句股引蒙卷二
海寜 陳訏 撰
開方
開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立方大籌置廉用散籌
平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一為十九个十九也立方則十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中并列并除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角之用也此所測之㸃非開方㸃定開位之㸃開平方法先㸃定開位從末單位㸃起如積實尾無單位者於尾位置○㸃起隔一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命分一㸃者根必單二㸃者根必十俱以次増先從左大數視平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬亦定矣立方同凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然初商法平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為初商若干此第一次除之商數名為方根㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌者用退位法除
以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平方籌左取某格近少除之為次商若干三商法
以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方籌之左除實同前法各商同此
每商置○定位三則開方定位依㸃逓加不用順尋逆尋法立方同三商式
如列實三㸃為三開從末零位㸃起每開一位㸃
前無餘該大籌單位除實三格内除
九為初商三寫三字在首㸃積實之
三 九 次商應倍初商之三列六號籌為廉除
○ 實若取近少莫如三格但次㸃位前實
止有二位而籌有三位不得除至次㸃
位後便須置○是為次商得○寫○於
次㸃位積實上隔○籌於平方籌左
三商既列六號籌○籌於平方籌之左
便應統取近少除至末㸃位止今四格
實之上
三商根必百故初商之三為三百
四商式
商數及置○與三商俱同前法
四商倍三商之四列八號籌於大籌之
左及前六號籌與○籌之右四格除盡
四商根必千故初商之三為三千
四商○○式
初商視平方籌取三格除九為初商得
三次商倍方根列六號籌於表左應除
至次㸃位止但次㸃前實止一位而法
之一格兩位下俱三位便須置○隔○
籌於前列籌右平方籌左為次商得○
位取近少在三格法有四位便須置○
隔○籌於前列籌右平方籌左為三商
得○四商四格恰除盡為四商得四
加籌
凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十數又當為升籌升籌
凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列於平方籌左而前商之四號籌去之隔籌
每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢置一○只應隔一○籌耳立方每隔○○兩籌與平方異命分
見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘不盡之實命為若干分之若干分
如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌連前商籌在内視第一格八四一命為八百四十一分之五百七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止視第一格而命其全數與現在不盡之分也求分杪凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣平方隔一位㸃是每開兩位故増○○
右皆開平方法其平方帶縱者開方附左平方𢃄縱列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊即正方加縱數即𢃄縱之長方
如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以平方開之得闊因以知其長
初商得二除四百步 又以商數二乗縱二
步二二如四除四十步 餘一百八十四步
又倍初商列四號籌次商四格除一百七十六步 又以商數四乘縱二步二四如八 共一百八十四步除盡為次商四開得闊二十四步 加縱二步為長二十六步比例分積式假如直田積四百五十步 長多闊一倍法平分其積得二百二十五步平方開之得闊一十五步倍之得三十步即長假如長田積二百五十二步 長比闊多四分分母之三分子
法以分子三加分母四共七為法以分母四乗積為實法除實得一百四十四步開方得闊一十二步又以闊一十二步七因四除之得二十一步為長長比闊多九步較之十二步為四分之三開立方法從末單位㸃起每㸃隔二位視列實位一㸃一開二㸃二開餘同凡一㸃者方根必單二㸃者方根必十以次而増先從列實左大位視立方籌取近少除之㸃前無餘除一二格之單位㸃前餘一除三四格之十位㸃前餘二除五六七八九之百位立方根單其積實必從單至幾百止如九之所積其平面自乗得八十一而立體則九與八十一相乗得七百二十九故根單必積實至百位而單位㸃起隔兩位至百也立方根十其積實必從幾千至幾萬幾十萬止如九十之所積其平面自乗得八千一百而立體則九十與八千一百相乗得七十二萬九千故根十其積實必從千位萬位至十萬位止而㸃亦隔兩位也餘以類推立方積實必得三位故一㸃一開二㸃二開而開數定於此矣一㸃者根必單二㸃者根必十方根定於此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃位止置○肇於此矣若尾位列實止於十則實右補一○列實止於百則實右補○○以便從單位㸃起若列實不至單位止則㸃位一錯而開數方根置○俱因之以錯矣故列至單位開方之異於籌除者在此初商法同平方視列實用立方大籌視單位十位百位依法取近少除之至前首㸃位止在第幾格為初商若干為方根次商以初商方根自之即自乗又三倍自乗之實得若干列某號籌於立方籌之左為平廉法再以初商方根竟三倍之列某號籌於立方籌之右為長廉法
視平廉籌及大籌某格近少列為平廉約數將平廉約數在某格之隅數即大籌兩行平寫之數乗立方大籌右之長廉如九格之八一為隅數即將長廉籌八格一格所列之數依大小次併之得若干數為長廉約法
併平廉長廉兩約數若干以減初商所餘之實至次㸃位止為次商若干
如併兩廉數浮於實須退位改商如位多於實應置○不得除至次㸃位後
右立方有平廉三長廉三與平方異三商去前商左右列籌以初商兩商自之又三倍之為平廉列籌於立方籌左再以初次兩商竟三倍之為長廉列籌於立方籌右如前商法除至三㸃位止四商以下皆同去前商籌依法列平廉長廉籌除至末㸃位止為四商若干如尚有餘實依命分法右前法俱前商之後即將前各商數自之又三倍之為平廉列籌視某格與餘實近少列為平廉約數再以前各商竟三倍之為長廉列籌俱依前法分列大籌左右視平廉約數在某格之隅數取以乗長廉得若干數為長廉約數其萬千百十各依位數附於平廉之本位併之而除餘實其隅數即在大籌之除格其廉積即在散籌之每格仍是於全數中除兩廉應除之餘實而隅數亦不煩再乗再除也梅定九先生籌算仍依古法先以前商三倍之為廉法以前商數自之又三倍之為方法以方法除餘積得次商既得次商用其數以乗方法為三平廉積又次商自乗以乗廉法為三長廉積再以次商為隅法以隅法自乗再乗得小立方形為隅積三共併之除餘積不知既列籌除則籌之每格即乗有廉之全積何必多此一乗且大籌在初商為方根在每商即為隅積今用籌倂除何必又自乘再乗耶
二開 次商三格以上是單位 四格以下是
十位
三開 三商三格以上是單位 四格以下是
十位
次商三格以上是百位 四格以下是
千位
四開 四商三格以上是單位 四格以下是
三商三格以上是百位 四格以下是
千位
次商三格以上是萬位 四格以下是
十萬位右隅數以末商三格以上是單四格以下是十起層累逓加法式二開商式假如積實六千八百五十九
兩㸃兩開
兩㸃根必十
㸃前無餘從單位
㸃俱隔二位連本位共三位
初商 列立方大籌視第四格之六四雖係近少然㸃前無餘必從單位除寜可在第一格除一蓋第二格雖亦單位然八浮於六不可除實故除一格之一為近少除去一千為初商一兩㸃根必十此初商一為方根一十
次商 以方根一十自之又三倍自乗之實得三百列三號籌於立方籌左為平廉籌又以方根竟三倍之得三十列三號籌於立方籌右為長廉籌前商餘實五八五九視平廉籌之九格三四二九相近列為平廉約數其九格之隅數八一乗長廉之三十得二千四百三十為長廉約數併兩廉約數共五千八百五十九除實盡在第九格為次商九
次商在九格除盡即次商隅數九亦在除内葢隅在長平兩廉相凑之角故次商之隅即同次商之商數其在大籌之第幾格者為隅之邊數而在第幾格之自乗者為隅之實數今與大籌並列同除故隅亦在其中也三平廉貼於前商方形之正面側面及或上或下而後成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全數也三倍之則所貼方根三面之平廉全數也但全數與方根等方而全數之積多於現在之餘積故於此三平廉全數中視某格與餘實近少而為平廉約數然此三平廉者與方根闊狹厚薄相等今三面貼凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有長廉三一縱二横補於平廉不能合縫之際始得凑合成方法以方根又三倍之者成三個長廉之全數也再以平廉之隅數乗長廉則為現在平廉貼身應得之數為長廉約數併之除餘實而隅亦在所除之中而此四面之方凑合無缺矣葢平廉以方根為準長廉以平廉為準而隅數與平廉長廉又互相為準數藏大籌巧在與大籌並列同除法精密矣初商次商退位除式假如積實一萬九千六百八十三
初商二十 積實兩㸃兩開方根必十㸃前餘一位應從立方籌之十位除實但籌之三格四格俱大於積實應退在第二格之八除八千籌格退位餘一一六八三
此退位不用三四格除實而退至二格者籌數浮於實數用退位除恰除至㸃位止故取二格之八為近少也此初商止退籌格不退商位次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一號二號籌列立方籌左為平廉以方根二十竟三倍之得六十取六號籌列立方籌右為長廉 雖九格一萬一千五百二十九相近然再加長廉便浮於實故不取九格凡平廉籌格與除至㸃位之實位數相當者則萬千十百之數亦必相符今㸃位前實係一萬一千六百八十三平廉九格恰五位便是一萬一千五百二十九矣蓋二開次商得九以九乗平廉法得廉約數一萬○八百加隅約數七百二十九共數如前以此推算即得實數然不如即視位數更為簡㨗故比㸃位少一位則其數必小多一位便須置○也八格之一○五一二雖更相近然若以八格之隅數六十四乗長廉之六十得三千八百四十併平廉八格之一○五一二為一萬四千三百五十二亦浮於現在之餘實故又應退格取七格之八千七百四十三單為平廉約數取七格之四九隅數乗長廉之六十得二千九百四十為長廉約數俱係千數可併進而除首位次位之一 一矣於是併兩廉約數共一萬一千六百八十三單除盡為次商七此退格約廉因籌數雖浮籌位不多於餘實故止退格而不改商也
自乗再乗還原
次商置○式 三商加○籌式
假如積實一億二千九百五十五萬四千二百一十六
㸃前餘二位
初商㸃前餘二位視立方大籌百位除實第五格之一二五近少除之得初商五百次商以方根五百自之得二十五萬又三倍之得
七十五萬為平廉列七號五號籌於立方籌左以方根竟三倍之得一千五百為長廉列一號五號籌於立方籌右若取平廉籌相近莫如第六格之四五二一六相近然次商應除至次㸃位止今籌位多實位少若依籌位即平廉巳除至㸃位後何况更有長廉是必變商之大位為小位則有後商㸃前之實應除而不患除至㸃位之後故應商數置○為次商○前二商式是退格併亷此處次商是退位再商故有置○不置○之别三商 因前平廉籌巳備三廉實數尚未商除而前商之○又無實數可三倍故不去前籌不將前商自之又三倍之止於立方籌左前平廉籌右加○○兩籌蓋立方毎㸃隔二位今加○○籌則前商變為後商變次商之十為三商之單矣故平廉籌仍照前七十五萬而七五列籌之第六格之四百五十萬相近又立方大籌六格之二百一十六單共四五○○二十六列為平廉約數再以隅數之三六在三開次商為三千六百者今為三開三商之三十六見前隅數定位以之乗三倍方根之一千五百為五萬四千列為長廉約數併之共四百五十五萬四千二百一十六除餘實盡為三商六
右共開方得五百○六自乘再乘還原
三商列籌不隔○ 商數置○式
四商隔○籌式 又商數置○式
五商又隔○籌式假如積實一萬七千三百一十八億即萬萬九千○百九十一萬六千七百二十九按他書十萬曰億算學書萬萬曰億後同
五開列實如左
五㸃五開
五㸃根必萬
㸃前無餘從單位
次商 以初商一萬自之得一億又三倍之得三億列三號籌於立方籌左為平廉以方根一萬竟三倍之得三萬列三號籌於立方籌右為長廉
視第二格之六○八近少為平廉約數以此三號籌二格之隅數四乗長廉之四得一二為長廉約數按隅數五開次商三格以上是百萬位
併之除七千二百八十億為次商二千三商 以前初商除一萬億次商除七千二百八十億餘實三八九○九一六七二九去前所列籌以初次兩商共一萬二千自之得一四四又三倍之得四三二列籌於立方籌左為平廉凡乗大數各存○餘位則從單位逆推乗數定位不紊
上圖如兩商一十二
萬自之得一億四千
四百○○萬
再以初次兩商一萬二千竟三倍之得三萬六千列立方籌右為長廉法
如法列兩廉約數取近少莫如九格三八九五二九但三商應除至三㸃位止今籌格六位而第三㸃前連㸃位亦止四位法實不符應商除退位不但變大數商為小數商又有後商㸃前之實可合籌格之多位應本商置○為三商○百四商 立方凡前商置○則後商應隔○○兩籌以當每㸃之隔二位列於平方籌左前商平廉四三二號籌之右為平廉再如法列長廉籌取兩廉約數併除餘實又莫如九格三八八○七二九但五開四商應除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而籌格有八故又應置○為四商○十五商 依立方法後商應去前商之廉籌另依商法置平長兩廉籌約數除實今前三四兩商俱未除實俱退商數置有○○今五商仍存前商廉籌及○○籌再加○○籌以當每㸃之隔二位列於立方籌左廉籌及○○籌之右為五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九為平廉約數此約數首位三係十億位
再以九格之隅數八十一五開五商次格以下是十位乗長廉之三萬六千得二百九十一萬六千為長廉約數併之除餘實至五開尾㸃位止為五商九
右五商共一萬二千○○九末商平廉長廉 三八八八○○○七二九二九一六
右五開式末商九是單數凡立方積不過至十位百位止今何以能除至三十八億九千○百萬各位之多葢三商○四商○雖兩商無除而○無定位列實未除之三八九○萬即皆前商平廉之所應有之數改商而未嘗改廉但因籌數位多實數位少故知三四商之皆應置○而前商未除之平廉其約數仍在至五商則但以五商之隅數乗前商原有之長廉以為長廉約數葢隅因亷為升降而亷依方限不因商為升降特借五商之九同格幷除非單九能除至十億位也立方帶縱方為闊加縱為長法與開方無異先視某格與方根近少為商數乗縱數再乗得縱積併入方積以減原實為初商次商以下更加縱積縱廉積除餘實為次商餘商同併兩商數得闊因闊以知長用㸃定開位悉依立方 縱積除至㸃後如初商視立方大籌某格近少之格數取為方根依定位列於原實之下又以方根之數因縱數若干即以因得之數再乗方根數得若干為縱積依定位列方根之下併減原實為初商若干按方根悉如開方法但未即除實如併縱積多于原實應退位或改商或退格在方根不可除至㸃後其併縱積則除至㸃位之後葢縱在立方之外積非立方之積不可以每㸃之位為定也如次商列平廉長廉法悉如立方先取平廉約數依定位列餘實之下再取長廉約數列平廉約數之下次以次商之商數有兩廉約數在某格即某格是商數因縱數得若干再以商數乗之為次商縱積依定位列兩廉約數之下又以縱數倍之為縱廉法乗初商數得若干以乗得之數與次商數乗之得若干為縱廉積依位列於約數之下共併之減原實為次商若干
右𢃄縱方兩開者次商之平廉必列至次㸃位止如有三開者則加縱積縱廉積除至次㸃位之後與開方不同止兩開者即併積亦必次㸃位止若併積之位浮於餘實應退格改商以除實若平廉各格多於㸃前之實或應退格或應置○同前開方置○法三商以下列廉法悉如前其縱廉法應乗上初商次商再以乗得之數乗末商為縱廉積併除實四商以下同如積實九萬七千二百○十○尺但云闊不及長三尺
初商近少在四格即方根四十闊不及長三尺即三為縱法乗初商之四十得一百二十此縱靣再以初商四十乗一百二十得縱積四千八百此縱體先以方根積六萬四千照位列實下又以縱積四千八百列方根積之千位下併之得六萬八千八百減原實為初商四十餘實二萬八千四百
不先除方根者恐加縱積多於原實故先併後除次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百為平廉列大籌左再以方根四十竟三倍之得一百二十為長廉列大籌右取平廉第五格二四一二五為近少為平廉約數以五格之隅數二五乗長廉之一百二十得三千兩開次商四格以下隅數是十為長廉約數列於平廉下之千位以縱法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五為次商縱積照定位列於兩廉之下又以縱法之三竟三倍之得六為縱廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百為縱廉積照定位列於縱積之下併之共除餘實二萬八千四百盡為次商五
右共開方四十五尺加長三尺為長四十八尺如積實二百萬○○○○○○尺 但云闊不及長三尺
三㸃三開 初商是百
初商一在大籌單位除實以三為縱法乗商數一百得三百此縱靣又以商數一百乗三百得三萬此縱體合方根積共一百○三萬減積實為初商闊之一百
按此初商除方根并除長三尺之縱但止除方根等形之縱未除次商後加縱廉積之縱次商依立方法平廉三萬長廉三百取近少三格九二七以相近因𢃄縱有縱積應加故退格約廉二格之六○八相近為平廉約數以第二格隅數四三開次商三格以上是百位乗長廉得一十二萬為長廉約數以縱法三尺乗次商二十取平廉長廉約數俱在二格即是二十得縱面六十又以商數二十乗縱面六十得縱積一千二百以縱法三尺倍之得六為縱廉次商方根加廉則所𢃄之縱亦應加廉但次商之縱是小於方根加廉之縱而非短於方根之縱止縱旁兩邊有廉而縱頂無廉故法止倍之乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得縱廉積一萬二千併之
縱廉積一萬二千共七十四萬一千二百減餘積仍餘二十二萬八千八百○十○單為次商二十三商平廉三千二百長廉三百六十依開方法置籌取第五格近少二十一萬六千一百二十五為平廉約數以第五格隅數二十五乗長廉三百六十得九千為長廉約數以縱法三尺乗商數五得一十五又以商數五乗一十五得七十五為縱積以縱廉六縱法三尺倍之得六乗初次兩商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百為縱廉積依法併之共二十二萬八千八百○○除實盡為三商五右共開方一百二十五尺加縱三尺為一百二十八尺按立方𢃄縱初商未開之前其所開之方未有定數而縱長三尺則有定數然雖有定數而如三開者其方闊必等於每開立方之邊或匾縱或長縱故每商必先依開方法開本身立方之方再以縱之三尺乗商數得縱之面更以商數乗縱之面而得縱之積在初商無廉故止併方根積與縱積除實為初商若干也至於次商則方根有廉而所立之方其形更大於方根今𢃄縱方則其長雖定於三尺而其方之大小應與次商之方相等但立方之廉有三而此𢃄縱方則縱首無廉止應兩旁有廉故廉止於二但此兩廉亦止如方根之方其合縫之處亦如立方平廉之不能凑合必有一長廉焉於是以縱法乗次商而得𢃄縱長廉之面又以次商商數乗縱面而得𢃄縱長廉之積此所謂縱積也其實乃𢃄縱之長廉積也于是𢃄縱之兩平廉以縱法倍之即以乗初商之數為𢃄縱平廉之面以此𢃄縱平廉之面乗次商商數而得𢃄縱平廉之積於是所𢃄之縱其縱則定於三尺而其方之形與次商之方等矣葢其法與開立方同而立方則先有平廉後有長廉今開所𢃄之縱乃先有長廉後有平廉此為異耳至三商與次商同惟縱廉積以縱法乗初商次商之商數而以乗得之數再乗三商之商數葢必連初商次商再乗三商方是三商𢃄縱之平廉其廉比初商次商較薄而其方之形則初商次商後之三商其闊狹與三商有廉之方相等其理一也附立方減縱法假如立方積五千七百七十六尺 但云長不及闊三尺
初商除一格之單位因二格之八浮於列實故止除一格之一為商數以三尺為縱法乗商數一十兩㸃根必十得三十再以三十乗商數一十得縱積三百以初商方根積一千減去縱積三百餘七百以減原實為初商一十
餘實五千○七十六尺次商依開立方法列平廉長廉籌近少取三號籌次商以初商自之又三倍之之九格三千四百二十九為平廉約數以隅乗長廉得二千四百三十尺為長廉約數合之為五千八百五十九其數稍浮於實者立方積也後以縱積等減之乃成匾方形故凡減縱之末商必約數浮於實以待後減為立方兩廉約數次以縱法三尺乗次商九得二十七尺為縱面又以次商九乗縱面之二十七得二百四十三尺為立方減縱之長廉積今名縱積次以縱法三尺倍之得六尺為縱廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺為立方減縱之兩平廉積今名縱廉積合縱積縱廉積共七百八十三尺以減立方之兩廉約數餘廉積五千○七十六尺減餘實盡為次商九此餘廉積即前立方兩廉不浮之約數葢既先于前所稍浮之立方廉約中除縱廉等積則所餘者乃方根應有各廉之真數因本商未除故末後除之而合也
右共開得闊一十九尺減長不及闊三尺為十六尺長
以上𢃄縱方開法初商方根積必至首㸃位止次商平廉長廉共約數必至次㸃位止不得除至㸃位之後惟減縱每商之廉其約數應稍浮于列實以待後減縱廉等積