御製數理精藴下編卷三十八
末部八
對數比例乃西士若往訥白爾所作以借數與眞數對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者復加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再乘故三歸即開立方推之至於諸乘方莫不皆以假數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代之甚易也其立數之原起於連比例葢比例四率二率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者有見於此故設假數以加減代乘除之用此表之所以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折半至於數十次使彼此皆可為比例而假數由之而生又有相較之一法省開方之多次尤為甚㨗至於他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難而用之甚易甚勿以易而忘其難也
凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之四假數其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數即得第四率相對之假數若減第四率相對之假數即得第一率相對之假數
如二四八十六連比例四率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四其遞加遞減之數皆為一以二率四相對之假數二與三率八相對之假數三相加得五内減一率二相對之假數一即得四率十六相對之假數四若減四率十六相對之假數四即得一率二相對之假數一或以二之假數為三四之假數為五八之假數為七十六之假數為九其遞加遞減之數皆為二以二率四相對之假數五與三率八相對之假數七相加内減一率二相對之假數三即得四率十六相對之假數九若減四率十六相對之假數九即得一率二相對之假數三明對數之原之二
凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對之假數即得末率相對之假數若減末率相對之假數即得首率相對之假數
如一三九連比例三率任對設一之假數為四三之假數為五九之假數為六其遞加遞減之數皆為一以中率三相對之假數五倍之得十内減首率一相對之假數四即得末率九相對之假數六若減末率九相對之假數六即得首率一相對之假數四或以一之假數為八三之假數為五九之假數為二其遞加遞減之數皆為三以中率三相對之假數五倍之内減首率一相對之假數八即得末率九相對之假數二若減末率九相對之假數二即得首率一相對之假數八明對數之原之三
凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相對之假數亦得第一率相對之假數
如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六連比例幾率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四三十二之假數為五六十四之假數為六一百二十八之假數為七二百五十六之假數為八其遞加遞減之數皆為一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相對之假數三與三率六十四相對之假數六相加得九内減一率四相對之假數二即得四率一百二十八相對之假數七若減四率一百二十八相對之假數七即得一率四相對之假數二明對數之綱之一
凡假數皆可隨意而定然一之假數必定為○方與眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但遞進一位則其假數亦皆遞加一數
葢乘除之數始於一故一不用乘亦不用除而加減之數始於○故○無可加亦無可減也假數旣以加減代乘除故一之假數必定為○而一與十十與百百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍之相連比例率然其數皆為一但遞進一位故一之假數定為○者十之假數即定為一百之假數即定為二千之假數即定為三萬之假數即定為四十萬之假數即定為五百萬之假數即定為六千萬之假數即定為七億之假數即定為八亦皆遞加一數而假數即與位數相同試以一百與一千相乘得十萬為進二位以一百相對之假數二與一千相對之假數三相加即得十萬相對之假數五亦為加二數也以一十除一千得一百為退一位以一十相對之假數一與一千相對之假數三相減即得一百相對之假數二亦為減一數也如或以十之假數定為二百之假數定為四千之假數定為六是為遞加二數未甞不可然眞數進一位者假數則加二數即不得與位數相同矣明對數之綱之二
凡眞數不同而位數同者其假數雖不同而首位必同眞數相同而遞進幾位者其假數首位必遞加幾數而次位以後却相同
如自一至九眞數皆為單位則假數首位皆為○故二之假數為○三○一○二九九九五七三之假數為○四七七一二一二五四七四之假數為○六○二○五九九九一三五之假數為○六九八九七○○○四三六之假數為○七七八一五一二五○四首位以後零數遞增至十則首位皆為一至百則首位皆為二至千則首位皆為三至萬則首位皆為四至十萬則首位皆為五如一十一一百一十一千一百一萬一千一十一萬雖遞進一位而其數皆為一一故其假數首位雖遞加一數而次位以後皆同為○四一三九二六八五二明對數之目用中比例求假數法之一
凡連比例率以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數
如一十為首率一百為中率一千為末率以首率一十與末率一千相乘開平方得一百為中率以首率一十之假數一○○○○○○○○○○與末率一千之假數三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假數葢首率末率相乘與中率自乘之數等以首率末率兩假數相加即與中率之假數加倍之數等故折半為中率之假數也明對數之目用中比例求假數法之二
凡十百千萬之假數既定而欲求其間零數之假數則以前後相近之兩數一為首率一為末率求得中率之眞數並求得中率之假數累次比例使中率恰得所求之眞數其假數即為所求之假數
如求九之假數因九在一與十之間則以一為首率十為末率相乘開方得三一六二二七七七為第一次之中率即以首率一之假數○○○○○○○○○○○與末率十之假數一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○為第一次中率之假數此所得之中率較之首率去九為近故以所得之中率復為首率十為末率相乘開方得五六二三四一三二為第二次之中率即以第二次之首率末率兩假數相加折半得○七五○○○○○○○○為第二次中率之假數又以第二次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得七四九八九四二一為第三次之中率即以第三次之首率末率兩假數相加折半得○八七五○○○○○○○為第三次中率之假數又以第三次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得八六五九六四三二為第四次之中率即以第四次之首率末率兩假數相加折半得○九三七五○○○○○○為第四次中率之假數又以第四次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得九三○五七二○四為第五次之中率即以第五次之首率末率兩假數相加折半得○九六八七五○○○○○為第五次中率之假數此所得之中率較之末率去九為近故以第五次所得之中率復為末率仍以第五次之首率為首率相乘開方得八九七六八七一三為第六次之中率即以第六次首率末率兩假數相加折半得○九五三一二五○○○○為第六次中率之假數由此遞推去九漸近而即以相近之兩率比例相求得第七次之中率為九一三九八一七○其假數為○九六○九三七五○○○第八次之中率為九○一七九七七七其假數為○九五七○三一二五○○第九次之中率為九○一七三三三三其假數為○九五五○七八一二五○第十次之中率為八九九七○七九六其假數為○九五四一○一五六二五第十一次之中率為九○○七二○○八其假數為○九五四五八九八四三七第十二次之中率為九○○二一三八八其假數為○九五四三四五七○三一第十三次之中率為八九九九六○八八其假數為○九五四二二三六三二八第十四次之中率為九○○○八七三七其假數為○九五四二八四六六七九第十五次之中率為九○○○二四一二其假數為○九五四二五四一五○三第十六次之中率為八九九九九二五○其假數為○九五四二三八八九一五第十六次之中率為九○○○○八二一其假數為○九五四二四六五二○九第十八次之中率為九○○○○○四一其假數為○九五四二四二七○六二第十九次之中率為八九九九九六五○其假數為○九五四二四○七九八九第二十次之中率為八九九九九八四五其假數為○九五四二四一七五二六第二十一次之中率為八九九九九九四三其假數為○九五四二四二二二九四第二十二次之中率為八九九九九九九二其假數為○九五四二四二四六七八第二十三次之中率為九○○○○○一六其假數為○九五四二四二五八七○第二十四次之中率為九○○○○○○四其假數為○九五四二四二五二七四第二十五次之中率為八九九九九九九八其假數為○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率則恰得九○○○○○○○其假數為○九五四二四二五一二五即所求之假數也然所得中率雖爲九而七空位之後尚有竒零故所得之假數猶為稍大故開方之位數愈多則所得之假數愈密也明對數之目用遞次自乘求假數法之一
凡連比例率之自小而大者以第一率之眞數遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次加倍即得加倍各率之假數而以各率之假數按率除之即得第一率之假數
如以二為連比例第一率其假數為○三○一○二九九九五七以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數以第一率之假數○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三為第二率之假數而以第二率之假數用二除之即得第一率之假數又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數以第二率之假數○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六為第四率之假數而以第四率之假數用四除之即得第一率之假數也明對數之目用遞次自乘求假數法之二
凡連比例率自小而大者其假數之首位旣因眞數之位數而遞加故求假數者以所求之眞數為連比例第一率遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率假數之首位遞次加倍即得加倍各率之假數而眞數自乘又進一位者則假數加倍後又加一數而以各率之假數按次除之即得所求第一率之假數
如求二之假數則以二為連比例第一率是為單位故傍紀○即第二率之假數首位為○也又以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數仍為單位故傍亦紀○卽第二率之假數首位亦為○也又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數是為進前一位故傍紀一即第四率之假數首位為一也又以第四率之眞數十六自乘得二百五十六為第八率之眞數以第四率之假數一倍之得二是為進前二位故傍紀二即第八率之假數首位為二也又以第八率之眞數二百五十六自乘得六萬五千五百三十六為第十六率之眞數以第八率之假數二倍之得四是為進前四位故傍紀四即第十六率之假數首位為四也又以第十六率之眞數六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六為第三十二率之眞數以第十六率之假數四倍之得八又因第十六率眞數自乘所得首位乃逢十又進一位之數故將假數加倍所得之八又加一得九是為進前九位故傍紀九即第三十二率之假數首位為九也由此遞乘至第一萬六千三百八十四率之眞數則自單位以前共得四千九百三十二位故傍紀四九三二為第一萬六千三百八十四率之假數以一萬六千三百八十四除之得○三○一○即為第一率二之假數葢以一萬除四千為實不足法一倍則其首位必為○也然其位數尚少故僅得五位若再遞乘至第一千三百七十四億四千六百九十五萬三千四百七十二率之眞數則自單位以前共得四百一十三億七千五百六十五萬五千三百零七位即其假數為四一三七五六五五三○七以率數除之得○三○一○二九九九五六六即為第一率二之假數也此法葢因眞數進一位則假數首位加一數今遞乘所得之眞數既得若干位則其假數首位必加若干數乃以首位為單位遞進向前者也而連比例各率之假數以率數除之即得第一率之假數故以率數除之所得第一率之假數為首位以後
凡連比例率之自大而小者以第一率之眞數遞次開方即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次折半即得加倍各率之假數而以各率之假數按率乘之即得第一率之假數
如以二百五十六為連比例第一率其假數為二四○八二三九九六五三以第一率之眞數二百五十六開方得十六為第二率之眞數以第一率之假數二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六為第二率之假數而以第二率之假數用二乘之即得第一率之假數又以第二率之眞數十六開方得四為第四率之眞數以第二率之假數一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三為第四率之假數而以第四率之假數用四乘之即得第一率之假數明對數之目用遞次開方求假數法之二
凡遞次開方率皆用二倍葢眞數開方假數折半而折半即二歸故遞次折半之假數以遞次加倍之率數乘之即得第一率之假數
如原數為第一率加倍得二為第一次開方之率數葢折半即二歸以二歸者復用二乘必仍得原數也又加倍得四為第二次開方之率數葢折半二次即四歸以四歸者復用四乘必亦得原數也遞次加倍則第三次之率為八第四次之率為十六第五次之率為三十二第六次之率為六十四第七次之率為一百二十八第八次之率為二百五十六第九次之率為五百一十二第十次之率為一千零二十四第二十次之率為一百零四萬八千五百七十六第三十次之率為十億七千三百七十四萬一千八百二十四第四十次之率為一兆零九百九十五億一千一百六十二萬七千七百七十六第五十次之率為一千一百二十五兆八千九百九十九億零六百八十四萬二千六百二十四凡有眞數求假數皆以所求之數為第一率眞數開方幾次則假數必折半幾次今雖無第一率之假數而苟得其折半第幾次之假數則加倍幾次必得第一率之假數故以加倍第幾次之率數與折半第幾次之假數相乘即得第一率之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之三
凡眞數不可與假數為比例者因眞數開方假數折半其相比之分數不同若開方至於數十次則開方之數即與折半之數相同故假數即可用眞數比例而得是以凡求假數者皆以其眞數開方至幾十次與此所得之假數相比即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得所求之假數
如眞數為一十假數為一○以眞數一十開方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次開方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次開方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次開方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次開方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次開方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次開方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此遞次開方至第五十四次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而與第五十三次開方所得折半之數同是故眞數即可與假數為比例矣乃以一十之假數一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此遞次折半亦至第五十四次則得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即為第五十四次開方之假數於是以眞數之零數一二七八一九一四九三二○○三二三五為一率假數之零數五五五一一一五一二三一二五七八二七○為二率眞數之零數一為三率一率為十七位則三率亦加十六空位以足其分得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即為一○○○○○○○○○○○○○
真數為一則假數為○今真數之零數
即比一多之較假數之零數即比○多
之較故以真數之較與假數之較為比
例也凡求假數者皆以真數開方至幾
十次首位得一又得十五空位則以其後
之零數與此所得之假數為比例即得
其開方第幾十次之假數按前率數乘
凡真數首位為一者則開方首位必得一若首位非一者則以真數遞乘幾次使首位得一即以遞乘所得之真數遞次開方至得十五空位乃以其後之零數與前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數相比例即得開方第幾次之假數按前率數乘之即得遞乘所得真數之假數再看遞乘所得真數為連比例第幾率則以第幾率之數除之即得所求之假數
如求二之假數則以二為連比例第一率遞次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此數命為第一率其首位之一千命為單位開方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次開方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次開方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次開方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次開方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次開方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次開方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此遞次開方至第十七次則得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次則得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次則得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率三率有十七位則一率亦加十六空位以足其分其假數十七空位後之零數四三四二九四四八一九○三二五一八○四為二率今所得眞數之零數一六八五一六○五七○五三九四九七七為三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即為開方第四十七次之假數前亦仍為十七空位以加倍四十七次之率數一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為第一率一○二四之假數葢開方第四十七次之假數為十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位然一○二四首位之一開方雖命為單位而其實則為千位千之假數首位應為三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是為一千零二十四之假數又因一千零二十四為二之連比例第十率故以十歸之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為所求之連比例第一率二之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之五
凡求假數眞數開方之次數愈多則所得之假數愈密然用假數不過至十二位觀前遞次開方表内至九空位以後其開方之數與折半之數已同七位其零數所差甚微故眞數開方至二十七次即可以立率
如求二之假數按前法遞次乘之至第十率得一○二四開方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣於是察前眞數一○遞次開方表内第三十四次數得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦為九空位即以其眞數之零數一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七為一率其假數十一空位後之零數五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五為二率眞數之零數一為三率一率為二十一位則三率亦加二十空位以足其分得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即為一○○○○○○○○○一之假數前亦仍為十一空位乃即用此數為比例以眞數之零數一為一率三率為二十二位則一率亦加二十一空位以足其分其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五為二率今以一○二四開方二十七次所得之零數一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二為三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即為一○二四開方第二十七次之假數前亦仍為十一空位以加倍二十七次之率數一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即為第一率一○二四之假數與前法所得之數同前法得三九八収之亦為四○○以後竒零㣲有不合止截用十二位再按前法首位加三而以率數十歸之即得○三○一○二九九九五六六四○為二之假數也此法較之前法開方省二十次而所得之數同故求假數者用此法亦便也明對數之目用遞次開方求假數法之六
凡開方之數與折半之數雖不同然而不同之較遞次漸少故又有相較之法至開方第十次以後則以較數相減即得開方之數
如求六之假數以六為連比例第一率遞次乘之得連比例第九率為一千零七萬七千六百九十六乃以此數命為第一率其首位之一千萬命為單位開方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次開方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次開方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次開方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次開方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七與第四次開方所得折半之數漸近乃以第四次開方所得數折半首位之一不折半葢首位之一諸次開方皆同其數不變也
得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七與第五次開方所得數相減餘二九二五五五九八六二九二八九三七五四○為第五次之較設使有第五次之較則將第四次開方所得數折半内減第五次之較即第五次開方所得數然第五次之較乃與第五次開方數相減而得故第五次猶必用開方也第六次開方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次開方所得數折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三與第六次開方所得數相減餘七三一三○一五二○八二二四六五一六九為第六次之第一較又將第五次之較四歸之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五與第六次之第一較相減餘八八四四四九○九七六九二一五為第六次之第二較設使有第二較則將第五次之較四歸之内減第六次之第二較即為第六次之第一較將第五次開方所得數折半内減第六次之第一較即第六次開方所得數然第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第六次開方數相減而得故第六次猶必用開方也第七次開方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次開方所得數折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七與第七次開方所得數相減餘一八二八一四三二五七六一七○三五九二為第七次之第一較又將第六次之第一較四歸之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二與第七次之第一較相減餘一一○五四四四三九一二七○○為第七次之第二較又將第六次之第二較八歸之得一一○五五六一三七二一一五二與第七次之第二較相減餘一一六九八○八四五二為第七次之第三較設使有第三較則將第六次之第二較八歸之内減第七次之第三較即為第七次之第二較將第六次之第一較四歸之内減第七次之第二較即為第七次之第一較將第六次開方所得數折半内減第七次之第一較即第七次開方所得數然第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第七次開方數相減而得故第七次猶必用開方也第八次開方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次開方所得數折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二與第八次開方所得數相減餘四五七○二一九九七○八○四三二○八為第八次之第一較又將第七次之第一較四歸之得四五七○三五八一四四○四二五八九八與第八次之第一較相減餘一三八一七三二三八二六九○為第八次之第二較又將第七次之第二較八歸之得一三八一八○五四八九○八七與第八次之第二較相減餘七三一○六三九七為第八次之第三較又將第七次之第三較十六歸之得七三一一三○二八與第八次之第三較相減餘六六三一為第八次之第四較設使有第四較則將第七次之第三較十六歸之内減第八次之第四較即為第八次之第三較將第七次之第二較八歸之内減第八次之第三較即為第八次之第二較將第七次之第一較四歸之内減第八次之第二較即為第八次之第一較將第七次之開方數折半内減第八次之第一較即第八次開方數然第四較乃與第三較相減而得第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第八次開方數相減而得故第八次猶必用開方也至第九次開方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次開方數折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七與第九次開方數相減餘一一四二五三七七二一五○三一九○九為第九次之第一較又將第八次之第一較四歸之得一一四二五五四九九二七○一○八○二與第九次之第一較相減餘一七二七一一九七八八九三為第九次之第二較又將第八次之第二較八歸之得一七二七一六五四七八三六與第九次之第二較相減餘四五六八九四三為第九次之第三較又將第八次之第三較十六歸之得四五六九一五○與第九次之第三較相減餘二○七為第九次之第四較又將第八次之第四較三十二除之亦得二○七與第九次之第四較同故自第十次以後則不用開方若間方止用二十二位則第八次之第三較已同至第九次即不用開方亦不用第四較
即以第九次之第四較三十二除之得六為第十次之第四較將第九次之第三較十六除之得二八五五五八内減第十次之第四較餘二八五五五二即為第十次之第三較將第九次之第二較八歸之得二一五八八九九七三六一内減第十次之第三較餘二一五八八七一一八○九即為第十次之第二較將第九次之第一較四歸之得二八五六三四四三○三七五七九七七内減第十次之第二較餘二八五六三二二七一五○四六一六八即為第十次之第一較將第九次開方所得數折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内減第十次之第一較又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即為第十次開方所得數也至第十一次則將第十次之第四較三十二除之不足一倍故無第四較而以第十次之第三較十六除之得一七八四七即為第十一次之第三較將第十次之第三較八歸之得二六九八五八八九七六内減第十一次之第三較餘二六九八五七一一二九即為第十一次之第二較將第十次之第一較四歸之得七一四○八○六七八七六一五四二内減第十一次之第二較餘七一四○七七九八○一九○四一三即為第十一次之第一較將第十次開方所得數折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内減第十一次之第一較又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即為第十一次開方所得數也由此遞推至第二十三次開方數得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率三率截用十四位則一率亦加十三空位以足其分
其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四為二率截用十四位以從簡易今開方二十三次所得之零數九二二六二八八九一○四三○七為三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即為開方第二十三次之假數前則為十空位二率有十四位而其前為十一空位今四率得十五位故前為十空位以加倍二十三次之率數八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五葢開方第二十三次之假數為十五位并前十空位共二十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共為二十五位也此截用十二位
即為第一率一○○七七六九六之假數然首位之一開方雖命為單位其實則為千萬千萬之假數首位應為七故首位為七得七○○三三六一二五三四五是為一千零七萬七千六百九十六之假數又因其為連比例第九率故用九歸之得○七七八一五一二五○三八即為連比例第一率六之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之七
凡求假數先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九數而他數皆由此生然此九十九數内有以兩數相乘除而得者則以兩假數相加減即為所求眞數之假數至五空位以後則又可以比例而得不必逐一而求也
如一至九之九數惟二三七之三數用前遞次開方求假數法求之至於四則係二與二相乘所得之數故以二之假數○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即為四之假數至於五係以二除十所得之數故以二之假數與十之假數相減餘○六九八九七○○○四三四即為五之假數至於六係二與三相乘所得之數故以二之假數與三之假數相加得○七七八一五一二五○三八即為六之假數或先得六之假數内減二之假數即得三之假數至於八係二與四相乘所得之數故以二之假數與四之假數相加得○九○三○八九九八六九九即為八之假數至於九係三與三相乘所得之數故以三之假數○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即為九之假數或先得九之假數折半即得三十假數如一一至一九之九數惟一一一三一七一九之四數用前遞次開方求假數法求之至於一二係二與六相乘所得之數故以二之假數與六之假數相加得一○七九一八一二四六○四為一十二之假數内減首位之一餘○○七九一八一二四六○四即為一二之假數葢自一一至九空位零九其首位之一皆為單位首位以下為小餘試将一十二以十除之仍得一二則其首位之一即為單位二為小餘故於十二之假數内減首位之一即減去十之假數而所餘為一二之假數也至於一四乃二與七相乘所得之數故以二之假數與七之假數相加得一一四六一二八○三五六七為一十四之假數内減首位之一餘○一四六一二八○三五六七即為一四之假數至於一五乃三與五相乘所得之數故以三之假數與五之假數相加得一一七六○九一二五九○六為一十五之假數内減首位之一餘○一七六○九一二五九○六即為一五之假數餘皆倣此詳見對數闡㣲至於一○○○○○一以後之假數則即可用前遞次開方表内相近數比例而得之如求一○○○○○一之假數則以前表内開方第二十一次眞數五空位後之零數一○九七九五八七三五為一率截用十位以從簡便其假數七空位後之零數四七六八三七一五八二為二率亦截用十位今眞數之零數一為一率添九空位以足其分得四率四三四二九四三有餘前亦仍為七空位因假數止用十二位故四率止求七位并七空位為十四位已為足用截前十二位得○○○○○○○四三四二九即為一○○○○○一之假數二因之得○○○○○○○八六八五九第十三位滿五則進一數餘倣此即為一○○○○○二之假數三因之得○○○○○○一三○二八八即為一○○○○○三之假數又以前表内開方第十九次眞數五空位後之零數四三九一八四二一七三為一率其假數六空位後之零數一九○七三四八六三二為二率今眞數之零數四為三率添九空位以足其分得四率一七三七一七四○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即為一○○○○○四之假數不以前所得四率四因之者因前所得一○○○○○一之假數四因之則㣲小且表内第十九次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準將所得一○○○○○四之假數四歸五因將一○○○○○四之假數四歸五因者因欲得一○○○○○一之假數而以五因之也得○○○○○○二一七一四七即為一○○○○○五之假數將所得一○○○○○四之假數四歸六因得○○○○○○二六○五七六即為一○○○○○六之假數又以前表内開方第十八次眞數五空位後之零數八七八三七○三六三四為一率其假數六空位後之零數三八一四六九七二六五為二率今眞數之零數七為三率得四率三○四○○四八○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即為一○○○○○七之假數不以前所得四率四歸七因者因前所得一○○○○○四之假數四歸七因之則㣲小且表内第十八次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準將所得一○○○○○七之假數七歸八因得一○○○○○三四七四三四即為一○○○○○八之假數又將所得一○○○○○七之假數七歸九因得○○○○○○三九○八六三即為一○○○○○九之假數至於一○○○○○○一以後之假數則并不用比例葢五空位零一之假數為四三四二九而前所得十五空位零一之假數亦為四三四二九其假數皆相同但遞退一位故以五空位零一至九之假數從未截去一位末位滿五以上則進一數前添一空位即得六空位零一至九之假數以六空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假數以七空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假數以八空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假數明對數之目用前所得九十九數求他假數法之一
凡求假數既得前九十九數而他數有由此乘除而得者則以假數相加減即得所求之假數其不由乘除而得者謂之數根因無他數可以度盡即算法原本所謂連比例之至小數則其假數亦不可以加減而得然有雖為數根而前九十九數中有為其根所生者則逆求之即得原根之假數
如前九十九數首位既皆為單位則以十乘之即為十以百乘之即為百以千乘之即為千以萬乘之即為萬故以二之假數與一十之假數相加即為二十之假數與一百之假數相加即為二百之假數與一千之假數相加即為二千之假數與一萬之假數相加即為二萬之假數又如十一之假數與一十之假數相加即為一百一十之假數以一○五之假數與一百之假數相加即為一百零五之假數與一千之假數相加即為一千零五十之假數眞數同則假數亦同但眞數進一位則假數首位加一數耳又如三與七相乘得二十一則以三之假數與七之假數相加即為二十一之假數二與十一相乘得二十二則以二之假數與十一之假數相加即為二十二之假數至於二十三二十九之類則不以乘除而得是為數根若夫五十三雖亦為數根然以五十三與二相乘則得一百零六前既得一○六之假數則與一百之假數相加即為一百零六之假數内減二之假數即為五十三之假數由此類推數自繁衍而其不可以乘除而得者則又以累乘累除之法而得之詳見後要未有出於前九十九數之外者也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之二
如二萬零七百零三為二萬與一○三及一○○五累乘所得之數則以二萬之假數四三○一○二九九九五六六與一○三之假數○○一二八三七二二四七一及一○○五之假數○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即為二萬零七百零三之假數若先有假數四三一六○三三二八二一三求眞數則視假數内足減二萬之假數即以二萬之假數書於原假數下相減餘○○一五○○三二八六四七足減一○三之假數即以一○三之假數書於減餘之下相減餘○○○二一六六○六一七六與一○○五之假數恰合是知其假數為二萬與一○三及一○○五之三假數相加所得之數則其眞數即知為三眞數累乘所得之數矣乃以二萬與一○三相乘得二萬零六百再以一○○五乘之得二萬零七百零三即為所求之眞數也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之三
凡求假數而不知其眞數為何數累乘而得者則以所知前位之整數累除之除得累乘之眞數則以其假數累加之即得所求之假數
如求二十三之假數而不知其為何數累乘而得但知二十之假數為一三○一○二九九九五六六則以二十三為實以二十為法除之得一一又以兩層所減數按位相加得二二即二十與一一相乘之數以之為法除原實二十三得一○四又以兩層所減數按位相加得二二八八即二二與一○四相乘之數以之爲法除原實二十三得一○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九四四即二二八八與一○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四與一○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○四又以兩層所減數按位相加得二二九九九九一八八四法止用十位故第十一位滿五以上者進一數用若不滿五則去之即二二九九八九九八八八與一○○○○四相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○三又以兩層所减數相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四與一○○○○○三相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四與一○○○○○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四與一○○○○○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○八又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○與一○○○○○○○○八相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三係二十與一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得一三六一七二七八三六○六即為二十三之假數也若先有假數一三六一七二七八三六○六求眞數則視假數内足減二十之假數即以二十之假數書於原假數之下相減餘○○六○六九七八四○四○足減一一之假數即以一一之假數書於減餘之下相減餘○○一九三○五一五五二四足減一○四之假數即以一○四之假數書於減餘之下相減餘○○○二二七一八一五九四足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○一○五七五四一八足減一○○○二之假數即以一○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一八九○三九七足減一○○○○四之假數即以一○○○○四之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○一五三二五四足減一○○○○○三之假數即以一○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○二二九六六足減一○○○○○○五之假數即以一○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一二五一足減一○○○○○○○二之假數即以一○○○○○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○三八二足減一○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此十一假數累加所得之數而眞數即為此十一眞數累乘所得之數乃以此十一眞數累乘之得二十三即為所求之眞數也
又如求五千六百八十九之假數而不知其為何數累乘而得但知五千六百之假數為三七四八一八八○二七○○則以五千六百八十九為實以五千六百為法除之得一○一又以兩層所減數按位相加得五六五六即五千六百與一○一相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○五又以兩層所減數按位相加得五六八四二八即五六五六與一○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○八又以兩層所減數按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八與一○○○八相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四與一○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九與一○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六與一○○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七與一○○○○○○○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九係五千六百與一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得三七五五○三五九三三七一即為五千六百八十九之假數也若先有假數三七五五○三五九三三七一求眞數則視假數内足減五千六百之假數即以五千六百之假數書於原假數之下相減餘○○○六八四七九○六七一足減一○一之假數即以一○一之假數書於減餘之下相減餘○○○二五二六五三二九三足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○三六○四七一一七足減一○○○八之假數即以一○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一三一七四四八足減一○○○○三之假數即以一○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○一四五八四足減一○○○○○○三之假數即以一○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一五五五足減一○○○○○○○三之假數即以一○○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○二五二足減一○○○○○○○○五之假數即以一○○○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此九假數累加所得之數而眞數即為此九眞數累乘所得之數乃以此九眞數累乘之得五千六百八十九即為所求之眞數也求八線對數
凡求八線之假數定半徑為一百億位數既多為用愈密且眞數十一位則假數首位為一○又取其便於用也先以正弦餘弦之眞數求得假數復以正弦餘弦之假數加減之即得切線割線之假數
如一分之正弦為二九○八八八二求其假數得六四六三七二六一一○九又如六十度之正弦為八六六○二五四○三八求其假數得九九三七五三○六三一七如求六十度切線之假數則以六十度正弦之假數九九三七五三○六三一七為二率半徑之假數一○○○○○○○○○○○為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二三率相加内減一率餘一○二三八五六○六二七四即六十度正切線之假數如求六十度割線之假數則以半徑之假數一○○○○○○○○○○○為二率又為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二率倍之内減一率餘一○三○一○二九九九五七即六十度正割線之假數也對數用法
設如一百二十三與四百五十六相乘問得幾何法以對數表之一二三之假數二○八九九○五一一一四與四五六之假數二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假數四七四八八六九九五四一所對之眞數得五六○八八即五萬六千零八十八為相乘所得之數也
設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘問得幾何
法以對數表之三四五六之假數三五三八五七三七三三八與二六七九之假數三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因對數表假數首位止於四眞數止於五位故將相加所得假數首位之六暫當四查假數四九六六五四六四四七四相近畧少者為四九六六五四五三二一六其相對之眞數得九二五八六即為九二五八六○○因假數首位多二數則眞數必多二位又以九二五八六○○之假數與九二五八七○○之假數相減餘四六九○七為一率以九二五八六○○與九二五八七○○相減餘一○○為二率今相加所得之假數與九二五八六○○之假數相減餘一一二五八為三率得四率二四即眞數九二五八六之後二位之數葢假數多四六九○七則眞數多一百今假數多一一二五八則眞數應多二十四為比例四率也乃以所得二四與九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五萬八千六百二十四為相乘所得之數也大凡眞數二四位以後其假數之較相差無多故眞數即可與假數為比例若用前累乘累除之法固為甚密然較之比例則難而得數則同此對數表所以止於五位也
法以對數表之三七四四之假數三五七三三三五八四○一内減一六之假數一二○四一一九九八二七餘二三六九二一五八五七四乃查假數二三六九二一五八五七四所對之眞數得三三四即二百三十四為歸除所得之數也
設有米三十二石令一千零二十四人分之問毎一人應得幾何
法以對數表之三二之假數首位加二為三五○五一四九九七八三因法之假數大於實之假數故以實之假數加二即如以實之眞數加兩空位也内減一○二四之假數三○一○二九九九五六六餘○四九四八五○○二一七因假數首位為○卽知眞數應得單位其得數首位為升仍以假數首位加三查三四九四八五○○二一七所對之眞數得三一七五因眞數得四位故將假數首位作三查表若眞數求五位則將假數首位作四查表或五位後仍有餘數則用比例求之即三升一合二勺五撮為毎人所應得之數也
設如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙邊十二丈求丙乙邊丙甲邊各幾何
法以甲角五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與甲乙邊十二丈作一二○○○之假數四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四一五五三六七七一五八為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一四三○一即一十四丈三尺零一分為丙乙邊也求丙甲邊則以乙角九十度之正弦假數一○○○○○○○○○○○即半徑之數與甲乙邊十二丈之假數四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四二七一一一三七四九三為丙甲邊之假數查假數相近所對之眞數得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分為丙甲邊也
設如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙邊十六丈甲丙邊十二丈問丙角乙角及乙丙邊各若干
法以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈相加得二十八丈為邊總甲乙邊與甲丙邊相減餘四丈為邊較甲角五十度與一百八十度相減餘一百三十度折半為六十五度為半外角乃以邊較四丈作四○○○之假數三六○二○五九九九一三與半外角六十五度之正切假數一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内減邊總二十八丈作二八○○○之假數四四四七一五八○三一三餘九四八六二二九四一二二爲半較角正切之假數查正切假數相近所對之眞數得十七度二分為半較角與半外角相加得八十二度二分為對甲乙大邊之丙角與半外角六十五度相減餘四十七度五十八分為對甲丙小邊之乙角也又求丙乙邊則以五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與十六丈作一六○○○之假數四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内減丙角八十二度二分之正弦假數九九九五七八八二○九八餘四○九二五八五七三九四為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分為丙乙邊也凡眞數用加減然後比例者須以眞數加減得數再查假數依法算之餘皆倣此
設如六十四自乘問得幾何
法以對數表之六四之假數一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假數所對之眞數得四○九六即四千零九十六為自乘所得之數也葢自乘兩數相同則其兩假數亦相同故二因之即如二假數相加也
法以對數表之三六一之假數二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假數所對之眞數得一九即一十九尺為開平方所得毎邊之數也葢正方面積之假數乃以毎邊之假數加倍所得之數故折半即得毎邊之假數對其眞數即得毎邊之數也
設如正方面積一百五十二萬二千七百五十六尺開平方問毎一邊數幾何
法先以方積前五位一五二二七查得假數為四一八二六一四三四七七因方積係七位今止查得五位仍餘二位故將假數首位之四加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數又以一五二二七○○與一五二二八○○相減餘一○○為一率以一五二二七○○之假數與一五二二八○○之假數相減餘二八五二○四為二率方積之後二位數五六為三率得四率一五九七○四葢眞數多一百則假數多二八五二○四今眞數多五十六則假數應多一五九七一四為比例四率也乃以所得四率與一五二二七○○之假數相加得六一八二六三○三一九一即為一五二二七五六之假數折半得三○九一三一五一五九六仍查假數所對之眞數得一二三四即一千二百三十四尺為開平方所得毎邊之數也
又㨗法以一五二二七之假數首位加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數折半得三○九一三○七一七三八查假數相近畧大者葢一五二二七○○之假數畧少於一五二二七五六之假數則其折半之假數亦必畧少於一二三四之假數亦取畧大者用之對其眞數得一二三四即為毎邊之數也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方積前五位查表後有幾位則假數首位加幾數折半查假數相近者即可得之若方根過五位以上者須用比例則以方積查假數亦須用比例方得密合
設如正方面積一百五十二兆四千一百五十七億六千五百二十七萬九千三百八十四尺問毎一邊數幾何
法以方積前五位一五二四一查得假數為四一八三○一三四六三一因方積係十五位今止查得五位仍餘十位故將假數首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即為一五二四一○○○○○○○○○○之假數又以一五二四一○○○○○○○○○○與一五二四二○○○○○○○○○○相減截用六空位得一○○○○○○為一率以一五二四一之假數與一五二四二之假數相減餘二八四九四二為二率方積後十位數截用前六位得五七六五二七為三率因表中假數止於十一位則眞數亦止須用十一位雖眞數後再多幾位其假數前十一位亦相同故查表用五位比例用六位共為十一位得四率一六四二七七與一五二四一○○○○○○○○○○之假數相加得一四一八三○二九八九○八即為一五二四一五七六五二七○○○○之假數亦即同於一五二四一五七六五二七九三八四之假數折半得七○九一五一四九四五四因假數首位為七即知眞數應得八位今對數表假數首位止於四眞數止於五位故將折半所得假數首位之七減去三得四○九一五一四九四五四查假數相近畧少者為四○九一四九一○九四三對其眞數得一二三四五即為一二三四五○○○因假數首位多三數則眞數進三位又以一二三四五○○○之假數與一二三四六○○○之假數相減餘三五一七八三為一率以一二三四五○○○與一二三四六○○○相減餘一○○○為二率今折半所餘之假數與一二三四五○○○之假數相減餘二三八五一一為三率得四率六七八與一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四萬五千六百七十八尺為開平方所得毎一邊之數也
法以對數表之二七之假數一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四為勾自乘之假數仍查假數所對之眞數得七二九為勾自乘之眞數又以三六之假數一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六為股自乘之假數仍查假數所對之眞數得一二九六為股自乘之眞數兩自乘之眞數相加不以兩自乘之假數相加者葢假數相加則是相乘故必對其眞數然後相加也得二○二五為弦自乘之眞數查其假數得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假數所對之眞數得四五即四十五尺為開方所得之弦數也
法以對數表之三六之假數一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假數所對之眞數得四六六五六即四萬六千六百五十六為自乘再乘所得之數也葢自乘再乘係以方根乘二次則假數亦加二次故以方根之假數三因之即如以方根之假數加二次也其或位數多者依乘法之例推之
法以對數表之一三八二四之假數四一四○六三三七二五一用三歸之得一三八○二一一二四一七仍查假數所對之眞數得二四即二十四尺為開立方所得每邊之數也葢正方體積之假數乃以毎邊之假數三因所得之數故三歸之即得每邊之假數對其眞數即得毎邊之數也其或位數多者依平方之例推之
法以對數表之一六之假數一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假數所對之眞數得六五五三六即六萬五千五百三十六尺為三乘方之積數也葢三乘方係以方根乘三次則其假數亦加三次故以方根之假數四因之即如以方根之假數加三次也其或位數多者亦依乘法之例推之
設如三乘方積二萬零七百三十六尺問方根幾何法以對數表之二○七三六之假數四三一六七二四九八四二用四歸之得一○七九一八一二四六○仍查假數所對之眞數得一二即一十二尺為開三乘方所得方根之數也葢三乘方積之假數乃以方根之假數四因所得之數故四歸之即得方根之假數對其眞數即得方根之數也其或位數多者亦依平方之例推之大凡開諸乘方之理亦皆由於連比例葢方根為連比例第一率平方積為第二率立方積為第三率三乘方積為第四率四乘方積為第五率五乘方積為第六率六乘方積為第七率七乘方積為第八率八乘方積
定位表同以第一率方根之假數各以率數
乘之即得各乘方積之假數而以各乘
方積之假數各以率數除之亦即得第
一率方根之假數故由三乘方而進之
四乘方求積則用五因求根則用五歸
五乘方求積則用六因求根則用六歸
推之至於九乘方求積則用十因求根
假數以方積之假數用一百零一除之
即得方根之假數乘除之數愈繁愈見
對數之易此對數之大用也