勾股引蒙卷四
海寧 陳訏 撰
三角法
八線全圖
周四分之為一象限每一象
限各九十度又名弧度六
凡在一象限不及九十度者為鋭角如丙凡過一象限多於九十度者為鈍角凡言角以中一字為所指之角如甲乙癸凡求某角者求其角之對弧度與分凡求某角即本角之弧矢弦割切為正其外為餘凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半
徑無増減常為十萬弧中旋轉可如弦如句凡正角以半徑全數為正弦凡鈍角以外角之正餘弦為正餘弦直角即正方角一名勾股形有角有邊求餘角餘邊直角之一假如壬癸丁勾股形有丁角五十七度壬丁弦九十一丈八尺求餘角餘邊
先求癸丁邊
術曰以半徑全數比丁角之餘
弦若壬丁弦與癸丁句
二率原設句丁角五十七度餘弦 五四四六四 相乗
三率今有弦壬丁邊 九十一丈八尺 為實
四率今所求句癸丁邊 五十丈 法除實得所求
右三率法後同 半徑即乙丁餘弦即甲丁求壬癸邊以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
一率原設弦半徑 一○○○○○
三率今有弦壬丁邊 九十一丈八尺
四率所求股壬癸邊 七十七丈
求壬角
以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十三度為壬角
右例先得弦以求勾股假如壬癸丁勾股形有丁角六十二度癸丁勾二十四丈求餘角餘邊求壬角以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角 平面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形癸則於一象限内減丁角之度其餘度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切線為股丙丁半徑為
角原有之線 今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股形既同丁角則其比例等求壬丁邊
以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁弦
一率原設勾半徑 一○○○○○
二率原設弦丁角六十二度割線 二一三○○五
三率今有勾癸丁邊 二十四丈
四率所求弦壬丁邊 五十一丈一尺
以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股
一率原設勾半徑 一○○○○○
二率原設股丁角六十二度切線 一八八○七三
三率今有勾癸丁邊 二十四丈
四率所求股壬癸邊 四十五丈一尺
右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及勾亦同
按半徑隨弧旋轉無有増減故可為弦為勾為股各隨比例之所取用視邊與線之縱横小大為比例有邊求角直角之二假如壬癸丁勾股形有壬丁弦一百○二丈二尺癸丁勾四十八丈求二角一邊求丁角
一 壬丁邊 一百○二丈二尺
二 癸丁邊 ○四十八丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 四六九六六
以所得餘弦檢表得六十二度為丁角度右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例矣然丁角必求餘弦為四率者蓋若求正弦正切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以癸丁邊比壬丁邊若餘弦甲丁與正割壬丁之例然餘弦尚未求得又無可為比故以壬丁弦比癸丁句若乙丁弦之半徑與甲丁勾之丁角餘弦相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無比例中尋出比例矣求壬角以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角求壬癸邊以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股
二 丁角六十二度正弦 ○八八二五九
三 壬丁邊 一百○二丈二尺
四 壬癸邊 ○九十丈○二尺三寸
右例以邊求角而先知方角故止用二邊此先有之邊是弦與勾故求壬癸邊之股者以壬丁邊之斜弦為比而正弦如股半徑旋轉如弦可線與線相比以為邊與邊相比之例也若先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角法假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九十丈癸丁邊五十六丈求角求癸角
六十二丈為總又相減得五十丈為較以
較乘總得八千一百丈為實以壬癸邊
九十丈為法除之仍得九十丈與壬癸
邊數等即知癸角為正方角
求丁角
以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線
一 丁癸勾 五十六丈
三 半徑 一○○○○○
四 丁角切線 一六○七一四
以所得切線檢表得五十八度○六分為丁角有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之切線求壬角以丁角五十八度○六分與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼用三邊鋭角有兩角一邊求餘角餘邊鋭角之一假如乙丙丁鋭角有丙角六十度丁角五十度丙丁邊一百二十尺求乙角
以丙角六十度丁角五十度相併得一百一十
度以減半周一百八十度餘七十度
為乙角
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之線比乙角相對之邊若他
角之線與他角之邊
求乙丁邊
以乙角正弦比丙丁邊若丙角正弦與乙丁邊
一 乙角七十度正弦 九三九六九
三 丙角六十度正弦 八六六○三
四 乙丁邊即丙角對邊 一百一十尺○六寸
以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處以線比邊下求乙丙邊同求乙丙邊以乙角正弦比丙丁邊若丁角正弦與乙丙邊
一 乙角七十度正弦 九三九六九
三 丁角五十度正弦 七六六○四
四 乙丙丁角對邊 ○九十七尺八寸
右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與一角相對亦同有一角兩邊求餘角餘邊鋭角之二假如甲乙丙鋭角形有丙角六十度甲丙邊八千尺甲乙邊七千○三十四尺求乙角
以甲乙邊比甲丙邊若丙角正
弦與乙角正弦
一 甲乙邊 七千○三十四尺
二 甲丙邊 八千尺
三 丙角六十度正弦 八六六○三
四 乙角 正弦 九八四九六
檢表得八十度○三分為乙角凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大邊亦若正弦小之比大而可得角也此以小比大也求甲角以丙角乙角相併得一百四十度○三分以減半周餘三十九度五十七分為甲角求乙丙邊以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邊與乙丙邊
一 乙角八十○度三分正弦 九八四九六
三 甲丙乙角對邊 八千尺
四 乙丙甲角對邊 五千二百一十五尺
乙角以乙丙為底其正弦從甲下垂故弦長甲角以甲丙為底正弦從乙下垂故弦短今乙丙邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正弦為例也
右例有兩邊一角而角與一邊相對假如甲乙丙鋭角形有甲丙邊四百尺乙丙邊二百六十一尺○八分丙角六十度角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊先求中長線分為兩勾股形
以半徑比丙角正弦若甲丙邊
與甲丁中長線
此下四則皆為求甲乙邊與甲全角故先求分形之邊及
分形之角
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十度正弦 ○八六六○三
三 甲丙邊 四百尺
求丙丁邊求中長線專為分邊而求以半徑比丙角餘弦若甲丙邊與丙丁邊
一 半徑 一○○○○○
二 丙角六十度餘弦 ○五○○○○
三 甲丙邊 四百尺
四 丙丁邊 二百尺
求角者須先審四率之線應求某線而以邊之可比例者為一二率求邊者須先審二率應用某線可與四率之邊相比例而以一率三率比之盖邊有定在而線則隨所比例而變其所取也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙在八線餘弦限於正弦而不越於正弦之外與丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙故二率取為比例而得丙丁之分邊求乙丁邊以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁求丁甲乙分角以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切線
二 乙丁分邊 ○六十一尺○八分
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角切線 ○一七六三三
檢切線表得一十度為甲分角右求分角之線自必以分邊為例則所得之線乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角之對邊故分邊之線為分角之度求甲乙邊以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊
一 半徑 一○○○○○
二 甲分角十度割線 一○一五四三
四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分
右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊求甲全角以丙角六十度之餘角三十度即分形甲丁丙之甲分角與求得甲分角一十度相併得四十度為甲全角求乙角以甲分角一十度減象限得八十度為乙角或併丙甲二角減半周同
右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對故用分形以取勾股用切線分外角梅本新増假如甲乙丙鋭角形有甲丙邊四百尺乙丙邊二百六十一尺○八分丙角六十度求甲角
以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙角六十度減半周得外角一百二十度半之得半外角六十度檢其切線依三率法求得半較角以減半外角得甲角
一 兩邊總 六百六十一尺○八分
三 半外角切線 一七三二○五
四 半較角切線 ○三六三九七
檢切線表得二十度為半較角轉與半外角六十度相減得甲角四十度求乙角以甲丙二角相併共一百度以減半周得餘八十度為乙角求甲乙邊以甲角四十度正弦 六四二七九比丙角六十度正弦 八六六○三
與甲乙邊 三百五十一尺七寸五分
按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外角既中分外角之半則此較角亦必中分較角之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙角若干之半名半較角也所以求切線者盖切線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割之半較角則莫如半外角之切線比半較角之切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為補圖明之如左
若弧三角所容三角不止
三個如平方立方有面體
之别後同
有三邊求角鋭角之三假如甲乙丙鋭角形有乙丙邊二十丈甲丙邊一十七丈五尺八寸五分乙甲邊一十三丈○五寸
求兩勾相減之數為勾較
任以乙丙大邊為底從甲角作甲丁虚
垂線至底分為兩勾股形
一甲丁丙形以甲丙邊為弦丁丙為勾
一甲丁乙形以甲乙邊為弦丁乙為勾
兩弦相併為總相減為較 兩勾相併
一 兩勾之總即乙丙 二十丈
二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分
三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分
四 兩勾之較即丙戊 六丈九尺四寸六分
此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙至丙之勾似丙角之餘弦然餘弦長短必限於正弦今甲丁中垂線即丙角之正弦今若求丙角餘弦又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊既得勾較則可加分形之勾戊丁而得丁丙分邊與丙角之餘弦等以之比例而得丙角之餘弦即查表得丙角之度求分形之兩勾以勾較六丈九尺四寸六分減勾總二十丈即乙丙餘乙戊一十三丈○五寸四分半之得丁乙即戊丁六丈五尺二寸七分為甲丁乙分勾之形又以戊丁六丈五尺二寸七分加勾較六丈九尺四寸六分即戊丙得丁丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形求丙角以甲丙弦比丁丙勾若半徑與丙角餘弦
一 甲丙邊 一十七丈五尺八寸五分
二 丁丙分邊 一十三丈四尺七寸三分
三 半徑 一○○○○○
四 丙角餘弦 ○七六六一六
先求分形大半之甲角以丙角四十度減象限餘五十度為丁甲丙分形甲角
次求分形小半之甲角以甲乙弦比丁乙勾若半徑與分形甲角之正弦
一 甲乙邊 一十三丈○五寸
三 半徑 一○○○○○
四 甲分角正弦 ○五○○一五
以甲丁為底則甲乙邊如半徑而乙丁邊如甲分角之正弦檢正弦表得三十度為丁甲乙分形之甲角併分形兩甲角先得五十度次得三十度得共八十度為甲全角求乙角併丙甲二角共一百二十度以減半周得餘六十度為乙角鈍角有兩角一邊求餘角餘邊鈍角之一假如乙丙丁鈍角形有丙角三十六度半乙角二十四度丁乙邊五十四丈求丁角
半周得餘一百一十九度半為丁
鈍角
以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邊與乙丙邊
一 丙角三十六度三十分正弦 五九四八二
二 丁角一百十九度三十分正弦 八七○三六
三 乙丁邊 五十四丈
四 乙丙邊 七十九丈○一寸
右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減半周用之凡鈍角同求丁丙邊以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角三十六度三十分正弦 五九四八二
二 乙角二十四度正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五十四丈
四 丁丙邊 三十六丈九尺二寸
凡鈍角以外角之正弦為正弦蓋即
此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙
之外角至於正弦皆以本角之勾為
底以割線半徑同與弧之相界處直線
垂下與本角之底為正方直角如圖
乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角
之割線夘丁如外角之餘弦而夘乙
則外角之正弦也至如丙角以丙丁
為底其正弦丑丁近乙丁邊乙角以
補圖明之
有一角兩邊求餘角餘邊鈍角之二假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形此鈍角所對之弧度分甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百一十七尺前則用他角求鈍角此則用鈍角求他角
乙角為鈍角
乙丁為丙角正弦
甲戊為鈍角用外角之正弦
求丙角
以甲丙邊比甲乙邊若乙角正弦與丙角正弦
一 甲丙邊 四千尺
二 甲乙邊 三千五百一十七尺
檢表得丙角六十度
按乙角為鈍角其所用外角之正弦即鈍角九十九度五十七分減半周一百八十度所餘八十度○三分之外角其所有之正弦也每度六十分求丙角者止丁外角之正弦可比丙角之正弦故先以甲丙邊比甲乙邊為例俱以長比短而縱與縱為同類求甲角併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半周得餘二十度○三分為甲角求乙丙邊以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙邊與乙丙邊
一 乙角九十九度五十七分正弦 九八四六九
二 甲角二十度○三分正弦 三四二八四
三 甲丙邊 四千尺
右甲角正弦以甲丙為底乙已即甲角正弦與甲已為正方角此二則皆以大比小右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如左假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊一千○八十尺乙丙邊一千五百八十二尺乙角二十四度
乙角乙丁為底丑丁為正弦 乙丁
即餘弦 丙角丙丁為底子丁為正
弦
先以半徑比乙角正弦若乙丙邊與丙戊邊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十四度正弦 ○四○六七四
四 丙戊邊即虚垂線 ○六百四十三尺
又以半徑比乙角餘弦若乙丙邊與乙戊
一 半徑 一○○○○○
二 乙角二十四度餘弦 ○九一三五五
三 乙丙邊 一千五百八十二尺
右以原邊乙丁一千○八十尺與引長乙戊邊相減得丁戊三百六十五尺為形外所作虚勾股形之勾先得丙戊垂線為股原有邊之丁丙為弦求丁丙邊依勾股求弦法以丙戊股自乘四十一萬三千四百四十九尺丁戊勾自乘一十三萬三千二百二十五尺併之得數五十四萬六千六百七十四尺為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邊求丙角以丁丙邊比丁乙邊若乙角正弦與丙角正弦
二 丁乙邊 一千○八十尺
三 乙角二十四度正弦 四○六七四
四 丙角 正弦 五九四四二
檢表得丙角三十六度二十九分求丁角以丙乙二角併之共六十度二十九分以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有乙丁邊可為丙角正弦之比例凡正弦必在本角相對之邊然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正弦比丙角正弦之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如勾股之斜弦當以勾股求弦法求之今丁戊無勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虚股再求乙戊邊以作虚勾而後用勾股求弦法而得丙丁之邊三邊既得則每角之正弦必近本角所對之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正弦相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正弦子丁近乙丁邊而乙角之正弦子丑近丙丁邊故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角又求得丙角則丁角半周減之即得矣
右兩邊一角而角不與邊對用切線分外角梅本新増假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊五百四十尺丙乙邊七百九十一尺乙角二十四度
求丙角
以丁乙丙乙兩邊相併為總相減為較又以乙角二十四度減半周得外角一百五十六度半之得半外角七十八度
一 兩邊之總 一千三百三十一尺
二 兩邊之較 ○二百五十一尺
三 半外角切線 四七○四六三
四 半較角切線 ○八八七一九
檢表得半較角四十一度三十五分以減半外角七十八度得餘三十六度二十五分為丙角求丁角併乙丙二角共六十度二十五分以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角求丁丙邊以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊
一 丙角三十六度二十五分正弦 五九三六五
二 乙角二十四度正弦 四○六七四
三 乙丁邊 五百四十尺
分
右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾股求弦法求丙丁邊先補虚勾虚股以求丙丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外角切線與半較角切線補圖明之如左
甲庚癸為半周子庚為半徑
甲壬為乙角度壬辛癸為外角
壬辛為半外角割子夘為半外角
線夘為半外角切壬
線丑為半較角切己
線辛為半較角己
新式三邊求角鈍角之三假如乙丙丁鈍角形有乙丙邊三百五十尺乙丁邊六百○七尺丁丙邊三百尺
右有邊無角
術自乙角作虚垂線至甲又引丁丙線横出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形又横線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁邊為大形乙甲丁之弦乙丙邊為小形乙甲辛即乙甲丙之弦兩弦相併為總相減為較先求勾總此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯丙丁句似丁角餘弦然丁角以乙丁為半徑則乙甲為正弦而餘弦應自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之餘弦故必先求甲丁勾始與丁角餘弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之餘弦以查表而得丁角也
三 弦總即乙丁乙丙二邊相併 九百八十二尺
四 勾總即丁辛 七百五十九尺四寸
以勾較三百尺減所得勾總七百五十九尺四寸餘數四百五十九尺四寸半之得數二百二十九尺七寸為小形之勾甲丙以甲丙小形之勾加丁丙較三百尺得數五百二十九尺七寸為大形之勾甲丁求丁角
以乙丁弦比丁甲勾若半徑與丁角之餘弦
一 乙丁弦 六百○七尺
二 甲丁勾 五百二十九尺七寸
三 半徑 一○○○○○
四 丁角餘弦 ○八七二六五
鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之弦乙丙即此鈍角丙之外角割線以甲丙勾比乙丙弦若半徑與丙角之割線
一 甲丙勾 二百二十九尺七寸
二 乙丙弦 三百七十五尺
三 半徑 一○○○○○
四 丙角割線 一六三二五六
檢表得丙角五十二度一十四分為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜弦實即丙角之割線至於求丁角求丙角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作弦丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可弦顧隨所取用耳求乙角併丁丙二角所得度分共一百五十七度以減半周得餘二十三度為乙角
右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線同鋭角之三
補圖 乙丙丁三角形 乙己為丙角
弧度 乙辛為丙外角 丙戊
乙甲即中長線 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之弦 戊辛
為切線
右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為割線求度分之法盖割線乃象限中所割各度之線必與切線相遇以為増減割線割於弧内切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止九十度而自一度至四十四度為平度自四十五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四十四與四十五同表四十三與四十六同表以至○度○分則與八十九度六十分同表此作八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象限之外在八線無半弧之表可查則用外角之線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也勾股引䝉卷四