少廣補遺
海寧陳世仁撰
少廣補遺第一篇
凖本章平立方員開三角及諸尖一十二法一平尖置倍實平方帶一縱開之得本數之底數與其徑數二立尖置六倍實立方法開之内闕一縱所得之數溢於本數之底與徑數一數
三倍尖除原實末必五數進一十除之得本數之底數四方尖尖内諸自乗數依根數序次相併置三倍實先開立方次以立方根開平方一半平方一次除半方根得本數之徑數與其底數五再乗尖尖内諸立方依根數序次相併置實二除之於除得數内復減原實平方開之繼以開得數為實帶一縱方開之得原數之底數 從底數逆數至尖數偶者得底所對之前數數竒者得自尖及底之中數中數與底相乘對數加一五數於數之次亦與底相乘所得數為本數徑數六抽竒平尖置實以帶一縦方開之得本數徑數亦得本數逆數至尖所對之前數以得本數底數七抽偶平尖置實平方法開之得本數徑數亦得本數逆數至尖自尖數至底之中數以得本數底數八抽偶數立尖本尖内層數及層内諸數偶者盡去之抽竒法反之以前方尖法開之得本數徑數亦得本數自尖數至底之中數以得本數底數
九抽竒數立尖三倍置實立方法開之闕一縦以所得數減一得本數徑數亦得本數逆數至尖所對之前數因得本數底數十抽竒偶數方尖前立尖法開之得本數底數以底數逆數至尖得自尖及底之中數或平分數因得本數徑數十一抽偶再乘尖二除原實闕半縦平方法開之方之所得之數即得徑數平尖抽偶法收之得本數之底數十二抽竒再乘尖二除原實平方法開之方之所得之數即徑數平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分數倍之得本數之底數少廣補遺第二篇
一本尖内層數偶者去之置原數十之而加二為實立方帶平方法開之次除半平方闕一縦所得數溢於本數底倍於本數徑各一數二本尖諸層内數偶者去之原數就位十之而加五為實立方法開之所餘數及半方根者五除方減一即本數之底與徑數 立方帶平方法開之所餘數及半平方又半方根者五除方得本數徑數復減一即本數底數三本尖内層數竒者去之一十二倍置實立方帶平方法除之餘實就方根増一數取縦其方之根視本數底數及本數徑倍數各溢一數其縦之限視本數徑數及本數底半數各朒一數四本尖諸層内數竒者去之原數就位十之而加五為實立方法開之闕一縦者所得數減一以五除之即本數之底與徑數 立方帶平方法開之所餘數及半平方又半方根者五除方得本數底數復減一即本數徑數少廣補遺第三篇
準本章帶縦諸方開三角及諸尖之半積為三角帶一鈍角形 諸尖先得徑數以法算得底數
一平尖徑之半平方加半縱減原實為正實 以徑除正實得數徑數加之
二抽竒平尖徑之平方加一縦減原實為正實 徑除正實得數倍徑加之
三抽偶平尖徑之方減原實為正實倍徑除正實得數徑數加之五除減一取之
四立尖徑之立方一平方三及倍徑為數六而一之減原實為正實徑竒者徑除正實得數次置徑加一而二除之為半平方加半縦併徑除正實之數半平方加半縦法開之復置徑減一亦二除之與開得數併之 徑耦者半徑除正實得數次置徑二除之而加一為平方并半徑除正實之數平方法開之復置徑二除之減一與開得數併之
五方尖諸數自乗依根數序次相并四因原數為正實置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數六而一之減先得正實為次得正實 徑除次得正實得數以徑之加一為平方併之方法開之開得數復置徑減一相并二除之少廣補遺第四篇
一抽偶立尖本尖内層數偶者去之置徑倍之取其方與立方又半平方闕一縦為數一十二而一之減原實為正實 徑竒者徑除正實得數以徑之半平方加半縦并之半平方加半縦法開之開得數復置徑減一并之 徑偶者半徑除正實得數徑之加一縦方并之加一縦方法開之開得數置徑減一并之
二抽偶立尖之二本尖内層數及諸層内數偶者皆去之置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數二十四而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數次置徑加一而二除之為平方并徑除正實之數方法開之開得數五除之減一與徑之減一之數并之 徑偶者半徑除正實得數次置徑二除之又置徑二除之而加一各為方以并半徑除正實之數復減一而二除之帶一縦方開之開得數五除之而加一與徑之減二之數併之
三抽竒立尖本尖内層數竒者去之置徑倍之而益一取其方與立方為數復置徑倍之而益二與徑之減一相乘得數併之一十二而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數以徑之益一數為半平方帶半縦并之半方帶半縦法開之開得數徑之減一并之 徑偶者半徑除正實得數以徑之益一數為帶一縦方并之帶一縦方法開之開得數以徑之減一并之
四抽竒立尖之二本尖内層數及諸層内數竒者皆去之以徑之立方及三平方與倍徑為數三而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數次置徑加一而二除之為帶一縦方并徑除正實之數帶一縦方開之開得數二因之復置徑減一并之 徑偶者半徑除正實得數次置徑二除之而加一為兩平方併半徑除正實之數減二而以二除之帶二縦方法開之開得數復二因而以徑加之
五抽竒偶方尖諸自乗數依根數竒偶序次相并置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數六而一之減原實為正實 徑除正實得數次置徑加一為平方并之方法開之開得數置徑減一并之少廣補遺第五篇
開抽偶立失之半積合失内竒偶諸層取層内數偶者去之先得徑數以法算得底數
其一得徑偶徑之立方與三平方及倍徑并之一十二而一之減原實為正實 以半徑除正實得數復分半徑竒偶御之半徑竒者置半徑加一為方而二除之以并半徑除正實之數復二除之平方開之方之所得之數五除減一與半徑減一之數并之 半徑偶者置徑四除之復置徑四除之而加一各為方以并半徑除正實之數減一而二除之帶一縦方開之方之所得之數五除減一與半徑并之 如得正實之後或半徑除之不盡與雖盡而并别數平方帶一縦方開之不得者設别法如下條如前取徑之立方與三平方及倍徑并之一十二而一之復置徑益二而二除之取其數為平方減一與前數并之減原實為正實 半徑除正實得數分半徑之竒偶御之 半徑偶者置徑四除之而益一為平方以半徑除正實之半并之平方開之開得之數五除減一與半徑并之 半徑竒者置半徑益三而二除之為方復置半徑益三而二除之轉減一為方合之以并半徑除正實之數減一而二除之帶一縦方開之方之所得之數五除減一與半徑益一之數并之其一得徑竒置徑減三而取其倍數及其立方與三平方并之六而一之減原實之倍數為正實 置徑減一而二除之為法分法之竒偶御之 法竒者法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法減一為方并法除正實之數以方開之餘實之不及方者法因之而折半若前有剰實者亦折半并之以平方開之 偶者法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法二除之復置法二除之而減一各為方倍之以并法除正實之數減一而平方開之餘實之不及方者法因之而折半如前有剰實者亦折半并之以平方開之 凡餘實因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之 餘實之方二因之而減一為正方與前方較其贏絀若正方絀者徑之減一之數并之也其絀以法之加二其贏以法為準少廣補遺第六篇
開抽竒立尖之半積合尖内竒偶諸層取層内數竒者去之 先得徑數以法算得底數
其一得徑偶置半徑之立方與三平方及全徑并而十之一十五而一之以其數減原實為正實 半徑除正實得數分半徑之竒偶御之 半徑竒者置半徑加一而二除之為帶一縦方倍之并半徑除正實之數復加倍以帶二縦方開之開得數置半徑減一并之 半徑偶者置徑四分之為帶一縦方復置徑四分之而加一亦為帶一縦方并半徑除正實之數皆倍之平方開之若原徑過四以上者置徑減四而二除之數并之 上法如有不合或得正實之後半徑除之不盡與雖盡而并别數平方帶二縦方開之不得者設别法如下條置半徑之立方與三平方及全徑并而十之一十五而一之復置半徑益一為帶一縦方并之損二為數以減原實為正實 以半徑除半正實得數分半徑之竒偶御之 半徑竒者置半徑加一而二除之復加一而為平方并半徑除半正實之數皆四因之平方開之開得數半徑減一并之 半徑偶者置全徑四除之益一為帶一縦方并半徑除半正實之數皆四因之帶二縦平方開之開得數半徑并之
其一得徑竒置徑減三折半而取其倍數及其立方與三平方并而十之一十五而一之減原實為正實 復置徑減一折半為法視法之竒偶分御之 法竒者以半法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法減一為帶二縦方并之帶二縦方法開之餘實之不及方者倍法因之若前有剰實者四因併入而開帶二縦方其視前方贏絀之數法之加一為率 法偶者半法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置半法與半法之減一各為帶一縦方加倍并之平方法開之其餘實之不及方者倍法因之若前有剰實者四因併入而開帶二縦方其視前方贏絀之數絀者以法之加二贏者以法為率 凡餘實因倍法不可為帶二縦方或為之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方較前方絀者置徑之減一并之少廣補遺第七篇
如數一 一四 一四九一十二倍置實帶一縦平方法開之開得數益一復方之所得數溢於本數之底與徑一數二抽偶方尖準立尖三倍置實闕半縦平方開之帶一縦方法收之得本數底加一以二除之之數與本數徑數三抽竒方尖準立尖三倍置實帶一縦平方法開之開得數益一復方之得本數底二除益一與本數徑益一數四立尖還準立尖
如數一 一一二 一一二一二三六倍置實帶一縦方開之開得數益一倍之仍除帶一縦方得本數底與本數徑溢一數少廣補開尖法設如
第一準本章平立方圓開三角及諸尖計一十二條
平尖設如 原數六倍數一十二 帶一縦方根三
尖之實 一 二 三立尖設如 原數十六因數六十 闕一縦立方根四 減一得三
尖之實 一 一二 一二三倍尖設如 原數七二除數三五 末五進一十除得四
尖之實 一 二 四方尖設如 原數十四三因數四十二 立方二十七 平方九 半平方四五 半方根一五
尖之實 一 四 九再乘尖設如 原數三十六二除數十八 内復減原實餘一四四 平方根十二帶一縦方收得三 三數逆至尖得中數二二乘三得六
尖之實 一 八 二十七再乘尖又設如 原數一百二除數五十 復減原實餘四 平方根二十 𢃄一縦方收得四 四數逆至尖得對數二 加五數於對數之次得二五四因二五得十
尖之實 一 八 二十七 六十四抽竒平尖設如 原數十二𢃄一縦方根三 對數三全數六
尖之實 二 四 六抽偶平尖設如 原數九平方根三 中數三全數五
尖之實 一 三 五抽偶數立尖原註本尖内層數及層内諸數偶者去之設如 原數十四方尖法開之得三 中數三全數五
尖之實 一 一三 一三五抽竒數立尖原註尖内層數及層内諸數竒者去之設如 原數二十三因數六十 闕一縦立方根四 四減一得三 對數三全數六
尖之實 二 二四 二四六抽竒偶數方尖設如原數三十五六因數二百一十 闕一縦立方根六 六減一得五全數五中數三
尖之實 一 九 二十五又設如 原數五十六六因數三百三十六 闕一縦立方根七 七減一得六 全數六對數三
尖之實 四 十六 三十六抽偶再乘尖設如 原數一百五十三二除數七六五 闕半縦平方根九 復方之三 中數三全數五
尖之實 一 二十七 一百二十五抽竒再乘尖設如 原數二百八十八二除數百四十四 平方根十二 復方之𢃄一縦三對數三全數六
尖之實 八 六十四 二百一十六第二開抽偶抽竒立尖
木尖内層數偶者去之設如 原數二十二加二得數二百六十四 立方二百一十六 平方三十六 半平方闕一縦十二 方根減一得五折半得三
尖之實 一 一二三 一二三四五本尖諸層内數偶者去之設如 原數六就位加五得數九 立方八 半方根一 方根五除得四 四減一得三
尖之實 一 一 一三又設如 原數十就位加五得數十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四減一得三
尖之實 一 一 一三 一三本尖内層數竒者去之設如 原數三十四加二得數四百零八 立方三百四十三 平方四十九 餘縦二八一十六 方根七減一得六縦限二益一得三
尖之實 一二 一二三四 一二三四五六本尖諸層内數竒者去之設如 原數十六就位加五得二十四 闕一縦立方根三 方根減一以五除之得四
尖之實 二 二 二四 二四又設如 原數十就位加五得數十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四減一得三
尖之實 二 二 二四第三準本章𢃄縦諸方開三角及諸尖之半積似三角𢃄一鈍角形
平尖設如 原數二十四 徑三減六得十八 三除十八得六 加三得九
尖之實 七 八 九抽竒平尖設如 原數十八 徑三減十二得六 三除六得二 加六得八
尖之實 四 六 八抽偶平尖設如 原數二十七 徑三減九得十八 六除十八得三加三得六 五除六減一得十一
尖之實 七 九 十一立尖設如 原數三十一 徑三減一十得二十一 三除二十一得七 七加三得十半平方加半縦開十得四 四加一得五
尖之實 一二三 一二三四 一二三四五又設如 原數二十五 徑二減四得二十一 加四仍二十五 平方根五
尖之實 一二三四 一二三四五方尖設如 原數五十 徑三四因數二百 減五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二折半得五
尖之實 九 十六 二十五第四開三角及諸尖半積
抽偶立尖原註本尖内層數偶者去之設如原數四十九 徑三減二十二得二十七 三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七
尖之實 一二三 一二三四五 一二三四五六七
又設如 原數二十一 徑二減七得十四 復加六得二十 𢃄一縦方根四併一得五
尖之實 一二三 一二三四五抽偶立尖原註本尖内層數及諸層内數偶者皆去之設如 原數五十 徑三減一十四得三十六 三除三十六得十二并四得十六 平方根四 五除方根四減一得七并二得九
尖之實 一三五 一三五七 一三五七九又設如 原數四十一 徑二減五得三十六 并五仍四十一 四十一減一而二除之數二十得𢃄一縦方根四 五除四加一得九
尖之實 一三五七 一三五七九抽竒立尖原註本尖内層數竒者去之設如原數六十七 徑三減三十四得三十三 三除三十三得十一并十得二十一 半方𢃄半縦開之得六并二得八
尖之實 一二三四 一二三四五六 一二三四五六七八
又設如 原數三十一 徑二減一十三得十八 并十二得三十 𢃄一縦方根五并一得六
尖之實 一二三四 一二三四五六抽竒立尖原註本尖内層數及諸層内數竒者皆去之設如 原數六十二 徑三減二十得四十二 三除四十二得十四并六得二十𢃄一縦方根四 二因四得八并二得十
尖之實 二四六 二四六八 二四六八十又設如 原數五十 徑二減八得四十二 并八仍得五十 五十減二而二除之得二十四 𢃄二縦方根四 五除四加二得十
尖之實 二四六八 二四六八十抽竒偶數方尖設如 原數一百五十五 徑三減五十六得九十九 三除九十九得三十三加十六得四十九 平方根七并二得九
尖之實 二十五 四十九 八十一又設如 原數二百 徑三減五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二得十
尖之實 三十六 六十四 一百第五開抽偶立尖半積合本尖竒偶諸層取層内數偶者皆去之
先得徑偶設如 原數一百 徑六減二十八得七十二 三除七十二得二十四并八得三十二 二除三十二得十六方之得四 五除四減一得七并二得九
尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又設如 原數五十 徑四減十得四十 二除四十得二十 二十并五得二十五減一而半之得十二 𢃄一縦方根三倍三得六六減一得五并二得七
尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七
先得徑偶次條設如 原數六十六 徑四減十八得四十八 二除四十八得二十四半之得十二并四得十六 平方根四 五除四減一并二得九
尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
又設如 原數一百二十七 徑六減四十三得八十四 三除八十四得二十八并十三減一得四十 二除四十得二十𢃄一縦方根得四五除四減一并四得十一
尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九 一三五七九十一
先得徑竒設如 原數一百六十三 徑七倍數三百二十六 減二十得三百零六 三除三百零六得百零二并四得百零六 平方開百得十存餘實六加五得九 平方開九得三 五除三減一與前方十較之合贏絀率 五并六得十一
尖之實 一三五 一三五七 一三五七一三五七九 一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一
又設如 原數二百零三 徑七倍數四百零六 減二十得三百八十六 三除三百八十六得一百二十八餘剰實二 一百二十八并四得百三十二 平方開百二十一得十一餘實十一以一五因之并前剰實之半不可方 退方根商一百得方十餘實三十二 三十二加五得四十八并前剰實之半得四十九末方得七 五除七減一與前方十較之合贏絀率得十三
尖之實 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七
九十一 一三五七九十一十三又設如 原數九十一 徑五倍數一百八十二 減四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一減一得九十 平方開八十一得九餘實九方根得三 五除三減一與前方九較之合贏絀率并四得九
尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又設如 原數七十五 徑五倍數一百五十 減四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五減一得七十四 平方開六十四得八餘實一十不可方 退方根商四十九得七餘實二十五方根得五 五除五減一與前方較之合贏絀率得九
尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
法外設如 原數四十一 徑三倍數八十二 平方商六十四得八 餘實十八折半得九方之得三 五除三減一與八較之合贏絀率并二得七
尖之實 一三五 一三五七 一三五七第六開抽竒立尖半積合本尖竒偶諸層取層内數竒者皆去之
先得徑偶設如 原數一百二十四 徑六減四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 𢃄二縦方根八 八并二得十
尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又設如 原數一百 徑四減十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十
先得徑偶次條設如 原數一百五十四 徑六減五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二
尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二
又設如 原數八十二 徑四減二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 𢃄二縦方根八并二得十
尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
先得徑竒設如 原數一百九十六 徑七減十六得一百八十 一百八十減五得一百二十一百二十并八為百二十八𢃄二縦方開百二十得十存餘實八 六因八得四十八𢃄二縦方根得六與前方較之合贏絀率 六併六得一十二
尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二
又設如 原數一百六十六 徑七減十六得一百五十 一百五十減五得一百并八得一百零八 𢃄二縱方開九十九得九餘實九以六因之不可為𢃄二縦方 退方根商八十得八餘實二十八以六因之得一百六十八 𢃄二縦方商百六十八與前方較合贏絀率得十二
尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二
又設如 原數一百十二 徑五減四得一百零八一百零八併四仍一百十二平方開百得十餘實十二 四因十二得四十八𢃄二縦方根得六較前方合贏絀率六併四得十
又設如 原數九十四 徑五減四得數九十 并四仍九十四 平方開八十一得九餘實十三以四因之不可為𢃄二縦方 退方根商六十四得八餘實三十 四因三十得百二十𢃄二縦方除之較前方合贏絀率得十
尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
法外設如 原數四十四 徑三五除四十四得八十八 帶二縦方商八十得八餘實以二因之不可復為帶二縦方 帶二縦方商六十三得根數竒 商四十八得根數六餘實四十 二因四十得八十除帶二縦方與前方較之合贏絀率得八
尖之實 二四六 二四六 二四六八第七準本章多乗方依立尖形推餘尖
方尖準立尖設如 原數二十一十二因數二百四十 帶一縦方根十五益一數十六 復方之四減一得三
尖之實 一 一四 一四九抽偶立尖準立尖設如 原數四十六三因數一百三十八 闕半縦平方根十二 復帶一縦方之三 五除三 一得五
尖之實 一 一九 一九二十五抽竒方尖準立尖設如 原數八十三因數二百四十 帶一縦方根十五益一數十六復方之四 四減一得三倍之得六
尖之實 四 四十六 四十六三十六立尖還準立尖設如 原數十五六因數九十 帶一縦方根九益一數倍之得二十復除帶一縦方四 四減一得三
尖之實 一 一一二 一一二一二三少廣補開尖法覈原
開正尖全積二十法設各就本尖用之平尖法一之一 尖一倍數二 帶一縦方根一
立尖法一之二 尖一因數六 闕一縦立方根二 減一得一倍尖法一之三 尖一二除數五 進五作十除得一方尖法一之四 尖一因數三 方體一 方面一 半方面五 半方根再乘尖法一之五 尖一二除數五 減原實餘四 平方根二 復除帶一縦方一
抽竒平尖法一之六 尖二帶一縦方根一 對數一全數二抽偶平尖法一之七 尖一平方根一
抽偶立尖法一之八原註尖内層數及層内諸數偶者盡去之 尖一因數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原註尖内層數及層内諸數竒者盡去之 尖二因數六 闕一縦立方根二 減一得二之對數抽竒偶數方尖法一之十 尖一因數六 闕一縦立方根二 二減一即一又尖四因數二十四 闕一縦立方根三 三減一數二抽偶再乘尖法一之十一 尖一二除數五 闕半縦平方根一 復方之亦一抽竒再乘尖法一之十二 尖八二除數四 平方根二 復帶一縦方之一 對數一全數二
抽偶立尖法原註尖内層數偶者去之二之一尖一加二數十二 方體八 方面四 半方面應闕一縦今闕 二減一得一
抽偶立尖法原註本尖諸層内數偶者去之二之二 尖一就位加五數一五 方體一 半方根五 五除一得二減一復一
又尖一 一就位加五數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二減一復一抽竒立尖法原註尖内層數竒者去之二之三
尖一二加二數三十六 方體二十七 方面九 縦限視本數徑數及本數底半數應朒一數今空 三減一數二抽竒立尖法原註本尖諸層内數竒者去之二之四 尖二二就位加五數六 闕一縦立方根二 二減一得一以五除之復二又尖二就位加五數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二減一亦一方尖準立尖法七之一 尖一加二數十二 帶一縦方根三 三益一得四復方之得二 二減一即一抽偶方尖準立尖法七之二 尖一倍數三 闕半縦平方根二復帶一縦方之一 二因一減一亦一抽竒方尖準立尖法七之三 尖四三倍數十二 帶一縦方根三益一得四復方之得二二減一以二因之亦二 減一亦一立尖還準立尖法七之四 尖一因數六帶一縦方根二 二益一得三倍之得六復除帶一縦方得二 二減一即一