御製數理精藴下編卷三十七
末部七
算術之學不外於線面體其間比例相求或借根借方等法既已分門别類於前然設問中有紆廻繁襍之不同者非審詳明辨則何以得其統緒兹又探賾鉤深編為難題一卷俾學者殫思觀變以不迷於入算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸類而長之將以窮天下之變亦不難也
設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次問三人何日同班
法以三日與四日相乘得十二日再與五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十為三四五皆可以度盡之數三與四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能與丙同班三與五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能與乙同班四與五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能與甲同班惟六十日為甲第二十次值班之日為乙第十五次值班之日為丙第十二次值班之日故為三人同班之日也
設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何
法先以三數之率定為七十五數之率定為二十一七數之率定為十五乃以三數之率七十與餘二相乘得一百四十以五數之率二十一與餘三相乘得六十三以七數之率十五與餘二相乘得三十三數相併得二百三十三又以三五七遞乘得一百零五於二百三十三内減兩次餘二十三即總錢數也此法以三數之率定為七十者以其用七數五數皆盡惟用三數之餘一也今以餘二相乘得一百四十則是用七數五數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之率定為二十一者以其用三數七數皆盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘得六十三則是用三數七數皆盡惟用五數之餘三矣以七數之率定為十五者以其用三數五數皆盡惟用七數之餘一也今以餘二相乘得三十則是用三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以此三數相併自為三數餘二五數餘三七數餘二之數又以三五七遞乘得一百零五者此數用三五七皆可數盡故二百三十三雖為三數餘二五數餘三七數餘二之數然減去一百零五餘一百二十八以三五七數之其所餘之數仍同也即再減去一百零五餘二十三以三五七數之其所餘之數亦同也是以問數在一百零五以下必二十三如問數在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原數更在二百三十三以上則遞加一百零五求之必有合也至其作率之法不過一乘一減如以三五七命算則以五七相乘得三十五以三減之餘二不可為率以其所餘為二難與他數相乘也故將三十五倍之得七十以三減之餘一故七十即為三數之率三七相乘得二十一以五減之餘一故二十一即為五數之率三五相乘得一十五以七減之餘一故十五即為七數之率或以五數七數九數命算皆倣此例推之
設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田幾何
法以七畝三畝五畝連乘得一百零五畝為治田總衰數以每日耘七畝除之得十五日為耘田衰數以每日耕三畝除之得三十五日為耕田衰數以每日種五畝除之得二十一日為種田衰數三數相併得七十一日為一率一百零五畝為二率一日為三率得四率一畝四分七釐有餘即每日自耕自種自耘之數也此法葢因一日耘七畝則一百零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一百零五畝湏耕三十五日一日種五畝則一百零五畝湏種二十一日併之得七十一日是一人自耕自種自耘治田一百零五畝即知一日治田一畝四分七釐有餘也
設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利銀抵兑問得月數幾何
法以今借銀八百両為一率原借銀一千二百両為二率原欠利銀四月作一百二十日為三率得四率一百八十日以三十日歸之得六月為所求之日數也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借甲之銀數少故月數多而其利相等為轉比例四率也
設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一錢一分七釐今買大布一疋長二丈五尺闊一尺六寸問價幾何
法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相乘得二十三尺四十寸為一率價一錢一分七釐為二率今布長二丈五尺闊一尺六寸相乘得四十尺為三率求得四率二錢即今布之價也凡物惟長不同或惟闊不同則各以其長闊為比例今長闊俱不同故以其長闊各相乘為面與面之比例也
設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両問四人各得銀數幾何
法先以總銀三百九十六両内減去甲多十両丙多八両餘三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両為各分之總銀數乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四連乘之得一百二十為總衰數於總衰一百二十内取二分之一得六十為甲衰取五分之三得七十二為乙衰取三分之一得四十為丙衰取四分之一得三十為丁衰併之得二百零二衰為一率以各分總銀數四百零四両為二率一衰為三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之銀數用乙衰七十二乘之得一百四十四両内減所少二十両餘一百二十四両即乙所分之銀數用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之銀數用丁衰三十乘之得六十両減所少六両餘五十四両即丁所分之銀數將四人所分之銀併之得三百九十六両以合原數也
設如甲乙丙三商貨殖二年共得利銀八千五百八十両甲原出本銀三千両至滿八月収回一千両至滿十九月又添一千二百兩乙原出本銀二千四百両至滿六月収回八百両至滿十五月又添一千四百両丙原出本銀二千両滿七月悉収回至滿十七月别出本銀一千六百両問各人分得利銀若干
法以甲本銀三千両與八月相乘滿八月収回一千両是八月以前皆為三千両得二萬四千両又以収回一千両與原本銀三千両相減餘二千両以八月與十九月相減餘十一月八月収回一千両餘二千両十九月後方添一千二百両則是八月以後十九月以前此十一月皆為二千両以十一月與二千両相乘得二萬二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月與二年之二十四月相減餘五月十九月後添一千二百両是十九月以後二十四月以前此五月皆為三千二百両以五月與三千二百両相乘得一萬六千両以三得數相併共六萬二千両為甲之共衰數乙本銀二千四百両與六月相乘滿六月収回八百両是六月以前皆為二千四百両得一萬四千四百両又以収回八百両與原本銀二千四百両相減餘一千六百両以六月與十五月相減餘九月六月後収回八百両餘一千六百両十五月後方添一千四百両是六月以後十五月以前此九月皆為一千六百両以九月與一千六百両相乘得一萬四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月與二年之二十四月相減餘九月十五月後添一千四百両是十五月以後二十四月以前此九月皆為三千両以九月與三千両相乘得二萬七千両三數相併共五萬五千八百両為乙之共衰數丙本銀二千両與七月相乘滿七月悉収回則七月以前皆為二千両得一萬四千両又以十七月與二十四月相減餘七月與别出本銀一千六百両相乘七月悉収回不算外至第十七月方出本一千六百両是十七月以後二十四月以前止七月也得一萬一千二百両二數相併共二萬五千二百両為丙之共衰數以甲乙丙三衰數相併甲六萬二千乙五萬五千八百丙二萬五千二百共得一十四萬三千両為一率總利銀八千五百八十両為二率一両為三率求得四率六分以各人衰數乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両為各人所得利銀之數也
設如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重幾何
法用一木杆結繫於中両端令平乃以大石掛於一端以小石作砣稱之如大石距提繫一寸小石距提繫六寸得平則以一寸為一率小石重四両為二率六寸為三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙為大石距提繫一寸甲丙為小石距提繫六寸丁為大石戊為小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙與戊小石之比同於甲丙與丁大石之比也
法用一木杆結繫於中両端令平乃以大錠小錠各掛一端如大錠距提繫四寸小錠距提繫六寸得平則以四寸六寸相加得十寸為一率共重十五両為二率大錠距提繫四寸為三率得四率六両即小錠之重如以小錠距提繫六寸為三率則得四率九両即大錠之重也如圗甲乙為大錠距提繫四寸甲丙為小錠距提繫六寸故以甲乙甲丙共分與丁戊共重之比同於甲乙與戊小錠之比亦同於甲丙與丁大錠之比也
設如以戥稱銀戥數不足將砣上加四兩稱之得二百兩原砣重八兩問銀實重幾何
法以原砣重八兩爲一率又以原砣八兩與加四兩相併得十二兩爲二率以今稱二百兩爲三率得四率三百兩爲原銀之重數也如圖甲乙爲二百兩之分丙爲砣重十二兩試將甲乙戥衡引長至丁甲丁爲三百兩之分戊爲原砣重八兩甲乙乗丙砣卽與甲丁乗戊砣之數等故以戊砣與甲乙之比同於丙砣與甲丁之比爲轉比例四率也
設如戥子失去墜砣欲配一砣不知輕重以重三兩之物用六錢之砣稱之得四兩問原砣重幾何
法以原重三兩爲一率今稱得四兩爲二率今砣重六錢爲三率求得四率八錢卽原砣之重也如圖甲乙爲戥盤距提繫之分丙爲物重甲丁爲三兩之分戊為原砣甲己為四両之分庚為今砣以比例論之甲乙與戊砣之比同於甲丁與丙重之比又甲乙與庚砣之比同於甲己與丙重之比是甲丁乘戊砣即與甲己乘庚砣之數等故以甲丁與庚砣之比即同於甲己與戊砣之比為轉比例四率也
法以木板一塊置於水面用騐時儀墜子候之看六十秒内木板流逺幾丈如流逺十丈即以十丈變為一百尺乃以河上寛十尺與下寛六尺相加折半得八尺與河深五尺相乘得四十尺又與木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之數又以六十秒収為一分為一率水流四千尺為二率以每日二十四小時化為一千四百四十分一小時為四刻一刻為十五分為三率求得四率五千七百六十萬尺即一日内所流之數也此法先用木板以騐所流之緩急水急則木随水流亦急水緩則木随水流亦緩看木之緩急即知水流之多少故先求得河口面積再以逺乘之即得水流之積數也
設如有房一所不知間數亦不知房價但云每房六間每年租銀二十四両五年後適得本銀每房八間每年租銀三十五両八年後得本銀外又得利銀二千一百六十両問房數房價各幾何
法以五年與每年二十四両相乘得一百二十両以八年與每年三十五両相乘得二百八十両是為每房六間租一百二十両適足每房八間租二百八十両盈二千一百六十両乃以六間互乘二百八十両得一千六百八十両以八間互乘一百二十両得九百六十両相減餘七百二十両為一率以六間與八間相乘得四十八間為二率以利銀二千一百六十両為三率得四率一百四十四間即房之總數也又以六間為一率五年得一百二十両為二率總房一百四十四間為三率得四率二千八百八十両即房價或以八間為一率八年得二百八十両為二率總房一百四十四間為三率得四率五千零四十両内減利銀二千一百六十両亦得二千八百八十両為房價也此法葢因五年八年之數不同故以五年八年與每年銀數相乘作總得租銀算也
設如有銀買物不知銀數亦不知物價但云取銀六分之五買之則多六両取銀四分之三買之仍多二両問銀數及物價各幾何
法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十相減餘二分為一率盈六両與盈二両相減餘四両為二率両分母互乘得二十四分為三率求得四率四十八両即為銀數取六分之五為四十両減盈六两得三十四両為物價或取四分之三得三十六両減盈二両亦得三十四両為物價也
又先得物價之法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両為加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両為加二十倍乃以十八倍與二十倍相減餘二倍為一率互乘所得両盈數相減餘六十八両為二率一倍為三率求得四率三十四両即物價加盈六両得四十両即原銀六分之五乃用五歸六因得四十八両為原銀數或於物價三十四両加盈二両得三十六両即原銀四分之三乃用三歸四因亦得四十八両為原銀數也此盈朒單法因帶分母子不同故用通分互乘以齊其分耳
設如有銀買米不知米數亦不知米價只云買米四分之一用銀二十両則米少一石若買三分之一用銀二十四両則米多二石問米數及米價各幾何
法以前分母四互乘得分子一得四以後分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得後分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也既得米價乃以八錢除二十両得二十五石減朒一石餘二十四石為米四分之一以四因之得九十六石即米數或以八錢除二十四両得三十石加盈二石得三十二石為米三分之一以三因之亦得九十六石為米數也葢以分母互乘前則為十二分之三後則為十二分之四両分母互乘得十二又以分子互乘前則為米十二分両分子互乘亦得十二分用銀八十两朒四石後則為米十二分用銀七十二両盈六石夫米之分數既同而銀差八両則盈朒差十石故知十石價八両即知一石價八錢也此䨇套盈朒之法但有米之分數又有石數故立法微不同若止帶零分則惟用通分法餘俱與䨇套盈朒之法同
又先得米數之法以銀數列於上分數列於下乃以前分母四互乘後分子一得四以後分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘後所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分與八十分相減餘八分為一率朒二十四石與盈四十石相加得六十四石為二率両分母互乘得十二分為三率求得四率九十六石即原米數也既得米數四歸之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八錢為米價或將米數三歸之得三十二石減盈二石餘三十石以除二十四両亦得八錢為米價也葢用互乘前則為四百八十両二十両與二十四両互乘得四百八十両買米十二分之七十二朒二十四石後則為四百八十両買米十二分之八十盈四十石夫銀數既同而米差八分則盈朒相差六十四石故知八分為六十四石即知十二分為九十六石也
又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石因四分之一價二十両故用四因為米總價又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石因三分之一價二十四両故用三因為米總價作盈朒單法算以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也此法葢因分數整齊故可比例而得其全分之價若有竒零則湏用前法或用通分法算之
設如有一數不知幾何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百問原數幾何
法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三數相加得一千九百八十併所加之四十共二千零二十與共數六千七百相減餘四千六百八十為連乘之整數乃借一衰為原數以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰為一率原數一衰為二率以連乘整數四千六百八十為三率求得四率十三即為原數也此法葢因三乘原數外加一十而又用四乘五乘六乘則此一十己用四乘五乘六乘矣四乘後加二十而又用五乘六乘則此二十已用五乘六乘矣五乘後加三十而又用六乘則三十已用六乘矣故將一十二十三十之數亦用連乘併後所加之四十與共數相減然後為三四五六與原數連乘之整分而以三四五六連乘所得之三百六十與原數一為比例即同於今三四五六連乘所得之四千六百八十與原數十三之比例也
設如甲乙二車運糧甲車先行二日乙車後行五日追及甲車比乙車運價少五錢又甲車先行二日乙車後行七日追過甲車八十里甲車比乙車運價少一両一錢問甲乙二車日行里數及運價各幾何
法以乙車五日為正甲車七日為負里數相等作一空位甲車先行二日乙車行五日追及是乙車行五日甲車行七日其里數相等運價多五錢為正列於上又以乙車七日為正甲車九日為負過八十里為正運價多一両一錢為正列於下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一錢得乙三十五日仍為正甲四十五日仍為負多行四百里運價多五両五錢仍為正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日運價多五錢得乙三十五日仍為正甲四十九日仍為負多三両五錢仍為正相等無可乘仍為空位於是以上層為主両下相較則乙各三十五日彼此減盡甲両下相減餘四日本層少變負為正里數無可加減仍得四百里為正價両下相減餘二両依本層為正即甲車四日行四百里運價二両也以四日除四百里得一百里為甲車每日所行之里數以四日除二両得五錢即甲車每日之運價以乙車七日比甲車九日多行八十里價多一両一錢計之則甲車九日行九百里加多八十里共九百八十里為乙車七日所行之里數以七日除之得一百四十里即乙車每日所行之里數甲車九日運價四両五錢加多一両一錢共五両六錢為乙車七日之運價以七日除之得八錢即乙車每日之運價也此法因有里數運價二種或名疊脚然不過除両次耳若里數為較運價為和難以分列正負者則分両法算之
設如甲乙丙三人有銀各不知數只云甲得乙銀二分之一乙得丙銀三分之一丙得甲銀四分之一則各得七百两問三人原銀各幾何
法先以甲三分乙一分共七百両列於上甲原銀四分丙得去一分餘三分又得乙一分故為甲三分乙一分共七百両丙無數作空位以足其分又以甲一分丙二分共七百両列於下丙原銀三分乙得去一分餘二分又得甲一分故為甲一分丙二分共七百両乙無數亦作空位以足其分乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原數於是以下層為主両下相較則甲各三分彼此減盡乙一分無可減仍為一分依本層為正丙六分無可減仍為六分本層無數則為負銀両下相減餘一千四百両本層少爲負即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分為正丙六分為負少一千四百両為負列於上又以乙一分丙一分共七百兩列於下乙原銀二分甲得去一分餘一分又得丙一分故為乙一分丙一分共七百両因為和數故不用號因首色皆為一故省互乘両下相較則乙各一分彼此減盡丙六與丙一相加得七分銀一千四百與七百相加得二千一百両即為丙七分之共數以七除之得三百両為丙一分之數以丙原銀三分乘之得九百両為丙之銀數以乙一分丙一分共七百両計之則於七百両内減去丙一分三百両餘四百両即乙一分之數以乙原銀二分乘之得八百両為乙之銀數以甲三分乙一分共七百両計之則於七百両内減去乙一分四百両餘三百両三歸之得一百両即甲一分之數以甲原銀四分乘之得四百両為甲之銀數也
設如有長方面積八百六十四歩一長二闊三和四較共三百一十二歩問長闊各幾何
法以積數八因之得六千九百一十二歩為大長方形積乃以長闊和較共數三百一十二歩為長闊和折半得一百五十六歩為半和自乘得二萬四千三百三十六歩與六千九百一十二歩相減餘一萬七千四百二十四歩開平方得一百三十二歩為半較與半和一百五十六歩相減得二十四歩為原闊數以闊除原積八百六十四歩得三十六歩為原長數也此法葢因三和内有三長三闊加一長二闊共四長五闊如以四較加於四闊則又成四長是共得八長一闊此三百一十二歩即八長一闊之共數今將原積八倍之成一大長方形其闊即原闊其長為原長之八倍故以三百一十二為長闊和求得闊即為原闊以原闊除原積即得原長也
設如買果木樹不知樹數亦不知樹價但知樹每株之價為樹共數之六倍而每株脚錢六文其脚錢并樹價共三千六百文問樹每株價及樹數各幾何
法先以共錢三千六百文六因之得二萬一千六百文為長方積脚錢六文為縱多爰以縱多六文折半得三文為半較自乘得九文與二萬一千六百文相加得二萬一千六百零九文開平方得一百四十七文為半和内減半較三文得一百四十四文為樹每株之價六歸之得二十四為樹之共數也此法以樹數為闊樹價併脚錢為長成長方形因每株之價為樹數之六倍是長為闊之六倍又多六文故六倍其積則長比闊多六文故以帶縱開方法算之得闊為樹價六歸之得樹數也
設如一河寛一丈二尺中間生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸適與岸齊問蒲長水深各幾何
法以河寛一丈二尺折半得六尺為勾以蒲稍出水三尺為股弦較乃以勾六尺自乘得三十六尺以股弦較三尺除之得一十二尺為股弦和加股弦較三尺得一十五尺折半得七尺五寸為弦即蒲之長内減股弦較三尺餘四尺五寸為股即水之深也如圖甲乙為河寛丙丁為蒲長與甲丁等戊丁為水深丙戊為蒲稍出水三尺故戊丁為股甲戊為勾甲丁為弦丙戊為股弦較用有勾有股弦較之法求得股為水深得弦為蒲之長也
設如圓柱髙二十一尺周四尺以繩自底至末繞柱七周與柱適齊問繩長幾何
法以柱周四尺七因之得二十八尺為股柱髙二十一尺為勾求得弦三十五尺即繩之長也此法葢合七勾股為一勾股算也如圖甲乙為柱髙二十一尺甲丙為七分之一若將柱面平鋪之成一平面則丙丁即柱周四尺甲丁即繩繞柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙為甲丙之七倍繩長為甲丁之七倍故將柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙為勾乙戊為股求得甲戊弦即繩長也
法以比例尺寛三寸與長一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半開方得九寸八分九釐九豪即方匣之邊數也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙為對角斜線癸壬為比例尺之長壬乙與丁癸二叚與己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形則乙為方之中心壬乙為己庚方邊之一半與壬庚等而壬乙與丁癸両段即與己庚等故以比例尺之長闊相加即為丁乙對角斜線用斜求方之法自乘折半開方即得方邊也
設如三角形底二丈八尺小腰與中垂線之較二尺大腰與中垂線之較六尺問両腰各幾何
法借一衰為中垂線則小腰為一衰多二尺小腰與中垂線之和為二衰多二尺與小腰較二尺相乗得四衰多四尺為小分底自乘方積大腰為一衰多六尺大腰與中垂線之和為二衰多六尺與大腰較六尺相乘得十二衰多三十六尺為大分底自乘方積以両方積相較則大分底方為小分底方之三倍多二十四尺大分底方十二衰為小分底方四衰之三倍即將小分底方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺與大分底方十二衰多三十六尺相減仍餘二十四尺乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内減去所多之二十四尺餘七百六十尺為小分底自乘四正方小分底乘大分底二長方積折半得三百八十尺為小分底自乘二正方小分底乘大分底一長方積共成一大長方底二十八尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十尺為小分底自乘得一百尺以小腰較二尺除之得五十尺為小腰與中垂線之和内加小腰較二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰較二尺與大腰較六尺相減餘四尺即大腰與小腰之較與小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股弦和與甲乙甲丁股弦較相乘則得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形見勾股法以甲丁甲丙股弦和與甲丁甲丙股弦較相乘則得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既為乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故於乙壬癸丙大正方形内減去二十四尺餘者即與乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛為大分底乘小分底二長方共成丑寅卯丙一長方形折半得丑辰己丙長方形乙丙即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊為乙丁小勾自乘以股弦較除之得股弦和故加股弦較折半即得甲乙為弦也或求得甲丙邊亦同
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊較三尺八寸求乙角丙角度幾何
法依甲丙邊度截甲乙邊於丁餘乙丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成乙丁丙鈍角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率乙丁邊三尺八寸為二率甲角五十三度八分與一百八十度相減餘一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁鈍角之外角與丁丙甲角等其正弦八萬九千四百四十一為三率求得四率二萬七千八百五十八為丙分角正弦撿表得十六度十分為丙分角與丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角與丁外角相減餘四十七度十六分即乙角度也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙邊一丈一尺二寸甲乙乙丙両邊較二尺八寸求乙角丙角度各幾何
法依乙丙邊度截甲乙邊於丁餘甲丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成甲丁丙鈍角形乃以甲丁邊二尺八寸與甲丙邊一丈一尺二寸相加得一丈四尺為一率甲丁與甲丙相減餘八尺四寸為二率甲角半外角六十三度二十六分之正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率一十一萬九千九百九十一為半較角切線撿表得五十度十二分為半較角度與半外角相減餘十三度十四分為丙分角倍之與甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角與甲角相加則得丙丁乙角與丙大分角等是丙大分角與一丙小分角一甲角之度等故倍小分角與甲角相加得丙全角也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊和二丈六尺二寸求丙角乙角度各幾何
法以甲乙與甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁線成丁乙丙三角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率丙丁邊二丈六尺二寸為二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角與甲乙丁角等其正弦四萬四千七百二十四為三率求得四率九萬六千零四十六為丙乙丁角正弦撿表得七十三度五十分為丙乙丁角内減半甲角二十六度三十四分即甲乙丁角餘四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相併與半周相減餘七十九度三十六分即丙角度也
設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙邊一丈五尺甲丙乙丙両邊和二丈三尺四寸求乙角丙角度幾何
法以甲丙與乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁線成甲乙丁三角形乃以甲丁邊二丈三尺四寸與甲乙邊一丈五尺相加得三丈八尺四寸為一率甲丁邊與甲乙邊相減餘八尺四寸為二率甲角五十三度八分與半周相減折半得半外角六十三度二十六分其正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率四萬三千七百四十七為半較角切線撿表得二十三度三十八分為半較角與半外角相減餘三十九度四十八分為丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也
設如有一旗杆不知其髙用日影測之問髙幾何法先立一表長五尺看影長幾尺如得四尺同時看旗杆影為幾尺如得二丈四尺乃以表影長四尺為一率表髙五尺為二率旗杆影長二丈四尺為三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙為旗杆乙丙為旗杆影丁戊為表髙戊己為表影甲乙丙與丁戊己為同式勾股形故己戊與丁戊之比同於乙丙與甲乙之比也
法先立一表長六尺影長四尺同時看塔影所至記之閲時看表影長五尺塔影比先所記之處長幾尺如得八尺乃以表影差一尺為一率表髙六尺為二率影差八尺為三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙為塔髙乙丙為先所記塔影乙丁為後所記塔影戊己為表髙己庚為先所記表影己辛為後所記表影戊庚辛與甲丙丁戊己庚與甲乙丙皆為同式形故庚辛與戊己之比同於丙丁與甲乙之比也
設如逺望一村欲知其逺用放鎗騐時儀墜子候之問逺幾何
法令一人在村邊放鎗一見烟出即用騐時儀墜子候之一聞鎗響即止計自見烟至聞響得幾秒如得三秒即以一秒為一率一百二十八丈五尺七寸為二率三秒為三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢響與烟一時並出其見烟而未聞響者聲未至也故自見烟至聞響之分即路逺之分嘗以其分較之路逺五里得七秒以七歸之每秒得一百二十八丈五尺七寸聞雷亦然自一見電光至聞雷響候其秒數即得里數也
法以中長九尺與闊四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形積也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁與甲丙相乘則成戊己庚辛長方形其積比梭形多一倍故半之為梭形積也此法必甲乙與乙丙等甲丁與丁丙等或甲乙與甲丁等乙丙與丁丙等則其中長適為両三角形之垂線故長闊相乘折半而得積也若中長不得為垂線則湏先量得四邊數及長數或闊數用三角形求中垂線法算之
設如三廣形上闊三尺中闊五尺下闊四尺上截長六尺下截長四尺求積幾何
法以中闊五尺與上闊三尺相加折半得四尺與上截長六尺相乘得二十四尺又以中闊五尺與下闊四尺相加折半得四尺五寸與下截長四尺相乘得十八尺両數相併得四十二尺即三廣形積也如圗甲乙丙丁戊己三廣形以乙戊線分之則成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求積之法見第十九卷直線形求得両梯形之積而併之即為三廣形積也舊術以上下闊相加折半加中闊與長相乘得積此必上下両截長數相等者然後可算若上下不相等湏用両梯形算之
設如眉形両尖相距弦長二十四尺外弧距弦九尺内弧距弦四尺求積幾何
法以両尖相距二十四尺為弦外弧距弦九尺為矢用弧矢求積法以矢九尺為首率弦二十四尺折半得十二尺為中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺為圜徑折半得半徑十二尺五寸為一率半弦十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率九萬六千為半外弧之正弦撿八線表得七十三度四十五分為半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分為外弧之度分乃以三百六十度為一率外弧一百四十七度半為二率全徑二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九釐八豪為三率求得四率三十二尺一寸七分九釐五豪為外弧之數與半徑十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分為自圜心所分弧背三角形積又以矢九尺與半徑十二尺五寸相減餘三尺五寸與弦二十四尺相乘折半得四十二尺為自圜心至弦所分直線三角形積與弧背三角形積相減餘一百五十九尺一十二寸一十八分為外弧矢全積見第二十卷曲線形又以両尖相距二十四尺為弦内弧距弦四尺為矢亦用弧矢求積法求得内弧矢虚積六十五尺三十七寸六十分與外弧矢積相減餘九十三尺七十四寸五十八分即眉形積也如圗甲乙丙丁眉形甲丙為弦乙戊為外弧矢丁戊為内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形積又求得甲丁丙戊弧矢形積相減即得甲乙丙丁眉形積也
法以長二尺四寸為弦闊八寸折半得四寸為矢用弧矢求積法求得弧矢積六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄㰖形積也如圗甲乙丙丁橄㰖形自甲至丙作甲丙線平分乙丁於戊則成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形積倍之即橄㰖形積也
設如錢形徑一尺二寸求積幾何
法以錢形徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐又求得内容方積七十二寸相減餘四十一寸零九分七十三釐倍之得八十二寸一十九分四十六釐即錢形積也如圖甲乙丙丁錢形作戊己己庚庚辛辛戊四線則分為壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形積又求得戊己庚辛内方積相減餘壬癸子丑四弧矢形倍之即得錢形積也
設如銀錠形徑一尺二寸求積幾何
法以銀錠形徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即銀錠形積也如圖甲乙丙丁戊己銀錠形以甲丁徑自乘折半則得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形與所盈壬癸二弧矢形之積等故乙丙戊己正方積即與銀錠形之積等也
設如甲乙丙丁四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐甲圜徑比乙圜徑多三尺乙圜徑比丙圜徑多三尺丙圜徑比丁圜徑多二尺問四圜徑各幾何
法用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐為三率求得四率二百七十七尺為四平方共積乃以丙圜徑比丁圜徑所多之二尺自乘得四尺又以乙圜徑比丁圜徑所多之五尺丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故乙比丁多五尺自乘得二十五尺又以甲圜徑比丁圜徑所多之八尺乙比丁多五尺甲又比乙多三尺故甲比丁多八尺自乘得六十四尺三數相併得九十三尺與四平方共積二百七十七尺相減餘一百八十四尺為長方積以丙圜徑比丁圜徑多二尺乙圜徑比丁圜徑多五尺甲圜徑比丁圜徑多八尺相加得十五尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺二歸之得四尺即丁圜徑加二尺得六尺即丙圜徑再加三尺得九尺即乙圜徑再加三尺得十二尺即甲圜徑也如圖甲乙丙丁四平圜形變為甲乙丙丁四平方形則四圜徑之較即四方邊之較故於四方形内減去壬癸子三較方餘戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六長方共成未申酉戌一長方戌亥為長闊之較即三邊較之共數故用帶縱較數開平方法算之得闊折半而得丁方邊即丁圜徑遞加之即得甲乙丙各圜徑也
設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方邊離圜界五丈方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分問方邊圜徑各幾何
法以方邊離圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈與方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相減餘二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜積定率七八五三九八一六與方積定率一○○○○○○○○相減餘二一四六○一八四為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分為三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分為長方積又以二一四六○一八四為一率一○○○○○○○○為二率以方邊離圜界五丈四因之得二十丈為三率求得四率九十三丈一尺九寸五分為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内圜徑加方邊離圜界共十丈得二十丈即外方邊也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方邊離圜界五丈自乘四因與積相減則減去己庚辛壬四小方形餘癸子丑寅四長方形及卯辰巳午四隅積今欲以卯辰巳午四隅積補足戊圜虚積共成未申酉戌長方形應以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率今所餘之卯辰巳午方内圜外積為三率則得四率為未亥方積而戊圜虚積即補足在其中然今乃以卯辰巳午四隅積并癸子丑寅四長方積共為三率則戊圜虚積固已補足而癸子丑寅四長方積必多補出之分是知癸子丑寅四長方形其寛仍為戌酉而亥酉之長必亦多補出之分矣癸子丑寅四長方形為二平行線内直角方形其面之互相為比同於其底之互相為比見幾何原本八卷第七節故又以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率以方邊離圜界五丈四因之得亥酉之長為三率求得四率即將亥酉之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得未申闊即為内圜徑也
設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方角離圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分問方邊圜徑各幾何
法以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈與方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相減餘五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢積二八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○方内容圜積七八五三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六為弧矢積圜内容方積五○○○○○○○為二率今減餘積五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分為三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分為長方積又以二八五三九八一六為一率五○○○○○○○為二率以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内圜所容方邊以四隅方邊十五丈倍之得三十丈與内圜所容方邊十丈相加得四十丈即外方邊以内圜所容方邊十丈求得對角斜線十四丈一尺四寸二分即内圜徑加方角離圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方對角斜線也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角離圜界甲卯自乘倍之與積相減則減去己庚辛壬四小正方形以甲卯自乘折半得己正方形積故甲卯自乘倍之即得四正方形積也餘癸子丑寅四長方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形變為卯辰巳午一正方形應以定率弧矢積為一率方積為二率未申酉戌四弧矢虚積為三率則得四率為卯辰巳午虚方積然今無未申酉戌四弧矢虚積而以癸子丑寅四長方形内虚未申酉戌四弧矢形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為卯辰亥乾長方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四長方實積與午巳亥乾長方積之比同於弧矢積與方積之比則其所虚之未申酉戌四弧矢形與卯辰巳午正方形之比亦同於弧矢積與方積之比而癸子丑寅之共長與長亥之比亦必同於弧矢積與方積之比矣故以四長方之共邊比例得辰亥邊為長闊和求得卯辰闊為内圜所容正方形之每一邊也
設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方角五丈圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分問圜徑方邊各幾何
法以圜界離方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜積定率七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分為三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内減所得一百丈餘二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢積二八五三九八一六方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六用圜積變方積法通之得三六三三八○二三為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分為三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸為長方積又以三六三三八○二三為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方角五丈四因之得二十丈為三率求得四率五十五丈零三寸八分七釐四豪為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内方對角斜線用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方邊以内方對角斜線十丈加圜界離方角共十丈得二十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而多丑寅卯辰四弧矢形所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積多丑寅卯辰四弧矢形故所變之方環亦多丑寅卯辰四弧矢形所變之積也以圜界離方角五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小方形餘酉戌亥乾四長方形及丑寅卯辰四弧矢形所變之積今欲以丑寅卯辰四弧矢形所變之積補成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮長方形應以定率四弧矢形已變之積為一率方積為二率設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九八一六圜内容方積為五○○○○○○○内圜積與内方積相減餘二八五三九八一六是二八五三九八一六與一○○○○○○○○相比為弧矢積與外方積之定率也然今所多之四弧矢積先已用圜率變為方率故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率弧矢積二八五三九八一六為三率得四率三六三三八○二三是三六三三八○二三與一○○○○○○○○相比為已變之弧矢積與外方積之定率也今所多之丑寅卯辰四弧矢形已變之積為三率則得四率為辛壬癸子正方積然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已變之積并酉戌亥乾四長方積共為三率則辛壬癸子正方積固已補足而酉戌亥乾四長方必多補出之分是知酉戌亥乾四長方其寛仍為子癸而癸坎之長必亦多補出之分矣故又以四弧矢形已變之積為一率方積為二率以圜界離方邊五丈四因之得癸坎之長為三率求得四率即將癸坎之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得辛壬闊即内方對角斜線也
設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方邊十五丈圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分問圜徑方邊各幾何
法以圜界離方邊十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜積方積定率比例圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分為三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内減所得九百丈餘五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外積二一四六○一八四方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六相減餘二一四六○一八四用圜積變方積法通之得二七三二三九五五為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分為三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分為長方積又以二七三二三九五五為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内方邊加圜界離方邊共三十丈得四十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而少丑寅卯辰四隅所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積少丑寅卯辰四隅故所變之方環亦少丑寅卯辰四隅所變之積也以圜界離方邊十五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小正方形餘酉戌亥乾四長方形而内少丑寅卯辰四隅所變之積今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所變之積作為辛壬癸子正方形應以定率四隅形已變之積為一率方積為二率設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九八一六相減餘二一四六○一八四是三一四六○一八四與一○○○○○○口○相比為圜外四隅積與外方積之定率也然今所少者乃圜外四隅積用圜積方積比例之數故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率圜外四隅積二一四六○一八四為三率求得四率二七三二三九五五是二七三二三九五五與一○○○○○○○○相比為已變之四隅積與外方積之定率也丑寅卯辰四隅形已變之虚積為三率則得四率為辛壬癸子虚方積然今無辛壬癸子四隅形已變之虚積而以酉戌亥乾四長方内虚丑寅卯辰四隅形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為辛壬坎艮長方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥乾四長方實積與子癸坎艮長方形之比同於己變之四隅積與方積之比則其所虚之丑寅卯辰四隅已變之積與辛壬癸子正方形之比亦同於己變之四隅積與方積之比而酉戌亥乾之共長與壬坎之比亦少同於己變之四隅積與方積之比矣故以四長方之共邊比例而得壬坎邊為長闊和求得辛壬闊為内方邊也
法以大球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八寸為長方積以大球徑一尺二寸四因之得四尺八寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五寸三分九釐三豪即内容四小球之徑也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己四小球體試自四小球之中心俱各作線聮之則成一四等面體又以甲乙大球心為心丙丁戊己小球心為界作一虚圓則成四等面體外切圓球體其四面體之一邊即小球徑以四面體外切丁庚虚球徑加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙辛壬正方形内甲癸丁子為小球徑自乘方即四面體每邊自乘方丁庚辛丑為四面體外切圓球徑自乘方癸乙庚丁子丁丑壬為四面體之每邊與外切圓球徑相乘二長方凡四面體每邊自乘方為外切圓球徑自乘方三分之二見第二十八卷球内容四面體法故甲癸丁子正方形為丁庚辛丑正方形三分之二將甲乙辛壬正方形倍之則得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四長方而丁庚辛丑二正方為甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四長方即與寅卯辰巳長方積等其巳午長闊之較為甲乙球徑之四倍故四因大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為四面體之一邊自乘二歸三因開平方得四面體外切圓球徑再加一小球徑即大球徑也
設如有一大球體内容六小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何
法以大球徑一尺三寸自乘得一尺四十四寸為長方積以大球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸九分七釐即内容六小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛六小球體試自六小球之中心俱各作線聮之則成一八等面體其八面體之一邊即小球徑以八面體之對角線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙壬癸正方形内甲子丙丑為小球徑自乘方即八面體每邊自乘方丙戌壬寅為八面體對角線自乘方子乙戊丙丑丙寅癸為八面體之每邊與對角線相乘二長方凡八面體每邊自乘方為對角線自乘方之一半見第二十七卷八面體法故丙戊壬寅一正方與甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共為甲子丙丑三正方子乙戊丙二長方與卯辰巳午長方積等其午未長闊之較為甲乙球徑之二倍故倍大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為八面體之一邊自乘加倍開方得對角線再加一小球徑即大球徑也
設如一大球體内容八小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何
法以大球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸為長方積以大球徑一尺二寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸三分九釐二豪即内容八小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛壬癸八小球體試自八小球之中心俱各作線聮之則成一正方體其正方體之一邊即小球徑以正方體之丙壬對角斜線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰為小球徑自乘方卯巳子午為正方體對角斜線自乘方寅乙巳卯辰卯午丑為小球徑乘正方體對角斜線二長方凡正方對角斜線自乘方為每邊自乘方之三倍見第二十八卷球内容正方體法故卯巳子午正方形為甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一長方共成未乙巳申一長方甲乙球徑即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為正方體之一邊自乘三因之開平方得正方體對角斜線再加一小球徑即大球徑也
設如有三角形底十四尺中埀線十二尺大腰與小腰之較二尺求両腰各幾何
法借一根為小腰則大腰為一根多二尺以一根自乗得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乗之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以一根多二尺自乘得一平方多四根多四尺為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方多四根少一百四十尺為大分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方多四根少二百八十四尺餘四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之積為末率也乃以首率大分底之面積一平方多四根少一百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二萬零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五萬七千六百尺此二數為相等両邊各減一三乘方四立方二萬零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根與三萬七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既與三萬七千四百四十尺相等則一平方多二根必與一百九十五尺相等乃以一百九十五尺為長方積以多二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十三尺為一根之數即小腰加二尺得十五尺即大腰也
設如有三角形底十四尺中垂線十二尺大腰與小腰之和二十八尺求大小腰各幾何
法借一根為小腰則二十八尺少一根為大腰以一根自乘得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少五十六根多六百四十尺為大分底之而積又以底四十尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方少五十六根多四百九十六尺餘五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而大分底乗小分底之而積為中率小分底之而積為末率也乃以首率大分底之面積一平方少五十六根多六百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺此二數為相等両邊各減一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺與一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺相等両邊各減四百九十六平方各加八千四百根又各加九萬二千一百六十尺得一萬六千四百六十四根與五百八十八平方多一十一萬四千六百
既與五百八十八平方多一十一萬四
千六百六十尺相等則二十八根必與
一平方多一百九十五尺相等故以一
百九十五尺為長方積以二十八根作
二十八尺為長闊和求得闊十三尺為
一根之數即小腰也