所生比例之分將其二形
之縱横線分考之即可得而知矣如甲
乙丙丁直角平方之二面欲知其所生
長度得彼丙丁小形之丙己横線長度
為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度
得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二
倍假若將甲乙大形自中線平分為甲
癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙
丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横
線長度既仍與丙己横線長度為三倍
其所分之甲癸形必與丙丁三形相等
形為六分可知矣又或甲乙大形之甲
戊横線長度得丙丁小形之丙己横線
度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三
倍則大形與小形四倍者有三而大形
比小形為十二分可知矣再或甲乙大
形之甲戊横線比丙丁小形之丙己横
比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲
乙大形之甲戊横線之長雖比丙丁小
形之丙己横線之長多十一倍而甲乙
大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形
之丙辛縱線之寛少二倍矣將此縱横
二線之多少較之甲乙大形比丙丁小
形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之
四分之一於是以二形之縱横多少互
形相比其比例有二以此形之長與他
形之長比之為一比例以此形之寛與
他形之寛比之為一比例兩形相比之
間而兼兩比例者正以平面之積自二
線之度生之之故也
第三
有兩直角方面形若將此方面横界與
此方面縱界為比其比例若同則此兩
方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形
甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己
横界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比
甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙
丙丁兩形之分必相等是知兩方面形
縱横之分互相較對則兩方面之積可
知矣
一率與四率相乘則所得之分數俱相
等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四
率甲乙一率為二分丁戊二率為四分
丁戊二率為縱線戊已三率為横線以
之相乗又將甲乙一率為縱線乙丙四
率為横線以之相乗其所得之丁己一
二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度
雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁
已形之戊己横度復比甲丙形之乙丙
横度少一半故其縱横互較之分相等
而其積亦等也是故四率中凡有三率
欲求其不知之一率將兩率之分相乘
所得之數以一率之分除之即得其一
率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分
四率則以丁戊六分二率與戊巳五分
三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三
分一率除之即得乙丙十分四率矣此
以小分為首率者也或知乙丙戊己丁
戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙
十分為一率戊巳五分為二率丁戊六
分為三率二率與三率相乘一率除之
者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而
推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙
為二率乙丙為三率二率與三率相乘
一率除之即得戊己之四率矣此即反
推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙
之三率而推丁戊之一率則以戊己為
一率甲乙為二率乙丙為三率二率與
三率相乘一率除之即得丁戊之四率
凡有兩直角方面形此一方面之横界
與他一方面横界為比此一方面之縱
則此兩方面之比例比之兩界之比例
為連比例隔一位相加之比例也如甲
乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲
戊横界為丙丁形丙己横界之二倍而
縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形
面積之比比之甲乙形之一界與丙丁
形之一界之比者即如連比例三率隔
一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱
横界既為丙丁方面縱横界之二倍則
甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有
二二其二為四故甲乙方面積比丙丁
方面積為四倍今甲乙方面積為一十
相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之
四分之一而辛丁二得庚乙四之二分
之一以四分比一分較之二分比一分
不為二倍乎故欲求其比例相連之率
則於甲乙形之界二倍之得八分與丙
丁方界二分為比即如甲乙方面積十
六與丙丁方面積四分之比矣夫八與
例而十六隔八與四比八隔四與二比
則皆成四分之一之比例故十六與四
較之四與二為兩界上連比例隔一位
相加之比例也又如甲乙方面之縱横
界為丙丁方面縱横界之三倍則甲乙
方面内如丙丁方面之三倍者有三三
其三為九故甲乙之面積比丙丁面積
為九倍今甲乙之積為三十六分與丙
而辛丁二得庚乙六之三分之一以九
分比一分較之三分比一分不為三倍
乎故欲求其比例相連之率則於甲乙
形之界三倍之得十八與丙丁方界二
分為比即如甲乙方面積三十六與丙
丁方面積四之比例矣葢十八與六六
十二與四比十八隔六與二比則皆為
九分之一之比例故三十六與四較之
六與二亦為兩界上連比例隔一位相
加之比例也
第六
凡直角方面形有二種一為長方一為
正方因其縱横界之比例各異故其所
生之形不同而積不得互相為比也如
長方面形其甲乙形之甲戊横界與丙
丁形之丙己横界為大一倍甲乙形之
甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為
大一倍其比例相同若以甲乙形之甲
戊横界與丙丁形之丙辛縱界為比則
大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁
形之丙己横界為比止大一分猶不得
積為二十四而丙丁形所生之積為六
俱為長方形焉又如子丑寅夘兩正方
形其子丑形之子辰横界與寅卯形之
寅已横界之比子丑形之子午縱界與
寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍
而比例相同復以子丑形之子辰横界
與寅卯形之寅未縱界為比子丑形之
子午縱界與寅卯形之寅已横界為比
為四俱為正方形焉以此四形兩兩相
比則甲乙長方形與丙丁長方形為比
而子丑正方形與寅卯正方形為比各
為相當比例之四方面也
第七
有兩同式長方面於兩形相當之二界
各作兩正方面互相為比即同原兩長
角長方面在甲戊丙己相當二横界各
作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙
辛兩正方面互相為比即同於原有之
甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為
比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積
既為隔一位相加之比例則所作甲庚
丙辛同式之正方面積亦必為隔一位
相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩
矣
第八
大凡二平行線内所有直角方面互相
為比同於其底之互相為比也如甲乙
丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角
方面其甲已面與庚丁面之比即同於
甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁
庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面
之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因
同在二平行線内其度固同今以二面
縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆
為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁
面為四分矣以甲己面之十二分與庚
丁面之四分為比即如甲己面之丙己
底三分與庚丁面之辛丁底一分之比
凡二平行線内所有二界平行斜方面
也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙
丁兩斜方面積互相為比即同於丙戊
巳丁兩底界之互相為比也試將甲戊
乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上
立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面
卷第八節前節言凡二平行線内所有直角
方面互相為比同於其底之互相為比
此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立
庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁
兩斜方面互相為比必同於丙戊己丁
兩底界之互相為比可知矣故凡二平
行線内所有面積相比之分數必與底
界相比之分數同也
為比亦同於其底界度之互相為比也
如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛
壬癸兩三角形其内所函面積互相為
比即同於巳庚壬癸兩底界之互相為
比也何也凡二平行線内所有三角形
得其同底所立四邊形之一半今以甲
乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形
角形同底立一辛壬癸丑四邊形則戊
巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一
半而辛壬癸三角形為辛壬癸丑四邊
形之一半如以兩三角形面積互相為
比即同於兩四邊形面積之互相為比
而為相當比例四率矣其面積既互相
為比則其兩三角形面積相比同於兩
三角形底之相比者亦如兩四邊形相
可知也今壬癸底界既比己庚底界大
一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳
庚三角形面積亦大一倍也
第一
凡三角形内與其底線平行作一直線
則所截三角形之兩邊線互相為比例
線其兩邊線所分各二叚互相為比為
相當比例四率而每邊所截之一叚與
本全線比之亦為相當比例四率也如
甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作
二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其
甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比
甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比
其比例俱同為相當比例四率矣又如
甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全
線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊
甲丙全線為比其比例亦俱同為相當
比例四率矣今以三角形按所截分分
則甲乙丙一三角形分為四三角形此
四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩
三角形既在乙丙丁戊二平行線之間
又共立於一丁戊之底其二形之積必
等見三卷第十節於此二形各加一所截甲丁
戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三
角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁
而兩三角形之戊角又共在一戊處其
兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙
丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線
上而兩三角形之丁角又共在一丁處
其兩形亦在二平行線之間見三卷第十二節
故其面積互相為比必同於其底界之
互相為比也見七卷第十節此所以甲丁戊丙
乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲
丁丁乙兩底線之互相為比亦同也冄
甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角
形之積相等則以甲乙丙之全形與所
分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙
丁三角形相比其比例必俱相同而甲
丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形
甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相
為比亦必俱相同矣因其各三角形得
互相為比例故其所截兩邊線兩兩為
相當比例率也
第二
凡三角形内與底平行作一直線其所
截兩邊線之每一叚與各邊全線之比
即同於所作線與底線之比也如甲乙
線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆
如丁戊線與乙丙底線之相比也假若
將甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而
與甲乙底線平行作一戊己線即成戊
巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之
度俱各相等然三角形之兩邊與所截
之每叚既互相為比如前節所云則此乙丙
同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊
全線之比而丁戊之平行線既與乙已
平行線度相等則此丁戊平行線與原
底乙丙線之比亦必同於彼甲丙邊之
甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲
平行線為三率乙丙底線為四率為相
當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一
率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為
三率乙丙底線為四率亦為相當比例
四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁
叚得其六分之二分乙丙邊全線為六
分則丁戊叚亦得其六分之二分所以
成兩兩相當比例之率也
第三
兩兩相等則其餘一角亦必相等如此
類兩三角形謂之同式三角形也雖其
内容積分不同而其相當各界互相為
比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁
戊己大小兩三角形其甲角與丁角等
乙角與戊角等則所餘丙角必與己角
等而為同式三角形也二卷第三節言凡三角形之三
角相併與二直角等則此大小兩三角形之各三角相併亦俱為二直角於二
直角中减去大形之甲角乙角餘為丙角減去小形之丁角戊角餘為己角其
丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬
線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此
兩小形之相當角度與大形之相當角
度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同
式之形其容積雖不一而其各界互相
為比皆為相當比例之四率是故以大
三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚
三角形之相當丁戊一邊之比也大三
角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之
比即如大三角形之甲丙一邊與小三
角形之相當丁巳一邊之比也大三角
形之乙丙底線與所截庚辛底線之比
即如大三角形之乙丙底線與小三角
形之戊已底線之比也至於甲乙丙大
推之凡同式之形其相當各界互相為
比皆為相當比例之率可知矣
第四
同式直角三角形面積互相為比同於
三角形各相當界所作方形之互相為
比而同式三角形面積互相為比者比
之各相當界互相為比則為連比例内
巳兩同式直角三角形其面積互相為
比即同於此兩三角形之乙丙戊巳相
當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為
比之比例而此兩三角形之面積互相
為比比之乙丙戊已相當二界互相為
比之比例則為連比例内隔一位相加
之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱
為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲
角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形
因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在
二平行線内同為一底其積為一半將
半與半相比者即同於全與全之相比
故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比
必同於壬乙癸戊兩直角長方形互相
為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁
形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊
己兩三角形互相為比之比例同則依
乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩
正方形互相為比之比例亦與壬乙癸
戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角
形互相為比之比例同矣又凡直角兩
則兩形面積互相為比之比例較之兩
形之各依底線所作正方形互相為比
較之二底線互相為比之比例即為隔
一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩
三角形之面積互相為比者既與所作
庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之
比例同則此所作兩正方形面積相比
較之兩底相比為隔一位相加之比例
為比較之乙丙戊己相當二界互相為
比之比例亦為隔一位相加之比例可
知矣
第五
同式無直角三角形面積互相為比同
於三角形各相當界所作方形之互相
為比而三角形面積互相為比者比之
各相當界互相為比則為連比例内隔
角俱等則此兩形面積互相為比同於
在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作
方形互相為比之比例而兩形之面積
互相為比者比之甲乙丁戊相當二界
互相為比之比例則為連比例内隔一
位相加之比例矣試自兩形之丙己二
角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛
末作甲庚丁辛二線又與此二線平行
自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸
二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩
長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱
在兩平行線内又同為一底則此兩三
角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之
相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積
相當界所立正方形之比例而同式正
方形之比例比之各相當界之比例為
連比例隔一位相加之比例今此兩三
角形面積之比例既同於庚乙辛戊兩
長方之比例亦必同於兩正方之比例
則兩三角形面積之比例比之兩界之
比例為連比例隔一位相加之比例可
第六
有衆多邊形其邊數同相當各角俱等
而相當界之比例又同則謂之同式形
也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小
兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己
二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊
癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊
之比即同於乙丙邊與庚辛邊之比其
各種直界形其式若同則謂之同式曲
線形也假如有甲乙大小兩曲線形在
甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在
乙小形内作一辛壬癸子丑五邊形此
所作兩五邊形之式若同則曲線形之
式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲
大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小
四邊形之式若同其曲線形之式亦必
同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙
丙丁大小兩圜分於大圜分内作一戊
甲乙三角形於小圜分内作一己丙丁
三角形此所作兩三角形之式若同則
圜分之式亦必同故謂之同式圜分也
大小各圜分之式若同則其相對之圜
弧雖隨圜之大小各殊而自圜所分之
度必同其各叚所對二圜之壬癸心角
度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式
既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三
角形之甲丙相當兩界角之度必等若
自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙
丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角
乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角
大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大
一倍今將戊壬乙乙壬己兩心角併之
戊甲乙乙甲己兩界角併之則所併之
心角亦必比所併之界角大一倍矣而
丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角併
之亦必比庚丙丁丁丙辛所併之兩界
角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而
亦必相等界角所對之弧分既等則心
角所對之弧分亦必相等心角所對之
弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二
心角之度也
第八
凡大小同式多邊形分為衆三角形其
相當三角形之式俱相同也如甲乙丙
形甲角至丙丁二角自小形己角至辛
壬二角各作二線則大形分為甲乙丙
甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己
庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙
丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙
丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁
所分各三角形俱為同式故相當各角
各三角形之相當界互相為比之比例
既同則五邊形之相當各界互相為比
之比例亦必同相當各界之比例相同
則兩形之式相同可知矣
第九
凡大小同式多邊形互相為比同於各
形相當界所作方形之互相為比而比
比例隔一位相加之比例也如甲乙丙
丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形於大
形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙
丑辛大小兩方形其大小五邊形互相
為比必同於所作子丙丑辛大小二方
形之互相為比大小五邊形既同於大
小兩方形之互相為比則比之丙丁辛
壬相當二界互相為比之比例為連比
則相當各三角形之式必同相當各三
角形之式既同則相當各三角形互相
為比即同於在三角形各相當界所作
方形之互相為比而各三角形面積之
互相為比較之各相當界互相為比之
比例亦為連比例隔一位相加之比例
夫所分衆三角形互相為比既同於所
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊
形互相為比亦必同於丙丁辛壬相當
界所作子丙丑辛大小兩方形之互相
為比而比之丙丁辛壬相當界互相為
比之比例為連比例隔一位相加之比
第十
凡大小同式直界形互相為比同於在
丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小兩直界
形於此二形内所函之甲丙丁己庚壬
癸丑二同式四邊形之甲丙庚壬相當
二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形
互相為比即同於兩正方形之互相為
比也若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子
丑兩六邊形俱分為三角形則其相當
形互相為比必同於甲丙庚壬相當二
界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
矣此所分三角形之比例既同於所作
正方形之比例則大小兩形内各三角
形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共
界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩
同式形互相為比亦必同於其所函之
甲丙丁己庚壬癸丑兩四邊形之甲丙
第十一
凡大小同式曲界形互相為比同於在
所比各形内外所有同式形之各相當
界所作正方形之互相為比也如甲乙
丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此
二圜之中雖各函一同式六邊形各函
一同式四邊形又各函衆同式三角形
圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二
界所作寅丙卯壬正方形之互相為比
也大凡衆界形或函圜或函於圜其界
數愈多愈與圜界相近而圜界分為千
萬叚即成千萬直界形見四卷第十九二十等節則
大小兩圜之比例固與内函相當直界
原同於兩形之相當界所作方形之比
比例同於此二圜之輻線或徑線所作
正方形互相為比之比例可知矣
第十二
凡圓面徑與撱圓面一名鴨蛋形髙度等者
其面積互相為比之比例即同於函兩
形各作切方形互相為比之比例而圓
形面積與撱圓形面積互相為比之比
為比之比例也如子壬寅癸之圓面子
丑寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同圓徑
即撱圓大徑其面積互相為比之比例必同
於圓面外所作切圓戊己庚辛正方形
與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方
形互相為比之比例而子壬寅癸圓面
與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例
又同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑
界互相為比之比例見七卷第八節今戊己庚
辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊
辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形
與甲乙丙丁長方形互相為比之比例
同於己庚底與乙丙底互相為比之比
例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓
面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅
之比例必同於戊己庚辛正方形與甲
乙丙丁長方形互相為比之比例矣然
戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬
癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底
又即撱圓面之丑卯徑度也夫平圓與
之比例而正方形與長方形之比例又
同於己庚底與乙丙底之比例則圓面
第一
凡直角三角形自直角至相對界作一
垂線則一形分為兩形與原形共為三
同式直角三角形而其比例俱相同也
如甲乙丙直角三角形自甲直角至相
對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一
形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩
為直角三角形其三形毎相當各界之
比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線
則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱
為直角見首卷第十節是故甲乙丙三角形之
甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等
而兩三角形又共一乙角其相當二角
度既等則所餘各一角度自等見八卷第三節
故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其
角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙
之甲角其度亦等三三角形之毎相當
各角之度既等則三三角形之式必同
三三角形之式既同則其毎相當各界
之比例亦俱相同可知矣
第八
凡直角三角形自直角至相對界作一
率而所作之垂線為中率此三率即為
相連比例率也如甲乙丙直角三角形
自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂
線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁
叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚
垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三
線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲
丙二界之互相為比也今以乙丁線為
四分丁丙線為一分則甲丁線必得二
分因四分與二分之比必同於二分與
一分之比故為相連比例三率也
第三
直角三角形自直角至相對界所作垂
線與所分二叚固為相連比例三率如
為寛度一為長度所作長方形之積相
等也如甲乙丙直角三角形自甲直角
至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙
界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比
例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正
方形即為中率自乗之數以甲丁垂線所截丁丙
一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己
丁長方形即為首率末率相乗之數其戊丁正方形
之比例同故此乙丁界與甲丁界之比
即同於甲丁界與丙丁界之比乙丁線
既為一率則甲丁線為二率甲丁線復
為三率則丙丁線為四率然則此相連
比例三率又為相當比例四率矣因其
可為相當比例四率故二率與三率相
乗一率與四率相乗所得之分數相同
則甲丁自乗之數即是二率三率相乗
之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所
得己丁長方形即與甲丁二率三率自
乗之正方相等可知矣此乃首率末率
求中率之法也要之首率末率相乗中
故云其所乗之二式雖異因俱自相連比
例四率而生故其積相等而得以為準
凡有直角三角形其直角相對界所作
方形之積必與兩傍界所作兩方形之
積相等也如甲乙丙直角三角形其甲
直角相對乙丙界作一乙丁方形其積
必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己
丙兩方形之積相等也試自甲直角過
相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚
甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為
乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲
庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為
同式則其毎相當界之互相比例必同
矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界
與丙甲大界之比即同於甲乙丙大三
角形之甲丙小界與乙丙大界之比而
為相當比例四率也然丙甲甲丙之二
己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙
三率為長所作庚丁長方形之積相等
也乙丁既為正方形則庚壬度必與方
界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙
為寛乙丙為長所作之長方也又如甲
乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲
乙丙四界為相當比例四率又為相連
之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為
長所作乙壬長方形之積相等也今庚
丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩
正方形等則兩形相合之乙丁正方形
亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知
第五
凡直角三角形之三界所作同式三形
三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁
戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界
所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二
小界所作戊乙己丙二形之積等也又
或如甲乙丙直角三角形於乙丙大界
作乙戊丁丙一半圜於甲乙甲丙二小
界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大
乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二
半圜之積等也葢依三界所作三形之
式既同故同式衆形互相為比即同於
相當界所作正方形之互相為比也要
之一大界所作一大形内減一小界所
作一小形即餘一小界所作一小形而
一小界所作一小形内再加入一小界
所作一小形則為一大界所作一大形
一圜之内二絃線相交所截之叚遞轉
比之其比例俱同而為相當比例四率
也如甲圜内乙丙丁戊二絃線相交於
已其所截之戊已一叚與已丙一叚之
比例即同於乙己一叚與己丁一叚之
比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相
當比例之四率也何以見之若自乙至
丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角
丁角俱切於甲圜之戊丙弧叚其度相
等見四卷第十二節再乙己戊之己角丁己丙
之己角又為兩尖相對之角其度亦相
等今乙丁二角之度既等而兩己角之
度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三
角形之相當各角既等則其式必同其
第七
圜之徑線不拘何處作一垂線則所截
之兩叚一為一率一為三率而垂線為
中率即為相連比例三率也如甲圜自
丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線
將乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一
叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂
連比例三率也試自圜界丁至乙丙二
處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三
角形其丁角既立於圜之乙己丙半界
故為直角見四卷第十四節而丁戊垂線乃自
直角至相對乙丙底界所作之垂線故
所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三
率而丁戊垂線為中率為相連比例三
率也
二線以此兩全線互相為比即同於圜
界外所截之二叚遞轉為比之比例而
為相當比例四率也如己圜自圜外甲
㸃過圜界乙丁二處至相對界丙戊二
處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為
比必同於圜界外所截甲乙甲丁二叚
之遞轉相比而為相當比例四率也試
作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙
兩三角形此兩三角形之丙戊二角既
切於一圜之乙丁弧界其二角之度必
等見四卷第十二節再甲丙丁之甲角甲戊乙
之甲角既共為一角其度自等兩三角
形各二角度俱等則兩三角形必為同
式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比
之比例即同於甲丁甲乙相當二界互
一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉
移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚
為四率為相當比例之四率也
第九
凡函於圜内之三角形以其一角平分
為二過相對底界至相對界作一直線
則所分角之小邊線與所作線之在三
分與所分角之大邊線之比也如函於
圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為
二分過所對乙丙底界至相對界作一
直線即成甲丁戊一全線以三角形之
甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一
叚之比即同於所作甲丁戊全線與三
角形之甲丙大邊之比也何以言之若
自圜界乙至戊作乙戊弦線即成甲乙
度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁
丙三角形之甲角又為一角所平分之
兩角其度亦必等因此兩三角形各二
角之度等故兩形為同式兩三角形之
式既同則兩形之相當二界互相為比
之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小
分之比即同於甲戊大分與甲丙大分
第十
凡函於圜内之三角形以其一角為兩
平分自角至底作一線則所分底線兩
叚互相為比即同於所分角之兩傍兩
邊線之互相為比也如函於圜内有甲
乙丙三角形以甲角平分為二分至乙
丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙
丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同
乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小
三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊
丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊
平行線一邊之内外角其度必等見首卷第
二十三節而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共
一丙角故此兩三角形之各二角度等
為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角
錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角
既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁
戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣
甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二
角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲
乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三
角之度又俱等則其甲乙丙大三角形
之甲乙甲丙二線互相為比即同於戊
既等則甲乙線與甲丙線之比又同於
以甲戊線與戊丙線之比至於丁戊平
行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比
則又同於甲戊一叚與戊丙一叚之比
矣是故甲乙線與甲丙線之比為同於
乙丁線與丁丙線之比也
第一
大凡直角立方體積皆生於面線互乗
之度故欲知方體所生比例之分將所
比形之長寛與厚詳較之即可得而知
矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙
大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長
甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚
之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之
戊乙底平面積與丙丁 形之庚丁底
分考之即得見七卷第二節既得二體底積之
比例乃以二形之厚度復與底積比之
即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲
乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙
丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍
之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大
一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四
倍者有二可知矣是故欲知直角方體
之比例以本體之長寛與厚互相比例
以較之即得直角方體互相為比之比
例也
第二
與他一體之底度又將他一體之厚度
與此一體之厚度為比其比例若同則
此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直
角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁
體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙
庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一
倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故
兩體之底積與厚度相較則兩體之積
不得不等也
第三
有兩直角方體其底面積之縱横二界
相比之比例與厚度面積之縱横二界
相比之比例若俱同則此兩體為直角
正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方
體其甲乙體之戊乙底面之戊己横界
一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界
比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大
一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界
大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角
正方同式體也至於兩體所有之戊己
庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二
界俱為相當之界而可互相為比例矣
之兩界線之比例為連比例隔二位相
加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角
正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬
庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之
比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙
丁體積之比比之甲乙體之界線與丙
丁體之界線之比者即如連比例四率
各界既為丙丁體之各界之二倍則甲
乙體内如丙丁體之二倍者有四二其
四為八故甲乙體積比丙丁體積大八
倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相
比為八分之一甲乙體界二與丙丁體
界一相比為二分之一其比例不同蓋
以八分比一分較之二分比一分為四
倍也如欲求其相連比例之率則於甲
之比例矣夫八與四四與二二與一皆
為連比例二分之一之比例今以八與
一為比其間隔四與二之兩位故曰同
式兩體積之比例為兩界上連比例隔
二位相加之比例也若邊為三倍則面為九倍體為二十
七倍亦為隔二位相加之比例也
第五
二界各作兩正方體互相為比即同於
原兩長方體之互相為比也如甲乙丙
丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二
横界各作甲庚丙辛二正方體則所作
例仍同於原有之甲乙丙丁兩長方體
互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式
之兩長方體既為隔二位相加之比例
之甲乙長方體為原有之丙丁長方體
之八分之一其所作甲庚正方體亦為
所作丙辛正方體之八分之一可知矣
第六
凡有大小平面體其相當角度俱等而
相當界之比例又同則謂之同式體也
如甲乙大小兩平面體其相當各界之
乙二體謂之同式平面正方體也如丙
丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱
等而相當各界之比例又同則丙丁二
體謂之同式四瓣體也又如大小圓面
體於其内外作各種平面體其平面體
之式若同則圓面體亦謂之同式體如
戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等
體是也
界所作正方體之比例也如甲乙丙丁
戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即
同於乙丙戊己相當二界所作庚乙辛
戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩
圓球體其互相為比之比例亦同於圓
球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙
辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋
相當二界所作正方面形互相為比之
比例矣今各種體之式既同故其相當
面互相為比之比例必同相當面互相
為比之比例同者縁相當面之各相當
體知此一體之度而不知彼一體之度
欲求知之則在同式兩體相當二界各
作一正方體此所作之二體一為一率
一體之界而不知彼一體之界則依所
知一體之界作一正方體其兩體一為
一率一為二率所作正方體為三率推
得四率即是彼一體界數所作之正方
體矣故曰同式兩體之比例與相當界
所作正方體之比例相同也
第八
積為球體外面積之四分之一而圓面
半徑與球體全徑等者其圓面積與球
體外面積等也如丁己圓面之丁戊半
徑與甲丙球體之甲乙半徑等則丁己
圓面積為甲丙球體外面積之四分之
一又如庚壬圓面之庚辛半徑與甲丙
球體之甲丙全徑等則庚壬圓面積與
甲丙球體外面積等也試作子寅卯一
體之甲乙半徑等則此尖圓體積與球
體積相等見五卷第二十五節又作午未申一小
尖圓體使其未申底徑與甲丙球體之
全徑等亦與大尖圓體之寅丑半徑等
其午酉髙度與甲丙球體之甲乙半徑
等亦與大尖圓體之子丑髙度等則此
小尖圓體積為球體積之四分之一亦
之蓋大小兩面之比例同於相當界所
生連比例隔一位加一倍之比例今大
尖圓體之寅夘底徑比小尖圓體之未
尖圓體底積必又大一倍則小尖圓體
底積為大尖圓體底積之四分之一矣
又兩體同髙者其體積之比例同於其
底面之比例今小尖圓體底積既為大
體之四分之一矣球體原與大尖圓相等夫大尖
圓體之底積原與球體之外面積等小
尖圓體底積既為大尖圓體底積之四
分之一亦必為球體外面積之四分之
一而丁己圓面固與小尖圓之底積等
則為球體外面積之四分之一無疑矣
至於庚壬圓面之徑原比丁己圓面之
圓面既為甲丙球體外面積之四分之
一則庚壬圓面積比丁己圓面積大四
倍者安得不與球體外面積相等乎
第九
凡球體全徑與上下面平行長圓體底
徑髙度相等則球體為長圓體之三分
之二也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛
一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓
為長圓體積之三分之二也蓋長圓體
與尖圓體同底同髙則其比例為三分
之一五卷第二十三節言平底尖體與上下面平行體同底同髙則尖體
為平行體三分之一尖圓體之底徑與球之全徑
等髙與球之半徑等者尖圓體積為球
體積之四分之一而尖圓體又為半球
體之二分之一矣説見前節今於乙己庚丁
壬己庚尖圓體則此尖圓體為半球體
之二分之一尖圓體既為半球體之二
分之一又為半長圓體之三分之一則
全與全之比例即若半與半之比例今
半長圓與半球之比例為三分之二則
全長圓體與全球體之比例亦為三分
之二可知矣
者其球體外面積與長圓體周圍面積
等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一
長圓體其球體之乙丁全徑與長圓體
之己庚底徑等而球體之甲丙全徑與
長圓體之戊己髙度等則此球體外面
積必與長圓體之周圍面積等也大凡
體之面積相等者其體積之比例同於
例同者其面積必相等試將球體乙壬
半徑分為六分取其三分為髙以長圓
周圍面積為底所成之體積必與長圓
體積等取半徑之二分為髙以球體外
面積為底所成之體積必與球體之積
等蓋長圓體與球體之比例原為三與
二之比例此所成之二體亦必為三與
二之比例一體之髙為三分一體之髙
體外面積與長圓體周圍面積相等也
明矣
第十一
凡球體全徑與上下面平行長圓體底
徑髙度相等者其相當毎段之外面積
皆相等也如甲乙丙丁一球體戊己庚
辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長
與長圓體之戊己髙度等則球體之癸
丙寅一段凸面積必與相當長圓積之
辰己庚己一段周圍外面積等也夫乙
辰巳丁一段長圓體内分出子癸寅丑
心體此空心體與子癸寅丑長圓體之
積必等何以知之蓋壬癸為大圓面之
半徑而所截卯癸又為小圓面之半徑
壬癸半徑所作圓面必與壬卯卯癸兩
線為半徑所作兩圓面等見九卷第六節又壬
癸與壬乙皆一圜之輻線其度必等而
卯辰原與壬乙相等故卯辰為半徑所
作之圓面即壬癸為半徑所作之圓面
於卯辰為半徑所作圓面内減去夘癸
為半徑所作圓面即餘壬癸環面與壬
癸原相等然則辰癸環面既與壬卯半
徑所作之圓面等亦必與卯癸為半徑
所作之圓面等矣夫卯癸即小長圓底
之半徑而辰癸又為空心體底之環徑
其兩面積既等則其兩體積必等無疑
矣又壬癸寅小尖圓體原與癸乙辰巳
丁寅曲凹體等乙丙丁半球體為半長圓體三分之二則癸乙
己丙庚丁寅曲凹體為長圓體三分之一與壬己庚尖圓體相等故壬癸寅一
分之一則癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為
辰癸空心體之三分之一矣於乙辰巳
丁長圓體内減去壬癸寅小尖圓體又
減去癸乙辰巳丁寅曲凹體則餘乙癸
壬寅丁一段空心球體必與乙辰壬巳
丁一段空心長圓體等如以乙辰巳丁一段長圓體作
六分則子癸寅丑小長圓為三分壬癸寅小尖圓體為一分與小尖圓體相等
之癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為一分今既減去小尖圓體及曲凹體是於六分
内減去二分而存一段空心球體為四分也而壬辰巳大尖圓體亦為乙辰巳
丁辰圓體三分之一於長圓體内减去大尖圓體則餘乙辰壬巳丁空心長圓
體為三分之二也三分之二之比例同同於六分之四之比例則此一段空心
長圓體與一段空心球體相等無疑若將此兩空心體從
壬心至外面剖為千萬尖體俱以乙壬半徑為髙
以兩空心體外面為底則空心球體所分之各尖
體與空心長圓體所分之各尖體其積
既等其髙又等則其底不得不等同底同髙
千萬尖體之底即兩空心體之面也夫乙丙丁半球體外
面積原與乙己庚丁半長圓體周圍外
段餘癸丙寅一段球體於半長圓體内
減去乙辰巳丁一段餘辰己庚已一段
長圓體其減去之各段外面積既相等
則所餘之球體癸丙寅一段凸面與長
也明矣
第十二
凡撱圓體大徑與圓球體徑相等者其
二體積之比例即同於撱圓體小徑所
作方面與圓球體徑所作方面之比例
也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與
甲戊丙己圓球徑等則撱圓體積與球
體積之比例即同於撱圓乙丁小徑所
平行分之其所分之大小平圓面如子
丑乃球體大圓面之徑寅卯乃撱圓體
小圓面之徑此大小兩平圓面之比例
同於其相當子丑寅卯二徑所作二方
面之比例見八卷第十一節而子丑徑與寅卯
徑之比例又同於戊己徑與乙丁徑之
比例故此所分之大小圓面之比例亦
矣若將此兩體與戊己徑平行任意分
為㡬何面其相當大小兩面之比例皆
如戊己方面與乙丁方面之比例此所
分各面之比例既皆同於乙丁與戊己
所作方面之比例則撱圓體與圓球體
之比例必同於乙丁所作方面與戊己
所作方面之比例可知矣即所分之寅
丙卯撱圓體之一段與子丙丑圓球體
第十三
凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
同徑同髙長圓體之比例也如甲乙丙
丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱
圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙
體之己庚底徑等則撱圓體為長圓體
之三分之二其比例即如子丑寅卯球
體與辰巳午未長圓體之比例也蓋戊
己庚辛長圓體之戊己髙度與辰巳午
未長圓體之辰巳髙度等故兩長圓體
之比例即同於己庚底積與巳午底積
之比例至於戊己庚辛長圓體之己庚
底積與撱圓體之乙丁小徑所作圓面
戊己庚辛長圓體積與辰巳午未長圓
體積之比例即同與撱圓體之乙丁小
徑所作圓面與球體丑卯全徑所作圓
面之比例矣夫撱圓體與球體之比例
原同於撱圓體小徑所作圓面與球體
全徑所作圓面之比例故撱圓體與球
體之比例亦同於撱圓體同徑同髙之
比例也若轉比之即戊己庚辛長圓體
與甲乙丙丁撱圓體之比例亦同與辰
巳午未長圓體與子丑寅卯球體之比
例矣夫球體既為同徑同髙長圓體之
三分之二則撱圓體亦必為同徑同髙
長圓體之三分之二可知矣
第十四
凡函撱圓之長方體與所函撱圓體之
己庚辛撱圓體其長方體之甲乙髙度
與撱圓體之戊庚大徑等長方體之乙
甲乙丙丁長方體與所函戊己庚辛撱
圓體之比例同於壬癸子丑正方體與
所函寅卯辰午球體之比例也蓋甲乙
丙丁長方體之甲乙髙度與壬癸子丑
方體之比例同於兩體底積之比例今
此長方體之底積與所函撱圓體之己
辛小徑所作方面等而正方體之底積
與所函球體之卯午全徑所作方面等
矣然則此長方體與正方體之比例不
同於撱圓體小徑所作方面與球體全
徑所作方面之比例乎夫撱圓體與球
體之比例原同與撱圓體小徑所作方
長方體與函球體之正方體之比例可
知矣若轉比之則長方體與所函撱圓
體之比例亦必同於正方體與所函球
體之比例矣
第十五
凡撱圓體大徑與圓球體之徑等者其
撱圓體外面積與球體外面積之比例
例即任分一段其相當一段外面積之
比例亦無不同也如甲乙丙丁撱圓體
之甲丙大徑與甲戊丙己球體全徑等
則此撱圓體外面積與球體外面積之
比例必同與撱圓體之乙丁小徑與球
體之戊己全徑之比例也即任分寅内
卯一段撱圓體外面積與子丙丑一段
球體外面積之比例亦仍同於乙丁小
平行故寅卯圓界與子丑圓界之比同
徑與子丑徑之比又同於乙丁徑與戊
己徑之比也然此兩體依徑平分可為
無數平圓界其相當各圓界之比例既
皆同於乙丁徑於戊己徑之比例則全
體外面積之比例豈不同於乙丁徑與
一段撱圓體與子丙丑一段球體俱可
分為平圓以比之則一段與一段之比
例無異於全體與全體之比例也明矣
第十六
凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱
圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體
外面積與長圓體周圍外面積等即任
分一段其相當一段之外面積亦無不
圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁
小徑與長圓體之己庚底徑等則撱圓
體之外面積與長圓體周圍之面積等
即任分壬丙癸一段撱圓體外面積亦
與相當壬己庚癸一段長圓體之外面
積等也試依撱圓體甲丙大徑度作子
丑寅卯一球體并作與球體同髙同徑
髙度等其二體周圍面積之比例必同
於二體底徑之比例二長圓體底徑之
比例即是撱圓體之乙丁小徑與球體
之丑卯全徑之比例也撱圓體外面積
與球體外面積之比例原同於撱圓體
乙丁徑與球體丑卯徑之比例則戊己
庚辛長圓體外面積與撱圓體外面積
之比例亦同於辰巳午未長圓體外面
外面積之比例既與球體外面積與辰
巳午未長圓體外面積之比例相同則
此撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體
外面積相等無疑矣至於撱圓體所分
一段與球體所分一段之比例與其全
體之比例亦相同今撱圓體外面全積
比例既同於球體外面全積與辰巳午
未長圓體周圍外面全積之比例則所
分撱圓體之壬丙癸一段外面積與長
圓體之壬己庚癸一段外面積之比例
亦必同於所分球體之申寅酉一段外
面積與長圓體之戌巳午亥一段外面
積之比例矣彼球體之申寅酉一段外
面積既與長圓體之戌巳午亥一段外
面積相等也明矣