莊氏算學卷六
淮徐海道莊亨陽撰
比例十法
一法正方
邊求積設正方邊五十步問積數若干法以方邊五十步自乗得二千五百步即正方積如係田地則以畆法二百四十除之得畆數二十四步為一分滿一百畆為頃凡面積皆同
積求邊即開平方法
方求斜設正方邊五十尺求對角斜線法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分○六毫有餘即對角斜線又倍積求邊與此法同
斜求方設對角斜線五十尺求正方邊法以對角斜線五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺開平方得三十五尺三十五分五釐三毫有餘即正方邊○又正方積折半求方邊與此法同四倍積求邊法以方邊數加倍即得二法長方
邊求積設濶八尺長十二尺求長方積法以濶八尺與長十二尺相乗得九十六尺即長方面積積求邊有長濶較或長濶和者用開帶縱平方法算之有濶邊者以濶數除積得長邊有長邊者以長數除積得濶邊
更面設長方形長十二尺濶八尺今將長積倍之仍與原長方同式問得長濶各幾何法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三釐有餘即所求之濶乃以原濶八尺為一率原長十二尺為二率今濶一十一尺三寸一分三釐為三率得四率一十六尺九寸七分有餘即所求之長三法斜方形有兩直角
有邊求積法以上濶二十丈與下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形積數
有積數有長有上下兩濶較求上下濶法將積數加倍以長除之得數為上下兩濶和加較折半得下濶減較折半得上濶
有積有上下濶求長法將積加倍以兩濶共數除之得數即所求之長梯形算法與前斜方形同
有中長有底濶求積設底濶八十尺中長七十五尺問面積法以中長七十五尺與底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面積
有積數有底濶求中長設三角形積三千尺底濶八十尺問中長法以積三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中長
有積數有中長求底濶與前法同
勾股形有邊求積有積求邊算法俱與三角形同葢三角形之中長即勾股形之股三角形之底為勾之兩倍三角形積亦勾股形積之兩倍俱得長方面之一半故全與全半與半為比其數相同
甲丙丁為三角形丙丁為底濶甲乙為中長甲丙乙為勾股形甲乙為股丙乙為勾甲丙為弦五法鋭角鈍角三角形多邊形附
三角形求中垂線及面積設三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺法以底二十一尺為一率兩腰相加得二十七尺為二率兩腰相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較如圖戊丙與底二十一尺相減餘十二尺如圖乙戊折半得六尺如圖乙丁乃用勾弦求股法以甲乙小腰十尺為弦自乗得一百尺為弦方乙丁六尺為勾自乗得三十六尺為勾方弦方内減去勾方餘六十四尺開方得八尺為股即甲丁中垂線再以中垂線八尺與乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面積凡十字正方角為直角大于直角者為鈍角如圖甲角不及直角者為鋭角如圖乙角丙角也甲乙邊為小腰甲丙邊為大腰乙丙邊為底戊丙為底較甲丁為中垂線
多邊形
六法兩兩等邊無直角斜方形此等形必有對角斜線方可命算有邊求積設斜方形兩小邊皆二十五尺兩大邊皆三十九尺對兩鋭角斜線五十六尺問面積法以對角斜線分斜方形為兩三角形以對角斜線五十六尺為底大邊三十九尺小邊二十五尺為兩腰用三角形求中垂線法法載三角形條下求得中垂線十五尺乃以對角斜線與中垂線相乗得八百四十尺即斜方形之面積
有勾有股求弦法以股自乗得股方以勾自乗得勾方兩自乗數相加開平方得數為弦
有勾有弦求股法以勾自乗得勾方以弦自乗得弦方弦方内減勾方餘數開平方得數為股
有股有弦求勾法以股自乗得股方以弦自乗得弦方弦方内減股方餘數開平方得數為勾
甲乙為對角斜線丁己與丙戊俱為中垂線
有邊求積設方環外周二十八丈内周一十二丈求面積法以外周二十八丈四歸之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四歸之得三丈自乗得九丈兩自乗數相減餘四十丈即方環面積
有積及濶求内外邊設面積四千尺濶二十尺求内外方邊法以濶二十尺自乗得四百尺如圖之甲壬寅戊小正方四因之為四正方得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺壬戊子辛等四縦方共積四歸之得六百尺一線方積以濶二十尺除之得三十尺即内方邊又以濶二十尺如圖甲壬倍之如甲壬并子丁得四十尺加内方邊三十尺如戊辛與壬子等得七十尺即外方邊
有内外方邊求邊法以外周二十八丈四歸之得七丈如圖甲丁又以内周一十二丈四歸之得三丈如圖戊辛與壬子等七丈與三丈相減餘四丈如圖甲壬及子丁二段折半得二丈即方環外周至内周之濶
徑求周設圓徑一尺二寸法用周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率現設圓徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九毫有餘即所求之圓周周求徑設圓周一丈五尺法以周四三五五為一率徑數一一三為二率現設圓周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六毫有餘即所求之圓徑
徑求面積設徑八寸法用徑求周法求得圓周二尺五寸一分三釐二毫七絲有餘折半得一尺二寸五分六釐六毫三絲有餘又將徑八寸折半得四寸兩折半數相乗得五十寸二十六分五十四釐八十二毫即所求之圓面積又法用方周圓周定率比例以方周定率四五二為一率圓周定率三五五為一率現設圓徑八寸自乗為三率求得四率即圓面積
周求面積設圓周六尺六寸法用周求徑法求得圓徑二尺一寸零八毫四絲五忽折半得一尺○五分○四毫二絲二忽又將周六尺六寸折半得三尺三寸兩折半數相乗得三尺四十六寸六十三分九十四釐五十八毫即所求之圓面積又法用圓周方積與圓積定率比例以圓周方積一○○○○○○○○為一率圓積七九五七七四七為二率現設之圓周六尺六寸自乗為三率求得四率即圓面積圓面積求徑設圓面積六尺一十六寸法用圓周方周定率比例以圓周二五五為一率方周四五二為二率現設之圓面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十三毫為正方面積開方得二尺八寸○五毫有餘即所求之圓徑
圓面積求圓周設圓面積六尺一十六寸法用圓積求徑法求得圓徑二尺八寸零五毫有餘又用圓徑求周法求得八尺七寸九分八釐有餘即圓之周數九法撱圓一名鴨蛋形
徑求面積設大徑九尺小徑六尺問面積法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方積圓積之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六為二率長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有餘即所求撱圓形之面積
積求徑設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大徑九尺問小徑法用圓積方積之定率比例以圓積七八五三九八 一六為一率方積一○○○○○○○○為二率現設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫為三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圓形之小徑如有小徑求大徑則以小徑數除長方積得數即大徑十法圓環形
圓環形有内外周及濶求面積設外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分問面積法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積圓環形有内外徑求面積法用圓徑求周法以内徑數求得内周外徑數求得外周又以内徑與外徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即徑
圓環形有内外周求面積法用圓周求徑法以内周數求得内徑外周數求得外徑乃以兩徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即得
圓環形有面積及濶求内外徑設面積四百六十二尺濶七尺求内外徑法以濶七尺除面積得六十六尺即内外周相併折半之數為中周如圖戊己周乃用周求徑法求得徑二十一尺有餘為内外徑相併折半之數為中徑如圖戊己徑加濶七尺得二十八尺有餘即外徑中徑内減濶七尺餘十四尺有零即内徑
圓環形有面積及濶求内外周依前法求得内外徑再用徑求周法算之即得圓環形有面積及内周求外周并濶設面積三尺三十六寸内周一尺一寸法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一毫有餘又用周徑求積法求得内周圓面積九寸六十二分七十七厘五十毫與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十毫即外周圓面積乃用有圓面積求徑法求得外周徑二尺零九分七釐七毫内減去内徑三寸五分零一毫餘一尺七寸四分七釐六毫折半得八寸七分三釐八毫即圓環形之濶又用徑求周法求得周六尺五寸九分有餘即外周數也
圓環形有面積及外周求内周并濶設面積三尺百八十四外周八十八尺法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一釐一毫有餘又用周徑求積法求得外周圓面積六百一十六尺二十四寸六十四分内減去環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分為内周圓面積乃用有圓面積求徑法求得内周徑一十七尺一寸九分六釐與外徑二十八尺零一分一釐二毫相減餘一十尺八寸一分五釐二毫折半得五尺四寸零七釐六毫即圓環形之濶再用徑求周法求得周五十四尺零二分二釐八毫有餘即内周數也