莊氏算學卷五
淮徐海道莊亨陽撰
中西筆算
度量權衡
度法丈 尺 寸 分 釐 毫 絲 忽 微 纎 沙塵埃 𣺌 漠 模糊 逡巡 須㬰 瞬息 彈指刹那 六徳 虚空 清浄俱逓以十析
量法石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭俱逓以十析 粟六粟為圭
權衡兩 錢 分 釐 毫 絲 忽俱逓以十析忽以下並與度法同凡丈 石 兩以上則為十 百 千 萬逓増十倍 億兆 京 垓 秭 穰 溝 澗 正 載 極恒河沙 阿僧秖 那由他不可思議無量數億以下俱逓増萬倍田法頃百畆為頃畆二百四十步為一畆分二十四步為分步方五尺為步斤法斤十六兩為一斤兩以下俱與權衡同
里法里三百六十步為一里計一百八十丈
厯法周天十二宫為周宮三十度為宫度六十分為度分 秒 微 纎忽 芒 塵俱逓以六十析
日時日十二時又為二十四小時時八刻又為二小時刻十五分分以下俱與前同石法石積二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此係舊法如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例方得宻合也
命位凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至于厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宫曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常列一位即命一等者宫度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也加法加者命衆數而總成也葢數始于一終于九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次并之即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足所命之分始進一位
減法減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之數書于上應減之數書于下横列必對其位相減必從其類如千減千百減百之類如或下數大于上數不足減則借前之一以減本位加法由後而進前減法則借前而退後其理一也前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之一并于前數而為減數然數相減必先辯其多寡首位必大于減數始可其定位亦然原列之次為減餘位
因乗因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至于繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乗數為法實列于上法列于下必使法實相當如千對千百對百十對十單對單之類按法乗實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乗者法實之一位統得數之二位如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零有二位則截得數之四位向前為單位紀之法實相乗再以法乗者即自乗再乗也法實之一位統得數之三位如單位後竒零有一位則截得數之三竒零有二位則截得數之六位向前為單位紀之是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如于左
開平方法平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二位得方邊一位法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書于積之上而以自乗之數書于初商積之下爰以方邊末位積數續書于下為次商亷隅之共積乃以初商之數倍之為亷法以除餘積足幾倍即定次商為幾倍書于方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為亷隅共法書于餘積之左以次商數乗之得數與次商亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後積數商開之法與次商同開帶縱平方法
較法法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開之得邊總加較折半為長減較折半為濶也又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之得數為半和于半和較減半較得濶于半和加半較得長也較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數相加得長濶和積開方為長濶和和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較總之有長濶和有較者于和内加較折半為長減較折半為濶其理同也
和法法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加折半為長減較即濶也又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方法開之得數為半較于半和減半較為濶于半和加半較為長
開立方法立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有初商之一大正方此為自一至九自乗再乗數為首位用各數自乗再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛厚皆與次商數等有一小隅係次商自乗再乗之數法以初商數自乗相因為三平廉面積與餘積相商約得幾倍用為少之數即定次位為幾數然後以次商數與初商數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面積三數相并為平亷長亷小隅之共面積再以次商數乗之為磬折形通積以減餘積減盡則止如有餘數又為第三位以後積數開之之法與次商同開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每積二位得方邊一位以縱横之積數能至十倍故也法以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積數次以首位數加倍為亷法以商餘積得幾倍即定次位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法隅法相乗以減餘積減盡則止再有不盡之數又為第三位積數照前商除其法皆同
田地頃畆分法縱横方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一頃凡地縱横相乗得積步得積步以二百四十步除之得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡得積丈以六十除之得畆數每邊數一丈得積四步再六丈為一分除不盡者為零若干丈尺
正比例以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一率同類四率與二率同類