御製數理精藴上編卷四
幾何原本十一
幾何原本十二
第一
作三界度等之三角形及兩界度等
之三角形法如欲作三界度等之三
角形則作一甲乙線取甲乙之度為
準以甲為心自甲至丙作弧一段又
以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧
相交處至甲乙作二線即成三界度
角形之甲乙甲丙丙乙三界原係一
圜之輻線其度必等度既等而線未
有不等者也若欲作兩度等之三角
形仍作一甲乙線比甲乙線之度或
大或小取一度以甲乙二處為圜心
皆至丙作弧兩段仍於兩弧相交處
作二線即成兩界度等之甲丙乙三
角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙
亦必等也
第二
平分直線角為兩分法如甲乙丙角
欲平分為兩分乃以一角為心任意
作弧線一段則乙甲乙丙二線截於
丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩
端復作一丁戊線照丁戊線度依前
形則己角與乙角正相對乃自乙角
至己角作一乙己直線即分甲乙丙
角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊
己兩三角形之乙丁乙戊二界是一
圜之輻線其度等而丁己戊己二界
是三界度等三角形之兩傍界其度
亦等而乙己線既為兩形之共界
其等無疑此兩三角形之各界度既
卷第七節
第三
線欲平分為兩叚乃如第一節法於甲
乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角
形又如第二節法平分甲丙乙角為二
分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲
甲丙乙原為三界度等之三角形今作
丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角
形之相當各角各界必俱等而甲丁丁
乙為兩形相當之底界其度安得不等
乎
第四
横線上立縱線法如有甲乙一横線欲
於丙處立一縱線則於丙之兩傍任意
上作弧一叚兩弧相交於丁此丁處正
與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙
線上正立之縱線也試自戊己至丁作
二線成一戊丁己三角形此形之丁戊
丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等
而丁丙線既將戊己底線為兩平分則
丁丙線必為甲乙線之垂線矣見二卷第十節
有一横線自此線上不拘何處立縱線
法如有甲乙一横線自此線上丙處至
甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧
線一叚截甲乙線於戊己乃自戊己至
丙作二線成一戊丙己三角形又照第
二節分角法平分丙角為二分自丙至
甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為
自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三
則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等
而丙丁戊丙丁己兩並角亦必等此兩
並角既等則成兩直角既成兩直角則
十節
第六
在横線一邊立縱線法如有甲乙横線
拘何處立為圜心如以丙為圜心自丙
至乙為圜界旋轉作一圜則於甲乙線
丁處相交即自丁處過丙心至相對界
作一直線交圜界於戊乃自戊至乙作
一戊乙直線即是乙邊所立之縱線也
葢丁乙戊角因在半圜必為直角見四卷第
十四節既為直角則戊乙線必為甲乙線
之垂線既為垂線故為横線一邊所立
自戊至甲乙線任意作一戊丁斜線遂
將戊丁斜線平分於丙於是以丙為心
自戊旋轉作一圜則截甲乙線於己自
戊至己作一直線即是欲作之垂線也
葢戊己丁角既在半圜必為直角既為
直角則戊己必為垂線矣
第七
一圜界欲分為三百六十度則取圜之
輻線度縁圜界比之即分圜界為六叚
將六叚各平分為二則為十二叚十二
叚各平分為三則為三十六叚三十六
叚各平分為十即成三百六十度矣
第八
一直線上作角度法如甲乙線上欲作
三十度之角則用有度之圜依圜之丙
十度之分自戊截弧於己乃自己至甲
作一直線即成己甲戊三十度之角矣
第九
各種多界形倣己有之形或大或小叧
作一同式形法如有甲乙丙一三角形
欲倣此式叧作一形則考甲乙界度有
而取其二分以丁為圜心作弧一叚又
以乙丙界度亦作三分而取其二分以
戊為圜心作弧一段兩弧相交於己乃
自己至丁戊作二線即成丁戊己一小
三角形與原有甲乙丙大三角形為同
式也葢丁戊己三角形之三界雖與甲
乙丙三角形之三界不等而其相當各
角之度俱等因其相當各角之度俱等
也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲倣
此式叧作一形則在此六界形作分角
線分為四三角形照前法倣作四三角
形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其
式與原有之甲乙丙丁戊己大六界形
同也
第十
行一線法如甲乙線上有一丙㸃欲自
丙㸃作與甲乙線平行一線則以丙為
圜心任意取甲乙線之近甲邊一處作
弧一叚如丁又取甲乙線之近乙邊一
處為心如戊乃照丙丁原度於丙㸃相
對處作弧一叚如己復照丁戊度以丙
為心於丙㸃相對處作弧一叚則二弧
相交於己乃自丙至己交處作一丙己
丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁
己戊相對之兩縱線丙己丁戊相對之
兩横線因依各度所取必两两相等既
两两相等則必為平行線之四邊形然
則丙己甲乙為平行線四邊形之二線
豈有不平行之理哉
直線欲作一正方形則以甲為心取甲
乙度自乙至丙作乙弧線又以乙為心
依甲乙度自甲至丁作一弧線又於甲
乙線之兩端照本卷第六節立甲丙乙
丁二縱線則乙丙弧截於丙甲丁弧截
於丁乃自丙至丁作一直線即成甲乙
丁丙一正方形也何則丙甲甲乙乙丁
三線俱同為一圜之輻線其度必等而
矣且甲乙二角又為垂線所立之角必
成直角則丙丁二角亦必為直角而四
角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形為
甲乙線上所立之正方形也
第十二
平分一弧為兩叚法如有甲乙弧欲平
分為兩叚則自甲至乙作一甲乙弦線
兩分法作一戊丁縱線復自戊引至弧
界截甲乙弧於丙即平分甲乙弧為甲
丙丙乙兩叚矣葢丙丁縱線既平分甲
乙弦線則亦必平分甲乙弧之全圜既
平分甲乙弧之全圜則必平分甲乙弧
為兩叚可知矣見四卷第六節
第十三
有一叚弧欲繼此弧作一全圜法如有
二處至丙作甲丙丙乙二線照前節作
平分甲丙丙乙兩弦之丁己戊己二線
引長則相交於己乃以己為心繼甲乙
弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也
葢丁己戊己二線既平分甲丙丙乙二
弦則必平分甲丙丙乙二弧見四卷第六節既
平分甲丙丙乙二弧則其相交之處必
圜之圜心也
第十四
不拘何處有三㸃求縁此三㸃作一圜
法如甲乙丙三㸃不在一直線上欲縁
此三㸃作一圜則依前節作甲丙丙乙
二線又平分此二線正中作丁己戊己
二垂線引長至己處相交遂以己為心
以甲乙丙為界作一圜則甲乙丙三㸃
有圜不知中心求知中心之法如有一
甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之則
於此圜界隨便取甲乙丁三處從甲至
乙至丁作二弦線將此二線平分正中
為戊己二處自戊己作戊庚己庚兩垂
線則相交於庚此庚即是甲乙丙丁圜
之中心也此節之理亦與前同
有圜外一㸃將此㸃至圜界作切線法
如一圜之外有一甲㸃欲將此甲㸃與
圜界相切作一切線則以此甲㸃至圜
心作一甲乙直線又以乙為心以甲為
界作一甲丙圜界又自甲乙線所截圜
之丁處作一丁己垂線則此垂線即截
甲丙圜界於丙乃自丙至乙心作一丙
乙直線復自丙乙所截圜界戊處作一
輻線其乙甲乙丙亦同為一圜之輻線
則甲乙戊與丙乙丁兩三角形之各兩
邊線必等而兩三角形又同一乙角然
則兩三角形之每相當各角必俱等矣
見二卷第六節夫丁丙線原為甲乙輻線之垂
線則丁角必為直角而相當之戊角亦
必為直角矣戊角既為直角則甲戊線
丁皆為圜界之切線也見四卷第九節
第十七
有圜内弦線欲與此弦線平行作圜外
線欲與此乙丁弦線平行作切圜之切
線則從圜心戊至乙丁弦作戊己垂線
平分乙丁弦線於己引長截圜界於甲
為甲戊線又切甲處作庚辛線為甲戊
必為直角又己戊線既為乙丁線之垂
線其戊己乙角亦必為直角然則戊甲
庚角與戊己乙角既俱為直角其度必
等因其度等故乙丁庚辛兩線為兩平
行線也又戊甲線為圜之輻線而庚辛
既為甲戊之垂線則必為甲乙丙丁圜
之切線可知矣見四卷第九節
作函三角形之圜法如甲乙丙三角形
欲作函此三角形之一圜則平分甲丙
邊於丁平分丙乙邊於戊自丁戊作二
垂線引長至己相交即以己為心任以
甲丙乙三角形之一角為界作一甲丙
乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也
此節之理與本卷第十三節同
第十九
則以甲乙丙丁二徑線交於圜心皆作
直角復自甲丙乙丁四處作甲丙丙乙
乙丁丁甲四弦線即成甲丙乙丁等度
之四角形也何則甲乙丙丁二徑線在
圜心作直角相交則平分圜界為四分
矣既平分圜界為四分則甲丙丙乙乙
丁丁甲四弦線度必等而甲丙乙丁四
角見四卷第十四節既俱為直角必為正方形
可知矣苟欲作等度八角形則照前平
分圜界為四分將所分之每分又各平
分為二分即平分圜界為八分乃作八
圜内等度八角形也
第二十
圜内作等度六角形三角形十二角形
丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六弦線
即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形
也何則苟以乙為心以甲為界作一丙
甲庚弧線則乙丙乙甲二線俱為丙甲
庚圜之輻線而度必等夫乙丙丁戊己
庚六界形之諸界因俱照甲乙輻線度
所作故此形之六界俱相等也若欲作
所分六叚兩兩相合為三叚作乙丁丁
己己乙三弦線即成一乙丁己等度三
角形也若欲作十二角形亦照前法將
圜界分為六叚以所分六叚各平分為
二分作十二弦線即成一乙辛丙壬丁
癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也
第二十一
圜内作各種等度多界形總法苟甲圜
三角俱六十度四角形之四角俱九十
度五角形之五角俱一百零八度六角
形之六角俱一百二十度七角形之七
角俱一百二十八度三十四分一十七
秒八角形之八角俱一百三十五度九
角形之九角俱一百四十度十角形之
十角俱一百四十四度十一角形之十
二秒十二角形之十二角俱一百五十
度今甲圜内若欲作一等度九角形則
以九角形之每角一百四十度與一百
八十度相減餘四十度復以别有度之
為乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照
平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚
辛辛壬壬癸癸乙九弦線即成甲圜内
角形之三角共一百八十度内減去二
界角一百四十度餘心角四十度即每
界所對之角此九角形之每界即九心
角之弦線故以心角度分圜界度即得
九角形之分也凡圜内欲作等邊多界
形皆依此法作之
第二十二
等度三角形四角形五角形或多界形
則將圜界照欲作之幾界平分為幾段
乃自圜心至所分各界作幾輻線於輻
線之末各作切界線俱引長至合角即
成函圜之等度多界形也如第一圖自
甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬
三線即成六三角形其庚甲乙庚甲丙
兩三角形之庚乙庚丙二線為合尖切
角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角為
輻線切線所成之角其度又皆為直角
相等見四卷第五節則其餘一角亦必等而其
乙甲甲丁二界又同為一圜之輻線其
度必等則其他界亦必俱等可知再辛
丙辛丁二線壬丁壬乙二線俱為合尖
切圜之線其度相等而辛甲丙與壬甲
形必俱與前每相當之角等則此六三
角形俱相等矣六三角形俱相等則其
庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之
三界其度安得不等乎故庚辛壬三角
形為函圜等界形也其第二圖函圜四
角形第三圖函圜五角形或更欲作多
界形其理皆同
角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁
戊五角形欲作函此三形之圜則任用
此三形之甲乙乙丙二界平分於庚辛
二處乃自庚辛二處各作垂線至各形
中心相交為己即以己為心以各形之
角為界作圜即成函此三形之圜也何
也各形之界皆為圜之弦線而弦線上
丙二界上所作之庚己辛己二線既平
分二界而相交於已則己必為圜心故
以己為心作圜即成函各等界形之圜
也
第二十四
作函於等度多界形之圜法如甲乙丙
三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙
丁戊五角形欲在此三形内各作一圜
心以庚辛為界作圜即成多界形内所
函之圜也何也己庚己辛二線是平分
甲乙乙丙二線之垂線引長之必相交
於各形之中心今既相交於己則己必
為各形之心凡形心作垂線至各界其
度必等即如圜之輻線故以己為心庚
辛為界所作之圜即為各等界形所函
第二十五
有一三角形一圜形於此圜内作切圜
界三角形與原有之三角形同式法如
有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜
形欲於此圜内作一切界三角形與原
意作與甲角相等之辛角將此角之兩
邊線俱引至圜界作辛庚辛戊二線再
一丁戊線復自庚至丁作一庚丁線成
一丁戊庚三角形即是所求之圜内切
界三角形與原有之甲乙丙三角形為
同式也何則其庚辛戊三角形之辛角
與庚丁戊三角形之丁角其尖既俱與
圜界相切而共立於戊己庚一叚弧分
其度必等見四卷第十二節此辛角原與甲角
戊角原係依甲乙丙之乙角之度而作
者固相等夫丁角與甲角戊角與乙角
既等則所餘之庚角與丙角亦必等其
三角既俱等其兩形必為同式可知矣
第二十六
有一三角形一圜形於此圜外作切界
三角形與原有之三角形同式法如有
甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲於
三角形之乙丙底線引長至辛壬二處
此兩傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃
於圜心丁處作與辛乙甲角相等之戊
丁庚角又作與壬丙甲角相等之己丁
庚角則成丁戊丁己丁庚之三輻線於
三輻線之末作三垂線引長相交成一
癸子丑三角形即是所求之圜外切界
式也何則凡三角形之三角相併必與
二直角等見二卷第四節今戊丁庚子一四邊
形可分為兩三角形則此四邊形之四
角相併必與四直角等矣四直角内減
庚戊子庚兩角相併亦必與兩直角等
也又辛乙甲外角與甲乙丙内角相併
亦與二直角等見一卷第十四節其戊丁庚角
亦必與甲丙乙角相等而己癸戊角又
必與乙甲丙角相等三角俱等則兩形
之式必相同也
第二十七
三角形内作切三界之圜法如有一甲
乙丙三角形欲與此形内切三界作一
圜則依此卷第二節之法將甲乙丙三
引長使相交於丁自丁至甲乙乙丙丙
甲三界線作丁戊丁己丁庚三垂線乃
以丁為心以戊己庚為界作一圜即是
三角形内之切界圜也何則戊甲丁與
庚甲丁兩小三角形之甲角因自一角
為兩平分其度必等又丁戊丁庚既係
兩垂線則甲戊丁甲庚丁二角俱為直
角而相等此戊甲丁庚甲丁兩小三角
形之各相當邊亦必俱等故丁戊線與
丁庚線等者即是丁己線與丁戊線丁
庚線等也此三線既等以為輻線作戊
己庚圜則必與三角形之甲乙乙丙丙
甲三界相切矣
第二十八
勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾
為心以乙為界作一乙丁弧線將此弧
線平分於戊自戊至丙作一戊丙線即
平分丙角為兩分而截甲乙線於庚矣
乃自庚與甲丙線平行作庚己線又自
庚與乙丙線平行作庚辛線即成庚己
内之正方也何則甲丙乙勾股形之丙
角原是直角今庚辛庚己二線各與甲
角與己丙庚角又俱是直角之一半其
度必等則己丙線與庚己線相等而庚
辛線與己丙線庚己線與辛丙線皆為
平行線内之垂線其度亦等故庚己己
丙丙辛辛庚四線相等而庚己丙辛四
角俱為直角是為甲乙丙勾股形内之
正方形也
勾股形内作正方第二法如有一甲乙
丙勾股形欲於此形内作一正方則將
乙丙線引長照甲乙線度増於乙丙作
一壬丙線自此壬丙之兩末與甲乙線
平行作丁壬癸丙兩垂線使其度俱與
甲乙線等又自丁至癸與壬丙線平行
作一丁癸線自丁至丙作一對角線截
甲乙線於戊乃自戊與乙丙線平行作
方形即為甲乙丙勾股形内欲作之正
方也何則試將戊己線引長成辛戊己
子線則此辛戊己子線與甲乙線分丁
壬丙癸為四長方形其甲戊子癸長方
與辛壬乙戊長方既為丁壬丙癸大長
方對角線傍所成兩形其分必等見三卷第
七節故子戊線與戊辛線之比例同於乙
與丙乙線等而戊辛線又與甲乙線等
則丙乙線與甲乙線之比例亦同於乙
戊線與戊甲線之比例也又甲乙丙與
甲戊己兩三角形為同式故丙乙線與
之比例而乙戊線與戊甲線之比例又
同於己戊線與戊甲線之比例也乙戊
線既與己戊線相等而乙庚線與戊己
為直角戊乙庚己四角既俱為直角則
戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形
内之正方矣
第三十
三角形内作正方法如有甲乙丙三角
形欲於此形内作一正方則自甲角至
乙丙底線作一甲辛垂線將此垂線引
又自壬兩分如乙丙線度與乙丙線平
行作一子癸線又自癸至辛作癸辛線
截甲乙線於丁自子至辛作子辛線截
甲丙線於庚乃自丁至庚作一庚丁線
此線必與乙丙平行又自庚丁二處作
庚己丁戊二垂線即成丁戊己庚一正
方形即為甲乙丙三角形内欲作之正
方也何則壬辛線與壬子線之比同於
比故辛壬線與癸子線之比亦必同於
辛丑線與丁庚線之比也然辛壬與癸
子原相等則辛丑與丁庚亦必相等矣
辛丑與丁庚既等則丁戊戊己己庚庚
丁四邊亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁
四邊既俱等則為甲乙丙三角形内之
正方無疑矣
有一直線將此線為正方對角線作正
方法如有一甲乙直線欲以此線為對
角線作一正方則將甲乙線平分為戊
以戊為心以甲乙為界作一圜即於此
圜内作一丙丁徑線為甲乙線之垂線
至甲作四直線即成甲丁乙丙一正方
形為所求之正方也葢甲丙乙角丙乙
丁丁戊甲四三角形之兩傍線俱是半
徑線必相等又此四三角形之兩傍線
所合之角俱為直角亦必相等則甲丙
丙乙乙丁丁甲四直線必俱相等可知
矣甲丙乙丁四邊形内四角既俱為直
角而四邊線又俱相等則必為正方形
而甲乙線為其對角線矣
有一直線為正方邊與對角線相較之
餘於此線求作其原正方法如有一甲
乙線為正方邊與對角線相較之餘求
作一正方則先將此甲乙線為一邊作
甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作
一小對角線於是以丙為心以乙為界
作一圜乃引甲丙線至圜界戊處作一
甲戊線將此甲戊線為度作一甲戊己
線之乙己一叚必與戊己邊線相等何
也其丙乙丙戊為一圜之二輻線既等
則丙乙戊丙戊乙二角亦等若於丙乙
己直角内減去丙乙戊角又於所作丙
戊己直角内減去丙戊乙角所餘戊乙
己乙戊己二角亦必相等此二角既等
則乙己戊己兩線必等矣因其相等則
線與戊己一邊線相較則原有之甲乙
線為其相較之餘可知矣
第一
有一直線將此線為底作一兩邊度等
三角形使底之兩邊各一角俱比上一
直線將此線為底欲作兩邊度等之三
角形而底之兩邊各一角俱比上一角
為大一倍則用十一卷第八節之法於
將兩邊線俱引長相交於丙即成一甲
乙丙三角形為所求之形也何則凡三
角形之三角相併為一百八十度與二
直角等今此所作甲乙丙三角形之甲
乙兩角既俱係七十二度則於一百八
十度内減去甲乙二角共一百四十四
度餘三十六度即為丙角之度三十六
度者七十二度之半故甲乙兩底角比
有一直線依此線度作兩邊度等三角
形使上一角小於兩底角一倍之三角
形法如有甲乙一直線以此線為一邊
復依此線度作一邊使此兩邊線所合
之上一角小於兩底角一倍之三角形
則用十一卷第八節之法以甲乙甲丙
二線之甲末相合作一乙甲丙角為三
底即得一甲乙丙三角形為所求之形
也何則將甲角三十六度與全形三角
之共數一百八十度相減餘一百四十
四度為乙丙兩底角之共數今甲丙線
與甲乙線既等則乙角與丙角必等因
其相等將兩底角共數一百四十四度
折半得七十二度即為每一底角之數
七十二度者三十六度之倍數故甲角
有一直線以此直線為一邊作等邊等
角之五界形法如有甲乙一直線以此
直線為一邊作一等邊等角之五界形
法作一兩邊度等甲丙乙三角形其甲
丙乙角為丙乙甲丙甲乙二角之各一
半又用十一卷第十五節法於此三角
原係相等其相對之兩弧亦必相等乃
以此兩弧自戊丁二處為丙平分又自
甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙
作四直線即成甲乙丁丙戊五邊五角
等度之五界形也何則其甲丙乙角原
為丙乙甲角之一半則甲丙乙角為三
十六度試自甲乙二處至圜心作甲己
乙己二線成甲己乙一三角形則此甲
弧線亦為七十二度矣以七十二度於
全圜界三百六十度内減之餘二百八
十八度折半得一百四十四度即為甲
戊丙一叚弧線之數也冄將一百四十
四度折半得七十二度即為甲戊一叚
弧線之數也既得甲戊弧線之數則戊
丙丙丁丁乙各弧線度俱各為七十二
俱係相等弧之弦線則五線之度必俱
等五線之度既等則此形又在圜之内
而五角之度豈有不相等者哉
第四
有一直線分大小兩分為相連比例線
法如甲乙直線為全分甲丙一叚為大
分丙乙一叚為小分以甲乙全分與甲
丙大分之比同於甲丙大分與丙乙小
上一角各大一倍之甲乙丁三角形又
依此卷第三節法取乙丁線度作邊角
丁作一直線截甲乙線於丙乃得甲丙
一大叚為大分丙乙一小叚為小分即
是所欲作之相連比例線也何則甲戊
乙丁兩弧線度等則甲乙戊乙戊丁兩
立於乙丁弧其度必等再甲戊丁與甲
乙丁二角亦同立於甲巳丁弧其度亦
必等也至於甲乙丁角原比乙甲丁角
大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙
戊角俱大一倍其甲丙戊角因為戊丙
乙三角形之外角與丙乙戊丙戊乙兩
内角等故甲丙戊與甲戊丙兩角相等
此二角既等則甲丙甲戊兩線必等矣
角形必與戊乙丙一小三角形為同式
形矣葢小三角形之丙戊乙角與大三
角形之戊甲乙角等而小三角形之丙
乙戊角與大三角形之甲乙戊角為共
角而等則小三角形之戊丙乙角與大
三角形之甲戊乙角不得不等三角俱
等非同式形而何是故甲乙線與甲戊
也夫甲戊原與甲丙相等而乙戊原與
甲戊相等故乙戊亦與甲丙相等然則
甲乙全線與所分甲丙大分之比必同
於甲丙大分與丙乙小分之比可知矣
故曰甲乙與甲丙甲丙與丙乙為相連
比例之線也
第五
平分一直線為數叚法如有甲乙一直
度將甲丙線分為甲戊戊庚庚丙三叚
巳巳丁三叚乃自二平行線之三叚處
復作甲丁戊己庚辛丙乙四平行線即
平分甲乙直線為甲壬壬癸癸乙之三
分矣試觀甲乙丁三角形之甲乙乙丁
兩傍線為與甲丁線平行之壬己癸辛
線與乙丁全線之比同於丁已叚與甲
壬叚之比而已辛叚與壬癸叚之比辛
乙叚與癸乙叚之比亦皆與甲乙全線
與乙丁全線之比相同也因其比例俱
同故丁乙線之丁巳巳辛辛乙三叚為
平分而甲乙線之甲壬壬癸癸乙三叚
亦為平分也
第六
原分為甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙
丁直線欲依此甲乙線分分作三分為
相當比例之率則齊二線之一端以為
平行線自甲乙線之甲端過丙丁線之
丙端作一縱線復自甲乙線之乙端過
丙丁線之丁端作一斜線則二線相交
於戊乃自戊至所分巳辛二處作戊巳
壬丁三叚與甲乙線之甲巳己辛辛乙
三叚為相當比例率也試審戊甲乙全
形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊
壬丁戊辛乙之大小六三角形其相當
各式皆同如戊丙庚與戊甲已為同式
戊庚壬與戊巳辛為同式戊壬丁與戊
辛乙為同式故丙庚與甲已為相當二
界庚壬與已辛為相當二界壬丁與辛
第七
有二直線作與此二線相連比例之第
此二線相連比例之第三線則將甲乙
甲丙二線之甲末合成一角照甲丙線
度增於甲乙線為甲戊線自乙末至丙
末作一乙丙線又與乙丙線平行自戊
成一甲已線其自丙末所分之丙已線
即為與甲乙甲丙二線相連比例之第
三線也葢已戊線既與丙乙線平行故
甲乙丙三角形與甲戊己三角形為同
式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必為相
當比例之四率是以甲乙第一率與甲
丙第二率之比即同於乙戊第三率與
丙巳第四率之比也夫乙戊之度原與
與丙巳之比然則甲乙與甲丙甲丙與
丙巳豈非相連比例之三線乎
第八
有三直線作與此三線相當比例之第
四線法如有甲乙甲丙乙丁三線欲作
與此三線相當比例之第四線則取甲
丙線度叧作一甲丙線將此所作甲丙
自乙作弧一叚又取原有之乙丁線度
自乙截弧線於丁即自乙至丁作一乙
丁線再依甲丙線度自甲過丁作一甲
戊線又與乙丁線平行作一戊丙線此
戊丙線即為原三線相當比例之第四
線也葢甲丙戊三角形與甲乙丁三角
形為同式故甲乙線與甲丙線之比即
同於丁乙線與戊丙線之比因其比例
相當比例之數線則將甲角上下二線
截為㡬叚作㡬平行線既得相當比例
之數線矣如以甲角之甲子甲癸二線
截為丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚於
所截五處作五平行線即得相當比例
之十率矣葢以甲乙與甲丙之比同於
同於戊丙與庚已之比以甲已與甲辛
之比同於庚已與壬辛之比以甲辛與
甲癸之比同於壬辛與子癸之比故將
甲子甲癸二線雖分為無數叚作無數
平行線其比例亦無不相同也
第九
有二直線欲叧作一線為此二線之中
率法如有甲乙乙丙二線欲另作一線
以戊為心以甲丙兩末為界作一半圜
自二線相連乙處至圜界作一丁乙垂
線即為原有甲乙乙丙二線之中率線
也何也丁乙線既為圜徑上之垂線則
甲乙丁乙乙丙為相連比例之三率見九
卷第七節故甲乙線與乙丁線之比同於乙
丁線與乙丙線之比也比例既同則所
率可知矣
第十
有二直線欲另作二線為此二線間之
兩率法如有甲乙乙戊二直線欲另作
二線為此二線間之兩率則將甲乙乙
戊二線之乙末相合為直角又自此二
線所合乙角引長為甲乙丙戊乙丁二
線次將二矩尺之二角正置於丁戊甲
於丁戊線之戊末又以壬癸子矩尺之
一股切於甲丙線之甲末仍使二矩尺
為直角而不離於所跨之線其二矩尺
之壬辛二股亦使不離於所切之線末
乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三
線即截丁乙線於癸截乙丙線於庚成
二線間之兩率也何也如平分戊癸線
於丑則丑為心戊為界成一戊庚癸半
圜若平分甲庚線於寅則寅為心甲為
界成一甲癸庚半圜今乙癸線為甲癸
庚半圜徑線上之垂線故乙癸為甲乙
乙庚二線之中率而乙庚線為戊庚癸
半圜徑線上之垂線故乙庚又為癸乙
乙戊二線之中率是以甲乙線與乙癸
與乙戊線之比因其比例相同故乙癸
乙庚二線為甲乙乙戊二線間之兩率
也
第十一
有三角形依一界作等積之直角四界
形法如有甲乙丙一直角三角形欲依
其乙丙界作一直角四界形與原三角
與甲乙平行作一丁丙線即成一甲乙
丙丁直角四界形於是平分甲乙線於
戊平分丙丁線於巳作一戊巳線則平
分甲乙丙丁四界形為兩形此所分甲
戊巳丁與戊乙丙已兩直角四界形之
積俱與甲乙丙三角形之積相等也葢
甲乙丙三角形為甲乙丙丁四界形之
一半今所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩
可知矣又如庚辛壬無直角之三角形
依辛壬界作一直角四界形與原三角
自辛壬至庚癸線作子辛癸壬二垂線
即成一子辛壬癸直角四界形於是平
分子辛線於丑平分癸壬線於寅作一
丑寅線則平分子辛壬癸四界形為兩
角四界形之積俱與庚辛壬三角形之
積相等也試與庚辛線平行作一卯壬
線即成庚辛壬卯一斜方形為與子辛
壬癸方形同底同髙故其積必等見三卷第
八節今庚辛壬三角形為庚辛壬卯形之
一半則亦必為子辛壬癸方形之一半
矣既為一半則所分子丑寅癸與丑辛
壬寅直角四界形必與庚辛壬三角形
有一長方形作與此積相等之正方形
法如有甲丙一長方形欲作與此長方
形相等之正方形則將甲丙形之丙乙
縱線合於甲乙横線照此卷第九節法
求得甲乙丙乙二線之中率為丁乙線
即以丁乙線為一邊作一丁戊正方形
即與甲丙長方形之積相等也何則大
形積與首率末率所作之長方形積相
等今丁乙線既為甲乙丙乙二線之中
率則丁乙線所作之丁戊正方形積焉
得不與甲乙丙乙二線相合所作之甲
丙長方形之積相等乎
第十三
凡多界形作與本形同式或大或小之
形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界
乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲
各界度之一半與各界平行置於對角
各線之間為癸子子丑丑寅寅卯卯辰
卯辰巳午之形為原形每界減半之同
式形也何也如對角線間所成之甲乙
壬癸子壬大小兩三角形之甲乙癸子
角俱等而兩形之式相同倣此推之其
乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二
形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬
二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午
壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱為同
式形此各相當大小兩形既俱同式則
所作癸子丑寅卯辰已午小形之各邊
為甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各邊之
角取乙丙度之一半置於甲乙甲丙二
線之間與乙丙平行如子丑照此於諸
對角線間作諸界之平行線即成甲子
丑寅卯辰巳午未申小形為原形每界
減半之同式形其理亦與前同若欲作
比原形大㡬倍之形則以所作諸對角
線按分引長而於本形外作諸界之平
第十四
作分釐尺法如甲戊尺三寸每寸欲分
為百釐則將甲乙邊平分作十分將戊
巳邊亦平分為十分對所分之分作諸
横線與乙戊平行次將一寸之甲辛乙
丙兩邊俱分為十分冄於甲辛邊之第
一分作斜線至乙丙邊之乙處如此作
十斜線俱與第一分斜線平行即分乙
每分又分為十釐即每寸亦得百釐然
度狹線多必致相淆今作斜線横線各
百釐也如第一斜線與第一横線相交
之㸃即為一釐與第二横線相交之㸃
即為二釐以至第十横線相交之㸃為
十釐即甲辛邊所分之第一分之十釐
乎由此推之若作二十横線則一斜線
得二十釐每寸即分為二百釐作百横
線則一斜線得百釐每寸即分為千釐
其法甚簡而其用尤甚便也
第十五
凡有三角形知其一角之度及此一角
之兩傍界或知其二角之度及此二角
之間一界或不知角度但知三界欲求
兩傍之丙甲界長十四丈丙乙界長十
三丈而欲知其餘角餘界則依十一卷
第八節法作與丙角相等之三十八度
四十四分之丁角將丁角兩傍之丁戊
界作十四分丁巳界作十三分乃自戊
至巳作一戊巳線成一丁戊巳小三角
形與甲乙丙大三角形同式量其戊己
再用有度之圜量取小形戊角得六十
四度三十七分即大形甲角之度也小
形巳角得七十六度三十九分即大形
乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁兩
三角形之式既同其相當各角各界必
俱相等小形之丁角即與大形之丙角
等其餘兩角亦必等小形之丁已邊既
以十三分當大形丙乙邊之十三丈則
角為七十六度三十九分丙角為三十
欲知其餘角餘界則作己丁界為十三
分照乙角丙角度作已角丁角於是畫
巳戊丁戊二界相交於戊即成戊巳丁
同式之小三角形此小形之戊角必與
甲角等而小形之丁戊界十四分與大
界九分與大形之甲乙界九丈相當矣
若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙
三界而不知其角則照前將三界之度
作同式之小形量其三角之度即知大
形之角度矣
第十六
作分數比例測量儀器法以甲丙乙半
圜界分為一百八十度每度作六十分
分上俱與三半徑平行作縱横線於甲
乙徑線之甲乙兩末作兩定表以圜丁
心為樞作一遊表如丁巳將此遊表亦
如前所分一百分度作二百分復於此
儀器後面作一垂線記號以掛墜線如
庚即成一全儀器用以測髙深廣逺可
知其各角各界之度矣如有一辛壬旗
甲乙徑線兩末之定表與旗杆癸處相
對乃為地平再將丁巳遊表與旗杆頂
尖辛處相對次量儀器中心所對處至
旗杆癸處得㡬何如有四十丈則看儀
器丁乙線上自丁心至子得四十分以
當地平四十丈即視與子相對垂線至
遊表相交處有㡬何如丑子三十分即
為旗杆自辛至癸相當數為三十丈也
當各界之比例必俱相同故以丁子四
十分與子丑三十分之比即同於丁癸
四十丈與癸辛三十丈之比也若欲知
丁辛弦線數即視遊表自丁至丑相交
之處得㡬何如有五十分其相當數即
為五十丈也若欲知丁癸辛三角形之
其乙巳弧度即丁角三十五度一十三
分其餘巳丙弧五十度四十七分即辛
角度而癸辛線原與子丑垂線平行為
平行線故癸角必是直角而為九十度
也
第十七
倣各種地形畫圖法如有甲乙丙丁地
形欲畫一圖則選能見各地之二處立
之度皆細記之如庚戊巳角得八十一
度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳
角得四十五度八分癸戊巳角得三十
三度二十分次自巳以遊表照前視庚
辛壬癸等處得諸角之度亦細記之如
庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊
角得四十度十分壬已戊角得四十七
任意作一子丑線為戊己相當線於此
子丑線之兩末作諸角與所記諸角相
等將所作諸角之各線俱引長使相交
於寅卯辰巳等處乃以庚辛壬癸所有
之諸地形並其餘各處凡目之所見俱
畫於圖之相當各界即成一午未申酉
之圖即甲乙丙丁地形之圖也葢午未
申酉圖内所作寅子丑卯子丑類諸三
所以全圖與全地形為同式也
第十八
畫地理圖欲約為小圖或欲廣為大圖
法如有甲乙丙丁一地理圖欲約為小
圖為原圖四分之一則用甲乙丙丁形
界之四分之一畫一戊已庚辛形將甲
小形亦分為數正方形視原圖中所有
山川城郭村墅林園函於大圖之某正
方分者約而畫入小圖某正方形内則
此所畫之戊巳庚辛小圖即與原有甲
乙丙丁大圖為同式矣
第十九
作比例尺平分線法如此比例尺欲作
平分線則自甲樞心至乙丙二末作甲
也以用法明之如有丁戊一直線欲平
分為十分則將比例尺一百分之己庚
二㸃照丁戊線度展開勿令移動次取
比例尺之第十分之辛壬二㸃相離之
度即是丁戊線之十分之一分也何則
自乙至丙作一線自己至庚作一線自
辛至壬復作一線其甲乙丙三角形與
形又與甲辛壬三角形為同式是以所
分甲己線與甲乙線之比同於己庚線
與乙丙線之比而甲辛線與甲己線之
比亦同於辛壬線與己庚線之比也然
則十分之甲辛線既為百分之甲己線
之十分之一其辛壬線亦必為己庚線
之十分之一矣丁戊線原與己庚線同
度則辛壬線亦為丁戊線之十分之一
作比例尺分圜線法如於比例尺欲作
分圜線則自甲樞心至乙丙二末作甲
為心以甲乙二末為界作一半圜於是
分圜界為一百八十度復以甲為圜心
至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等處
作各弦線又將諸弦線度移於尺之甲
弦之總線也以用法明之如寅卯寅辰
二線所合寅角欲知其度則以寅為心
作一辰卯弧將比例尺六十度之丁未
兩㸃相距之度照寅辰或寅卯度展開
勿令移動次取卯辰相距之度於比例
尺上尋至八十度之申酉處恰符即是
寅角為八十度也何則若自丁至未自
申至酉作二線成甲申酉甲丁未兩同
於丁未線與申酉線之比也夫甲未線
既為比例尺所作甲庚六十度之弦線
而甲酉線又為甲辛八十度之弦線其
丁未線既與小圜寅卯輻線等而輻線
原與六十度之弦線等然則丁未線即
小圜六十度之弦線而申酉線亦為小
圜八十度之弦線也以此得知寅角之
第二十一
作比例尺分面線法如此比例尺欲作
分面線則以甲樞心處至乙丙二末作
甲乙甲丙二線自甲截甲丙線於丁照
所截甲丁度於甲心作一甲戊垂線自
戊至丁作一戊丁線又照戊丁線度自
甲截甲丙線於已自戊至已作一戊已
線又照戊已線度自甲截甲丙線於庚
辛線又照戊辛線度自甲截甲丙線於
之至丙末又將甲丙線所截各度移置
甲乙線即成比例尺之分面線也何則
於甲丁戊直角三角形之三界作卯丁
辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二線
因為相等度所作故卯丁辰戊二形必
作之戊巳一方形亦必與直角兩旁界
所作卯丁辰戊二方形相等也見九卷第四節
次於甲已界作未巳正方形甲己界原
與戊丁等則甲已界所作未已方形即
與戊丁界所作之戊巳方形相等矣未
巳方形既與戊巳方形等則必與卯丁
辰戊二形相等而亦與卯丁之倍數相
等矣夫甲巳界即大於卯丁形一倍為
甲壬等界即為比卯丁形大三倍四倍
形之界可知矣以用法明之如有一癸
子正方形欲作大二倍之正方形則將
比例尺展開使其丁丑相距之度與癸
子界度等次取比例尺寅庚相距之度
即是比癸子方形大二倍之方形之一
面界度也何則自丁至丑自庚至寅作
兩三角形則甲丁線與甲庚線之比即
同於丁丑線與庚寅線之比也夫甲庚
線所作方形原比甲丁線所作方形大
二倍則庚寅線所作方形必比丁丑線
所作方形亦大二倍矣丁丑之度原與
子癸等則寅庚線豈非比子癸方形大
二倍方形之一界乎
第二十二
度置於尺上自甲截甲乙線於庚次作
比戊已界大一倍之辛壬線又於戊巳
辛壬二線間照本卷第十節法作相連
比例之癸子丑寅二率乃取癸子線度
置於尺上仍自甲截甲乙線於辰則甲
辰所作卯子正方體必比甲庚所作丁
作卯子正方體則與丁己正方體為同
式其二體相比之比例必同於戊已癸
子二界所生連比例加二倍之比例今
辛壬線既為戊巳相連比例之第四率
則丁已卯子二體之比例必同於戊已
辛壬二線之比例矣辛壬線既比戊己
線大一倍則卯子體亦比丁已體大一
倍可知矣又作比戊已界大二倍之己
取申酉線度置於尺上自甲截甲乙線
於乾則甲乾所作午酉正方體即比甲
庚所作丁巳體大二倍矣照此屢倍戊
己界求相連比例之四線取其第二線
度置於尺之甲乙線上又按甲乙線所
截各度移置甲丙線即成比例尺之分
體線也以用法明之如有一坎庚正方
使其庚與庚第一次所截之㸃相距之度與艮
庚界度等次取比例尺乾與乾第三次所截之
㸃相距之度即是比坎庚正方體大二
倍之正方體之一界度也何則自比例
尺之庚乾二處作庚庚乾乾二線即成
甲庚庚甲乾乾同式兩三角形則甲庚
線與甲乾線之比同於庚庚線與乾乾
線之比例矣夫甲乾線所作方體原大
方體之二倍可知矣又㨗法設正方體
界一百釐其積數一百萬釐以二因之
成二百萬釐立方開之得界一百二十
五釐又以三因之成三百萬釐立方開
之得界一百四十四釐照此屢倍積數
開立方將所得之數於分釐尺上取其
度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分
御製數理精藴上編卷四