御製數理精藴上編卷五
算法原本一
算法原本二
第一
一者數之原也衆一相合而數繁焉不
能無大小多寡之不齊而欲知其所以
分合之故必有一定之法始可以得其
準若夫累積小數與大數等者此小數
八必等則二即為度盡八之準苟累積小數不能與大
如大數有八小數有三二倍其三為六小於八矣二倍其三為九又大於八矣
若此者即為非度盡大數之準要之小數為大數之平
分者即能度盡大數而小數非大數之
平分者即不能度盡大數是故以小度
大以寡御多求其恰符而毫無舛者惟
在得其平分之法而已
第二
數之目雖廣總不出奇偶二端何謂偶
俱為整數斯謂之偶數矣若三五七九
十一之類平分之俱不能為整數斯謂
之奇數矣又如小偶數分大偶數得偶
分則謂之偶分之偶數如小偶數四分大偶數三十二
得八平分是為偶分其三十二即為偶分之偶數小偶數分大
偶數得奇分則謂之奇分之偶數如小偶數
六分大偶數三十得五平分是為奇分其三十即為奇分之偶數又如
之奇數矣如小奇數五分大奇數十五得三平分是為奇分其十五
即為奇分之奇數
第三
乘者兩數相因而成也葢有兩數視此
一數有幾何彼一數有幾何將此一數
照彼一數加幾倍則兩數積而復成一
數故謂之相因而成然不用加而用乘
者何也葢加湏層累而得乘則一因即
十以六為主而加十次亦得六十今以
十為主而以六乘之或以六為主而以
十乘之皆得六十其數無異而比加捷
矣
第四
凡兩數相乘為平方數如四與六相乘
得二十四是也試將四六兩數作㸃排
將此六㸃累四次即成甲乙丙丁平方
數矣又若相等兩數相乘得數則為正
方數如五與五乘得二十五是也苟將
五數縱橫各列五㸃或依縱數或依横
數累五次即成戊已庚辛正方數矣
第五
凡數之相乘可用線以表之然線雖無
廣分如依一線之長分廣為小方面看
此線所有方面加作幾倍則二線相積
而成面矣設如有甲乙二線甲線之分
為三乙線之分為四將此二線相乘則
依甲線三分之一分作廣分為甲丙依
乙線四分之一分作廣分為乙丁其甲
丙有三小方形乙丁有四小方形若依
甲丙所有之數將乙丁加為三倍或依
函十二小方形之乙丙甲丁之二直角
形矣葢面為線之積以一線為横一線
為縱縱横相因而成故測面者必於線
知線即可以知面也
第六
凡二線彼此各分不均而有零分者其
相乘所成方面亦有零分也設有甲乙
二線甲線為三分今將甲線依三分之
線依甲線一分作廣分則為四小方形
而餘戊一小形以所作甲丙為横乙丁
為縱則成一丁甲四方形而此形之内
必有十二小方形仍有三小戊形附於
十二方形乃為二線相乘之總積也又
如此類一線有零分者其餘分在一邊
若二線俱有零分者則其餘分亦在二
第七
凡三數遞乘為立方數如二與三相乘
得六又以四乘之得二十四是也試將
二三四之三數作㸃排之縱列二㸃為
甲丁横列三㸃為甲乙將此三㸃累二
次成丁乙平方數又直立四㸃為丙丁
依丙丁數將丁乙平方數累四次即成
丙乙立方數矣又若相等三數遞乘得
各排三㸃平列三次成庚已平方數又
直立三㸃將庚己平方數累三次即成
戊已正立方數矣
第八
凡數之遞乘為體可用面以表之葢面
雖無厚分如依一面之積分廣爲小方
體看面所有積分得線之長分若干將
而成體矣設如有甲乙面之分為四丙
丁線之分為三將此面線相乘則依甲
乙面四分之一作厚分為四小方體乃
依丙丁線分數將甲乙加為三倍即成
函十二小方體之丙乙直角立方體矣
葢體為面之積而面為線之積故線可
以測面并可以測體也
第九
大數分而復為一小數故謂之相較而
分然不用減而用除者何也葢減必遞
消其分除則一歸而即得除之與減即
猶乘之與加正相對待者也如有大數
十二小數四若用十二以四減之三次
而盡即知十二為四之三倍若用除法
則三倍其四與十二較其數適等即知
通而用較捷也
第十
凡兩數相乗之平方數以一數除之必
數相乘之甲乙丙丁平方數三十若以
甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六
除之即得甲乙五葢此三十中有五之
六倍六之五倍如作㸃排之五㸃為横
或知兩數相差之較始能得其兩邊線
也又若正方數則其縱横皆同如戊己
庚辛之正方數二十五其縱橫皆五是
巳故凡正方面有積數即可得其每邊
者葢因其縱橫兩邊皆等故也
第十一
凡以線乘線即成面而以線除面亦復
者亦可用線以表之也設如有甲乙丙
丁一方面積一十二以甲乙線四分除
之得乙丙線之三分或以乙丙線三分
除之亦得甲乙線之四分試將甲乙乙
丙二線作廣分則甲乙線成四小方形
乙丙線成三小方形若依甲乙線所有
數以分甲乙丙丁面即每分得三小方
形如乙丙線依乙丙線所有數以分甲
者仍以線而分返本還原之義有不爽
矣
第十二
凡有零分不均二線相乘之方面以整
分線除之必得零分線以零分線除之
必得整分線也設如甲線三分乙線四
分有零相乘成丁甲面若以甲線三分
分有零除之亦得甲線三分試將甲線
作廣分成三小方形為甲丙乙線作廣
分則成四小方形為乙丁餘戊一小形
若依甲丙線所有數以分丁甲面即每
依乙丁線所有數以分丁甲面即每分
得三小方形如甲丙線矣此為二線一
整一零相乘之總積故以整線除之得
第十三
凡三數遞乘之立方數以兩數遞除之
始得其又一數也設如甲乙四乙丙二
丙丁三遞乘得甲丁立方數二十四若
以甲乙四除之得乙丁平方數六再以
乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方
中有三之二倍而甲丁立方中有六之
直累四次即成方體故三數不等立方
體知其兩數或知其三數相差之較始
能得各邊也又若正立方體其縱橫厚
度皆為一數即以一數遞除二次則其
原數自得如戊己正立方數二十七其
縱横厚皆三是巳故凡正立方體有積
數即可得其每邊者正為其縱横厚度
皆等故也
得線故線可以除面而面亦可以除體
也設如有丙乙體積一十二以丙丁線
三分除之得甲乙面之四分或以甲乙
面四分除之亦得丙丁線之三分試將
甲乙面作厚分則成四小方體若依丙
丁線所有數以分丙乙體即每分得四
小方體如甲乙面依甲乙面所有數以
體本以線面相乗而得故可以線面相
除也
第十五
凡大數用小數可以度盡者此大數必
為此小數之所積也然所謂小數可以
度盡大數者復有幾種有大數惟一數
類惟用二可以度四三可以度九五可
與十二之兩數用二用四俱可以度盡
八用二用三用四俱可以度盡十二是
也有兩大數或三大數用一小數俱可
以度盡者如十二十六之兩數或一十
十五二十之三數用四可以度盡十二
十六之兩數用五可以度盡一十十五
二十之三數是也又有一小數可以度
此小數亦可以度盡此總數如四可以
度盡十二十六兩數若將十二十六相
加為二十八則此四亦可以度盡此二
十八也又或一小數可以度盡幾大數
將此大數不拘幾分分之此小數可以
度盡一分亦必可以度盡其餘幾分也
如三可以度盡十五將十五分為六九
兩數此三可以度盡六亦必可以度盡
三仍可以度盡此五十四也凡此類者
皆為彼此有度盡之數也
第十六
凡大數用小數不可以度盡者此大數
必非此小數之所積也然用一以度之
無不可以度盡者葢一為數之根諸數
皆自一而積之故也所謂度不盡者亦
如五七十一十三之類任用二用三用
四俱不能度盡也有兩大數或三大數
用小數彼此不可以度盡者如十五與
八之兩數用二用四可以度盡八而不
能度盡十五用三用五可以度盡十五
二可以度盡四六而不能度盡九用三
可以度盡六九而不能度盡四也又有
也如五與六之兩數彼此不能度盡亦
無一小數可以度盡此兩數即將五自
乘為二十五或將六自乘為三十六則
六仍不能度盡二十五而五仍不能度
盡三十六即二十五亦不能度盡三十
六也又如三七兩數與二五兩數俱為
彼此不能度盡之數或將三與七相乘
十與二十一之兩數仍為彼此不能度
盡之數也凡此類者皆為彼此無度盡
之數也
第十七
凡兩數互轉相減未至於一而即可以
減盡者此減盡之最小數即可以度盡
此兩數也設如有甲乙十六丙丁六之
兩數將丙丁六與甲乙十六減二次餘
相減二次即無餘則此已丁二即可以
度盡甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其
二與十六等三倍其二與六等也又如
十六與十二與八此三數亦為彼此有
度盡之數何也葢十六與十二相減餘
四以四轉與十二相減三次而盡則四
可以度盡十六與十二矣又二倍其四
六十二與八之三數為彼此有度盡之
數可知矣
第十八
凡兩數互轉相減至於一始可以減盡
者一之外别無他小數可以度盡此兩
數也設如有甲乙十二丙丁七之兩數
將此戊乙五轉與丙丁七相減餘已丁
餘辛乙一既至於一始可以度盡甲乙
丙丁兩數而一之外如二三四雖可以
度盡十二而不能度盡七也又如九與
十三及二十之三數亦為彼此無度盡
之數何也葢將九與十三互轉相減必
至於一即用十三與二十轉減或用九
與二十轉減亦皆至於一則除此一之
矣
第十九
凡有大數約為相當比例之最小數以
從簡易則為約分法也然數有可約不
可約之分可約者度盡之數不可約者
度不盡之數也設如有九與十二之兩
數欲約為相當比例之最小數乃用求
小數度盡大數法以九與十二互轉相
二得四此三四兩數即為九與十二相
當比例之最小數也又如有六四八之
三數欲約為相當比例之最小數乃以
六與四互轉相減得減盡之數為二又
以二與八相減四次而盡則二為度盡
六四八之小數矣以二除六得三以二
除四得二以二除八得四此三二四三
皆數之可約者也若夫數之不可約者
互轉相減必至於一而不可以度盡也
如有五七兩數以五減七餘二復以二
減五二次餘一既餘一則自一之外必
無可以度盡之數而不可約矣
第二十
凡有大分以分母乘之通為小分則為
中也如有大分十二其分母為四欲得
其小分則以分母四乘大分十二得小
分四十八是已試作甲乙方形以明之
其中所函方形十二即大分也若將中
函之方形每分俱分為四小方則十二
方形共分為四十八小方形矣其數雖
比原大數加四倍然其每分之分只得
之内而未嘗溢出原數之外也又如有
大分九其分母為九欲得其小分則以
分母九乘大分九得小分八十一是已
試作丙丁方形以明之其中所函方形
九即大分也若將其中函之方形每分
俱分為九小方則九方形共分為八十
一小方形矣其數雖比原大數加九倍
而仍函於丙丁方形之内者以其每分
數十亦皆倣此通之其所通之數雖至
千萬而要皆未有溢於所通原分之外
者矣
第二十一
凡有幾小數欲求俱可以度盡之大數
則以此幾小數連乘之得數始為此幾
小數度盡之一大數也設如有四五兩
數則以四與五相乘得二十即為四五
兩數俱可度盡之一大數矣又如有三
四五之三小數欲求用三用四用五俱
可以度盡之一數則以三與四相乘得
十二又以五乘十二得六十即為三四
五俱可度盡之一大數矣葢小數為大
盡二十者二十乃四之五倍亦即五之
第二十二
凡有兩數彼此互乘所得之數與原數
比例必同也葢數有多寡而分又有大
小則紛紜難御故必依此數之分將彼
數加為幾倍又依彼數之分將此數加
為幾倍則兩分數既同而比例亦同矣
如甲乙二數甲為三分之二乙為四分
三倍為十二分之九依乙數將甲數加
四倍為十二分之八如是則所加之兩
大分同為十二而所生之兩小分相比
即同於原甲數與乙數之相比矣何也
甲數本三分之二而為十二分之八者
乃加四倍之比例十二為三之四倍八為二之四倍而
十二分之八之比例仍同於三分之二
之比例也乙數本四分之三而為十二
四分之三之比例也此即互乘同母之法如甲為三分之
二者三即母數二即子數也乙為四分之三者四即母數三即子數也因兩母
數不同故用互乘以同之
第二十三
凡子母分有幾數而子數同為一者先
以各母求俱能度盡之一數次以各母
除之則爲各子數也如甲乙丙三數甲
之一則先以三母數連乘得二十四為
甲乙丙之共母數又以二除共母數得
十二為甲之子數以三除共母數得八
為乙之子數以四除共母數得六為丙
之子數葢甲本二分之一子母各加十
二倍即為二十四分之十二而二十四
與十二之比例仍同於二與一之比例
也乙本三分之一子母各加八倍即為
一子母各加六倍即為二十四分之六
而二十四與六之比例仍同於四與一
之比例也
第二十四
凡子母分有幾數而子母數俱不等者
亦先以各母求俱能度盡之一數次以
各母除之得數復以各子數乘之即為
之二乙為四分之三丙為五分之四則
先以三母數連乘得六十為甲乙丙之
共母數次以三除共母數得二十以乘
子數二得四十為甲之子數又以四除
共母數得十五以乘子數三得四十五
為乙之子數又以五除共母數得十二
以乘子數四得四十八為丙之子數葢
甲本三分之二子母各加二十倍即為
三子母各加十五倍即為六十分之四
十五而六十與四十五之比例仍同於
四與三之比例也丙本五分之四子母
各加十二倍即為六十分之四十八而
六十與四十八之比例仍同於五與四
之比例也
第一
凡有幾小數與幾大數相比其比例若
同則小數相加所得之總數與大數相
加所得之總數相比仍同於原數之比
例也設如有一小數六一小數四一大
數十八一大數十二其小數六為大數
十八之三分之一而小數四亦為大數
得一十將兩大數十八十二相加得三
十此一十與三十之比即如六與十八
四與十二之比皆為三分之一之比例
也又如三小數二三四與三大數六九
加得九將六九十二相加得二十七其
比例亦為三分之一也又或四小數四
大數相加其總數之比例亦皆同如三
相加得十八將十二十六二十二十四
四大數相加得七十二其比例仍為四
分之一矣
第二
凡有幾小數與幾大數之比例若同則
小數相減所得之餘數與大數相減所
得之餘數相比仍同於原數之比例也
十一大數十八其小數十為大數三十
之三分之一而小數六亦為大數十八
之三分之一將兩小數十與六相減餘
四將兩大數三十與十八相減餘十二
此四與十二之比即如十與三十六與
十八之比皆為三分之一之比例也又
如三小數八四三與三大數二十四十
二九相比皆為三分之一將四三與八
四小數四大數相減其餘數之比例亦
皆同如十八與七十二為四分之一而
三與十二四與十六五與二十俱為四
分之一將小數三四五與十八遞相減
餘六將大數十二十六二十與七十二
遞相減餘二十四其比例仍為四分之
一矣
凡有一數乘兩數其所得兩數相比仍
同於原兩數之相比也設如一數六與
八與一十兩數相乘以六乘八得四十
八以六乘一十得六十此四十八與六
十相比即同於原數八與一十之相比
分之一故一與六之比同於八與四十
八之比而一與六之比亦同於十與六
十之比例亦必同於八與一十之比例
可知矣
第四
凡有一數除兩數其所得兩數相比仍
同於原兩數之相比也設如一數三除
十二與十五之兩數以三除十二得四
以三除十五得五則此四與五相比即
二與四十五與五皆為三分之一故一
與三之比同於四與十二之比而一與
三之比亦同於五與十五之比也然則
四與十二之比例必同於五與十五之
比例而四與五之比例亦必同於十二
與十五之比例可知矣
第五
凡相當比例四數其第一數與第四數
為比之比例若等則兩方積必等見幾何原
本七卷第三節今以第一數與第四數相乘即
如以第一數為縱第四數為横成一方
數而第二數與第二數相乘即如以第
二數為縱第三數為横成一方數其積
必相等也設如有二與六三與九相當
比例四數將第一數二為縱第四數九
二數六為縱第三數三為横相乘亦得
十八為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁
横界比戊庚方之戊辛横界大三分之
二而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之
甲乙縱界亦大三分之二其比例相等
故兩方數亦等此兩方數既等則相當
二數與第三數相乘所得之數相等無
凡相連比例三數其首數與末數相乘
與中一數自乘所得之數等者何也葢
兩方面相等者其縱横界之互相比例
必等見幾何原本七卷第三節今將首數與末數相
乘即如以首數為縱末數為横成一方
數而中數自乘即是以中數為縱復以
中數為横成一方數其積必相等也設
為縱末數九為横相乘得三十六為甲
丙一方數將中數六為縱仍復為横相
乘即是自乘亦得三十六為戊庚一方
數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之
戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊
己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三
分之一其比例相等故兩方數亦等此
兩方數既等則相連比例三數其首末
第七
凡有兩數除一數其所得兩數之比例
即同於原兩數之轉相比例也設如有
一數十八以二三兩數除之二除十八
得九三除十八得六以此九與六兩數
相比即同於原兩數三與二之相比也
葢二與三六與九為相當比例之四數
三與第三數六相乘皆得十八故二除
十八得九即如以第一數除第二數與
第三數相乘之數而得第四數也以三
除十八得六即如以第二數除第一數
與第四數相乘之數而得第三數也夫
相當比例數其第二數與第四數之比
原同於第一數與第三數之比故第一
數二除十八所得之九與第二數三除
第八
凡有兩數除一數其所得之兩數内有
一數與原兩數内一數相等者則所得
之兩數與原兩數互轉相比即成相連
比例之數也設如有一數三十六以四
六兩數除之四除三十六得九六除三
十六仍得六與原數六相等則此九與
也葢四與六六與九為相連比例之四
數以四為首數九為末數相乗以六為
中數自乘皆得三十六今以四除三十
六得九即如以首數除中數自乘之數
而得末數也以六除三十六復得六即
如以中數除首末兩數相乘之數而仍
得中數也夫相連比例數其末數與中
數之比原同於中數與首數之比則首
數四之相比也
第九
凡相當比例四數其第一數度盡第二
數則第三數亦必度盡第四數也如有
二六三九相當比例四數其第一數二
可以度盡第二數六則第三數三亦可
以度盡第四數九矣夫相當比例四數
之比今第一為二第二為六乃加三倍
之比例則第四與第三亦必為加三倍
之比例故三倍其二可以度盡六者三
倍其三即可以度盡九也
第十
凡相連比例三數其第一數度盡第二
數亦必度盡第三數也如有二四八相
連比例三數其第一數二可以度盡第
數為四乃加倍之比例則第二與第三
亦必為加倍之比例而第一與第三則
為再加一倍之比例故一倍其二可以
度盡四者再倍其二即可以度盡八也
第十一
凡依次遞加取四數其第一第四兩數
如一二三四遞加之四數將第一數一
與第四數四相加得五以第二數二與
第三數三相加亦得五又如一三五七
遞加之四數一三五七為隔一數以遞加者也將第一
數一與第四數七相加得八以第二數
三與第三數五相加亦得八也又如二
五八十一遞加之四數二五八十一為隔二數以遞加
者也將第一數一與第四數十一相加得
或隔五六數以至極多數但依次遞加
取四數無有不如此也
第十二
凡依次遞加取三數其首末兩數相加
與中數加倍之數等也如二三四遞加
之三數將首末二四相加得六以中數
三倍之亦得六又如二四六遞加之三
八以中數四倍之亦得八也又如三六
九遞加之三數三六九隔二數以遞加者也將首末
三九相加得十二以中數六倍之亦得
十二由此推之或隔三數或隔四數或
隔五六數以至極多數但依次遞加取
三數無有不合者也
第十三
凡依次遞加三數以第二第三兩數相
四相加得七内減去第一數二得五即
是第四數又如二四六隔一數遞加之
三數以第二數四第三數六相加得一
亦為隔一數又如三六九隔二數遞加
之三數以第二數六第三數九相加得
十五内減去第一數三得十二即是第
比例之理四率中兩率相乘與首末兩
率相乘之數等故中兩率相乘以首率
除之即得末率而此則中兩數相加與
首末兩數相加之數等故以首一數減
之即得末一數其義一也
第十四
凡依次遞加兩數以第二數倍之減去
第一數即得挨次之第三數也如二三
一數之兩數將第二數四倍之得八内
減去第一數二餘六即是第三數四與
六亦為隔一數也又如三六隔二數之
兩數將第二數六倍之得十二内減去
第一數三餘九即是第三數九與六亦
為隔二數也葢此即三率相連比例之
理三率以中率自乘與首末兩率相乘
末率而此則中數倍之與首末兩數相
加之數等故以首數減之即得末數於
此見加減乘除之相對待而加減可以
代乘除之理亦可從此推矣
第十五
凡有彼此可以度盡兩數欲求相連比
例之數則以一數自乘以一數除之即
得相連比例之第三數也如有四八兩
六此十六即為四與八相連比例之第
三數葢八者四之二倍而十六又為八
之二倍則八與十六之比例必同於四
如四與八之比例則以第三數十六自
乗得二百五十六以第二數八除之得
三十二即為四八十六相連比例之第
八之四倍則十六與三十二之比例必
同於四與八八與十六之比例矣如欲
求連比例之第五數或第六數即以相
近兩數依前法算之由此遞生可至於
無窮焉然此皆四與八之比例或四與
十六或三與六五與十之類凡有彼此
度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆
如此求之無不可得矣
兩數比例求相連比例之數則以一數
自乘為第一率而以又一數自乘為第
三率以兩數互乘為第二率即為相連
比例之三數也如有三五兩數欲求相
連比例三數皆如三與五之比例乃以
三自乘得九以五自乘得二十五以三
與五相乘得十五此九與十五十五與
例三數葢九為三之三倍而十五為五
之三倍則九與十五為三與五之比例
矣而十五為三之五倍二十五為五之
五倍則十五與二十五亦為三與五之
比例矣又或已有三數欲求第四數皆
如三與五之連比例則以三乘九得二
十七以三乘十五得四十五以三乘二
十五得七十五復以五乘九得四十五
五各得二今止用其一故二十七四十
五七十五一百二十五之四數即如三
之九倍而四十五者五之九倍則二十
七與四十五之比例同於三與五之比
例矣又四十五者三之十五倍而七十
五者五之十五倍則四十五與七十五
五者三之二十五倍而一百二十五者
五之二十五倍則七十五與一百二十
五之比例亦同於三與五之比例矣如
欲求連比例之第五數或第六數以原
一數遞乘先得之幾數復以又一數遞
乘先得之幾數去其相同者所餘即成
相連比例之數由此求之亦可至於無
窮也然此皆三與五之比例或三與七
此求之而即得矣
第十七
凡相當比例四數其前兩數之間有相
連比例二數其後兩數之間亦必有相
連比例二數也設如有甲二十四乙八
十一丙三十二丁一百零八相當比例
之四數甲數二十四與乙數八十一之
兩數則丙數三十二與丁數一百零八
之間亦必有庚四十八辛七十二之相
連比例兩數也試將甲戊己乙四數求
其相當比例之至小數則得壬八癸十
二子十八丑二十七之四數其甲與乙
之比即同於壬與丑之比而丙與丁之
比原同於甲與乙之比則丙與丁之比
亦必同於壬與丑之比矣其比例既同
倍之即與丙庚辛丁等是四次可以度盡也是丙庚辛丁四
數之比皆與壬癸子丑四數之比相同
相當之小數今丙庚辛丁之比既與之
相同則丙庚辛丁亦為相連比例之四
數矣既俱為相連比例數則戊己為甲
乙兩數間之連比例數庚辛為丙丁兩
第十八
凡相連比例三數其第一數與第二數
之間有相連比例一數則第二數與第
三數之間亦必有相連比例一數也設
如有甲二乙十八丙一百六十二相連
比例之三數其甲數二與乙數十八之
間有相連比例之丁數六則乙數十八
與丙數一百六十二之間亦必有相連
倍戊五十四亦為乙十八之三倍則甲
與丁之比同於乙與戊之比而丁六為
乙十八之三分之一戊五十四亦為丙
一百六十二之三分之一則丁與乙之
比亦同於戊與丙之比因其比例皆同
故甲丁乙戊丙為相連比例之五數而
丁戊兩數為甲與乙乙與丙三數間之
第十九
凡相連比例三數其首數與末數有用
一數可以度盡者有用一數不可以度
盡者如四八十六相連比例之三數其
首數四與末數十六為彼此有一數可
以度盡之數也如四六九相連比例之
三數其首數四與末數九為彼此無一
數可以度盡之數也然此兩種相連比
謂之相連比例之數焉葢末數可用首
數平分即為有度盡之連比例數末數
例數也且首末兩數彼此有一數可以
度盡者此三數非相當比例之至小數
若首末兩數彼此無一數可以度盡者
此三數即為相當比例之至小數也如
有一數可以度盡之數而中數亦必為
此一數可以度盡之數試用二以度之
則得二四八之連比例三數或用四以
度之則得一二四之連比例三數皆與
四八十六之比例相同而比四八十六
之數為小故四八十六非相當比例之
至小數也如四六九之三數其首末兩
數為彼此無一數可以度盡之數故中
之至小數也明矣
第二十
凡同式兩平方數其間必有相連比例
一數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二
十四同式兩平方數此兩數之間必有
壬十二為相連比例之一數焉葢甲乙
丙丁戊己庚辛既為同式平方數則其
之比同於戊己四與戊辛六之比而甲
乙二與戊己四之比亦同於甲丁三與
戊辛六之比也今以甲丁三與甲乙二
相因得六甲丁三與戊己四相因得十
二則六與十二之比同於甲乙二與戊
己四之比矣又戊己四與甲丁三相因
得十二戊辛六與戊己四相因得二十
四則十二與二十四之比同於甲丁三
六與十二之比亦必同於十二與二十
相連比例之一數也如有甲四丙九兩
正方數此四與九兩數之間必有乙六
為相連比例之一數焉葢兩正方數其
式既同故必有相連比例一數且兩正
方數之比例同於其兩邊所作連比例
為二丙方邊為三求其與二三相當連
比例之第三數則以二自乘得四以三
自乘得九以二乘三得六此四與六六
與九之三數即為與二三相當之連比
例數而其首數四與末數九既與甲丙
兩方數等則中數六亦必為甲丙兩方
數間之連比例數矣
第二十一
為同式兩平方數相乘得一百四十四
即為正方數矣葢同式兩平方數之間
原有相連比例一數今此六與二十四
之間必有十二之一數且連比例三率
以首末兩率相乘與中率自乘之數等
則此六與二十四兩平方數相乘所得
之一百四十四即為中率十二自乘之
正方數其方根即原兩方根相乘之數
也如有甲四丙九兩正方數此兩數相
乘得三十六仍為正方數其方根為六
亦即甲方根二與丙方根三相乘之數
也葢此兩方數俱為正方即為同式兩
平方數矣因其式同故相乘亦仍得正
方數也凡數有先各自乘而後相乘者
有先相乘而後自乘者其理無異故其
復以六自乘得三十六此先相乘而後
自乘也且四與九積也積與積乘仍得
積二與三根也根與根乘仍得根此亦
理之必然者也
第二十二
凡兩正立方數之間必有相連比例之
數此八與二十七之間必有乙十二丙
十八為相連比例之兩數焉葢兩正立
方之比例同於其兩邊所作連比例隔
二位之比例見幾何原本十卷第四節今甲方邊為
二丁方邊為三求其與二三相當連比
例之第三第四數則以二自乘得四以
三自乘得九以二與三相乘得六此四
六九為連比例三數又以二遞乘此四
八二十七之三連比例數除相同者不
計其二十七即連比例之第四數則八
與十二十二與十八十八與二十七皆
為與二三相當之連比例數而其首數
八與末數二十七既與甲丁兩立方數
等則其中數之十二十八為甲丁兩立
方數間連比例之兩數可知矣
凡兩正立方數相乘得數仍為正方數
而其方根即原兩立方根相乘之數也
如有甲八丁二十七兩正立方數此兩
數相乘得二百一十六仍為正立方數
而其方根為六亦即甲立方根二與丁
立方根三相乘之數也葢此兩立方數
俱為正方即為同式兩立方數矣因其
式同故相乘亦仍得正立方也凡數有
得八三自乘再乘得二十七復以八與
二十七相乘得二百一十六此先各自
乘再乘而後以所得之數相乘也以二
與三相乘得六復以六自乘再乘亦得
二百一十六此先以兩數相乘而後以
所得之數自乘再乘也且八與二十七
根乘根仍得根此又理之自然者也
第二十四
凡兩平方數若一邊相等則此兩平方
之比例同於其不等邊之比例也如有
甲丙戊庚兩平方數其甲丙平方之甲
乙邊為四而戊庚平方之戊已邊亦為
四甲丙平方之乙丙邊為六而戊庚平
方之己庚邊為八則此兩平方數二十
四之六倍而戊庚平方數三十二者四
之八倍也然則二十四與三十二之比
即同於六與八之比矣二十四與三十
二之比既同於六與八之比則兩平方
數之比例同於其不等邊之比例可知
矣
第二十五
之比例同於其髙之比例也如有甲乙
丙丁兩立方數其甲乙立方之戊乙底
為六而丙丁立方之己丁底亦為六甲
乙立方之甲戊髙為四而丙丁立方之
丙己髙為五則此兩立方數二十四與
三十之比即同於其兩立方之高四與
五之比也葢甲乙立方數二十四者六
之四倍而丙丁立方數三十者六之五
同於其髙之比例可知矣
第二十六
凡兩線兩面兩體用一度如尺寸之屬可以
度盡者此類之線面體皆為有整分可
以度盡者也設如有甲乙兩線甲線分
為五分乙線如甲線度分之得七分無
者矣若將此二線各為正方面各為正
方體則其兩面兩體亦皆為整分彼此
可以度盡者也至如兩線兩面兩體不
可以一度度盡者此類之線面體皆為
無整分可以度盡者也如丙丁戊己方
面其丙丁邊線為五分而丙戊對角線
則為七分有餘乃為彼此無度盡之數
矣葢以丙丁邊之五分為度則丙戊線
此類之線面體皆為無整分彼此可以
度盡之數也
第二十七
凡正方一邊線與對角線無一度可以
彼此度盡者葢以本方積與對角線所
成方積比之必有一數非正方數也夫
對角線自乘所作之方數為本方積之
為二本方積四則對角線所作之方為
八此一與二四與八之間無相連比例
之整數故一為正方數則二非正方數
四為正方數而八亦非正方數二與八
既非正方數則邊必有零餘而不能盡
矣或對角線所作方積為四則本方積
為二對角線所作方積為十六則本方
積為八此四與二十六與八之間亦無
數而本方積復不能成正方數其邊必
有零餘而不能盡矣故凡正方邊線與
對角線斷無一度可以彼此度盡之理
也
第二十八
凡正方面與平圓面同徑者其積之比
丙丁正方面戊己庚辛平圓面其戊壬
庚之徑相等則此方積與圓積之比例
同於方周於圓周之比例也何以見之
以正方面之壬庚半徑為髙甲乙乙丙
丙丁丁甲之全周為底作一子甲直角
長形方則此長方形之積比正方形之
積必大一倍又以壬庚半徑為髙庚己
己戊戊辛辛庚全周為底作一壬庚直
邊與圓形之半徑等而三角形之大邊
與圓形之全周等者三角形之積與圓
形之積等也今此長方形與三角形同
底同髙其積比三角形必大一倍然則
壬庚長方形比圓形大一倍可知也夫
壬庚子甲兩長方形既同以壬庚為髙
則一邊數等一邊相等則其積之比例
比例原同於半與半之比例故兩長方
形之比例必同於庚庚與甲甲之比例
而方與圓之比例亦必同於庚庚與甲
甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圓
周然則方周與圓周之比例豈非方積
與圓積之比例乎
第二十九
凡有不知之一大數用兩小數度之不
幾次之分與大數之幾何也如有一大
之又少四數則以多一與少四相加得
五以六與五兩小數相減餘一為較數
除之仍得五即知兩小數各度五次也
試排㸃以明之其甲乙五即小數五丙
丁六即小數六以甲乙五累五次則為
丁六累五次則為甲戊丁丙長方三十
少四為戊庚於甲戊丁丙長方三十内
減去少數戊庚四為二十六於甲乙己
丙正方二十五加入多數丁一亦為二
十六是知大數有二十六用此五六兩
小數各度五次之分也以丁一與戊庚
四相加為丁戊五以小數甲乙五與丙
丁六相減餘一以一除丁戊五仍得五
與六相減所餘一者乃度一次之較而
一多一少相併之戊丁五者又為度五
次之較故以所餘一與度一次之比即
同於戊丁五與度五次之比其比例既
同故其數亦相等也
第三十
凡有不知之一大數用兩小數度之不
兩不足之數俱相減以兩小數之較度
之即得其度幾次之分與大數之幾何
也如有一大數用小數六度之多五數
用小數七度之仍多一數則以兩多數
相減餘四以六與七兩小數相減餘一
為較數除之仍得四即知兩小數各度
四次也試排㸃以明之其甲乙六即小
數六丙丁七即小數七以甲乙六累四
十四加入多數戊丁己五得二十九於
甲戊丁丙方二十八加入多數己一亦
得二十九是知大數有二十九用此六
七兩小數各度四次之分也以己一與
戊丁己五相減餘戊丁四以小數甲乙
六與丙丁七相減餘一以一除戊丁四
二十九之四次數也若以比例言之其
兩小數相減所餘之一乃度一次之較
兩多數相減所餘之戊丁四乃度四次
之較故以一與度一次之比即同於戊
丁四與度四次之比也又如有不知之
一大數用小數八度之少二數用小數
九度之少六數則以兩少數相減餘四
以八與九兩小數相減餘一為較數除
即小數九以甲乙八累四次則為甲乙
己丙方三十二内少二數為乙庚以丙
丁九累四次為甲戊丁丙方三十六丙
少六數為乙庚丁戊於甲乙己丙方三
十二内減去少數乙庚二為三十於甲
戊丁丙方三十六内減去少數乙庚丁
戊六亦為三十是知大數有三十用此
二與乙庚丁戊六相減餘戊丁四以小
數甲乙八與丙丁九相減餘一以一除
戊丁四仍得四與甲丙為相等故甲丙
為度大數三十之四次數也其比例亦
以兩小數相減所餘之較比度一次之
分即同於兩少數相減所餘之較比度
幾次之分也復有不知之一大數用兩
小數度之一小數度之而盡一小數度
幾次之分與大數之幾何其理皆相同
也
第三十一
凡數自少至多遞加之而各有定率者
謂之平加比例數也夫平加之數有毎
次遞加一者為挨次遞加之數如一二
三四之類是也有每次遞加二者為超
加三或遞加四或遞加五六皆是一理有每次増一加者
為按位相加之數如一三六十之類其
第二次加二第三次加三第四次加四
是也有每次増二加者為按位自乘之
數如一四九十六之類其第二次加三
第三次加五第四次加七是也復有一
種倍加者為挨次倍加之數如一二四
八之類每次皆加二倍又如一三九二
端今各列數分析於後
第三十二
凡挨次遞加之數將首數與末數相加
以位數乘之所得之數折半即為總數
也如一二三四五六七八九之九數其
毎次所加之數為一將首數一與末數
九相加得十以位數九乘之得九十折
也夫挨次遞加之數為等邊三角平面
形而兩數相乘即成四方形今以位數
九為髙末數九為底相乘所得之正方
形其數八十一較之總數則多較之總
數加倍之數又少此所少即一行之數
爰知位數與底數相乘所得之數比總
數加倍之數少一行之數矣既知挨次
遞加之數為三角形而位數與底數相
數矣兩三角形所合其底數必比高數
大一數故末數九為底數者加首數一
與髙相乘始成兩三角形所合之一方
形焉試將此九數作㸃排之自上而下
上一下九作為直角三角形復將此九
數另作一直角三角形合於原三角形
即末數與首數相加之數其積即為總
數加一倍之數也然則首數末數相加
與位數相乘為總數之倍數可知矣又
如四五六七八九之六數欲知其總數
亦以首數四與末數九相加得十三為
底以位數六乘之得七十八為長方形
折半得三十九為總數其理與前同若
但知首數為四末數為九不知位數則
何也凡自一遞加之數其末數即位數
今首數為四計自一是少三位矣故用
三即為所少之位數於末數内減去所
少之位即為今之所有之位數也
第三十三
凡超位平加之數亦將首數與末數相
加以位數乘之得數折半為總數也如
數一與末數十一相加得十二以位數
六乘之得七十二折半得三十六為此
六位之總數也葢此超位平加之數與
挨次平加之理無異其以首末兩數相
加與位數相乘者總欲得此總數之倍
數以便折半取之也試將此六位之數
作六層排之上一下十一以首末數相
加得十二而以位數乘之則六層皆為
成十二是首數末數俱加倍矣二層本
第二數三加第五數九而成十二五層
本第五數九加第二數三而成十二是
第二數第五數俱加倍矣三層本第三
數五加第四數七而成十二四層本第
四數七加第三數五而成十二是第三
數第四數亦俱加倍矣其每位之數皆
數乎由此推之毎次加三加四或加五
加六以至加七加八加九之類凡係超
位平加之數其理無不相同也
第三十四
凡毎次按位相加之數將位數加二與
末數相乘取其三分之一即為總數也
如一三六一十十五之五數其每次皆
按位加之如第二位於第一位一上加二為三第三位於第二位三
即是此五數之總數也如或止有位數
或止有每一邊數求總數則以位數加
一與位數相乘得數復以位數加二乘
之取其六分之一即得總數也若止有每一邊
數即以每一邊數加一與每邊數相乘得數復以邊數加二乘之取其六分之
一得數亦同葢毎次按位相加之數層疊排
之其式成等邊三角體其末一數即三
以位數加二為髙末數為底相乘即成
平行面之三稜體凡同底同髙之平行
面體為尖體之三倍則此平行面三稜
體内必有等邊三角體之三倍故以三
除之即得也然必以位數加二為髙者
何也以三三角體相湊乃成上下相等
之平行面體其髙必比原有之位數多
二層兩三角面相合比原位數多一層今三三角體相合故必比原位數
二乘之也其止有位數或每一邊數求
數加二乘之而用六除者何也葢位數
即底面之每邊數而底面又為等邊之
三角面今以邊數加一與邊數相乘成
長方面為三角體底面之倍數即如前
挨次遞加數之兩三角面相合所成之
亦倍彼以位數加二乘三角體之底所
成之平行面三稜體既為等邊三角體
之三倍矣今以位數加二乘三角體之
倍底所成之平行面長方體又必為等
邊三角體之六倍矣以兩三稜體相合即成長方體一三
除平行面長方體之數而得等邊三角
體之數也又或但知首數末數而不知
兩三角面所合之長方也其闊即三角
每邊數其長比闊多一數故用一為較
開帶縱平方則得三角毎邊之數既得
每邊數即得位數矣
第三十五
凡每次按位自乘相加之數將位數折
半與末數相加復以位數加一乘之取
六二十五之五數其每位之數皆按位
自乘之數如第二位之四即二自乘數第三位之九即三自乘數也
將位數五折半為兩個半與末數二十
五相加得二十七個半復以位數五加
一為六乘之得一百六十五以三除之
得五十五即為此五數之總數也如止
有位數或止有每一邊數求總數則以
位數加半個與位數相乘得數復以位
邊數加一乘之取其三分之一得數亦同葢按位自乘相加
之數層疊排之其式成方底四角尖體
其末一數即四角尖體底面數而位數
相加則成長方面為底再以位數加一
為髙乘之即成平行面之長方體凡同
底同髙之平行靣體為尖體之三倍則
三倍故以三除之即得也然必以位數
折半與末數相加為底復以位數加一
為髙者何也葢三四角尖體相湊乃成
上下相等之長方體其底比正方面必
多半行其髙必比原有之位數多一層
三等邊三角體相合比三角體原位數多二層今三方底四角尖體相合比原
位數止多一層葢因方底比三角底式大一倍故四角體髙比三角體髙所加
之數减一半也如止以末數為底則底必少半
數加位數之半而以位數加一乘之適
足三四角尖體之分也其止有位數或
每一邊求總數以位數加半個與位數
相乘復以位數加一乘之而用三除之
者何也葢位數即底靣之毎邊數而底
面又為正方面今以邊數加半個與邊
數相乘成長方面比正方止多半行之
一與邊數相乘為三角體底之倍數也
以位數加一與底面相乘成長方體比
方底四角尖體大三倍即如求三角體
總數以位數加二與倍底相乘為三角
體之六倍也彼三角體底倍之為長方
此四角體底數加半行即為長方彼三
角體總數六倍爲同邊長方體此四角
體總數三倍為同邊長方體故三角體
位數加二為髙與倍底相乘者今四角
體以位數加一與本底加半行相乘總
之四角體底式比三角體底式大一倍
體皆用其半也又或但知首數末數而
不知位數則以末數開平方即得位數
焉葢末數本為正方數故開方即得毎
第三十六
凡每次倍加之數將末數與加倍之數
相乘減去首數復以所加之分數除之
即得總數也如二四八十六四數為毎
次以二倍之之數欲求其總數則以末
數十六用二乘之因以二倍之故用二乘得三十
二減去首數二為三十復以其所加分
數一除之仍得三十即此四數之總數
比末數多一分仍多一首數故減去首
數二而以一除之即得總數也又如三
九二十七八十一四數為毎次以三倍
之之數欲求其總數則以末數八十一
用三乘之以三倍之故用三得二百四十二減
去首數三為二百四十復以其所加分
數二除之得一百二十即為此四數之
前幾數之倍數而仍多一首數今三乘
末數則比末數多二分仍多一首數三乘
末數八十一則為八十一者有三除本數八十一仍為多二分也故必
減去首數三而以二除之即得總數也
又如四十六六十四二百五十六四數
為毎次以四倍之之數欲求總數則以
末數二百五十六用四乘之以四倍之故用四
得一千零二十四減去首數四為一千
倍之數其末一數為前幾數之三倍而
仍多一首數今四乘末數則比末數多
三分仍多一首數四乘末數二百五十六則為二百五十六
者有四除本數二百五十六仍為多三分也故必減去首數
四而以三除之即得總數也凡此倍加
數故其比例皆同如遞加二倍之數其
十六之比亦皆同於二與四之比也又
如遞加三倍之數其九與二十七之比
同於三與九之比即二十七與八十一
之比亦皆同於三與九之比也即遞加
四倍之數其十六與六十四之比同於
四與十六之比即六十四與二百五十
六之比亦皆同於一與四之比也總之
以二倍加者皆一與二之連比例以三
加六倍加者其理亦無不相同也